SUMPRODUCT函数在质量分析中的运用
关键词：SUMPRODUCT函数质量分析运用
Excel有许多功能，但它最大的功能还是Excel中大量的函数可完成各种数据的分析，快捷、强大、直观，带给使用者方便。下面是本人在学习Excel过程中对SUMPRODUCT函数运用的一些肤浅的认识。
一、SUMPRODUCT函数的理解
SUMPRODUCT函数语法：SUMPRODUCT(array1,array2,array3, ...)，array1, array2, array3, ... 为 2 到 30 个数组，其相应元素需要进行相乘并求和。
SUMPRODUCT函数语法可以理解为：在给定的几组数组中，将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和。其中array就是数组的意思，array1就是数组1，array2就是数组2，SUMPRODUCT函数中最多可以容纳30个数组。
举例说明如下：
图一
在图一的工作表A5中输入=SUMPRODUCT(A2:B4, C2:D4)，结果为217。
“=SUMPRODUCT(A2:B4, C2:D4)”是两个数组（A2:B4, C2:D4）的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即A2*C2+B2*D2+A3*C3+B3*D3+A4*C4+B4*D4，也就是1*7 + 4*10 + 2*8 + 5*11 + 3*9 + 6*12。
二、SUMPRODUCT函数实例
图二
1、实例一
图二中要统计年龄在35岁及以上、工龄在15年及以上的人数，很快就能得出结果（5人），但如果是一个含有上百人甚至上千人的工作表，就不容易找了，
而且容易出错。
SUMPRODUCT函数能够解决这个问题。
在图二的工作表A8中输入=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*(C2:C7>=15))，结果为5。
(B2:B7>=35)是一个数组，返回的是6个逻辑值——TRUE；TRUE ；FALSE；TRUE；TRUE ；TRUE；TRUE。逻辑值TRUE与FALSE参与计算时分别为1和0。那么，(B2:B7>=35)表示的数组是{1；1；0；1；1；1}。
同理，(C2:C7>=15) 表示的数组是{1；1；0；1；1；1}。
“=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*(C2:C7>=15))”是二个数组
{1；1；0；1；1；1}
{1；1；0；1；1；1}
的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即1*1+1*1+0*0+1*1+1*1+1*1=5。
2、实例二
如果在举例一提出的问题中还增加一个条件“具有中一职称”， SUMPRODUCT 函数能够解决吗？回答是肯定的，因为SUMPRODUCT函数中最多可以容纳30个数组。
要计算图二中年龄在35岁及以上、工龄在15年及以上且具有中一职称的人数，在图二的工作表A9中输入=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*(C2:C7>=15)*(D2:D7="中一"))，结果为3。
“=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*(C2:C7>=15)*(D2:D7="中一"))”是三个数组{1；1；0；1；1；1}
{1；1；0；1；1；1}
{0；1；1；1；1；0}
的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即
1*1*0+1*1*1+0*0*1+1*1*1+1*1*1+1*1*0=3。
3、实例三
如果在举例一提出的问题中减少一个条件“工龄在15年及以上”，即要计算图二中年龄在35岁及以上的人数，SUMPRODUCT函数能够解决吗？回答也是肯定的。
有人也许会问：在SUMPRODUCT函数语法中说“array1, array2, array3, ... 为 2 到 30 个数组”，它的最少数组数不是2个吗？回答也是肯定的。
解决的办法其实很简单，把变形公式中的第二个数组变成“1”就行了。
要计算图二中年龄在35岁及以上的人数，在图二的工作表A10中输入=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*1)，结果为5。
“=SUMPRODUCT((B2:B7>=35)*1)”是数组{1；1；0；1；1；1}和“1”的乘积的和，即1*1+1*1+0*1+1*1+1*1+1*1=5。
当然，这里可以用COUNTIF函数来解决，即“=COUNTIF(B2:B7,">=35")”。
四、SUMPRODUCT函数基本格式
用SUMPRODUCT函数计算符合多条件的数据和，其基本格式有三种：
第一种：=SUMPRODUCT（条件A*1），条件只有一个。
其含义是：符合条件A的个数。
第二种：=SUMPRODUCT（区域1，区域2，……）
其含义是：区域1、区域2等区域里的数对应相乘，然后把乘积相加。
第三种：=SUMPRODUCT（条件1*条件2*……）
其含义是符合条件1、条件2等条件的个数。
第四种：=SUMPRODUCT（条件1*条件2*……*求和数据区域），每个区域（数组）包含的值的个数相同，区域（数组）数最多30个。
条件数组最多30个，前面的的区域是条件，最后一个区域是需要求和的区域，每个区域（数组）包含的值的个数相同。
第三种与第二种不同的是：第三种的区域连接用*连接，每个条件区域必须用（），第二种的区域连接用“，”连接。
以上所述仅限Excel2003版本，Excel2007-2013的版本虽然也适合，但Excel2007-2013的版本中可以用SUMIFS函数代替SUMPRODUCT函数。Excel2003版本中没有SUMIFS函数。
三、SUMPRODUCT函数在质量分析中的运用
图三是三个班级41人的成绩表，以语文学科为例统计班级人数、均分、合格人数与合格率、优质人数与优质率、班级名次、班级后N名均分、总分均分、总分分数段人数，SUMPRODUCT这一个函数就基本够用了。
图三
1、班级人数
图四
统计班级人数可用COUNTIF函数，即在O1单元格中输入
“=COUNTIF(B$2:B$42,N2)”，与“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*1)”结果一样。
2、单科（语文）均分
图五
P2单元格“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*C$2:C$42)/O2”中
“SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*C$2:C$42)”表示的是二个数组(B$2:B$42=N2)和C$2:C$42的所有元素对应对应相乘后的和。
“(B$2:B$42=N2)”是由FALSE和TRUE组成的包含41个逻辑值的数组。当“B$2:B$42”中的某个单元格=N2时为TRUE，否则为FALSE，由此组成了数组{1；0；0；0；1；……}。
“C$2:C$42”是由C列41个数字组成的数组，即{113；110；109；109；108；……}。
“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*C$2:C$42)”就是把二个数组{1；0；0；0；1；……}和{113；110；109；109；108；……}的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，最后除以班级人数（O2）。
计算单科均分可以用SUMIF函数，SUMIF函数是对于计算符合某一个条件的数据求和，即在P1单元格输入“=SUMIF(B$2:B$42,N2,C$2:C$42)/O2”。
也可按照此方法计算总分均分。
3、单科（语文）合格人数与合格率、总分分数段人数
图六
Q2单元格“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*(C$2:C$42>=72))”表示的是二个数
组(B$2:B$42=N2)和(C$2:C$42>=72) 的所有元素对应对应相乘后的和。
“(B$2:B$42=N2)”和“(C$2:C$42>=72)”是由FALSE和TRUE组成的分别包含41个逻辑值的数组。
这二个数组是{1；0；0；0；1；……}和{1；1；1；1；1；……}。
这二个数组实际上就是二个条件，如果提出的问题再复杂一点，可以增加公式中的数组，一个条件用一个数组，数组不超过30个就行了。
计算班级均分是单条件的数据求和，用SUMIF函数能够完成；计算语文合格人数是多条件的数据求和，用SUMIF函数就不能够完成了；要用SUMIF函数计算多条件的数据求和，必须借助辅助列来完成，而且使用起来比较复杂。
如果单科是120分的卷面，有时还可以分析得分率在90%以上即108分以上的情况，同理，用SUMPRODUCT函数可以计算>=96的人数。
按此方法可以计算班级总分某分数段人数。
4、单科（语文）优质人数与优质率
图七
S2单元格与Q2单元格的公式相似，不再赘述。
5、班级名次
RANK函数是用来计算名次的函数，某学生某学科（或总分）在班级的名次用RANK函数就很难实现了。
在图三的K2单元格输入
“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>J2)*1)+1”
（以下简称公式一）就计算出某学生总分在班级的排名。如果要计算某学生语文在班级的排名，只需把上面公式中的J替换为C。
“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)*1)”和统计班级人数的公式“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*1)”原理一样。
(B$2:B$42=N2)是条件，“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=N2)*1)”表示的是B列中等于N2（1班）的人数。
而(($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)）也是条件，只不过这个条件稍微复杂一点，“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)*1)”表示的是满足B列中等于N2（1班）并且在J列中>= J2的人数。
但是，用“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)*1)”计算排名，相同数据（分数），排名是相同的。后面将分析“班级后N名均分”，假如某班级倒数第N名不止一个，尤其在单科中某一个分数有多人是很普遍的，那么，相同数据（分数）排名相同的情况就会影响“班级后N名均分”的分析。
怎样解决这个问题？在图三的K2单元格输入下面的公式可以解决。
=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)*1)-SUMPRODUCT((($B$ 2:B2=B2)*($J$2:J2)=J2)*1)+1（（以下简称公式二））
公式前面部分是满足班级条件和J列数据（分数）大于等于J2的数（人数），
中间部分是$J$2:J2区域内满足班级条件和和数据（分数）等于J2的数（人数），前者减后者再加1就是最后要得到的结果。当公式向下复制时，$J$2:J2中J2发
生变化，因此，用上面公式在K列中得出的结果（名次）不会因为J列中数据（分数）相同而相同。
图八
图八中，K行是用公式一计算的班级名次，L行是用公式二计算的班级名次，M行是K行与L行对应相减的结果。于是，不难发现，3班有2个学生总分429分，用公式一计算的班级名次均为第5名，用公式二计算的班级名次分别为第5名、第6名。
还有一种方法可以让分数相同班级排名不同，不过相对复杂一点，并且嵌套了ROW函数。
在图三的K2单元格输入下面的公式
=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42*10000+ROW($2:$42))>=(J2*1 0000+ROW()))*1)
这个公式与“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*($J$2:$J$42)>=J2)*1)”原理相同，有四个地方的区别，增加了*10000、ROW($2:$42)、*10000、ROW()，说明如下：
①ROW($2:$42)是一个2至42的自然数数组，即{2；3；4；……42}
②ROW()返回单元格所在行号，ROW()在K2就返回2，ROW()在K3就返回3。
③$J$2:$J$42表示数组{492；499；506；……}，
ROW($2:$42)表示数组{2；3；4；……42}，
$J$2:$J$42+ ROW()表示数组{492+2；499+3；506+4；……}
④J2+ROW()是一个常数，公式一般与J2同在一行，那么J2+ROW()=J2+2
⑤($J$2:$J$42+ROW($2:$42))>=J2+ROW()表示的是一个新的逻辑数组，即{492+2；499+3；506+4；……}中大于等于 J2+2的数为TRUE，否则为FALSE，那么新的逻辑组是由0和1组成的数组{1；0；0；0；1；……}。
假如$J$2:$J$42数组中大于J2的数有5个，等于J2的数有3个，那么，($J$2:$J$42+ROW($2:$42) 数组大于J2的数就会有7（5+3-1）个，等于J2+ROW()的数只有一个。这就解决了同一分数排名相同的问题。
⑥$J$2:$J$42为什么要乘以10000，J2也乘以10000？
$J$2:$J$42+ ROW()表示数组{492+2；499+3；506+4；……}，假如$J$2:$J$42中某数为1，处在J42单元格，那么它在上面数组中的值为1+42；再假如$J$2:$J$42中某数为30，处在J11单元格，那么它在上面数组中的值为30+11；这样，$J$2:$J$42+ ROW()数组与原数组$J$2:$J$42大小顺序会发生变化，$J$2:$J$42乘以一个足够大的数再加上ROW()后组成的新数组与原数组$J$2:$J$42大小顺序才不会发生变化，其实，按图三的实际数据，乘以100就足够了。当然，$J$2:$J$42乘以10000，J2也必须要乘以10000。
⑦“=SUMPRODUCT((($B$2:$B$42=B2)*
($J$2:$J$42*10000+ROW($2:$42))>=(J2*10000+ROW()))*1)”中
($B$2:$B$42=B2)数组是{1；0；0；0；1；……}（等于B2的为1，否则为0），($J$2:$J$42*10000+ROW($2:$42))>=(J2*10000+ROW()))*1)也是由1和0组成的数组{1；0；0；0；1；……}，
二个数组对应相乘，然后然后把乘积相加。
⑧举一个简单的例子验证这个公式
图八
（$J$2:$J$10*10+ROW($2:$10))数组是{52;23;144;55;56;57;108;59;200} (J2*10+ROW())是52
($J$2:$J$10*10+ROW($2:$10))>=(J2*10+ROW())数组是
{TRUE;FALSE;TRUE;TRUE;TRUE;TRUE;TRUE;TRUE;TRUE}
($B$2:$B$10=B2) 数组是
{TRUE;TRUE;TRUE;FALSE;FALSE;TRUE;TRUE;TRUE;FALSE}
那么，K2单元格的公式是{1；1；1；0；0；1；1；1；0}和数组
{1；0；1；0；0；1；1；1；0}的乘积然后相加，
即1*1+1*0+1*1+0*0+0*0+1*1+1*1+1*1+0*0=5。
6、班级总分后（前）N名的单科均分
图九
在U2单元格中
“=SUMPRODUCT((B$2:B$42=$N2)*($K$2:$K$42>(O$2-5))*($C$2:$C$42))/5”
实际是三个数组的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，最后除以5（这里是计算班级后5名均分，如果计算后10或20名均分只需把5改为10或20）。
(B$2:B$42=$N2)是由41个逻辑值（TRUE与FALSE）组成的数组。等于$N2（1班），逻辑值为TRUE，否则逻辑值为FALSE，TRUE与FALSE分别以1和0参与计算。
($K$2:$K$42>(O$2-5) 中O$2是班级人数，(O$2-5)是班级倒数第6名。
($K$2:$K$42>(O$2-5)也是由41个逻辑值组成的数组。
($C$2:$C$42))是C列（语文）的41个成绩组成的数组。
按照计算班级总分后N名的单科均分的方法，也可以计算班级总分前N名的单科均分的均分。
四、学习收获
运用EXCEL在质量分析中进行数据分析，可以提高效率，事半功倍。但EXCEL 函数多，语法复杂，即使是专业人员或者是高手也很难得把所有函数的语法记住。条条道路通罗马，学以致用，用才是目的。因此，在实际工作中，学好用活部分或者几个公式，对于初学者来说不能不说是提高兴趣的一个好方法。
以上有误之处恳请斧正。
《EXCEL函数的使用》教学案例 一、教学目标分析 “EXCEL中函数的使用”是高等教育出版社出版的《计算机应用基础》第四章的内容。EXCEL中的函数很多，功能也非常强大，如能掌握一些常用的函数，将给日常的数据处理带来很大的便利。在本案例中，我将结合学生的生活和学习实际创设一个合适的问题情境，激发学生在活动过程中掌握应用信息技术解决问题的思想与方法，鼓励学生将所学的信息技术积极地应用到生产、生活乃至信息技术革新等各项实践活动中去，让学习成为他们自己的需要。在学习方式上，我强调学生在信息技术学习中的主体性，倡导主动探究学习。通过本节课的学习，应该达到以下目标： 1、知识与技能 通过任务的解决，掌握几个较常用函数（SUM、AVERAGE、MAX、MIN等）的名称、功能与用法，进一步理解单元格的引用。 2、过程与方法 通过任务的解决，学生们不仅学到本节课的知识，更重要的是体会到探索新知的过程和学习方法的培养（如自主探究、小组协作、查看帮助等），这对他们今后的学习将带来正迁移效应。 3、情感、态度与价值观 通过任务的解决，学生获得成就感，增强自信心，并加强学生间的友谊，增强自觉运用信息技术解决一些实际问题的意识。 二、教学内容分析 本节课的教学内容的实践性较强，主要是围绕着Excel函数来展开教学的，其主要内容是Excel函数的名称、功能、用法。 教学的重点放在： ①Excel函数的功能； ②Excel函数的用法 教学的难点是： ①函数的单元格区域选择 ②Excel函数在实践中的运用与拓展；
三、学生学习状态分析 在本节课中，学生应采取自主学习和互相协作学习相结合的方法，这样既可以提高学习的效果，也有利于培养学生的合作精神和人际交往能力。Excel作为一种在工作生活中应用十分普遍的软件，操作性比较强，如果能够结合有趣的案例，学生在学习的过程中，一定会表现出浓厚的学习兴趣，学习的积极性比较高，课堂气氛也会比较好。 四、教学过程 教师出示一张学校演讲比赛的得分表，提出任务：谁得了冠军？ 师：大家谈谈处理策略。 学生们利用已有的数学、EXCEL知识与平常的处理经验，得出：求出每人的平均分或总分，谁得分最高谁就是冠军。处理方法有自定义公式或自动求和法。大家统一意见后，开始着手工作。学生独自实践操作解决问题，也可以互相交流，协作讨论各自的方法。教师巡视，并进行个别指导（教导在这一过程中引导学生掌握求和、求平均数函数）。 生：王静同学得了冠军！ 设计意图：这一环节目的是复习巩固并深化上一节课的内容：单元格引用、自定义公式、等内容的应用，同时引入自动求和、求平均函数，分析、比较它们之间的优劣及其在统计学上的意义。学生通过分析比较不同的方法，对和种函数的利用取长补短，丰富了处理问题的途径，增长了处理问题的信心，培养了发散思维，并内化为自己解决问题的能力。一波刚平，一波又起。 生：老师，在实际处理中，是不是要去掉每位选手得分中的最高分和最低分？ 师：提得很好。谁能说一说，我们为什么要去掉最高分和最低分呢？ 生：使人为等各方面误差因素尽量减少到最低，让得分更合理，符合统计学意义。 设计意图：整合数学知识，使学生知其然更知其所以然，从而引出新的任务，激起学生控索的欲望。 师：怎么办？大家能否利用已有的知识进行解决？ 设计意图：充分体现”以学生为主体“的教学思想，放手让学生们自己去尝试，培养大家自主探索与实践的能力和不怕困难的精神。 学生们个个摩拳擦掌，想一试高低。但没过多久，他们发现自己的方法很麻烦，有点灰心。为什么呢？原以为用一下公式就可以解决，但遇到这个问题却不灵了。因为每位选手的最低分和最高分所在的单元格不在同一列（没有规律），所以不能利用填充的办法来解决，要一个一个剔去。学生处于无奈和焦噪状态，这时教师适当点拔。
初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
初中数学《二次函数》的教学案例分析及反思 一、教材研读与剖析 １．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：第一，理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；第二，会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；第三，会用待定系数法求二次函数的解析式；第四，从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计 （１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值，激发其学习的热情. （３）利用图像激发兴趣. 学习性质最好的方法就是根据图像来探索. 例如，教师可以给出以下的问题，让学生进行自由探索：填空：根据下边已画好抛物线ｙ＝－２ｘ２的顶点坐标是＿＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿，在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而减小.当ｘ＝＿＿＿＿＿时，函数ｙ的最大值是＿＿＿＿. 当ｘ＿＿＿＿０时，ｙ＜０. 教师让学生根据问题进行探究，并归纳出：二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）的图像和性质，顶点坐标与对称轴，位置与开口方向，增减性与最值. （４）小组合作探索二次函数与一元二次方程. 教师向学生展示二次函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ，ｙ＝
excel：sumproduct的几种用法 一、多条件统计个数 如上图所示，=sumproduct((A2:A20="一3")*(C2:C20>=60))，此公式的任务就是求出一3班的及格人数，这里有两个条件：“一3”和“>=60”,符合这两个条件的数据结果显示为3个，也就是说我们在一组凌乱的多维数据里不需要再去排序，就可以得知这个班的及格人数，甚至是优秀人数。 也可以再增加加条件，条件不限定多少个：=sumproduct((条件1")*(条件2)*(条件n)) 二、多条件求和
如上图，在指定的范围内，求出符合条件一和条件二的数据的总和：=sumproduct((A1:A9="女")*(B1:B9)*C1:C9) 这个公式表示求出女生大于12的数据的总和。 三、多条件排名次
如上图所示，=sumproduct((A$2:A$20=A2)*(B$2:B$20<>B2)*(C$2:C$20>C2))+1 表示在凌乱的班级成绩单中，不需要再分班排序，不再进行“rank”排名次，就可以直接行该学生在班里的排名， 条件一表示该学生所在的“一3”班中的学生人数， 条件二表示除了该学生本人，还有多少个学生， 条件三表示比该学生分数高的人数 这样，三个条件重合之后，筛选得知在一3班成绩在该生前面的为数有多少人， +1是表示包含该生在内在全班的排名了。比例成绩比他高的有3个人，数到他时就是第4名，加1就是表示他排第4名，不加1就表示比他成绩高或等于的，有3个人。 条件的组合让我们避免有同分数出现而造成的麻烦，比如有两个相同分数都是第一名，那就有两个排名第一，而第没有第二名，第三名依旧是第三名， “>”表示排名从大到小，从高到低，也可以改为“<”，那就表示排名从小到大，从低到高。 如果是想全级排名，那更好办，把条件一去掉就可以了
深圳市初中数学锐角三角函数的解析含答案 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是() A．4 B．83C．6 D．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB， 由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3 ∴光盘的直径为3 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）
A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心， 在Rt△ABC中，sin∠D＝AB AD ＝ 1 2 ， ∴∠D＝30°，∠A＝60°， ∴sinA＝ 3 2 ，故C正确；cosD＝ 3 2 ，故D错误， 故选：D． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】
“函数的单调性”案例分析 连江一中数学组李锋 数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析： 一、案例课题：函数的单调性（第一课时） 二、实施过程（注：课堂实录已经简化） 1．问题引入 师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x); x [0,24] 师：“在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?” （很快得出正确答案。） 师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。 2．定义探究 师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。 提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？ 生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。 师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确） 生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。
Excel SUMPRODUCT函数应用 SUMPRODUCT是一个很特别的公式，表面的作用跟我们平常用的这函数的目的不大一样。特别是在2003版或以前的Excel中，还没有SUMIFS，COUNTIFS的功能（就是多条件的SUMIF和COUNTIF），就是在2007版以后，多了SUMIFS，COUNTIFS这两个函数，还是有学习这个函数的意义的。典型的脑子转个弯，就可以达到不同效果。 用途： 给定的几组数组中，将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和。比如说第一个数组是{1,2,3}，第二个数组是{6,7,8}，SUMPRODUCT会把两个数组相对应的值相乘，就是 1*6，2*7，3*8，然后把结果相加，就是 1*6 + 2*7 + 3*8。 语法： SUMPRODUCT(数组1,数组2,数组3,...) 数组1/数组2/数组3等是需要进行相乘并求和的数组，一般是单元格范围的索引。 需要注意的是所有数组内的元素数目必须相同，如果是单元格范围，每个单元格 范围的大小必须相同。 例子： A B C D 1 1 5 9 2 2 2 6 10 4 3 3 7 a 5 4 4 8 b 7 公式结果解释 =SUMPRODUCT(A1:A4,B1:B4) 70 两个数组的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即 1*5 + 2*6 + 3*7 + 4*8。 =SUMPRODUCT(A1:A4,C1:C4) 29 非数值型会被视同为 0 处理，所以是 1*9 + 2*10 + 3*0 + 4*0。 =SUMPRODUCT(A1:A4,B1:B4,C1:C4) 165 三个数组的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即 1*5*9 + 2*6*10 + 3*7*0 + 4*8*0。（把非数值视同 0 ）
《锐角三角函数》题型分析 【经典范例引路】 例1（考察基本的三角函数关系）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）求tanA ?tanB 的值。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 解题关键：熟记锐角三角函数的基本概念及公式： 特别要熟记的内容：当∠A+∠B ＝900时，（1）sinA ＝cosB ＝cos （900-A ）； （2）sin 2A+ sin 2B ＝1或sin 2A+ cos 2A ＝1；cos 2 A+ cos 2B ＝1 （3）tanA ?tanB=1 例2（考察特殊角的计算）计算：020045sin 30cot 60sin +? 解题关键：扎实的实数计算能力是关键，尤其是分数及含有根号的无理数计算化简 例3（考察锐角三角函数值的转换）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5 tan = B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 5 2 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4 cos = α，则ααtan sin +＝ 。 解题关键：已知任意一个锐角三角函数值都可以转换出其它两个锐角三角函数值 例4（考察锐角三角函数的增减性及二次根式、绝对值的化简问题） 已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3 cos )cos (cos 2-+- --＝ 。 解题关键：（1）理解锐角三角函数的增减性:sinA 和tanA 的值随∠A 的增大而增大，即角度越大，sinA 和tanA 的值就越大，而cosA 的值随∠A 的增大而减小（反之也成立）。 （2）记得公式==a a 2
函数单调性的教学案例 西安市培华职业中专王买霞 【学生】职一某班. 【教学环境】电脑教室，每生一台机，教师机可以控制学生机，例如观察某一台学生机学生的操作，让某一学生机学生观看教师机的操作，让所有学生观看教师机的操作，等等。 【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用，也就是认为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。 数学课堂生态化研究，强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围，而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。数学课堂生态化研究，注重在教学过程中，教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。 多媒体信息具有直观性强的特点，对学生形成多感官刺激，能引起学生的强烈兴趣和注意。利用多媒体的交互性，学生获得了对信息的完全控制，能激发学生的求知欲、创造欲。所以，以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。 【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下，我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境，指导学生自主学习，让学生更注重知识的发生过程，为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。为了深入学习函数单调性，我利用电脑辅助，创设问题情境，激发学习兴趣，让学生在充实背景下分析问题，思考问题，从而发现规律，抓住问题的本质。 本节课的教学目的是： (1)要求学生掌握函数单调性的定义，并激发学生思考函数单调性的判断方法。 (2)渗透数形结合思想，了解数形结合方法。 【教学过程】 创设情境引入新课 师：上节课，我们学习了函数的三种表示法，分别为： (师语音拉长，师生一块儿回答) 生：列表法、公式法、图像法。 师：它们的区别是什么？生：列表法就是用表格来表示函数的方法；公式法是用函数解析式来表示函数的方法；图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。 师：这三者之间又有密切的联系，它们之间可以相互转化。我们要研究一个函数，可
初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【解析】 分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A（1，1）， ∴OA=， ∴BO=， ∵直线AC的解析式为y=x， ∴直线BD的解析式为y=-x， ∵OB=， ∴点B的坐标为（?，）， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴， 解得，k=-3， 故选C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到
达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重
函数的单调性教学案例-中学数学论文 函数的单调性教学案例 浙江浦江县第三中学潘娟春 教学目标： （1）理解函数的单调性的概念； （2）能判别或证明一些简单函数的单调性； （3）学会理性地认识与描述生活中的增长递减等现象，体会数形结合思想。重难点：用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域。教学过程： 一、认识函数的一种性质 材料：观察某市一天24小时的气温变化图，回答下列问题： 问题1.说出气温在哪些时段内是逐步升高的？哪些时段内是下降的？ 问题2.当t1=8时，f(t1)= ；t2=10时，f(t2)= 。对于自变量810，对应的函数值有什么关系？ 问题3.请你用自己的语言描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征。 问题4.若用x表示时间，y用表示温度，如何表述随着时间x增大，温度y逐渐增大？
（学生思考回答，学生代表回答、其他学生补充、教师梳理。） 二、函数的单调性概念的形成 通过讨论，结合图给出在区间上单调性的定义： （一）单调增函数 一般地，设函数y=f（x）的定义域为A。区间I?哿A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）那么就说y=f（x）在区间I上是单调增函数，I称为y= f（x）的单调增区间。 问题5.你能找出气温图中的单调增区间吗？ 问题6.类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的定义吗？ （二）单调减函数 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间．问题7.你能找出气温图中的单调减区间吗？ （三）函数的单调性与单调区间。 如果函数y=f（x）在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间。（学生独立思考，学生代表回答其他学生补充，师生共同给出） 下面请辨析下列三个问题。 （1）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）是R上的增函数。（） （2）函数f（x）是R上的增函数，则必有f（2）＞f（1）．（） （3）定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）在R上不
SUMPRODUCT多条件求和时，求和列出现文本怎么办？ 前面讲了SUMPRODUCT函数是多条件统计和求和的万能函数，常用的方法是 多条件统计：SUMPRODCUT((条件1)*(条件2)*(条件3)….*(条件n)) 多条件求和：SUMPRODCUT((条件1)*(条件2)*(条件3)….*(条件n)*(求和区域)) 通常情况下求和区域都是数值，公式本身没有问题，但是当求和区域出现文本时，错误就发生了，下面请看： 当对不同项目的上下船体重量求和时，由于重量一列中出现了文本，求和的结果全部为错误值。 为什么会出现错误呢？我们点击公式编辑栏fx,看一下具体计算过程：
发现有文本出现的地方，出现了#VALUE!,所以SUMPRODCUT在求和时出现了错误。 我们再回到SUMPRODUCT的原始用法 SUMPRODUCT(数组1,数组2,数组3,数组n) 数组参数必须具有相同的维数，否则，函数SUMPRODUCT 将返回错误值#VALUE!。 函数SUMPRODUCT 将非数值型的数组元素作为0 处理。 注意上面一句话，SUMPRODUCT将非数值型数组元素作为0处理，这也是多条件求或统计时不能直接用逗号隔开的原因，因为条件不管为真还是假时，都会作为0处理，自然结果为零，因此我们把逗号改为乘号，将逻辑值强制转换成1或0，从而实现我们多条件统计和求和的目的。 那么现在我们要将这两种方法结合起来了,条件用乘号实现强制将逻辑转化成数值，后面有逗号跟求和区域，实现把文本转换为0的目的。 SUMPRODUCT((条件1)*(条件2)*(条件3)….*(条件n),(求和区域))
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离； （2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可； （2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB = ，所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. （2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =，3 cos 1595 AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM ∠=， 所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC = +=+==-=，.
《指数函数》教学案例 一、相关背景介绍 本课选自高中课程标准人教A 版数学必修一指数函数，它是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。 本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。 案例描述: 在我讲指数函数这一课时，首先提了这么几个问题 问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系. 问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系. 然后让学生活动 1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系? 2.观察得到的函数2x y =,12x y ??= ???与函数2 y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12x y ??= ??? 与x y a =的相同特点. 然后建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上） [师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系? [生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(2 2=)个细胞,分裂三次得到8(3 2=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =. [生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的 14(21 2 =),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ?? = ??? . （学生说完后在屏幕上展示这两个式子） [师]:这两个关系式能否都构成函数呢? [生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数. [师]:（接着把2 y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( ) A ．60海里 B ．45海里 C ．3 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP 的长，求出答案． 【详解】 解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°， 故AB=2AP=60（海里）， 则此时轮船所在位置B 处与灯塔P 之间的距离为：22303AB AP -= 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键． 2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知：32 2 AE = ．
sin∠AOD= 3 2 ，∴∠AOD=60°； sin∠AOE= 2 2 ，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形. 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3， 所以BD=BA=2x，即可得33）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC= (32) 32 CD x AC + ==， 故选A. 4．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE ∠的值是（）
任意角的三角函数 陈正泉 一、教学内容解析 这是一堂关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键． 二、教学目标解析1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定 义： （1）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数； （2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数； （3）知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题． 三、教学问题诊断分析1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系． 2．学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数. 四、教学支持条件分析
SUMPRODUCT函数可以方便地计算工作表内多列中对应值相乘后的和，其语法为：SUMPRODUCT(array1,array2,array3, …) 其中，Array1, array2, array3, … 为 2 到30 个数组，其相应元素需要进行相乘并求和。数组参数必须具有相同的维数，否则，函数SUMPRODUCT 将返回错误值#V ALUE!。该函数将非数值型的数组元素作为0 处理。 用法一：两个数组的所有元素对应相乘 看一个例子就容易明白SUMPRODUCT的用法： A B C D （列号） 1 数组1 数组1 数组 2 数组2 （第1行） 2 1 2 10 20 （第2行） 3 3 4 30 40 （第3行） 4 5 6 50 60 （第4行） 公式：=SUMPRODUCT(A2:B4, C2:D4) 说明：两个数组的所有元素对应相乘，然后把乘积相加，即1*10 + 2*20 + 3*30 + 4*40 + 5*50 + 6*60(结果为910) 用法二：多条件求和+求个数 1、使用SUMPRODUCT进行多条件计数语法：＝SUMPRODUCT((条件1)*(条件2)*(条件3) * …(条件n)) 作用：统计同时满足条件1、条件2到条件n的记录的个数。实例：=SUMPRODUCT((A2:A10=" 男")*(B2:B10="中级职称"))公式解释：统计性别为男性且职称为中级职称的职工的人数 2、使用SUMPRODUCT进行多条件求和语法：＝SUMPRODUCT((条件1)*(条件2)* (条件3) *…(条件n)*某区域) 作用：汇总同时满足条件1、条件2到条件n的记录指定区域的汇总金额。实例：=SUMPRODUCT((A2:A10="男")*(B2:B10="中级职称")*C2:C10) 公式解释：统计性别为男性且职称为中级职称的职工的工资总和（假设C列为工资） SUMPRODUCT(条件1*条件2*条件3...条件N)利用此函数进行多条件计数时，* ：满足所有条件；SUMPRODUCT(条件1+条件2+条件3...+条件N) + ：满足任一条件 我找到了一个比较详细的解释=SUMPRODUCT(($B2:$B26=F1)*($C2:$C26>=20)*($C2:$C26<30)) =SUMPRODUCT((G1:G3="男")*(E1:E3<=60)) 这个公式的意思是统计，G1－G3是男的，同时E1－E3数值小于等于60的人数。 首先这是一个数组公式，要按Ctrl+Shift+Enter结束。 然后看他的计算过程： 假如G1＝男，G2，G3都为女，然后E1＝65，E2＝60，E3＝80。 这时候公式变为 =SUMPRODUCT((TRUE，FALSE，FALSE)*(TRUE，FALSE，FALSE)) 这不知道能理解不，因为G1=男，所以第一个值为TRUE。第二个不为男，值就为FALSE。 接下来，TRUE和FALSE分别代表1和0。所以公式变为： =SUMPRODUCT((1，0，0)*(1，0，0)) 然后接下来就是SUMPRODUCT的计算过程了
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角，