第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨
3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。
反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 一般地，在高中数学中证明一个与自然数n 有关的命题P(n ），有如下步骤：
（1）证明当n 取第一个值n 0时命题成立。n 0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k （k≥n 0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n 0），命题P(n ）都成立。
结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：
一、反证法的应用：
典型例题：例1：（2012年上海市理18分）对于数集12{1,,,}X ,n x x x =-，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集{|(,),Y }X ,X a a s t s t ==∈∈. 若对于任意1Y a ∈，存在2Y a ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P . 例如{1,2}X 1,=-具有性质P .
（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）
（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）
（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，2x q =（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取1(,2)a x =，则Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -。
∴=2x b ，从而x =4。
（2）证明：取111Y (,)a x x =∈，设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=。
由0)(1=+x t s 得0=+t s ，∴s 、t 异号。
∵－1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为－1，另一为1。
故1∈X 。
假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101。
选取11Y (,)n a x x =∈，并设2(,Y )a s t =∈满足120a a ?=，即01=+n tx sx 。
则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为－1。
若s =－1，则11x t tx x n ≥>=，矛盾；
若t =－1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.
∴1x =1。
（3）猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
记2{1,1,,}A ,k k x x =-，k =2, 3, …, n 。
先证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P 。
任取1(,)a s t =，s 、t ∈A k .当s 、t 中出现－1时，显然有2a 满足120a a ?=。 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1。
∵1A k +具有性质P ，∴有211(,)a s t =，1s 、1t ∈1A k +，使得120a a ?=。
从而1s 和1t 中有一个是－1，不妨设1s =－1，
假设1t ∈1A k +且1t ?A k ，则11+=k x t 。
由0),1(),(1=-?+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈A k 矛盾。
∴1t ∈A k ，从而A k 也具有性质P 。
现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
当n =2时，结论显然成立。
假设n k =时，2{1,1,,}A ,k k x x =-有性质P ，则1-=i i q x ，i=1, 2, …, k ； 则当+1n k =时，若121{1,1,,,,}A k k k x x x ++=-有性质P ，则2{1,1,,}A ,k k x x =-
也有性质P ，所以111{1,1,,,,}A k k k q q x -++=-。
取11(,)k a x q +=，并设2(,)a s t =满足120a a ?=，即01=++qt s x k 。
由此可得s 与t 中有且只有一个为－1。
若1-=t ，则1≥s ，所以1k q x q s
+=≤，这不可能； ∴1-=s ，k k k q q q qt x =?≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1。
综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。
（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若1A k +具有性质P ，则A k 也具有性质P ，再用数学归纳法证
明猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n 。
例2：（2012年北京市理13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m，n)，记R i (A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j (A)为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）； 记K(A)为∣R 1(A)∣,∣R 2(A)∣,…,∣R m (A)∣,∣C 1(A)∣,∣C 2(A)∣,…,∣C n (A)∣中的最小值。
（1）对如下数表A ，求()K A 的值；
（2）设数表A∈S（2,3）形如
求()K A 的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A∈S（2，2t+1），求()K A 的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知()()()()()12123r A =1.2r A = 1.2c A =1.1c A =0.7c A = 1.8--，，，，， ∴()K A 0.7=。
（2）先用反证法证明()K A 1≤：
若()K A 1>，则()1C A =a 11>+， ∴a 11a 11a 1a 11a 11a 11<<<<<><>?--???????++-+????
或（无解）0a 1<<。 同理可知0b 1<<。
∴0a b 2<<+。
由题设所有数和为0，即a b+c 1=0a b=1c ++?+--，
∴01c 2<<--，解得3c 1<<-，与题设c 1≤矛盾。
∴()K A 1≤。
易知当a=b=0时，()K A =1存在。
∴()K A 的最大值为1。
（3）()K A 的最大值为2t 1t+2
+。 首先构造满足()2t 1K A =t+2
+的{}
{}i j A=a i=1,2j= t ??? ，；1，2，，2+1： 1,11,21t 1t+11t+21t+1t 1a =a ==a =1a =a ==a =t+2-??????，，，，2，， ()
22,12,2t t+1t+2t+1t t 1a =a ==a =a =a ==a =1t t 2++??????-+2，2，2，2，2，。 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
()()122t+1r A =r A =t+1
，()()()()212t t t 1t+12t+1c A =c A ==c A =11t t 2t+2t+2>>++???+++， ()()()t 1t 22t+1t 12t+1c A =c A ==c A =1+
=t+2t+2++-???。 下面证明2t+1t+2
是最大值。 若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得()2t+1K A =x t+2>
。 由()K A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1
的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[]x 2 ，
中. 由于x 1>，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x 1-。
设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则g t h t+1≤≥，。
另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每
个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x 1-（即每个负数均不超过
1x -）
。 因此()()()()()()11r A =r A t 1t 11x =2t 1t 1x=x 2t 1t+2x x <≤?++-+-++?+-???，故A
的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾。 因此()K A 的最大值为
2t+1t+2。 【考点】逻辑推理，反证法的应用。
【解析】（1）根据r i （A ）为A 的第i 行各数之和（i=1，2），c j （A ）为A 的第j 列各数之和（j=1，2，
3）；求出|r 1（A ）|，|r 2（A ）|，|c 1（A ）|，|c 2（A ）|，|c 3（A ）|中的最小值可即为所求。
（2）用反证法证明。
（3）先构造满足()2t 1K A =
t+2+的{}
{}i j A=a i=1,2j= t ??? ，；1，2，，2+1，用反证法证明2t+1t+2是最大值。 例3：（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：
221n n n n n b a b a a ++=+，*N n ∈， （1）设n n n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ???????? ???????
是等差数列；
（2）设n
n n a b b ?=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +=+11，∴112221n n n n n n n n a a b b a ++=+??+ ???
∴ 21
11n n n n b b a a ++??=+ ???()2
22221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++????????-=+-=∈ ? ? ? ????????? 。
∴数列2n n b a ???????? ???????
是以1 为公差的等差数列。
（2）∵00n n a >b >，，∴()
()22
222n n n n n n a b a b ∴11n 知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q > 则212=a a ≤ 1log q n > 时，11n n a a q += 若01, 1a a >a >q ，∴当11log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，=1q 。∴()1*n a a n N =∈