技法强化训练(二) 数形结合思想
(对应学生用书第160页)
题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1.方程|x 2
-2x |=a 2
+1(a >0)的解的个数是( )
【导学号:68334011】
A .1
B .2
C .3
D .4
B [∵a >0,∴a 2
+1>1. 而y =|x 2
-2x |的图象如图,
∴y =|x 2
-2x |的图象与y =a 2
+1的图象总有2个交点.]
2.已知函数f (x )=|log 2|x ||-? ??
??12x
,则下列结论正确的是( )
A .f (x )有三个零点,且所有零点之积大于-1
B .f (x )有三个零点,且所有零点之积小于-1
C .f (x )有四个零点,且所有零点之积大于1
D .f (x )有四个零点,且所有零点之积小于1
A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )=|log 2|x ||与f 2(x )=
? ??
??12x 的图象,如图所示,由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点,设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1,x 2,x 3,因为
f ? ????-12<0,f ? ??
??-14
>0,所以-12<x 1<-14,同理12
<x 2<
1,1<x 3<2,即-1<x 1x 2x 3<-1
8
,即所有零点之积大于-1.]
3.设函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3
,
则函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在????
??-12,52上的所有零点的和为( ) A .7 B .6 C .3 D .2
A [函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在????
??-12,52上的零点为函数h (x )=|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标.因为f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),所以函数f (x )为关于x =1
对称的偶函数,又因为当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3
,则在平面直角坐标系内画出函数h (x )
=|cos(πx )|与函数f (x )在????
??-12,52内的图象,如图所示,
由图易得两函数图象共有7个交点,不妨设从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,则由图易得x 1+x 2=0,x 3+x 5=2,x 4=1,x 6+x 7=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7=7,
即函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在????
??-12,52上的零点的和为7,故选A.] 4.若函数f (x )=a +sin x 在[π,2π]上有且只有一个零点,则实数a =________.
【导学号:68334012】
1 [函数f (x )=a +sin x 在[π,2π]上有且只有一个零点,即方程a +sin x =0在[π,2π]上只有一解,即函数y =-a 与y =sin x ,x ∈[π,2π]的图象只有一个交点,由图象可得a =1.]
5.已知函数f (x )=?
????
x 3
,x ≤a ,x 2
,x >a ,若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a
的取值范围是________.
(-∞,0)∪(1,+∞) [函数g (x )有两个零点,即方程
f (x )-b =0有两个不等实根,则函数y =f (x )和y =b 的图象有两个公共点.
①若a <0,则当x ≤a 时,f (x )=x 3
,函数单调递增;当x >a 时,f (x )=x 2
,函数先单调递减后单调递增,f (x )的图象如图(1)实线部分所示,其与直线y =b 可能有两个公共点.
②若0≤a ≤1,则a 3
≤a 2
,函数f (x )在R 上单调递增,f (x )的图象如图(2)实线部分所示,其与直线y =b 至多有一个公共点.
③若a >1,则a 3
>a 2,函数f (x )在R 上不单调,f (x )的图象如图(3)实线部分所示,其与直线y =b 可能有两个公共点. 综上,a <0或a >1.]
题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围
6.若不等式log a x >sin 2x (a >0,a ≠1)对任意x ∈? ????0,π4都成立,则a 的取值范围为( )
A.?
??
??0,π4
B.?
??
??π4,1
C.? ??
??π4,π2 D .(0,1)
A [记y 1=log a x (a >0,a ≠1),y 2=sin 2x ,原不等式即为y 1>y 2,由题意作出两个函数的图象,如图所示,知当y 1=log a x 的图象过点A ? ??
??π4,1时,a =π4,所以当π4<a <1时,对任意x
∈?
????0,π4都有y 1>y 2.]
7.函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数,且f (1)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,当x >0时,f (x )+xf ′(x )>1
x
,则不等式xf (x )>1+ln|x |的解集是( )
【导学号:68334013】
A .(-∞,-1)∪(1,+∞)
B .(-∞,-1)
C .(1,+∞)
D .(-1,1)
A [令g (x )=xf (x )-ln|x |,则g (x )是偶函数, 且当x >0时,g ′(x )=f (x )+xf ′(x )-1
x
>0,
∴g (x )在(0,+∞)上单调递增.
故不等式xf (x )>1+ln|x |?g (|x |)>g (1),
∴|x |>1,解得x >1或x <-1.故选A.]
8.若不等式|x -2a |≥1
2x +a -1对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.
? ????-∞,12 [作出y =|x -2a |和y =12x +a -1的简图,依题意知应有2a ≤2-2a ,故a ≤1
2
.]
9.已知函数f (x )=????
?
|lg x |,0<x ≤10,-1
2x +6,x >10.若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),
则abc 的取值范围是________. (10,12) [作出f (x )的大致图象.
由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c , 则-lg a =lg b =-1
2c +6.
∴lg a +lg b =0,∴ab =1, ∴abc =c .
由图知10<c <12,∴abc ∈(10,12).]
10.(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f (x )=?????
2cos π2x ,|x |≤1,x 2-1,|x |>1,
若|f (x )+f (x +l )-2|+|f (x )-f (x +l )|≥2(l >0)对任意实数x 都成立,则l 的最小值为________. 【导学号:68334014】
23 [作出函数f (x )的图象如图,要使原不等式对任意实数x 都成立,由不等式|a |+|b |≥|a ±b |得|f (x )+f (x +l )-2|+|f (x )-f (x +l )|≥|[f (x )+f (x +l )-2]±[f (x )
-f (x +l )]|≥2,化简得???
?
?
|2f x -2|≥2,
|2f
x +l -2|≥2,
即???
??
f x ,
f
x +l
对任意实数恒成
立,当x =-3时,f (-3+l )≥2,l >0,则l -3≥3,l ≥23,故l 的最小值是2 3.]
题组3 利用数形结合解决解析几何问题
11.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2
=1和两点A (-m,0),B (m,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为( ) A .7 B .6 C .5
D .4
B [根据题意,画出示意图,如图所示,
则圆心C 的坐标为(3,4),半径r =1,且|AB |=2m ,因为∠APB =90°,连接OP ,易知|OP |=12|AB |=m .要求m 的最大值,即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为|OC |=32+42
=5,所以|OP |max =|OC |+r =6,即m 的最大值为6.]
12.(2017·杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1的右顶点为A ,O 为坐标
原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ,Q ,若∠PAQ =π3且OQ →=5OP →
,
则双曲线C 的离心率为( )
【导学号:68334015】
A.
213 B .2
C.72
D .3
A [由图知△APQ 是等边三角形,设PQ 的中点为H ,圆的半径为r ,则AH ⊥PQ ,AH =
32
r ,PQ =r ,
由题易知,点P ,Q 在原点O 的同侧,因为OQ →=5OP →
,所以OP =14
r ,PH =
12r ,即OH =14r +12r =34r ,所以tan ∠HOA =AH OH =233,即b a =233,b 2
a 2=c 2
-a 2
a 2=43
,从而得
e =c a =213
,故选A.] 13.已知P 是直线l :3x +4y +8=0上的动点,PA ,PB 是圆x 2
+y 2
-2x -2y +1=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形PACB 面积的最小值为________. 22 [从运动的观点看问题,当动点P 沿直线3x +4y +8=0
向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC 的面积S Rt
△PAC
=12|PA |·|AC |=1
2
|PA |越来越大,从而S 四边形PACB 也越来越大;当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形PACB 变
小,显然,当点P 到达一个最特殊的位置,即CP 垂直于直线l 时,S 四边形PACB 应有唯一的最小值,
此时|PC |=|3×1+4×1+8|
32+42
=3, 从而|PA |=|PC |2
-|AC |2
=2 2.
所以(S 四边形PACB )min =2×1
2
×|PA |×|AC |=2 2.]
14.已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2
+y 2
-6x +5=0相交于不同的两点A ,B . (1)求圆C 1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;
(3)是否存在实数k ,使得直线L :y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【导学号:68334016】
[解] (1)圆C 1的方程x 2
+y 2
-6x +5=0可化为(x -3)2
+y 2
=4,所以圆心坐标为(3,0). (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1≠x 2),
M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22
,y 0=y 1+y 2
2
.
由题意可知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y =tx . 将上述方程代入圆C 1的方程,化简得(1+t 2
)x 2
-6x +5=0.
5分
由题意,可得Δ=36-20(1+t 2
)>0(*),x 1+x 2=61+t 2,所以x 0=31+t 2,代入直线l 的
方程,得y 0=3t
1+t 2.
6分
因为x 20
+y 20
=
9+t
22+
9t 2
+t
22
=
+t 2
+t
22
=
91+t 2=3x 0,所以?
?
???x 0-322+y 20=94. 由(*)解得t 2<45,又t 2
≥0,所以53
<x 0≤3.
所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为
? ????x -322+y 2=94? ??
??53<x ≤3.
8分
(3)由(2)知,曲线C 是在区间? ??
??53,3上的一段圆弧.如
图,
D ? ??
??
53,
253,
E 53
,-
25
3
,F (3,0),直线L 过定点G (4,0).11分 联立直线L 的方程与曲线C 的方程,消去y 整理得(1+k 2
)x 2
-(3+8k 2
)x +16k 2
=0. 令判别式Δ=0,解得k =±34,由求根公式解得交点的横坐标为x H ,I =125∈? ??
??
53,3.
由图可知:要使直线L 与曲线C 只有一个交点,则k ∈[k DG ,k EG ]∪{k GH ,k GI },即k ∈??????-257
,257∪
???
???-34,34.
15分
高考数学做选择题的技巧及例题 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法.运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 12527. 125 36. 125 54. 125 81. D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验. 12527)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A. 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +92 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则 |AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A. 例4、已知 log (2) a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2) a y ax =-在[0,1]上是减函数. ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α( 24π απ < <- ),则α∈( ) A .(2π- ,4π - ) B .(4π- ,0) C .(0,4π ) D .(4π,2π) 解析:因 24 π απ < <- ,取α=-6π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B. 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( )
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组: 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A?B,那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1,p=log a (a3+a+1),q=log a (a2+a+1),则p、q的大小关系是 _____。 A. p=q B. p 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法: 从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b 2a <log 2(a +b ) B.b 2a <log 2(a +b )<a +1 b C.a +1b <log 2(a +b )<b 2 a D.log 2(a +b )<a +1b <b 2 a 例2.设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈,则()f n =( ) A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--,对照选项,只有D 成立。 思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( ) A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2 (1)y x =-,则(2)y f x =变为2 (21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27.12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(333223=?+??C C 故选A 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(24παπ<<- ),则α∈( ) A .(2π-,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 上海高考数学大题解题技巧 一、立体几何题 1.证明线面位置关系,一般不需要去建系,更简单; 2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时,最好要建系; 3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。 二、三角函数题 注意归一公式、二倍角公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时,套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时,很容易因为粗心,导致错误!),正弦定理,余弦定理的应用。 三、函数(极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题) 1.先求函数的定义域,单调区间一般不能并,用“和”或“,”隔开(知函数求单调区间,不带等号;知单调性,求参数范围,带等号); 2.注意最后一问有应用前面结论的意识; 3.注意分论讨论的思想; 4.不等式问题有构造函数的意识; 5.恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法); 四、圆锥曲线问题 1.注意求轨迹方程时,从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想,椭圆考得最多,方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法; 2.注意直线的设法(法1分有斜率,没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时),知道弦中点时,往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等; 3.战术上整体思路要保10分,争12分,想16分。 五、数列题 1.证明一个数列是等差(等比)数列时,最后下结论时要写上以谁为首项,谁为公差(公比)的等差(等比)数列; 2.最后一问证明不等式成立时,如果一端是常数,另一端是含有n的式子时,一般考虑用数列的单调性(或者放缩法);如果两端都是含n的式子,一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时,当n=k+1时,一定利用上n=k时的假设,否则不正确。利用上假设后,如何把当前的式子转化到目标式子,一般进行适当的放缩,这一点是有难度的。简洁的方法是,用当前的式子减去目标式子,看符号,得到目标式子,下结论时一定写上综上:由①②得证; 3.如果是新定义型,一定要严格的套定义做题(仔细理解新定义)。 4.战术上整体思路要保10分,争12分,想16分。 第3讲 三角恒等变换与解三角形(大题) 热点一 三角形基本量的求解 求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正弦、余弦定理,结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向; 第二步:定工具,即根据条件和所求,合理选择转化的工具,实施边角之间的互化; 第三步:求结果. 例1 (2019·湖北、山东部分重点中学联考)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对 的边,已知a cos A =R ,其中R 为△ABC 外接圆的半径,a 2+c 2-b 2=433 S ,其中S 为△ABC 的面积. (1)求sin C ; (2)若a -b =2-3,求△ABC 的周长. 解 (1)由正弦定理得a cos A =a 2sin A , ∴sin 2A =1,又0<2A <π, ∴2A =π2,则A =π4 . 又a 2+c 2-b 2=433·12 ac sin B , 由余弦定理可得2ac cos B = 233 ac sin B , ∴tan B =3, 又0 又sin C = 2+64, ∴c =22 2·2+64=2+62, ∴a +b +c =322+3+62 . 跟踪演练1 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a cos A =b cos C +c cos B . (1)求A ; (2)若a =7,b =8,求c . 解 (1)方法一 由余弦定理cos B =c 2+a 2-b 2 2ac , cos C =a 2+b 2-c 2 2ab , 得2a cos A =b cos C +c cos B =a , ∴cos A =12 . ∵0 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为,经过3次射击,此人至少有2次 击中目标的概率为 ( ) 解析:某人每次射中的概率为,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于( ) 高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高。数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完,要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基本策略。 1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有2次击中目标的概率为 ( ) 125 27 . 12536.12554.12581.D C B A 解析:某人每次射中的概率为0.6,3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点,经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ,若|AB|=5,则|AF 1|+|BF 1|等于 ( ) A .11 B .10 C .9 D .16 解析:由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入,得|AF 1|+|BF 1|=11,故选A 。 例4、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞) 解析:∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数,∵ log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且2-a>0,∴1tan α>cot α(2 4 π απ < <-),则α∈( ) A .(2π- ,4π-) B .(4π-,0) C .(0,4π) D .(4π,2 π) 解析:因24παπ<<-,取α=-6 π 代入sin α>tan α>cot α,满足条件式,则排除A 、C 、D ,故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48,前2n 项和为60,则它的前3n 项和为( ) A .-24 B .84 C .72 D .36 解析:结论中不含n ,故本题结论的正确性与n 取值无关,可对n 取特殊值,如n=1,此时a 1=48,a 2=S 2-S 1=12,a 3=a 1+2d= -24,所以前3n 项和为36,故选D 。 (2)特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 高考数学大题题型解答技巧 六月,有一份期待,年轻绘就畅想的星海,思想的热血随考卷涌动,灵魂的脉搏应分 数澎湃,扶犁黑土地上耕耘,总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧,希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握 2010届高三数学复习专题讲座 数列复习建议 江苏省睢宁高级中学北校袁保金 数列是高中数学的重点内容之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特点.而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性,所以数列一直是高考考查的重点和热点.纵观江苏省近几年高考数学试卷,数列都占有相当重要的地位,一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现,填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容,对基本的计算技能要求比较高,具有“小、巧、活、新”的特点,解答题属于中高档难度的题目,甚至是压轴题.具有综合性强、变化多、难度较大特点,重点以等差数列和等比数列内容为主,考查数列内在的本质的知识和推理能力,运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 一、考纲解读 2、考纲解读(1)考纲中对数列的有关概念要求为A级,也就是说只要了解数列概念的基本含义,并能解决相关的简单问题.(2)等差数列和等比数列要求都为C级,2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点,等差数列、等比数列占了其中两个,说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要.具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识,能够 系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现.(3)由于数列这一章含有两个C级要求的知识点,可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题,也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题,以及数列应用问题,着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题,解决实际问题的能力. 二、考题启示1、考题分布 自2004年江苏省单独命题以来,对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示(1)数列在高考试卷中占的比重较大,分值约为13%左右,呈一大一小趋势,对等差数列和等比数列都有考查,纵观近几年江苏省高考试题,我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别,具有十分明显的特色,对数列的考查不与其他知识综合,同时也回避了递推数列和不等式,主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识,形成江苏卷的一大特色.因此复习中在递推数列方面,特别是利用递推数列求通项,要大胆取舍,不要深挖.(2)客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质,突出了“小、巧、活、新”的特点,属容易题或中档题.主观题年年都考,且以中等和难度较大的综合题出现,常放在压轴题的位置.回顾江苏省单独命题以来,对数列的考查可以称得上到了极致.如2007年、2008年在倒数第二题,2005年、2006年在最后一题,2009年数列题前移到第17题,以中等题形式出现,这一显著地变化似乎一种信号,具有一定的导向作用. 专题一数学客观题的解题方法与技巧 专题一I 选择题的解法 高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字—准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 选择题具有题小、量大、基础、快捷、灵活的特点,是高考中的重点题型.在高考试卷中数量最大,占分比例高.全国卷的选择题占60分.因此,正确的解好选择题已成为高考中夺取高分的必要条件. 选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了,但知识覆盖面广,要求解题熟练、准确、灵活、快捷.应“多一点想的,少一点算的”,该算不算,巧判断.因而,在解答时应该突出一个“选”字,尽量减少书写解答过程.在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速的选择巧法,以便快速智取. 选择题的巧解说到底就是要充分利用选项提供的信息,发挥选项的作用.能力稍差的学生解选择题仅仅顾及题干,然后像解答题那样解下去,选项只取了核对的作用.本来像选择题这样的小题应当“小题小作”,但却做成了解答题.至少做成了填空题.这样就“小题大作”了,导致后面的解答题没有充裕的时间思考,这是不划算的. 由于选择题结构特殊,不要求反映过程,再加上解答方式没有固定的模式,灵活多变,具有极大的灵活性.选择题的解题思想,渊源于选择题与常规题的联系与区别,它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹;而另一方面,选择题在结构上具有自己的特点,即至少有一个答案是正确的或合适的.因此,可充分利用题目提供的信息,排除迷惑支的干扰,正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支;选择题中的错误支具有双重性,既有干扰的一面,也有可利用的一面.只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用,从而从反面提供信息,迅速做出判断. 1.选择题的解题策略 解题的基本策略是:充分地利用题干和选择支的两方面条件所提供的信息作出判断.先定性后定量,先特殊后推理;先间接后直解,先排除后求解. 一般地,解答选择题的策略是: ①熟练掌握各种基本题型的一般解法; ②结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧;q D.当a>1时,p>q;当0
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