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数列通项公式方法(大全)很经典

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+?两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3）累乘法

例3已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

112

12211(1)(2)21

(1)1

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

???

??=-+-+??+?+??=-?????=???

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

112

n n n n a a a a a a a a a ---???

??，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通

项公式。

（4）待定系数法

例4已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

2(5)n n n n a x a x +++?=+?

④

将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n

n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去

2n a ，得135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n

，得352,1,x x x +==-则代入④式得

1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n

n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n

n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

变式：

①已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

②已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（5）对数变换法

例5已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5

123n n n a a +=??式两边取

常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

○

11 将⑩式代入○11式，得5lg lg 3

lg 2(1)5(lg n n a n x n y a xn y +++++=

++，两边消去

5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则

lg35lg 25x x x y y +=??++=?，故lg34lg3lg 2164x y ?

=???

?=+??

代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164

n n a n a n ++

+++=+++ ○

由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○

12式，得lg3lg3lg 2lg 04164

n a n +

++≠，则

1lg3lg3lg 2

lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164

n n a n a n ++

+++=+++

，所以数列lg3lg3lg 2

{lg }4164

n a n +

++是以lg3lg3lg 2lg 74164+

++为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164

n n a n -+++=+++，因此

111111

1116

164

111111

11111116

55514

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464

(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2

[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)5lg(332)lg(733

n n n n n n n n n n n n a n ---------=+

++---=+++---=???-??=???-??=??1115116

541515116

lg(73

)

n n n n n -------?=??

则11

54151516

n n n n n a -----=??。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项

公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。（6）数学归纳法

例6已知数列{}n a 满足1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及1

a =，得

2122322243228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=

?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=

?+?+?

由此可猜测22

(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n =时，212(211)18

(211)9

a ?+-=

=?+，所以等式成立。（2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)

k k a k +-=+，则当1n k =+时， 122

8(1)

(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++ 22222222

222222

222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。（7）换元法

例7已知数列{}n a 满足111

(14124)116

n n n a a a a +=

+++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：令124n n b a =+，则2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

-，代入11

(14124)16

n n n a a a +=+++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥ 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+，可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+?-=为首项，以2

为公比的等比数列，因此1

21132()

()2

2n n n b ---==，则21()32

n n b -=+，即21

124()32n n a -+=+，得

2111

()()3423

n n n a =++。

评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化

113

n n b b +=+形式，

从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。（8）不动点法

例8已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=

+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的

两个不动点。因为

112124

24121242(41)13262

132124321243(41)927

93341

n n n n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??

是以

112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则11313

2()19

n n a -=

+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点，即方程2124

x x x -=+的两

个根1223x x ==，，进而可推出

112213393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??

为等比数

列，再求出数列23n n a a ??

?-??

的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。例9已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47

x f x x -=+的不动点。

因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以

2111

()()3423

n n n a =++。

评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化

113

n n b b +=+形式，

从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。课后习题：

1．数列252211，，，，的一个通项公式是（）

A 、33n a n =-

B 、31n a n =-

C 、31n a n =+

D 、33n a n =+

2．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（） A 、2 B 、3 C 、 2- D 、3- 3．在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a （） A 、4- B 、4± C 、2- D 、2± 4．若等比数列{}n a 的前项和为n S ，且1010=S ，3020=S ，则=30S

5．已知数列{}n a 通项公式3102

+-=n n a n ，则该数列的最小的一个数是

6．在数列{a n }中，11

2a =且()11n n n na a n N n a *+=∈+-，则数列1n a ??????

的前99项和等于．

7．已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？

（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．

8．已知数列{}n a 的前项和为132++=n n S n ，

（1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）求通项公式n a 。

9．等差数列{}n a 中，前三项分别为45,2,-x x x ，前n 项和为n S ，且2550=k S 。（1）、求x 和k 的值；（2）、求n T =

S S S S 1

111321++++ ;

数列

等差数列与等比数列的有关知识比较一览表

等差数列等比数列

递推关系①

121

n n

a a a a

-=-（*

n N

∈）

②

n n

a a d

-=（*

n N

∈）

③

n n n n

a a a a

-=-（2

n≥）

①12

a a

+=（*

n N

∈）

②1

+=（*

q n N

≠∈）

③1

n n

a a

=（*

n n N

≥∈）

通项①

(1)

a a n d

=+-（*

n N

∈）

②

a pn q

=+（*

p q n N

∈

为常数）

①1

a（*

n N

∈）

②n

=（*

,,0,0,

p q q p n N

≠≠∈

是常数）

求和公式①

2()

n n

S n a a

=+（*

n N

∈）

②

(1)

n n

S na d

=+ (*

n N

∈)

③2

S An Bn

=+(*

A B n N

∈

是常数)

①求积公式n

(

?∏

n N

∈)

②

(1)

na q

S a q

≠

n N

∈)

③1

n n

na q

A Aq q

-≠

n N

∈，0

≠

主要①若p+q=s+r, p、q、s、r∈N*,则

p q s r

a a a a

+=+.

②对任意c>0,c≠1,{}n a c为等比数列.

③*

2,,2

n n n

a a a n N n

+=∈≥.

④若{}n a、{}n b分别为两等差数列，则

{}

n n

a b

+为等差数列.

①若p+q=s+r, p、q、s、r∈N*,则

a=.

②对任意c>0,c≠1, 若a n恒大于0，则{}

log

c n

a为等差

列.

③2

≥

∈

④若{}n a、{}n b为两等比数列，则{}n n b a为等比数列.

⑤若a n恒大于0，则数列

∏

为等比数列.

⑥若{}n b为正项等差自然数列，则{}n b a为等比数列.

性质⑤数列n

为等差数列.

⑥若{}n b为正项等差自然数列，则{}n b a为等差

数列.

⑦

S-

-为等差数列.

⑧

n n m m

S S S

n n m

，n>2m，m、n*

∈.

⑨

m n m n

S S S mnd

=++.

⑩若,,

m n

S S m n

=≠则0

m n

⑦

S-

-为等比数列.

⑧m

∏

∏=，n>2m，m、n*N∈，0,

a p N

>∈

⑨m n

m n m n n m

S S q S S q S

=+=+.

⑩若,

≠

则∏+

重要性质①若,,

p q

a q a p

==p、q*

∈，且q

p≠,

则0

p q

②若,

=且q

p≠,则

(),

p q

S p q

=-+ p、q*

∈.

①)

1()1

(

S-

1()1

(

S-

+ .

②若|q|<1,则=

∞

→

lim1

求数列{a n}通项公式的方法

1．1+n a =n a +)(n f 型

累加法：

n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）+1a

)1(-n f +)2(-n f +…+)1(f +1a

例 1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n

2（n ∈N +），

求n a .

[解] n a =n a －1-n a +1-n a －2-n a +…+2a －1a +1a =1

-n +2

-n +…+1

2+1

1--n

2－1

∴n a =n

2－1 （n ∈N +）

2．1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数）方法：（1）1+n a +

1-p q =)1

(-+

p q

a p n ，再根据等比列的相关知识求n a . （2）1+n a －n a =)(1--n n a a p

再用累加法求n a .

（3）

11++n n p a =n n p a +1+n p q ，先用累加法求n

n p

a 再求n a . 例3.已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），n a =21-n a +1（n ∈N +

，n ≥

求n a .

[解] 设n a －λ=2（1-n a －λ），则λ=－1

∴n a +1=2（1-n a +1）

∴{1+n

a }为公比为2的等比数列.

∴n a +1=（a+1）·1

-n

∴n a =（a+1）·1

-n －1

3．)(1

n g a a n

n =+型累乘法：n a =

-n n a a ·

1--n n a a …

2a a ·1a

例2.已知数列{n a }满足

n a a n

n =+1

（n ∈N +

），1a =1，求n a . [解] n a =

-n n a a ·

1--n n a a …

2a a ·1a

=（n －1）·（n －2）…1·1=（n －1）！ ∴n a =（n －1）！（n ∈N +）

4．1+n a =p n a +)(n f 型（p 为常数）方法：变形得

1++n n p a =

n p a +

)

(+n p n f ，则{

n p a }可用累加法求出，由此求n a .

例4.已知{n a }满足1a =2，1+n a =2n a +1

2+n .求n a .

[解]

12++n n a =n n

a 2+1 ∴{n n

a 2}为等差数列.

n n a 2=n n a =-+12

∴n a =n ·n

5．2+n a = p 1+n a ＋q n a 型（p 、q 为常数）

特征根法：q px x +=2

（1）21x x ≠时，n a =1C ·n x 1+2C ·n

x 2

（2）21

x x =时，n a =（1C +2C ·n ）·n

例5.数列{n a }中，1a =2，2a =3，且2n a =1-n a +1+n a （n

∈N +，n ≥2），求n a . [解] 1+n a =2n a －1-n a

∴122

-=x x

∴121==x x

∴n a =（1C +2C ·n ）·n

1=1C +2C ·n

∴???=+=+3222121C C C C ∴???==1121C C

∴)(1+∈+=N n n a n

6．“已知n S ，求n a ”型

方法：n a =n S －1-n S （注意1a 是否符合）

例6.设n S 为{n a }的前n 项和，n S =2

（n a －1），求n a （n ∈N +

[解] ∵n S =

（n a －1）（n ∈N +

） ∴当n=1时，1a =2

（1a －1）

∴1a =3

当n ≥2时，

n a =n S －1-n S

=23（n a －1）－2

（1-n a －1） ∴n a =31-n a ∴n a =n

3（n ∈N +

）

求数列{a n }的前n 项和的方法

（1）倒序相加法

（2）公式法

此种方法主要针对类似等差数列中

112n n a a a a -+=+=

,具有这样特点的数列．此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等

比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式．

例：等差数列求和

12n n S a a a =+++

公式： ①等差数列：

111()[(1)]a a d a n d =+++++- ①

把项的次序反过来，则：

()[(1)]n n n n S a a d a n d =+-+

+--②

①+②得：

()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++

++个

1()n n a a =+

1()

n n n a a S +=

11()(1)

n n n a a n n S na d +-=

=+ (1)

2n n n na d -=-

m n m n S S S mnd +=++

*(2,,)2n n m m

S S S n m m n N n n m

--=>∈- ②等比数列：

q a a q q a S n n n --=--=11)1(11；(1)q ≠

m n n m S S S q +=+

③1+2+3+……+n = (1)

n n +； 2

2123n +++

(1)(21)6n n n =++ 3333123n ++++ 2(123)n =+++

21(1)4

n n =

+ （3）错位相减法

（4）分组化归法

此种方法主要用于数列}{n n b a 的求和，其中

}{n a 为等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列，

只需用n n S qS -便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q ≠1两种情况．

此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项

写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．

例：试化简下列和式：

21123(0)n n S x x nx x -=+++

+≠

解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =

(1)

n n + 例：求数列1，112+

，11

124

++，……， 11124+++……+11

n -的和.

解：∵ 1111

1242

n n a -=++++

②若x ≠1,则2

1123n n S x x nx -=++++

23n n xS x x x nx =+++

两式相减得：

2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --1

11n

n x nx x -=

-- ∴ 2

1(1)1n n

n x nx S x x

-=---

111()1221212n

n --==-- ∴111

1(1)(1)224n S =++++++

1111(1)242

n -+++++

211

(21)(2)(2)22=-+-+-

(2)2n -++-

1111

2(1)242n n -=-++++

222

n n -=-+

（5）奇偶求和法

（6）裂项相消法

此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求S n ，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．

此方法主要针对

1223

1111n n

a a a a a a -+++

这样的求和，其中{a n }是等差

数列．

例：求和 11357(1)(21)n n S n -=-+++

+--

解：当n = 2k (k ∈N +)时,

2(13)(57)n k S S ==-+-+

[(43)(41)]k k +---

2k n =-=-

当21()n k k N +=-∈时，

例：{a n }为首项为a 1,公差为d 的等差数列，求

122334

11111n n n

S a a a a a a a a -=

++++

解：

∵

1111()()

k k

k k k k k k a d a a a a a d d a a d ++-==++ 1

111111()()k k k k d a a d d a a +=

-=-+

∴1223

111111()()n S d a a d a a =

-+-

21222[(41)]n k k k S S S a k k -==-=----

k n

=-=

综合得：1

(1)n n S n +=-

1111()n n

d a a -++

- 122311111111[()()(

)]n n

d a a a a a a -=

-+-++- 1111()n

d a a =

- 111

[(1)]

n a a n d -=

(7)分类讨论

（8）归纳—猜想—证明

此方法是针对数列{n a }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.

此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出n S 的表达式，然后用数学归纳法证明之.

例：已知等比数列{n a }中，1a =64，q=2

1，设n b =log 2n a ，求数列{|n b |}的前n 项和n S .

解：n a =1

a 1-n q =n -72

∴n b = log 2n a =n -7 （1）当n ≤7时，n b ≥0

此时，n S =－

212n +2

13n （2）当n ＞7时，n b <0

此时，n S =

212n －213

n +42（n ≥8）－212n +2

n （n ≤7） ∴n S =

例：求和n S =2

1+23+25+…+2)12(-n 解：11=S ，102=S ，353=S ，

844=S ，1655=S ，…

n S =)14(3

2-n n （待定系数法）

证明：（1）当n =1时，)14(3

-n n =1=1S

∴n =1时成立.

（2）假设当n =k 时，k S =)14(3

-k k

则n =k+1时，

1+k S =k S +2)12(+k

]1)1(2][1)1(2[3

-++++k k k n =k+1时，成立.

由（1）、（2）知，对一切n ∈N *

，

212n －213

n +42（n ≥8） n S =)14(3

2 n n .

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。二、累乘法形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

数列通项公式方法大全很经典精品

【关键字】方法、关键、关系、满足 1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

求数列通项公式方法大全

求数列通项公式的常用方法类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈．求数列}{n a 的通项公式变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式；变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈．求数列}{n a 的通项公式；变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列（2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的方法教案例题习题定稿版

求数列通项公式的方法教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练：已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

数列通项公式方法大全

数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1．已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．

2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．

（二）.累加、累乘型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

常见数列通项公式的求法(超好)

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常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一、公式法二、累加法三、累乘法四、构造法五、倒数法六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（八）、迭代法（九）、数学归纳法已知数列的类型一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n =

例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。（(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。一、型例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。解：已知递推式化为，即，所以。将以上个式子相加，得，

所以。二、型例2. 求数列的通项公式。解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。所以有。解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。解：设，则，，所以，即。设这时，所以。由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。解：在两边减去。所以为首项，以。所以令上式，再把这个等式累加，得。所以。说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解：类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解：变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解

数列通项公式方法大全很经典 - 副本

1，数列通项公式的几种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法