高数知识点总结（上册） 函数：
绝对值得性质：
(1)|a+b|≤|a|+|b|
(2)|a-b|≥|a|-|b|
(3)|ab|=|a||b|
(4)|b a |=)0(||||≠b b a
函数的表示方法：
（1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数：
定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1
x f
y -=存在，且是单
值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数
（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：
定义：设
{}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小）
，
总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n
x ，不等式
ε
<-a x n 都成立，则称数a 是数列
{}n x 的
极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a
x n
n =∞
→lim ，或
a
x n →（∞→n ）
收敛数列的有界性：
定理：如果数列
{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界
推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛
函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质：
（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0
，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0
x 可除外），有0)(>x f （或0)( （2）如果 A x f x x =→)(lim 0 ，且在 x 的某一邻域内（ x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ）， 则0≥A （0≤A ）。 （3）如果 )(lim 0 x f x x →存在，则极限值是唯一的 （4）如果) (lim 0 x f x x →存在，则在)(x f 在点0x 的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小 的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系： （1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1 x f 为无穷小 （2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1 x f 为无穷大 具有极限的函数与无穷小的关系： （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 （2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： （1）有限个无穷小的代数和也是无穷小 （2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小 推论： （1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积 极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理） 设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x 可除外）满足条件： （1）)()()(x h x f x g ≤≤ （2） A x g x x =→)(lim 0 ， A x h x x =→)(lim 0 则A x f x x =→)(lim 0 准则二 单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 重要极限： （1）1 sin lim 0=→x x x （2） 21 cos 1lim 20=-→x x x （3）e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 无穷小阶的定义： 设βα、为同一过程的两个无穷小。 （1）如果 0lim =αβ ，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo = （2）如果 ∞=αβlim ，则称β是比α低阶的无穷小 （3）如果 )1,0(lim ≠≠=c c c αβ ，则称β与α是同阶无穷小 （4）如果 1lim =αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~ 几种等价无穷小： 对数函数中常用的等价无穷小： 0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x )0(ln 1 ~ )1(log →+x x a x a 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： 0→x 时，x x ~sin x x ~tan 2 21~ cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan 指数函数中常用的等价无穷小： 0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=- 二项式中常用的等价无穷小： 0→x 时，ax x a ~1)1(-+ n x x n ~ 11-+ 函数在某一点处连续的条件： 由连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x 处连续必须同时满足下列三个条件： （1）)(x f 在点0x 处有定义 （2）当 x x →时，)(x f 的极限) (lim 0 x f x x →存在 （3）极限值等于函数)(x f 在点0x 处的函数值) (0x f 极限与连续的关系： 如果函数)(x f 在点0x 处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，反 之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数)(x f 、)(g x 在点0x 处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点 x 也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数)(x f y =在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数 )(y x ?=也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数 最大值与最小值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必有最大值和最小 值 推论：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界 介值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，两端点处的函数值分别为 )()(,)(B A B b f A a f ≠==，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间),(b a 内至少有一点 ξ，使得 μξ=)(f )(b a <<ξ 推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论（2）：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()( 则在),(b a 的内部，至少存在一点ξ，使0)(=ξf 导数与微分 导数： 定义： x x f x x f y x ?-?+=→?) ()(lim ' 导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： （1） x x f x x f x y y x x x x ?-?+=??=→?→?=)()(lim lim |'00000 （2） 0) ()(lim |'0 0x x x f x f y x x x x --=→= （3） x x f x x f y x x x ?-?+=→?=) ()(lim |'0 基本初等函数的导数公式： （1）常数导数为零 0)'(=c （2）幂函数的导数公式 1 )'(-=n n nx x （3）三角函数的导数公式 x x cos )'(sin = x x sin )'(cos -= x x x 22 sec cos 1 )'(tan == x x x 22csc sin 1 )'(cot -=-= x x x tan sec )'(sec = x x x cot csc )'(csc -= （4）对数函数的导数公式： a x e x x a a ln 1 log 1)'(log == （5）指数函数的导数公式： a a a x x ln )'(= （6）x x e e =)'( （7）反三角函数的导数公式： 211 )'(arcsin x x -= 211 )'(arccos x x -- = 211 )'(arctan x x += 211 )'cot (x x arc +- = 函数和、差、积、商的求导法则： 法则一（具体内容见书106） '')'(v u v u +=+ '')'(v u v u -=- 函数乘积的求导法则： 法则二（具体内容见书108） '')'(uv v u uv += 函数商的求导法则： 法则三（具体内容见书109） 2'')'(v uv v u v u -= 复合函数的求导法则：（定理见书113页） 反函数的求导法则： 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页） 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )(2 2dx dy dx d dx y d = 求n 阶导数：（不完全归纳法） ）2sin()(sin )(π?+=n x x n ） 2cos()(cos )(π ?+=n x x n 隐函数的导数：（见书126页） 对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的导 数用记号dx dy （或'y 表示） 对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数） 由参数方程所确定的函数的导数：)()() (βαφ?≤≤?? ?==t t y t x ) () (1''t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?φ= ?=?= 微分概念： 函数可微的条件 如果函数)(x f 在点0x 可微，则)(x f 在点0x 一定可导 函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x 可导 x x f dy ?=)(0' 函数的微分dy 是函数的增量y ?的线性主部（当0→?x ），从而，当 x ?很小时，有dy y ≈? 通常把自变量x 的增量x ?称为自变量的微分，记做dx 。即于是函数的微分可记为 dx x f dy )(' =，从而有) ('x f dx dy = 基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式： x f f x f )0()0()(' +≈ x n x n 111+ ≈+ x x ≈sin （x 用弧度） x x ≈tan （x 用弧度） x e +≈12 x x ≈+)1ln( 中值定理与导数应用 罗尔定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数 （3）在端点处函数值相等，即)()(b f a f =，则在()b a ,内至少有一点ξ，使0)(' =ξf 拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数，则在()b a ,内至少有一点ξ，使得 ))(()()(f 'a b f a f b -=-ξ 定理几何意义是：如果连续曲线)(x f y =上的弧? AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的 切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧? AB 推论：如果函数)(x f 在区间()b a ,内的导数恒为零，那么)(x f 在()b a ,内是一个常数 柯西中值定理：如果函数)(x f 与)(F x 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数 （3）)(F x ‘ 在()b a ,内的每一点处均不为零，则在()b a ,内至少有一点ξ使得 )()()()()()(' 'ξξF f a F b F a f b f =-- 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理） 00 未定式 1、a x →情形 定理：如果 (1)当a x →时，)(x f 与)(x ?都趋于零 （2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ? （3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f a x ?→存在（或为∞），且 )() (lim x x f a x ?→=)() (lim ' 'x x f a x ?→ 在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）当∞→x 时，)(x f 与)(x ?都趋于零 （2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ?都存在且0)(' ≠x ? （3）)() (lim ' 'x x f x ?∞ →存在（或为∞），则极限)()(lim x x f x ?∞→存在（或为∞），且 )()(lim x x f x ?∞→=)() (lim ' 'x x f x ?∞→ ∞∞ 未定式 1、a x →情形 如果 （1）a x →时，)(x f 与)(x ?都趋于无穷大 （2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ? （3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ?→存在（或为∞），且 ) () (lim x x f a x ?→=)() (lim ' 'x x f a x ?→ 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）∞→x 时，)(x f 与)(x ?都趋于无穷大 （2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ? （3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞） ，则则极限) () (lim x x f a x ?→存在（或为∞）， 且) () (lim x x f a x ?→=)()(lim ''x x f a x ?→ 注意：1、洛必达法则仅适用于00型及∞∞ 型未定式 2、当)()(lim '') (x x f x a x ?∞→→不存在时，不能断定 )()(lim )(x x f x a x ?∞→→不存在，此时不能应用洛必达法则 泰勒公式（略） 迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法： 必要条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数，如果)(x f 在[]b a ,上单调增 加（减少），则在()b a ,内，0)('≥x f （0)(' ≤x f ） 充分条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数， （1）如果在()b a ,内，0)(' >x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加 （2）如果在()b a ,内，0)(' 函数的极值及其求法 极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件 必要条件：设函数)(x f 在点0x 处具有导数，且在点0x 处取得极值，则0)(' =x f 函数的极值点一定是驻点 导数不存在也可能成为极值点 驻点：使0)('=x f 的点，称为函数)(x f 的驻点 充分条件（第一）：设连续函数)(x f 在点0x 的一个邻域（0x 点可除外）内具有导数，当 x 由小增大经过0 x 时，如果 （1）)(' x f 由正变负，则0x 是极大点 （2）)(' x f 由负变正，则0x 是极小点 （3）)(' x f 不变号，则0x 不是极值点 充分条件（第二）：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0;;≠x f （1）如果0)(0;; 点处取得极大值 （2）如果 )(0;;>x f ，则)(x f 在0x 点处取得极小值 函数的最大值和最小值（略） 曲线的凹凸性与拐点： 定义：设)(x f 在[]b a ,上连续，如果对于[]b a ,上的任意两点1x 、2x 恒有 2) (()2( 2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 在[]b a ,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上） 凸的。 判别法： 定理：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内具有二阶导数 （1）如果在),(b a 内0)(0;;>x f ，那么)(x f 的图形在[]b a ,上是凹的 （2）如果在),(b a 内0)(0;; 拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。 不定积分 原函数：如果在某一区间上，函数)(F x 与)(x f 满足关系式： )()('x f x F =或dx x f x dF )()(=，则称在这个区间上，函数)(F x 是函数)(x f 的一个原 函数 结论：如果函数)(x f 在某区间上连续，则在这个区间上)(x f 必有原函数 定理：如果函数)(F x 是)(x f 的原函数，则C )(F +x （C 为任意常数）也是)(x f 的原函数，且)(x f 的任一个原函数与)(F x 相差为一个常数 不定积分的定义： 定义：函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分，记做?dx x f )( 不定积分的性质： 性质一： ) ())(('x f dx x f =?或 dx x f dx x f d )())((=? 及? +=C x f dx x f )()(' 或? +=C x f x df )()( 性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即 ????+++=+++dx x f dx x f dx x f dx x f x f x f n n )()()()]()()([2121 性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即 ??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数，且k ≠0 基本积分表： （1）? +=C kx kdx （k 是常数） （2）?-≠++=+)1(11 a C a x dx x a a （3）?+=C x dx x ||ln 1 （4）? +=C e dx e x x （5）)1,0(ln ≠>+=?a a C a a dx a x x （6）? +-=C x xdx cos sin （7）? +=C x xdx sin cos （8）??+==C x xdx dx x tan sec cos 12 2 （9）??+-==C x xdx dx x cot csc sin 1 22 （10）?+=C x xdx x sec tan sec （11） ?+-=C x xdx x csc cot csc （12） ? +=-C x dx x arcsin 112 （13） ? +=+C x dx x arctan 112 第一类换元法（凑微分法） C x F dx x x f +=?)]([)()]([' ??? ?+-=C x xdx |cos |ln tan ?+=C x xdx |sin |ln cot 第二类换元法：变量代换 被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式 基本积分表添加公式： 结论： 如果被积函数含有2 2x a -，则进行变量代换t a x sin =化去根式 如果被积函数含有2 2a x +，则进行变量代换t a x tan =化去根式 如果被积函数含有22a x -，则进行变量代换t a x sec =化去根式 分部积分法： 对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法 ??-=vdu uv udv 分部积分公式 1、如果被积函数是幂函数与指数函数 的积，可以利用分部积分法 令u 等于幂函数 2、如果被积函数是幂函数与 反三角函数 对数函数 的积，可使用分部积分法 令u= 反三角函数 对数函数 3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。 定积分 定积分的定义 定理：如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积 定理：如果函数在],[b a 上只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积 定积分的几何意义： 1、在],[b a 上0)(≥x f ，这时?b a dx x f )(的值在几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成的曲边梯形的面积 2、在],[b a 上0)(≤x f ，其表示曲边梯形面积的负值 3、在],[b a 上，)(x f 既取得正值又取得负值 几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成平面图形位于x 轴上 方部分的面积减去x 轴下方部分的面积 定积分的性质： 性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即 ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 是常数） 性质三、如果将区间],[b a 分成两部分],[c a 和],[b c ，那么 ? ??+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(、 性质四、如果在],[b a 上，1)(=x f ，那么??-==b a b a a b dx dx x f )( 性质五、如果在],[b a 上，0)(≥x f ，那么?≥b a dx x f 0 )( 性质六、如果在],[b a 上，)()(x g x f ≤，那么 ? ?≤b a b a dx x g dx x f )()( 性质七、设M 及m ，分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则 m(b-a)?≤≤b a dx x f )(M(b-a) (a 性质八、积分中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，那么在积分区间],[b a 上至少有一点ξ，使得 ? -=b a a b f dx x f ) )(()(ξ 微积分基本公式 积分上限的函数： ?=Φx a dt t f x )()( （a ≤x ≤b ） 性质：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么积分上限的函数 ?=Φx a dt t f x )()(在],[b a 上 具有导数，且)()()(x f dt t f dx d x x a ==Φ?‘ 定理：在区间],[b a 上的连续函数)(x f 的原函数一定存在 牛顿——莱布尼茨公式 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么 ? -=b a a F b F dx x f ) ()()( 定积分的换元法 假设（1）函数)(x f 在区间],[b a 上连续； （2）函数)(t x ?=在区间],[βα上单值，且具有连续导数； （3）当t 在区间],[βα上变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且a =） （α?，b =）（β? ，则有定积分的换元公式??=b a dt t t f dx x f β α ??)()]([)(' 设)(x f 在区间],[a a -上连续，则 （1）如果函数)(x f 为奇函数，则?-=a a dx x f 0)( （2）如果函数)(x f 为偶函数，则??-=a a a dx x f dx x f 0)(2)( ??=20 20cos sin π π xdx xdx n n 定积分的分部积分法 设)(x u 、)(x v 在],[b a 上具有连续导数)('x u 、)('x v ，那么''')(vu uv uv +=，在等式的两边 分别求a 到b 的定积分得dx vu a b dx uv a b a b uv '')(+= ……定积分的分部积分公式 即??-=b a b a dx vu a b uv dx uv '' )( 或??-=b a b a vdu a b uv udv )( 无穷区间上的广义积分 定义：设函数)(x f 在区间],[+∞a 上连续，取b>a ，如果极限?+∞→b a b dx x f )(lim 存在，则称此极 限为函数)(x f 在区间],[+∞a 上的广义积分，记做?+∞ a dx x f )(即? ?+∞→+∞ =b a b a dx x f dx x f )(lim )( 无界函数的广义积分（见书279页） 定积分的应用（见书286页） 元素法 在极坐标系中的计算法 高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转）） 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin 六年级数学上册重点知识归纳 第一单元：位置 1、确定第几列、第几行的一般规则：竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。 2、用数对表示位置时，一般先表示第几列，再表示第几行。如数对（3，2）中的“3”表示第三列，“2”表示第二行。 3、物体平移前后顶点的位置变化： （1）图形向左或向右平移，改变了顶点所在的列，没有改变顶点所在的行，数对中的第一个数变了，第二个数没有变； （2）图形向上或下平移，改变了顶点所在的行，没有改变顶点所在的列，数对中的第一个数没有变，第二个数变了。 第二单元：分数乘法 1、分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 2、分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母。注意：能约分的可以先约分再乘。 注意：一个大于0的数乘大于1的数，积大于这个数。一个大于0的数乘小于1的数，积小于这个数。 3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同。 （1）在没有括号的算式里，同级运算从左往右进行计算； （2）在没有括号的算式里，既有乘除又有加减，要先算乘除后算加减； （3）有括号的要先算小括号里面的，后算中括号里面的，最后算括号外面的数。 4、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。 （1）乘法交换律：a×b=b ×a （2）乘法结合律：（a ×b）×c=a ×（b ×c） （3）乘法分配律：（a+b）×c=a ×c+b ×c 5、解决求一个数的几分之几是多少的问题，用乘法计算。 6、乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数是交换分子、分母的位置；求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数，再交换分子和分母和位置。注意：1的倒数是1，0没有倒数。 7、真分数的倒数一定都大于1；假分数的倒数一定都小于或等于1。 第三单元：分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算方法： ①分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 ②一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 ③甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3、一个数除以小于1（不等于0）的数，商大于被除数； 一个数除以1，商等于被除数； 一个数除以大于1的数，商小于被除数。 高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ） 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020 高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换 六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 例如：5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少？ 或表示：5 3的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 例如：5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？ （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） （2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘， 计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） 注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。高等数学知识点总结 (1)
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