大一高数知识点总结
大一高数知识点总结
篇一：
大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分
1.1初等函数
一、函数的概念
1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f（x），其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法
（1）解析法即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x︱，y=lg(x+1),y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。
（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。
（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 1??2x?1, x?0?xsin,
f?x???y??x ?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0等。 ?x???t?， ?t?T?给出的，??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。反函数——如果在已
给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
1、单调性（单调增加、单调减少）
2、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：
关于y轴对称，f（-x）=-f(x).）
3、周期性（T为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T为周期）
4、有界性（设存在常数M＞0，对任意x∈D，有f∣(x)∣≤M,则称f(x)在D上有界，如果不存在这样的常数M，则称f(x)在D上无界。
5、极大值、极小值
6、最大值、最小值
三、初等函数
1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）
2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。
四、函数关系举例与经济函数关系式
1、函数关系举例
2、经济函数关系式
（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量
（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量
（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本
（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)
1.2函数的极限
一、数列的极限对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则 lim 称A为数列{an}的极限，
记为a=A，或当n→∞时，an→A。 n→∞n lim1lim 若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C（C为 n??nn?? limn 常数），q=0q?1) 。 n→∞若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。数列极限不存在的两种情况：
（1）数列有界，但当n→∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：
??1? n?1 ；
（2）数列无界，如数列{n2}。
二、当x→0时，函数f（x）的极限如果当x的绝对值无限增大（记作x→∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A
为函数f(x)当x→∞时的极限，记作 lim f?x??A，或当x→∞时，
f(x) →A。 x?? 单向极限定义如果当x???或?x????时，函数f(x)
无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限，记作 lim?lim? ?。 ??f?x??A?fx?A??x????n????
三、当X→X时，函数f（x）的极限
1、当X→X时，函数f(x)的极限定义如果当x无限接近X(记作X →X)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当X→X时的极限，记作 lim f?x??A，或当X→X时，f(x) →A。 n??
2、当X→X时，函数f(x)的左极限和右极限如果当X→Xˉ（或x?x0）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X →X时的左极限（右极限）为A，记作
四、无穷大与无穷小
1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0 lim ? A??。 ? lim 如果当X→X时，f(x)→0，就称f(x)当X→X时的无穷小，记作f?x??0；如 x?x0 果当X→X时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X→X时为无穷大，记作 lim f?x???。其中，如果
当X→X时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X x?x0 lim →X时为正无穷大，记作f?x????；如果当X→X时，f(x)向负的方向无限增大， x?x0 就称函数f(x)当X→X时为负无穷大，记作
2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么 lim f?x????。 x?x0 1 为无穷小；反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。
3、无穷小的性质性质1：
有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2：
有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3：
有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、无穷小的比较设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=(b)； a =0，则称a是比b低阶的无穷小； ba
(2) 如果lim=∞, 则称a是比b高阶的无穷小； b
(1)如果lim a =c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。
b a 特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a～b。 b
(3) 如果lim
1.3极限运算法则法则一若lim u=A，lim v=B，则 lim(u±v)=lim u±lim v=A±B; 法则二若lim u=A，lim v=B，则 lim(u·v)=lim u·lim v=A·B；法则三若lim u=A，lim v=B，且B≠0，则 lim ulimuA== vlimvB 推论若lim u=A，C为常数，k∈N，则
(1)lim C·u=C·lim u=C·A；
(2)lim u= (lim u)k=A 注运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。 k k
1.4两个重要极限
一、 limsin x =1 x?0x lim?1?x
二、?1??=e x???x?
1.5函数的连续性
一、函数连续性的概念
1.函数在某点的连续性若函数f(x)在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f(x)的连续点。理解这个定义要把握三个要点：
（1）f(x)要在点x0及其左右有定义；
（2） lim f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0
（3）增量△x=x-x0 △y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量△x趋近于零时，相应的函数增量△y也趋近于零，即 lim 则称函数f(x)在点x0处连续，x0?y?0， ?x?0 为f(x)的连续点。
2.函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f(x)在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a，b）上连续。如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性
1.连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。设函数u?????在点x0处连续，且u0???x0?，函数y=f(u)点u0处连续，那么复合函数
y?f(??x0?)在点x0处也连续。
2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章
微分与导数
2.1导数的概念设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x→0时，若 ?y 得极限?x 存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点x0处的导数，记作
limf?x0??x??f?x0??y ， ?x0??f’? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作y’∣ x?x0或 dydy ∣x?x0 dxdx ∣ x?x0 。 ? (x0)和f?? (x0)都存在且等于A，即函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于
f? ??x0??f???x0??A。 f??x0??A?f? 根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的导数就不存在。
2.2导数的四则运算法则和基本公式
篇二：
高等数学知识点归纳第一讲: 一. 数列函数:
1. 类型: 极限与连续
(1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an)
(2)初等函数:
(3)分段函数: *F(x)?? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ;
*F(x)??;* ,, ?ax?x0?f2(x)x?x0
(4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x)
(5)隐式(方程): F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)?
2. 特征(几何): ?ax,x?? nnn?0 ?
(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质:
1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0?) n?? x?? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型: 0?? ,,1,???,0??,00,?0 0?
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b,,
c, ) ?a?0??0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)??, lim, lim? x???x???x?0xex x xlnx?0 lim, e??x?0? n ?0x??? , ???x???
四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x);
1?csu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x))?u(x); (1?u(x))??1??u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi
2. 泰勒公式: 12 x?(x2); 2!122
(2)ln(1?x)?x?x?(x); 2134
(3)sinx?x?x?(x); 3! 12145
(4)csx?1?x?x?(x); 2!4! ?(??1)2? x?(x2).
(5)(1?x)?1??x? 2!
(1)e?1?x? x 五. 常规方法: 前提:
(1)准确判断,
1. 抓大弃小( 0??1 ,1,?M(其它如:???,0??,00,?0);
(2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ?
2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin ? 1 ?1,x??) x
3. 1处理(其它如:0,?)
4. 左右极限(包括x???): 1 1x
(1)(x?0);
(2)e(x??); ex(x?0);
(3)分段函数: x, [x], maxf(x) x 00
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim 与lim) x?1x?001?x1?x v(x)
(2)幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e
1x1x11?x?1x ?1))
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数) n?? 六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)an?f(n)?limf(x) x???
(2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?
(3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f (x)?0? ?f ?fx
0( ) ?x?0?x 1112n [?)f(??)?f(??)]fxd(
3. 积分和: lif, x) 0n??nnnn
2. 导数定义(洛必达?): li
4. 中值定理: lim[f(x?a)?f(x)]?alimf (?) x??? x???
5. 级数和(数一三): ? 2nn!
(1)?an收敛?liman?0, (如limn)
(2)lim(a1?a2???an)??an, n??n??nn?? n?1n?1 ? ?
(3){an}与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kxn,(x?0)?
(1)f(0)?f (0)???f
(2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x??(xn)?xn n!n! ? x
f(t)dt??ktndt x
2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?lim[f(x)?ax]?f(x)?ax?b?? x??x??x 1 (2)f(x)?ax?b??,(?0) x
(1)a?lim
3. 连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:极限函数, f (x)连续性) 八. [a,b]上连
续函数性质
1. 连通性: f([a,b])?[m,M] (注:?0???1, “平均”
值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0))
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数);
(2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx) ?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念:
1. 差商与导数: f (x)?lim ?x?0 f(x??x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f (x0)?lim x?x0?xx?x0
(1)f (0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f (0)?A) (注:lim x?0xx
(2)左右导: f? (x0),f? (x0);
(3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导)
2. 微分与导数: ?f?f(x??x)?f(x)?f (x)?x?(?x)?df?f (x)dx
(1)可微?可导;
(2)比较?f,df与 0 的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x)) )
2. 法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;
(3)反函数
三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h
1. 定义导:
(1)f (a)与f (x)x?a;
(2)分段函数左右导;
(3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注: f(x)??, 求:f (x0),f (x)及f (x)的连续性) , x?xa?0
2. 初等导(公式加法则):
(1)u?f[g(x)], 求:u (x0)(图形题);
(2)F(x)?
(3)y?? ? x a f(t)dt, 求:F (x) (注:
(?f(x,t)dt) ,(?f(x,t)dt) ,(?f(t)dt) ) a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,,求f? (x0),f? (x0)及f (x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y,
3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2
4. 参式导(数一,二): ?, 求: dxdx?y?y(t)
5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )??ae; (n?1
a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n);
(csax)(n)?ancs(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2)
(uv)(n)?u(n)v?Cnuv ?Cnuv ?? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2???anx???an? n! n 四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线)
2. 物理: (相对)变化率?速度;
3. 曲率(数一二): ?? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导)
1. 判别(驻点f (x0)?0):
(1) f (x)?0?f(x)?; f (x)?0?f(x)?;
(2)分段函数的单调性
(3)f (x)?0?零点唯一; f (x)?0?驻点唯一(必为极值,最值).
2. 极值点:
(1)表格(f (x)变号); (由lim x?x0 f (x)f (x)f
(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx
(2)二阶导(f (x0)?0) 注
(1)f与f ,f 的匹配(f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由f (x)??(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.
(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)
3. 不等式证明(f(x)?0)
(1)区别: *单变量与双变量? *x?[a,b]与x?[a,??),x?(??,??)?
(2)类型: *f ?0,f(a)?0; *f ?0,f(b)?0
篇三：
吉林大学高数知识点公式大全吉林大学高数复习公式高等数学公式平方关系：
sin^2(α)+cs^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)
ct^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系：
sinα=tanα*csα csα=ctα*sinα tanα=sinα*secα ctα=csα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*ctα倒数关系：
tanα·ctα=1 sinα·cscα=1 csα·secα=1 直角三角形ABC 中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数：
cs(α+β)=csα·csβ-sinα·sinβ cs(α-β)=csα·csβ+sin α·sinβ sin(α±β)=sinα·csβ±csα·sinβ tan(α+β)=(tan α+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tan α·tanβ) 三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·csβ·csγ+csα·sinβ·csγ+csα·cs β·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cs(α+β+γ)=csα·csβ·csγ-csα·sinβ·sinγ-sinα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·csγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tan β-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 吉林大学高数复习公式辅助角公式：
Asinα+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cst=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asin α+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)cs(α-t)，tant=A/B 倍角公式：
sin(2α)=2sinα·csα=2/(tanα+ctα) cs(2
α)=cs^2(α)-sin^2(α)=2cs^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2
α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα
-4sin^3(α) cs(3α)=4cs^3(α)-3csα半角公式：
sin(α/2)=±√((1-csα)/2) cs(α/2)=±√((1+csα)/2)
tan(α/2)=±√((1-csα)/(1+csα))=sinα/(1+csα)=(1-cs
α)/sinα降幂公式 sin^2(α)=(1-cs(2α))/2=versin(2α)/2
cs^2(α)=(1+cs(2α))/2=cvers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cs(2
α))/(1+cs(2α)) 万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] csα=[1-tan^2(α
/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化
和差公式：
sinα·csβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] csα·sinβ
=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] csα·csβ=(1/2)[cs(α+
β)+cs(α-β)] 吉林大学高数复习公式 sinα·sinβ
=-(1/2)[cs(α+β)-cs(α-β)] 和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cs[(α-β)/2] sinα-sinβ
=2cs[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] csα+csβ=2cs[(α+
β)/2]cs[(α-β)/2] csα-csβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式 tanα+ctα=2/sin2α tanα-ctα=-2ct2α 1+cs2α
=2cs^2α 1-cs2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+csα/2)^2 三角函
数的角度换算公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cs（2kπ＋α）＝csα tan（2kπ＋α）＝tanα ct（2kπ＋α）＝ctα公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα cs（π＋α）＝－csα tan（π＋α）＝tanα ct（π＋α）＝ctα公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα cs（－α）＝csα tan（－α）＝－tan α ct（－α）＝－ctα吉林大学高数复习公式公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα cs（π－α）＝－csα tan（π－α）
＝－tanα ct（π－α）＝－ctα公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα cs（2π－α）＝csα tan（2π－α）＝－tanα ct（2π－α）＝－ctα公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝csα cs（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－ctα ct（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cs α cs（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝ctα ct（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－csα cs（3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－ctα ct（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－csα cs（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝ct α ct（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 吉林大学高数复习公式高等数学公式
(tgx)??sec2x(arcsinx)??1(ctgx)???csc2x?x2(secx)??secx?tgx(a rccsx)???1(cscx)???cscx?ctgx?x2(ax)??axlna(arctgx)??1 1?x2 (lgx)??1 axlna(arcctgx)???1 1?x2 导数公式：
?tgxdx??lncsx?C ?ctgxdx?lnsinx?C?dxcs2x??sec2xdx?tgx?C? secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2
sin2x?xdx??ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?d x?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C
x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a?
a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx
a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ?? 22 In
n??sinxdx??csnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a
2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C篇四：
高数上册知识点总结高数重点知识总结
1、基本初等函数：
反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(y?ax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)
2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1
3、无穷小：
高阶+低阶=低阶例如：
lim x?0x?0xx sinx
4、两个重要极限：
(1)lim?1 x?0x
(2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1???e x?? ?x? g(x) x 经验公式：
当x?x0,f(x)?0,g(x)??，lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如：
lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim??? x? ?e?3
5、可导必定连续，连续未必可导。例如：
y?|x|连续但不可导。
6、导数的定义：
lim ?x?0 f(x??x)?f(x) ?f (x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f ?x0? x?x0
7、复合函数求导：
df?g(x)??f ?g(x)??g (x) dx 例如：
y?x?x,y ? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1
8、隐函数求导：
(1)直接求导法；
(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2?y2?1 例如：
解：
法
(1),左右两边同时求导,2x?2yy ?0?y ?? x ydyx 法
(2),左右两边同时微分,2xdx?2ydy??? dxy
9、由参数方程所确定的函数求导：
若? ?y?g(t)dydy/dtg (t)??，则，其二阶导数：
dxdx/dth (t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g (t)/h (t)? dyd?dy/dx???? 2dxdxdx/dth (t) 2
10、微分的近似计算：
f(x0??x)?f(x0)??x?f (x0) 例如：
计算 sin31?
1
1、函数间断点的类型：
(1)第一类：
可去间断点和跳跃间断点；例如：
y? sinx （x=0是x 函数可去间断点），y?sgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）
(2)第二类：
振荡间断点和无穷间断点；例如：
f(x)?sin??（x=0是函数的振荡间断点），y?断点）
1
2、渐近线：
水平渐近线：
y?limf(x)?c x?? ?1??x? 1 （x=0是函数的无穷间x limf(x)??，则x?a是铅直渐近线. 铅直渐近线：
若， x?a 斜渐近线：
设斜渐近线为y?ax?b,即求a?lim x?? f(x) ,b?lim?f(x)?ax? x??x x3?x2?x?1 例如：
求函数y?的渐近线 x2?1
1
3、驻点：
令函数y=f(x)，若f (x0)=0，称x0是驻点。
1
4、极值点：
令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。
1
5、拐点：
连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。
1
6、拐点的判定定理：
令函数y=f(x)，若f (x0)=0，且x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0或x x0,f (x) 0；x x0时，f (x) 0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。
1
7、极值点的必要条件：
令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f (x0)=0。
1
8、改变单调性的点：
f (x0)?0，f (x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）
1
9、改变凹凸性的点：
f (x0)?0，f (x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）
20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 2
1、中值定理：
(1)罗尔定理：
f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得f (?)?0
(2)拉格朗日中值定理：
f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点?，使得
f(b)?f(a)?(b?a)f (?)
(3)积分中值定理：
f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点?，使得
b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 2
2、常用的等价无穷小代换：
x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(?x?1)~ln(1?x)1?csx~ 12x2111 tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3 263 2
3、对数求导法：
例如，y?xx，解：
lny?xlnx? 1 y ?lnx?1?y ?xx?lnx?1? y 2
4、洛必达法则：
适用于“ 0?”型，“”型，“0??”型等。当0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?，f (x),g (x)皆存在，且g (x)?0，则 f(x)f
(x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinx1 lim?lim 例如，limlimlim?
2x?x0g(x)x?x0g (x)x?0x?0x?0x2x22 2
5、无穷大：
高阶+低阶=高阶例如， 2
6、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法（凑微分法）
(3)第二类换元法：
哪里复杂换哪里，常用的换元：
1)三角换元：
23 ?x?1??2x?3?lim? x??? 2x5 x2?2x?lim?4 x???2x5 3 a2?x2，可令 x?asint；x2?a2，可令x?atant；x2?a2，可令x?asect 2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x? 1 t 2
7、分部积分法：
udv?uv?vdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积
x3 分出现循环形式的情况，例如：
ecsxdx,secxdx ?? ?? 2
8、有理函数的积分：
例如：
3x?22(x?1)?x11 dx??2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx???需要进行拆分，令 ?x(x?1)2
x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中，前部分 ? 111?? 2xx?1(x?1) 2
9、定积分的定义：
?f(?)?x ?f(x)dx?lim? a ?0 i i i?1 b n 30、定积分的性质：
b
(1)当a=b时， ?f(x)dx?0； ab a
(2)当a b时， ?f(x)dx???f(x)dx a b a?aa
(3)当f(x)是奇函数， ?f(x)dx?0,a?0 a
(4)当f(x)是偶函数， b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb
(5)可加性：
?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx a a c x x d 3
1、变上限积分：
?(x)??f(t)dt?? (x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa d 推广：
dx u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u (x) a b 3
2、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：
b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 3
3、定积分的分部积分法：
udv??uv??vdu 例如：
xlnxdx ? a b a ? a ? ??b b??? 3
4、反常积分：
(1)无穷限的反常积分：
?f(x)dx?lim?f(x)dx a a b bt?a?
(2)无界函数的反常积分：
3
5、平面图形的面积：
(1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t d ??f(x)?f(x)?dx
(2)A????(y)??(y)?dy 2 1 2 1 a c 2
(2)绕y轴旋转，????f(x)dxV???(y)dy ?? 2 a c b d b 3
6、旋转体的体积：
(1)绕x轴旋转，V??篇五：
高等数学知识点总结高等数学知识点总结导数公式：
2
(tanx)??secx(ctanx)???cscx(secx)??secx?tanx(cscx)???cscx?ct x(a)??alna(lg ax x 2 (arcsinx)??(arccsx)???(arctanx)?? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)?? 1xlna (arcctx)??? 11?x 2 基本积分表：三角函数的有理式积分：
?tan?sec?a?x?a? xdx??lncsx?C ?ctxdx?lnsinx?C
xdx?lnsecx?tanx?C ?cs?sin dx 2 xx ?? ?sec?csc 2
xdx?tanx?Cxdx??ctx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?ctx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C xdx??cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 ??? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?ct?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? ?sin 02 n xdx??cs n xdx? 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 ??? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx?
2 2 2 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， csx?2 1?u1?u 2 ， u?tan2 x2 ， dx? 2du1?u 2 一些初等函数：
两个重要极限：
e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?
双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x lim e?ee?e xx ?x?x x?? ?e ? x?1）x?1) 2 三角函数公式：
·诱导公式：
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(???)?sin?cs??cs?sin?cs(???)?cs?cs??sin?sin?tan(???)?ct( ???)? tan??tan?1?tan??tan?ct??ct??1ct??ct?
sin??sin??2sinsin??sin??2cs ???2 cssin ???2 ???2 ???2 cs??cs??2cscs??cs??2sin ???2 cssin ???2 ???2 ???2 ·倍角公式： sin2??2sin?cs? cs2??2cs??1?1?2sin??cs??sin?ct2??tan2??
ct??12ct?2tan?1?tan? 222 2 2 2
sin3??3sin??4sin?cs3??4cs??3cs?tan3?? 3tan??tan?1?3tan? 2 3 3 3 ·半角公式：
sintan ? 2 ???? ?cs? 21?cs?1?cs? asinA 1?cs?sin?bsinB ? cs ct ? 2 ?? 1?cs? 2 ? 2 1?cs?sin? 2 ? 2 ??c sin?1?cs? ? 2 ?? 1?cs?1?cs? 2 ? sin?1?cs? ·正弦定理：
? sinC ?2R ·余弦定理：
c?a?b?2abcsC ·反三角函数性质：
arcsinx? ? 2 ?arccsx arctanx? ? 2 ?arcctx 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n (uv)?u (n) ? ?C k?0 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) v?? n(n?1)2! u (n?2) v????? n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) ???uv (n) 中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?) 拉格朗日中值定理。
f(b)?f(a)F(b)?F(a) 当F(x)?x时，柯西中值定理就是曲率：弧微分公式：
平均曲率：
K? ds????s ?y?dx,其中y??tg? ??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变 ???s d?ds y??(1?y?) 2 3 2 化量；?s：
MM?弧长。 M点的曲率：
直线：
K?0; K?lim ?s?0 ??. 半径为a的圆：
K? 1a . 定积分的近似计算：
b 矩形法：
?f(x)? ab b?an (y0?y1???yn?1) 梯形法：
?f(x)? a b b?a1 [(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a3n
[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)] 抛物线法：
?f(x)? a 定积分应用相关公式：
功：
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学 常用公式 ⒈等比数列 1 1n -=n q a a q q a s n n --=1) 1(1 ⒉等差数列 d n a a )1(1n -+= 2 )(1n a a s n n += ⒊ )12)(1(6 1 3212222++= ++++n n n n ⒋ 2 33332)1(321?? ? ???+=++++n n n 极限 一、 对于和式 n u u u ++∑=2n 1 11 进行适当放缩有两种典型的方法 ①当n 为无穷大时，则 n ?u min ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max ②当n 为有限项，且u i ≥0时，则 u max ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max 二、 常用极限： )m 3,2,1i (}max {lim .1n 21n a ==++∞→， i m m n n a a a n a b i n a b a f x f dx x f n i n i b n i i --+ =?=∑?∑=∞ →=→)(lim )(lim )(.21 a 1 ξλ n a b n a b i a f x f dx x f n i n i b n i i ---+ =?=∑?∑=∞ →=→)))(1((lim )(lim )(31 a 1 ξλ 1lim .3=∞ →n n a 为常数），（，b a ,1lim .4=+∞ →n n b an 1 lim .50 x =+→x x
，则 若a a n n =∞ →lim ..6 a n a a a n n =+++∞→ 21lim .① a a a a n a n n n n ==>∞ → 21lim )3,2,1(0.② ，则若 三、 常见等价无穷小代换总结
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程
1、 一般式方程：?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s =ρ ，过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角：),,(1111 p n m s =ρ ，),,(2222p n m s =ρ ， ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ?∏//L 0=++Cp Bn Am ；?∏⊥L p C n B m A == 第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续： ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、 偏导数： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ；y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、 方向导数： βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、 全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y ??= +?? （一） 性质 1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
高等数学读书笔记
——定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。 【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义： 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
大学数学学习心得体会 篇一：大学数学选讲学习心得 大学数学选讲学习心得 大学数学选讲课是对高等数学课的提升和深化，老师针对重难知识点，结合考研真题和参考资料精题，细致向我们讲解。在解题的过程中，老师向我们传授了解题的不同思路角度，教会我们要学会举一反三，将知识点融会贯通。点拨启发式的教学激发着同学们学习的兴致，使我们受益匪浅。 大学数学选讲不仅对考研的同学有很大帮助，对像我这样不考研学习一般的学生也有益处。刚上大学时，高等数学我一度跟不上，总是云里雾里，后来抓紧学了一阵才有了些头绪。后来，我们学习的专业课如材料力学，结构力学等都用到了高等数学，才愈发感到它的重要性。现在大学数学选讲课，再一次让我面对高等数学，我的态度更加端正谨严。重温旧的知识点，在老师的点拨下，我能发现新的亮点，加深加固了我对知识点的理解和掌握。一题多解的解题过程，启发了我的解题思路，更是帮助我把许多知识点串联起来，增强了记忆。慢慢地，我从学习中找到了乐趣，对学习高等数学也有了信心，信心又激励着我不断探索，我发现学好一门课程树立信心很重要。 经过一学期的学习，我在高等数学的学习上也逐渐积累了一些经验体会。
我感受到大学数学的学习和中学数学的学习是不样的。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已 一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一次提升理解力的好机会。 高等数学的学习目的不是为了应付考试，因此，我们的学习不能停留在以解出答案为目标。我们必须知道解题过程中每一步的依据。正如我前面所提到的，中学时期学过的许多定理并不特别要求我们理解其结论的推导过程。而高等数学课本中的每一个定理都有详细的证明。最初，我以为只要把定理内容记住，能做题就行了。然而，渐渐地，我发现如果没有真正明白每个定理的来龙去脉，就不能真正掌握它，更谈不上什么运用自如了。于是，我开始认真地学习每一个定理的推导。有时候，某些地方很难理解，我便反复思考，或请教老师、同学。尽管这个过程并不轻松，但我却认为非常值得。因为只有通过自己去探索的知识，才是掌握得最好的。 学习高等数学还要注意一下几点。
第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式
高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K
高数心得体会 篇一：高数心得 学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。 很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。 在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。
每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。 首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。 坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题 就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
导数与极限 （一）极限 1. 概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A x f a x =→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。 （2）单侧极限 左极限： =-)0(a f A x f a x =-→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-
高数学习心得体会 篇一：学习高等数学体会论文 Hefei University 大一高等数学论文 院系：电子信息与电气自动化学生姓名：孙野学号： 31 专业：自动化 班级：一班 年级：一年级 指导老师:刘国旗 完成时期: 十二月十三号 摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university. The more I learn in automation specialty in very important. Experienced higher mathematics almost a semester has certain
understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress. 关键词：高等数学、总结方法、极限 一：对高中数学的回顾 高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟 着老师教学的思路去学习，但是他要我们上课记下他在黑板上学习的板书，这样就导致我们光顾着去做笔记，却没有跟着他上课的思路去思考问题，不能去理解他讲的是什么，课下对着笔记我们又不记得他上课是怎么讲的。所以高中前部分我的数学一直都不好。后来因为一些原因我们换了一个数学老师，这是一个我估计快要退休的了老师，这个老师因
大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！
高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列{}n x ，证明 {}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明 ()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1 ． 由 ()f x A ε -<化简得 ()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当 00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明 ()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言
1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或 ∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的 无穷小； （()0lim =∞ →x g x 即函数()x g 是∞→x 时的 无穷小；） 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则