第17讲算法案例doc高中数学

第17讲算法案例doc高中数学

高三新数学第一轮复习教案〔讲座17〕—算法案例

一．课标要求：

通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学进展的奉献。二．命题走向

算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。

对本讲的考察是：以选择题或填空题的形式显现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。

三．要点精讲

1．求最大公约数

〔1〕短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。

〔2〕穷举法〔也叫枚举法〕

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数赶忙中断列举，得到的公约数便是最大公约数。

〔3〕辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法能够描述如下：

①输入两个正整数m和n；

②求余数r：运算m除以n，将所得余数存放到变量r中；

③更新被除数和余数：m=n，n=r；

④判定余数r是否为0。假设余数为0，那么输出结果；否那么转向第②步连续循环执行。

如此循环，直到得到结果为止。

〔4〕更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数咨询题的算法，确实是更相减损术。在?九章算术?中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

步骤：

Ⅰ．任意给出两个正数；判定它们是否差不多上偶数。假设是，用2约简；假设不是，执行第二步。

Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。连续这操作，直到所得的数相等为止，那么那个数〔等数〕确实是所求的最大公约数。

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一样规那么：

秦九韶算法适用一样的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0的求值咨询题。用秦九韶

算法求一样多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值咨询题转化成求n个一次多项式的值的咨询题，即求

v0=a n

v1=a n x+a n－1

v2=v1x+a n－2

v3=v2x+a n－3

……..

v n=v n－1x+a0

观看秦九韶算法的数学模型，运算v k时要用到v k－1的值，假设令v0=a n。

我们能够得到下面的递推公式：

v0=a n

v k=v k－1+a n－k(k=1,2,…n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，能够用循环结构来实现。

3.排序

排序的算法专门多，课本要紧介绍里两种排序方法：直截了当插入排序和冒泡排序〔1〕直截了当插入排序

在日常生活中，经常碰到如此一类排序咨询题：把新的数据插入到差不多排好顺序的数据列中。

例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。

完成那个工作要考虑两个咨询题：

〔1〕确定数据〝8〞在原有序列中应该占有的位置序号。数据〝8〞所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。

〔2〕将那个位置空出来，将数据〝8〞插到里面去。

关于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？差不多思想专门简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了。

第一，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：

{38，49}，

然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：

{38，49，65}

…………

按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到

{13，27，38，49，49，65，76，97}

如此，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列〝插入排序算法〞成为了解决这类咨询题的平台。

〔2〕冒泡法排序

所谓冒泡法排序，形象地讲，确实是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移

动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。明显最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的差不多思路。

我们先对一组数据进行分析。

设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49} 排序的具体操作步骤如下：

1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，因此交换他们的位置，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，因此顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，因此顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，因此顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，因此顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，因此顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，因此顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我们把上述过程称为一趟排序。其差不多特点是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程可不能超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。

上面的分析具有一样性，假如数据列有n 个数据组成，至多通过n －1趟排序，就能完成整个排序过程。

4．进位制 〔1〕概念

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。

关于任何一个数，我们能够用不同的进位制来表示。比如：十进数57，能够用二进制表示为111001，也能够用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值差不多上一样的。

一样地，假设k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制能够表示为：

110()110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，

而表示各种进位制数一样在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)

表示5进制数。

〔2〕进位制间的转换

关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。如此做的缘故是，运算机是以二进制的形式进行储备和运算数据的，而一样我们传输给运算机的数据是十进制数据，因此运算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，明显运算后首次得到的结果为二进制数，同时运算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。

非十进制数转换为十进制数比较简单，只要运算下面的式子值即可：

0111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n n n n n +?++?+?=---

第一步：从左到右依次取出k 进制数)(.....011k a a a a n n -各位上的数字，乘以相应的k 的幂，k

的幂从

n

开始取值，每次递减

1，递减到

0，即

00111,,,.........,k a k a k a k a n n n n ????--；

第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果确实是相应的十进制数。 十进制数转换成非十进制数

把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了〝除2取余法〞，我们能够类比得到十进制数转换成k 进制数的算法〝除k 取余法〞。

非十进制之间的转换

一个自然的方法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也确实是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。

四．典例解析

题型1：求最大公约数

例1．〔1〕用辗转相除法求123和48的最大公约数？ 〔2〕用更相减损来求80和36的最大公约数？

解析：〔1〕辗转相除法求最大公约数的过程如下：〔建立带余除式〕 123＝2×48＋27 48＝1×27＋21 27＝1×21＋6 21＝3×6＋3 6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。

〔2〕分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行终止的准那么是减数和差相等。

更相减损术：

因为80和36差不多上偶数，要去公因数2。 80÷2=40，36÷2=18；

40和18差不多上偶数，要去公因数2。 40÷2=20，18÷2=9

下面来求20与9的最大公约数， 20－9=11 11－9=2 9－2=7 7－2=5 5－2=3 3－2=1 2－1=1

可得80和36的最大公约数为22×1=4。

点评：对比两种方法操纵好算法的终止，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。

例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。

解析：我们差不多学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法确实是在此基础上设计的。

解题思路如下：

第一对两个数进行素因数分解： 840=23×3×5×7，1764=22×32×72，

其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。

接着确定公共素因数的指数：关于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。

算法步骤：

第一步：将840进行素数分解23×3×5×7； 第二步：将1764进行素数分解22×32×72； 第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；

第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分不是：2，1，1； 第五步：最大公因数为22×31×71=84。

点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，然而目前没有一个规律来确定所有的质数。 题型2：秦九韶算法

例3．〔2005北京，14〕n 次多项式1

011()n n n n n P x a x a x a x a --=++

++，假如在

一种算法中，运算0k

x 〔k ＝2，3，4，…，n 〕的值需要k －1次乘法，运算30()P x 的值共需要9次运算〔6次乘法，3次加法〕，那么运算100()P x 的值共需要 次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+〔k ＝0， 1，

2，…，n －1〕．利用该算法，运算30()P x 的值共需要6次运算，运算100()P x 的值共需要 次运算。

答案：65；20。

点评：秦九韶算法适用一样的多项式f(x)=a n x n +a n-1x n-1+….+a 1x+a 0的求值咨询题。直截了当法乘法运算的次数最多可到达

2

)1(n

n ，加法最多n 次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n 次。

例4．多项式函数f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，求当x=5时的函数的值。 解析：把多项式变形为：f(x)= 2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7

=((((2x －5)x －4)x+3)x －6)x+7

运算的过程能够列表表示为：

算法过程： v 0=2

v 1=2×5－5=5 v 2=5×5－4=21 v 3=21×5+3=108 v 4=108×5－6=534 v 5=534×5+7=2677

点评：假如多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再运算。 题型三：排序

例4．试用两种排序方法将以下8个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。

解析：能够按照直截了当插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。

直截了当插入法排序：

[7] 1 3 12 8 4 9 10 [7 1] 3 12 8 4 9 10 [7 3 1] 12 8 4 9 10

[12 7 3 1] 8 4 9 10

[12 8 7 3 1] 4 9 10

[12 8 7 4 3 1] 9 10

[12 9 8 7 4 3 1] 10

[12 10 9 8 7 4 3 1]

冒泡排序

12

10

9

8

7

4

3

1

23456趟

点评：直截了当插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比能够发觉，直截了当插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些。

例6．给出以下四个数：6，－3，0，15，用直截了当插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列。

分析：不论从大到小的顺序依旧按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。

解析：

直截了当插入排序法：

[6] －3 0 15

[－3 6] 0 15

[－3 0 6] 15

[－3 0 6 15]

例7．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句. 解析：具体的运算方法如下： 89=3×29+2 29=3×9+2 9=3×3+0 3=3×1+0 1=3×0+1

因此:89〔10〕=1011001(3)。

点评：依照三进制数满三进一的原那么，能够用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。

例8．将8进制数314706〔8〕化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。

解析：314706〔8〕=3×85

+1×84+4×83+7×82

+0×81+6×80

=104902。

因此，化为十进制数是104902。 点评：利用把k 进制数转化为十进制数的一样方法就能够把8进制数314706〔8〕化为十进制数，然后依照该算法，利用GET 函数，应用循环结构能够设计程序。

五．思维总结

1．求最大公约数 〔1〕辗转相除法 程序框图与程序语句 程序：

INPUT 〝m ，n=〞;m,n

DO

r=m MOD n m=n n=r

LOOP UNTIL r=0 PRINT END

〔2〕更相减损术

更相减损术程序：

INPUT 〝请输入两个不相等的正整数〞；a，b

i=0

WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0

a=a/2

b=b/2

i=i+1

WEND

DO

IF b

t=a

a=b

b=t

END IF

c=a－b

a=b

b=c

LOOP UNTIL a=b

PRINT a^i

END

2．我们以那个5次多项式函数为例加以讲明，设：

f〔x〕=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

第一，让我们以5次多项式一步步地进行改写：

f〔x〕=〔a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1〕x+a0

=〔〔a5x3+a4x2+ a3x+a2〕x+a1〕x+a0

=〔〔〔a5x2+a4x+ a3〕x+a2〕x+a1〕x+a0

=〔〔〔〔a5x+a4〕x+ a3〕x+a2〕x+a1〕x+a0

上面的分层运算。只用了小括号，运算时，第一运算最内层的括号，然后由里向外逐层运算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。

3．排序

〔1〕直截了当插入排序

插入排序的思想确实是读一个，排一个。将数组的第１个数据放入数组的第１个位置，以后读入的数据与已存入数组的数据进行比较，确定它按从大到小〔从小到大〕的排列中排在正确的位置。将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填到空出的位置即可。

〔2〕冒泡排序

以从大到小为例：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面。即第一比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后；然后比较完成第2个数和第3个数；......；直到比较完了最后两个数。第一趟排序终止,最小的一定沉到最后。重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,因此叫冒泡排序。

4．进位值

我们常见的数字差不多上十进制数,比如一样的数值运算，然而并不是生活中的每一种数字差不多上十进制的。比如时刻和角度的单位是六十进制,电子运算机的指令用的是二进制，早先的运算机的用的是十六进制的。

高中数学必修三算法案例知识点

高中数学必修三算法案例知识点 算法案例: 主要有辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、k进制化十进制的算法。 辗转相除的定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较 小的数就是原来两个数的最大公约数。 更相减损术的定义： 就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一 对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等 的两数便为原来两个数的最大公约数。 比较辗转相除法与更相减损术的区别： 1都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 2从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到。 辗转相除法的一个程序算法的步骤： 第一步：输入两个正整数m,nm>n. 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.第五步：输出最大公约 数m. 更相减勋术的一个程序算法步骤： 第一步：输入两个正整数a,ba>b; 第二步：若a不等于b,则执行第三步;否则转到第五步; 第三步：把a-b的差赋予r;

第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步; 第五步：输出最大公约数b. 1、算法概念： 在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题. 2、算法的特征 ①有限性：算法中的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。 ②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。 ③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。 ④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。 ⑤普通性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算其计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。 <>的人还： 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

算法案例 - 简单 - 讲义

算法案例 知识讲解 一、更相减损术 1.概念：求两个整数的最大公约数的算法. 2.步骤：以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数． 3.等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数． 4.原理：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)，，，，，，，， →→→→→→ 每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数． 二、辗转相除法 1.概念：辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法． 2.步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数． 如：(117182)(11765)(6552)(5213)(130) ，，，，，,故13即为所求． →→→→ 三、秦九韶算法 1.用途：秦九韶算法求多项式的值 2.具体内容：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古

代数学家秦九韶提出的，具体如下： 对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++， 改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++ ++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=++ +++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++， 求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+． 这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值． 令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++，则递推公式为01n k k n k v a v v x a --=??=+?, 其中12k n =，，，． 到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法． 3.秦九韶算法与其它算法的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++ ++， （1）直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为 (1) (1)212 n n n n ++-+++= ，加法次数n ； （2）逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次． 注：此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． （3）秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次． 4.秦九韶算法的特点： 1）化高次多项式求值为一次多项式求值； 2）减少了运算次数，提高了效率； 3）步骤重复执行，容易用计算机实现． 注意：利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐

17算法流程图(锻炼逻辑思维)

1.【201604学考】某算法的部分流程图如下图1所示，执行这部分流程后，变量x 的值是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.【201509】对输入的2个整数a 和b ，找出其中的较大者赋给c 并输出。解决该问题的算法流程图如第2题图所示： A ． B. C. D. 3. 【201608温州模拟卷】某算法的部分流程 图如图所示，执行这部分流程后，变量x 和Flag 的值分别是： A.2，True B.3，True C.2，False D.3，False 4. 如下图所示的流程图，算法执行时， 若输入n 的值为5，则输出s 的值是 A ．10 B ．13 C ．16 D ．25 5.某算法的部分流程图如第5题 图所示。执行这部分流程后， “x ←x —2”被执行的次数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.随机产生10个[1，99]中的整数，依次存储到数组变量a(1)～a(10)中。实现此功能的部分算法流程图如图所示：(学了VB 对应函数后才能做) 图中空白处理框①和②处应填入的是 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图

（A ）① i ← i + 1 （B ）① i ← i + 1 ② a(i) ← Rnd * 100 ② a(i) ← Int(Rnd * 100) （C ）① a(i) ← Int(Rnd * 100) （D ）① a(i) ← Int(Rnd * 99)+1 ② i ← i + 1 ② i ← i + 1 第6题图 第7题图 7.计算s = 1 + 3 + 5 + … + 99的部分算法流程图如图所示： 图中空白处理框①和②处应填入的是 （A ）① i ← i + 2 （B ）① i ← i + 1 ② s ← s + i ② s ← s + i （C ）① s ← s + i （D ）① s ← s + i ② i ← i + 2 ② i ← i + 1 8.有流程图如右图所示： 若输入a 的值为3，则该算法输出的结果为 （A ）-3 （B ）0 （C ）3 （D ）9 9.如图所示，流程图所表示的算法属于 （A ）枚举算法 （B ）排序算法 （C ）解析算法 （D ）对分算法 10.计算某球队平均年龄的部分算法流程图如图所示，其中：c 用来记录已输入球 第9题图

(完整word版)高中数学必修三1.3算法案例练习

一、选择题 1．用辗转相除法求35与134的最大公约数，第一步是（ ） A ．134－35＝99 B ．134＝3×35＋29 C ．先除以2，得到18 与67 D ．35＝25×1＋10 2．用更相减损术求60与75的最大公约数时，需要做的减法次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．用辗转相除法求60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．运行下面的程序，当输入 84，36 时，输出的结果是（ ） A ．168 B ．3 C ．24 D ．12 5．用秦九韶算法求多项式2357)(2 345+++++=x x x x x x f 在 x = 2 时的值时，令2,,5,450150+=+==x v v x v v a v Λ ，则3v 的值为（ ） A ．82 B ．83 C ．166 D ．167 6．用秦九韶算法求多项式1876543)(2 3456++++++=x x x x x x x f 在 x = 0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ） A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5 7．下列各数中不可能是六进制数的为（ ） A ．123 B ．234 C ．345 D ．456 8．下列各数中最小的是（ ） A. 111111 (2) B. 1000(4) C. 85(9) D. 210 (6) 9．若十进制数 26 等于k 进制数 32，则k 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 二、填空题 10．阅读如图所示的程序，若输入160，72，则输出的结果为_____________．

高中数学算法案例备课资料

算法案例备课资料 例题解析 【例1】输入两个正整数a和b（a>b），求它们的最大公约数. 解析：求两个正整数a、b（a>b）的最大公约数，可以归结为求一数列： a，b，r1，r2，…，r n－1，r n，r n+1，0 此数列的首项与第二项是a和b，从第三项开始的各项，分别是前两项相除所得的余数，如果余数为0，它的前项r n+1即是a和b的最大公约数，这种方法叫做欧几里得辗转相除法，其算法如下： S1输入a，b（a>b）； S2求a/b的余数r； S3如果r≠0，则将b→a，r→b，再次求a/b的余数r，转至S2； S4输出最大公约数b. 伪代码如下： 10Read a，b 20r←mod（a，b） 30If r=0then Goto 80 40Else 50a←b 60b←r 70Goto 20 80Print b 流程图如下： 点评：算法的多样性：对于同一个问题，可以有不同的算法.例如求1+2+3+...+100的和，可以采用如下方法：先求1+2，再加3，再加4，一直加到100，最后得到结果5050.也可以采用这样的方法：1+2+3+ (100) （1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=50×101=5050.显然，对于算法来说，后一种方法更简便，而循环累加更适用于计算机解题.因此，为了有效地进行解题，不仅要保证算法正确，还要选择好的算法，即方法简单、运算步骤少，能迅速得出正确结果的算法. 【例2】求1734，816，1343的最大公约数. 分析：三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此也是任意两个数的最大公约数的约数，也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数. 解：用“辗转相除法”. 先求1734和816的最大公约数， 1734=816×2+102； 816=102×8； 所以1734与816的最大公约数为102. 再求102与1343的最大公约数， 1343=102×13+17；

BM模式匹配算法图解

Boyer-Moore 经典单模式匹配算法 BM模式匹配算法-原理（图解） 由于毕业设计（入侵检测）的需要，这两天仔细研究了BM模式匹配算法，稍有心得，特此记下。 首先，先简单说明一下有关BM算法的一些基本概念。 BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。 BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。 BM算法的基本流程: 设文本串T，模式串为P。首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示: 若是某趟比较不匹配时，BM算法就采用两条启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来计算模式串向右移动的距离，直到整个匹配过程的结束。 下面，来详细介绍一下坏字符规则和好后缀规则。 首先，诠释一下坏字符和好后缀的概念。 请看下图：

图中，第一个不匹配的字符（红色部分）为坏字符，已匹配部分（绿色）为好后缀。 1）坏字符规则（Bad Character）： 在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论： i. 如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。 ii. 如果x在模式P中出现且出现次数>=1，则以该字符所在最右边位置进行对齐。 用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。 可以总结为字符x出现与否，将max(x)=0作为初值即可。

例1： 下图红色部分，发生了一次不匹配。 计算移动距离Skip(c) = m-max(c)=5 - 3 = 2，则P向右移动2位。 移动后如下图： 2）好后缀规则（Good Suffix）： 若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论： i. 如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t方才的所在的位置。 ii. 如果在P中任何位置已匹配部分P'都没有再出现，则找到与P'的后缀P''相同的P的最长前缀x，向右移动P，使x对应方才P''后缀所在的位置。

高中数学教学案——算法案例(进位制)

第3课时案例3 进位制 （一）导入新课 情境导入 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）你都了解哪些进位制？ （2）举出常见的进位制. （3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法. （4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 讨论结果： （1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几. （2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法. （3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位…… 例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子： 3 721=3×103+7×102+2×101+1×100. 与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字. 一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k). 其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如 110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20， 7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80. 非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0. 第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0； 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数. （4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二

高中数学算法初步知识点与题型总结

第十一章算法初步及框图 ※知识回顾 1．算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． 2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构． 4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言． 5.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题. ※典例精析 例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是 解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着判断a,b的大小,若b小，则把b 赋给a,否则执行下一步，即判断a及c的大小，若c小，则把c赋给a, 否则执行下一步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值. 评注: 求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示. 例2.下列程序框图表示的算法功能是（） （1）计算小于100的奇数的连乘积 （2）计算从1开始的连续奇数的连乘积 （3）计算从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数 （4）计算≥ 1×3×5××n100成立时n的最小值 解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程 序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下: 第一次:13,5 S i =?=； 第二次:135,7 S i =??=； 第三次:1357,9 S i =???=,此时100 S<不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使算 法 初 步 算法与程序框图 算法语句 算法案例 算法概念 框图的逻辑结构 输入语句 赋值语句 循环语句 条件语句 输出语句 顺序结构 循环结构 条件结构

人教版高中数学必修三 1.3算法案例(第1课时)

第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想． 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步． ②程序框图如图所示． ③程序： INPUT m，n DO r＝m MOD n m＝n n＝r

LOOP UNTIL____ PRINT__ END (2)更相减损术． 算法分析： 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步． 第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数． 【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________． 2．秦九韶算法 (1)概念：求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是： 改写多项式为： f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0 ＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋a n－2， v3＝v2x＋a n－3， …， v n＝____________. (2)算法步骤： 第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和x的值． 第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1. 第三步，输入i次项的系数a i. 第四步，v＝v x＋a i，i＝____.

2019-2020年高考数学一轮复习 讲义—17算法案例

一．【课标要求】 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二．【命题走向】 算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。 预测xx年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三．【要点精讲】 1．求最大公约数 （1）短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来 （2）穷举法（也叫枚举法） 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 （3）辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ①输入两个正整数m和n； ②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r； ④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。 （4）更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 步骤： Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 2．秦九韶算法 秦九韶算法的一般规则： 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 v0=a n v1=a n x+a n－1 v2=v1x+a n－2 v3=v2x+a n－3 …….. v n=v n－1x+a0 观察秦九韶算法的数学模型，计算v k时要用到v k－1的值，若令v0=a n。 我们可以得到下面的递推公式：

BM

BM模式匹配算法原理（图解） 首先，先简单说明一下有关BM算法的一些基本概念。 BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。 BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。 BM算法的基本流程: 设文本串T，模式串为P。首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示: 若是某趟比较不匹配时，BM算法就采用两条启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来计算模式串向右移动的距离，直到整个匹配过程的结束。 下面，来详细介绍一下坏字符规则和好后缀规则。 首先，诠释一下坏字符和好后缀的概念。 请看下图： 图中，第一个不匹配的字符（红色部分）为坏字符，已匹配部分（绿色）为好后缀。 1）坏字符规则（Bad Character）： 在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论： i. 如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m 个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。 ii. 如果x在模式P中出现，则以该字符进行对齐。 用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。

下图红色部分，发生了一次不匹配。 计算移动距离Skip(c) = 5 - 3 = 2，则P向右移动2位。 移动后如下图： 2）好后缀规则（Good Suffix）： 若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论： i. 如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t 方才的所在的位置。 ii. 如果在P中任何位置已匹配部分P'都没有再出现，则找到与P'的后缀P''相同的P的最长前缀x，向右移动P，使x对应方才P''后缀所在的位置。 用数学公式表示，设Shift(j)为P右移的距离，m为模式串P的长度，j 为当前所匹配的字符位置，s为t'与t的距离（以上情况i）或者x与P''的距离（以上情况ii）。

人教版高中数学高一A版必修三教案 1.3 算法案例(4课时)

第一课时 1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术 教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序. 教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言. 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）. 2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128=?+，36∴和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842=?，得出4即是36和64的最大公约数. 二、讲授新课： 1. 教学辗转相除法： 例1：求两个正数1424和801的最大公约数. 分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时） ①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1）用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；（2）若0R ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；（3）若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝ 0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数. ②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤， 且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环 体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框 图和程序语言） 练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式） 2. 教学更相减损术： 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 例2：用更相减损术求91和49的最大公约数. 分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）

BM及其改进算法性能对比研究

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/f218281576.html, BM及其改进算法性能对比研究 作者：邓小明 来源：《电脑知识与技术》2012年第20期 摘要：模式匹配算法在很多场合都有应用，BM算法是轻量级入侵检测系统SNORT的内置的单模式匹配算法，高速网络环境下，算法的模式匹配效率的高低在很大程度上影响入侵检测系统的性能。该文通过对BM及改进后的两种BM算法进行测试。实验结果表明，改进后的BM算法在实际匹配次数、窗口最大位移量以及跳跃发生的次数上对比BM算法具有很大的优势，有着实用价值。关键词：BM算法；匹配次数；窗口最大位移量 中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)20-4816-03 随着网络数据流量的不断增长，对基于网络数据捕获平台的网络入侵检测系统面临着新的挑战。高速网络环境中，如何有效提高网络入侵检测系统的效率显得尤为重要。传统的linux 环境下轻量级snort入侵检测系统中BM模式匹配算法在匹配效率上存在着匹配次数多、匹配失败时最大位移小等缺陷，这些多余的匹配操作将很大程度上影响入侵检测系统的效率。该文通过分析并改进BM及相关算法，并进行了实验，结果表明改进后的BM算法有着在小字节数据包的网络环境中，满足了在高速链路下网络入侵检测系统的要求。 1.1 BM算法[1] Bm单模匹配算法中使用字符串和模式串从左到右对齐，进行字符匹配时窗口向右滑动，匹配过程从右到左进行，匹配算法在匹配的过程中，取Skip(x)与Shift(x)中的较大者作为跳跃的距离。BM算法在执行时按照两个步骤进行：初始化处理阶段以及查找阶段。初始化处理时主要进行Badchar()和Goodsuffix()两个偏移量计算。预处理时间复杂度为O（m+s），查找时的时间复杂度为O(m·n)，最好情况下的时间复杂度为O(n/m)，最坏情况下时间复杂度为 O(m·n)。两个偏移量的计算机流程是：Badchar（）函数主要计算字符串中单个字符的偏移量，假设其中的一个字符在模式串中不止一次出现，那么它的最右边出现的偏移量是决定性的。GoodSuffix偏移量主要是计算模式串中的后缀匹配成功时指针可以向右移动的偏移量，其算法描述如下： 设字符串长度为n，模式串长度为m，坏字符和好后缀匹配字串滑动距离用skip（x）和shift（x）表示，x表示在P串中最右边的位置，dist=max{skip(x),shift(x)} 字符串T和模式串P从左到右对齐，匹配从模式串最右边的第一个字符开始；搜索P串中是否含有与P串中对应的T串的字符，如果没有，将P串向右滑动m的长度，如果包含有该字符，则启动Skip搜索，并计算所需要滑动的距离，然后滑动相应的距离，其中： ELSE IF(模式串末字符比较成功)

BM算法概念

BM算法概念 BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。 BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。 BM算法思想 1、三个shift函数：d1,d2,d3，函数的作用是决定当匹配不成功时窗口的移动位数。 2、假设一个情况：已经读入了一个既是搜索窗口中的文本的后缀，同时也是模式串后缀的字 符串u,并且读入的下一个文本字符σ与模式串的下一个字符a不相等。 3、窗口安全移动是指窗口移动意味着读入新的字符，放弃上一个窗口的前面几个字符，要保 证放弃的字符确实无法参与匹配。窗口移动方向是从前向后。算法的核心思想是对于模式串，可能至少有2个相同部分，这些部分肯定有一个在模式串的后缀，其它的部分可能在模式串的中间，也可能在模式串的前缀，在后缀搜索时，发现了文本串和模式串的部分匹配X，此时，如果模式串除了后缀外，其它部分还含有X，则使文本串和模式中发生不匹配的读入的字符加上原来的匹配的X形成的部分有可能与模式串其它部分的X发生匹配（如果与模式串所有的X不匹配，则说明这个窗口内不可能发生匹配），安全地向后移动窗口，放弃的部分肯定不会发生匹配了。 1）d1:后缀u在模式串p中的另一个位置是最右出现位置是j（不包括在模式串尾的出现）,文本串的窗口安全移动方法是将窗口移动m-j字符，使文本中的u与模式串中最右边 的u的出现位置相对齐。对模式中的每个后缀，计算它到它的下一个出现之间的距离， 即shift的d1，如果P的后缀u不在P中重复出现，则d1(u)被置为模式串长度m 2）d2:后缀u不出现在p中的任何其他位置。但u的后缀v可能是模式串p的一个前缀，需要对模式串所有的后缀计算第二个函数d2。对于P的每个后缀u,d2(u)表示既是P 的前缀，同时也是u的后缀的最长字符串v的长度. 3）d3:在搜索窗口中从后向前搜索时，在文本字符σ处不能成功匹配。保证下一次验证时文本字符σ一定与模式串中的一个字符σ相对应（即：使上次匹配不成功的那个字符 能在模式串的第二个X部分匹配成功，在模式串中找到这个字符，该字符是X的前 面一个字符），对每个字母表中的每个字符σ，d3(σ)表示σ在模式串的最右出现位置 到模式串末尾的距离，如果σ不在P中，d3为m 4、读入文本字符串u并在字符σ上不匹配时，进行如下几次比较： 1）第一次：取d1(u)和d3(σ)中较大值。 2）第二次:以上面的比较结果与m-d2(u)中的较小者，因为后者是最大的安全移动距离。 5、如果抵达了窗口的起始位置，说明发现阶段一个成功匹配，用d2计算窗口的下一次移动距 离，进行继续匹配。 BM算法的基本流程图解 设文本串T，模式串为P。首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示:

高中数学之算法案例

算法案例（讲义） ? 知识点睛 典型算法举例： 1. 辗转相除法 ①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数． ②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法 把一个n 次多项式改写成如下形式： 1110 12110 2312101210 ()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++………… …… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+． 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制 ①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式． 110()n n k a a a a -… 11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，） ②进位制数相互转化： k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -?，再将其累加，重复操作求和． 十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）． ? 精讲精练 1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数： （1）459和357的最大公约数是____________； 余数2222 2220 12511224489

AC算法BM算法

序言: ....................................................................... 错误！未定义书签。多模匹配算法之AC算法详解 (2) 算法概述 (2) 转向函数goto原理 (2) 输出函数output原理 (3) 失效函数failure原理 (3) 算法使用的存储结构 (4) 转向函数goto的实现 (5) 输出函数Output的实现 (6) 失效函数failure的实现 (6) 匹配函数的实现 (7) 总结 (8) 单模匹配之BM算法详解 (9) 算法概述 (9) 坏字符规则原理 (9) 好后缀规则原理 (10) 坏字符规则实现 (11) 好后缀规则实现 (11) 匹配函数的实现 (12) 总结 (13)

多模匹配算法之AC算法详解 算法概述 ●Aho-Corasick算法 -这是一种字典匹配算法，它用于在输入文本中查找字典中的字符串。时间复杂度是线性的。该算法应用有限自动机巧妙地将字符比较转化为了状态 转移。 ●该算法的基本思想 ?在预处理阶段，AC自动机算法建立了三个函数，转向函数goto，失效函数failure和输出函数output，由此构造了一个树型有限自动机。 ?在搜索查找阶段，则通过这三个函数的交叉使用扫描文本，定位出关键字在文本中的所有出现位置。 ●字典树的构造 -要匹配的一些字符串添加到树结构中去，树边就是单词中的字符，单词中最后一个字符的连接节点添加标志，以表示改节点路径包含1个字典中的 字符串，搜索到此节点就表示找到了字典中的某个单词，可以直接输出。例：模式串集合P=｛he,she,his,hers｝，下面的分析都根据这个集合展开 图1 转向函数goto原理 我们规定g(state1,ch) = state2.：状态state1 经过字符ch 可以到达状态state2 。 (1)模式串he：g(0,h)=1 g(1,e)=2 模式串he的转向函数构造完毕； (2)模式串she：g(0,s)=3 g(3,h)=4 g(4,e)=5 模式串she构造完毕； (3)模式串his：g(0,h)=1 g(1,i)=6 g(6,s)=7 模式串hers构造完毕； (4)模式串hers：g(0,h)=1 g(1,e)=2 g(2,r)=8 g(8,s)=9 模式串hers构造完毕； 注：(3)中g(0,h)为何不跳到6状态，原因(这个跳转也已存在，所以无需在添加新的状态)，(4)中的g(0,h)=1 g(1,e)=2一样的原因。 整个模式串集合构造完毕。可以根据转向函数画出上面的图1。

BM算法讲解

由于毕业设计（入侵检测）的需要，这两天仔细研究了BM模式匹配算法，稍有心得，特此记下。 首先，先简单说明一下有关BM算法的一些基本概念。 BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。 BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。 BM算法的基本流程: 设文本串T，模式串为P。首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示: 若是某趟比较不匹配时，BM算法就采用两条启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来计算模式串向右移动的距离，直到整个匹配过程的结束。 下面，来详细介绍一下坏字符规则和好后缀规则。 首先，诠释一下坏字符和好后缀的概念。 请看下图： 图中，第一个不匹配的字符（红色部分）为坏字符，已匹配部分（绿色）为好后缀。 1）坏字符规则（Bad Character）：

在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论： i. 如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。 ii. 如果x在模式P中出现，则以该字符进行对齐。 用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。 例1： 下图红色部分，发生了一次不匹配。 计算移动距离Skip(c) = 5 - 3 = 2，则P向右移动2位。 移动后如下图： 2）好后缀规则（Good Suffix）：

若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论： i. 如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t方才的所在的位置。 ii. 如果在P中任何位置已匹配部分P'都没有再出现，则找到与P'的后缀P''相同的P的最长前缀x，向右移动P，使x对应方才P''后缀所在的位置。 用数学公式表示，设Shift(j)为P右移的距离，m为模式串P的长度，j 为当前所匹配的字符位置，s为t'与t的距离（以上情况i）或者x与P''的距离（以上情况ii）。 以上过程有点抽象，所以我们继续图解。 例2： 下图中，已匹配部分cab（绿色）在P中再没出现。 再看下图，其后缀T'（蓝色）与P中前缀P'（红色）匹配，则将P'移动到T' 的位置。 移动后如下图：

算法案例(讲义及答案)

n n -1 1 0 n n -1 1 0 n n -1 2 1 0 i i 算法案例（讲义） ? 知识点睛 典型算法举例： 1. 辗转相除法 ①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数， 继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数． ②原理：在 a =bq +r 中，除数 b 和余数 r 能被同一个数整除， 那么被除数 a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法 把一个 n 次多项式改写成如下形式： f (x ) = a x n + a x n -1 + …+ a x + a = (a x n -1 + a x n -2 + …+ a )x + a = ((a x n -2 + a x n -3 + …+ a )x + a )x + a = … = (…((a n x + a n -1) x + a n -2 ) x + …+ a 1) x + a 0 记v 0 = a n ， v 1 = a n x + a n -1 ，…， v n = v n -1x + a 0 ． 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值， 即 v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制 ①k 进制：若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式． a n a n -1 …a 1a 0 (k ) （a n ，a n -1 ，…，a 1 ，a 0 ∈ N ，0 < a n < k ，0 ≤a n -1 ，…，a 1 ，a 0 < k ） ②进位制数相互转化： k 进制转十进制，计算 k 进制数 a 的右数第 i 位数字a 与k i -1 的 乘积a ? k i -1 ，再将其累加，重复操作求和． 十进制数转 k 进制数（除 k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）．