北方民族大学学士学位论文论文题目:小波阈值去噪算法的设计及其应用
院(部)名称:数学与信息科学学院
学生姓名:黄慧东
专业:信息与计算科学学号:20100433指导教师姓名:黄永东
论文提交时间:2013年5月14日
论文答辩时间:
学位授予时间:
北方民族大学教务处制
小波阈值去噪算法的设计及其应用
摘要
本文主要阐述了小波阈值去噪算法的设计及其应用.
第一章对小波进行了初步的介绍，“小波分析”是分析未经过任何处理的信号所含有的不同的性质，进而用于图像处理、小波滤波、数据隐藏等.比如声音信号频率的高低，发声时间的长短、振幅、旋律等各个方面.从平稳的波形之中发现突变的尖峰.小波分析是依照各种小波基函数对分解原始信号的一种分析方法.
第二章介绍了小波滤波并列举了几种常用的小波滤波算法.时至今日，小波滤波成为了一种新的滤波思路，其功能除了去噪、降噪以外，还兼有平滑、锐化和保留信号特征的功能.
第三章则较为详细介绍了小波阈值去噪算法并进行了算法设计，最后还给出了小波阈值去噪算法的应用实例.小波阈值去噪就是将经过小波分解后的信号通过选取适当的阈值过滤掉带噪信号，再用小波逆变换进行小波重构.
关键字：小波分析，小波变换，小波滤波，小波阈值去噪.
design of wavelet threshold denoising algorithm and its
application
abstract
this article focuses on the wavelet thresholding algorithm design and its application.
the first chapter introduces the wavelet conducted preliminary, " wavelet analysis " is an analysis of various changes in the characteristics of the original signal , and further used in data compression, noise removal , feature selection. for example singing signal: the treble or bass, sound duration , undulating melody and so on. wavelet analysis is the use of a variety of " wavelet function " on "raw signal" decomposition.
the second chapter introduces the wavelet filtering and lists several commonly used wavelet filtering algorithms. today, wavelet filtering has become a new filter ideas, in addition to its function noising , noise reduction , it also combines smooth, sharpen and retain the function of the signal characteristics .
the third chapter is a more detailed description of the wavelet thresholding algorithm and algorithm design , and finally gives the wavelet thresholding algorithm examples . wavelet thresholding is based on the effective signal and noise have different properties at different decomposition scale , constructed using mathematical tools appropriate threshold , and the target signal wavelet coefficients thresholding keywords: wavelet analysis, wavelet transform, wavelet filtering, wavelet thresholding .
目录
第一章小波初步介绍 (1)
1.1小波分析的发展 (1)
1.2小波分析的应用 (1)
第二章小波滤波算法 (5)
2.1小波滤波 (5)
2.2常用的小波滤波算法 (6)
第三章小波阈值去噪算法 (8)
3.1小波阈值去噪算法 (8)
3.2小波阈值去噪的具体步骤: (8)
3.3阈值函数 (9)
3.4小波阈值去噪算法的算法设计 (9)
3.5小波阈值去噪算法实例： (10)
总结 (17)
第一章小波初步介绍
1.1小波分析的发展
什么是小波？小波就是具有衰减性和波动性，并且它波动时振幅有正有负的波.
最早提出小波分析的是法国人j.morlet，他擅长于信号处理.在1986年，数学家y.meyer在一个意外的情况下得到了一个较为标准意义上的的小波基，在那之后，他和s.mallat一起创立用多尺度分析来构造小波基的办法，从那以后，小波分析迈上了不断发展的道路.在这段时期内，当属《小波十讲》真正使得小波分析得到了广泛的推广,到了近年来，小波域阈值滤波方法被donoho等人所建立起来，取得了非常巨大的成功.
小波分析与fourier变换和窗口fourier变换两者作比较，小波得益于其时间和频率的局域变换的特点，从而能有效并且准确的从信号之中提取讯息，通过伸缩和平移等功能，对函数或信号进行多尺度细化分析（multiscale analysis），许多复杂问题不能通过傅里叶变换解决，但小波分析却可以办到，也是由于这点，小波变换被高度称赞，有的人们还称其为“数学显微镜”，成为了调和分析发展历史上一座耀眼的里程碑.
小波分析是一个正在蓬勃发展的新领域，而且经由无数学者数年来的不断探寻钻研，小波分析基础的数学形式系统已然创建好了，理论基础得到了进一步.如今它在信号分析、声音处理、数据隐藏、图像水印、地震勘察、水文分析等领域中的表现非凡，取得了成功，得到了广泛认可.
“小波分析”是分析未经过任何处理的信号所含有的不同的性质，进而用于图像处理、小波滤波、数据隐藏等.比如声音信号频率的高低，发声时间的长短、振幅、旋律等各个方面.从平稳的波形发现突变的尖峰.小波分析是依照各种小波基函数对分解原始信号的一种分析方法.
1.2小波分析的应用
在现实的应用场景中，人们所接收到的信号往往夹杂着各种各样不同的噪声，这些噪声对信号形成了一定干扰，信号的有效性不高，有时甚至能使信号失效，因此信号去噪是信号处理过程中的重中之重.然而传统的根据信号的频谱分析进行带通或低通滤波方法虽然比较简单易操作，却对有效频带内的噪声束手无策，也无法实现高分辨率.小波分析的出现正好提供了一种新的分析方法.它具有
时频分析，多分辨率分析等长处，这些长处与人类的视觉系统的特征一样，因此小波分析的应用领域非常广泛.
1.2.1图像处理
图像是二维的信号，其小波变换就相当于二次一维信号的小波变换：
（1）第一次的一维信号的小波变换就相当于图像的行变换.
（2）第二次的一维信号的小波变换就相当于图像的列变换.
小波变换用于图像压缩有良好的效果，已经形成图像压缩的标准，如jpeg2000.
1.2.2图像压缩
小波变换用于图像压缩：采用小波进行压缩.在经过“小波变换”之后，统计特性变得更好，行和列之间的相关性得以消失.
有损压缩：依照视觉成像机制，把各个不同分辨率的小波系数进行比特匹配.接着转换到一维作熵编码，算术编码和霍夫曼编码等.
无损压缩：采取“整数小波变换”，舍入误差并不存在.不足的是不能进行比特分配.
小波变换用于图像压缩
图1小波变换用于图像压缩
1.2.3数据隐藏
左边为原始图像（1024x768）右边为信息隐藏后的图像（1024x768）
此为隐藏的5张（320x280）交通图像，可完全恢复
1.2.4数字水印
数字水印是一种新的加密方法，有效弥补了传统方法的不足，这些年来人们将其应用了到方方面面.数字水印技术就是通过特定
的算法将所需要隐藏的水印信息直接嵌入到多媒体内容之中，但原内容的价值和使用并不会因此而受到影响，并且人的知觉系统察觉不到水印的存在，只有用指定的的检测器或阅读器才能够为人们所看到.
银行提款机密码嵌入指纹，网上进行身份认证:
（左边为指纹原始图像，右为嵌入水印的图像）
第二章 小波滤波算法
2.1 小波滤波
“小波去噪”是指在小波域上处理小波系数以抑制或去除噪声.在20世纪
90年代初，小波去噪以及降噪开始出现在了文献中，随着小波去噪方法的多样化和研究的不断深入，近年来更是发展迅速，时至今日，小波滤波成为了一种新的滤波思路，其功能除了去噪、降噪以外，还兼有平滑、锐化和保留信号特征的功能.小波滤波方法有很多，首先是mallat 等人提出了基于小波变换模极大值原理的滤波方法，后由xu 提出了基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法，随后donoho 等人另辟蹊径，又提出了小波阈值滤波方法.
2.1.1小波滤波原理及模型：
首先，我们来了解下什么事小波变换 平方可积的函数x （t ）的小波变换定义为： 如果)(t ψ满足容许性条件
∞<=?
∞
ωω
ωψ
ψd C 0
2|)(?|
则
wx （a ,b ）=dt t t x b a )()(,*
∞∞-?ψ 其中]/)[()
/1()(,a b t a t b a -=ψψ. 称为x (t )的小波变换.其中)(,t b a ψ为小波基函数，a 为尺度因子，b 为平移因子，其作用是确定对x (t )分析的时间位置，也即时间中心.若参数a 和b 都是连续变量，则称其为连续小波变换，此时连续小波变换存在逆变换，形如：
2
,0
)
(),(1)(a dadb
t b a Wx C t x b a ?
?∞
∞
-∞
=
ψψ
利用此公式可以恢复原信号.
选择适当的母小波)(t ψ，可以使得小波基函数及其傅丽叶变换)(,ωψb a 都能够有着较为不错的局部性，从这里可以得出来的结论是小波分析是时-频分析[7].
2.1.2基本原理：
小波变换具有以下性质：
(1)时频局部化.小波基函数在时、频领域都具有有限或近似有限的定义域，所以在其伸缩平移后依然在时、频域是局部性的；
(2)多分辨率.原始信息分辨率最高，逐层分解后分辨率降低，这样的分解方法可以很好的体现信号的非平稳特征；
(3)选基灵活.小波变换能够灵活选择变换基，可以根据不同应用场合选择恰当的小波函数；
(4)窗口固定但形状可变.尺度因子的伸缩变化能引起小波奇函数的窗口变化，时间窗口随a的增大而增大，频域窗口则相反；
以上特点就是小波去噪方法之所以能够成功的关键所在.可以看出，小波变换的时频局部化特性和多分辨率性使得小波滤波方法能在去噪的很好地保留信号的非平稳特征.
2.2常用的小波滤波算法
迄今为止，常用的小波滤波方法有三类：
(1)基于小波变换模极大值原理的滤波方法（2）基于信号尺度空间相关性的空域相关滤波算法；（3）根据幅值较大的小波系数由重要的信号产生这一个假设的阈值滤波方法.
2.2.1空域相关滤波
最先提出利用尺度空间相关性进行信号滤波思想的是witkin，即从尺度上由粗到细搜索经过子带分解后的信号边缘，再得到去噪后的信号，随后，xu在1994年进一步提出了空域相关滤波法.经过小波变换后得到的信号的小波系数即使在不同的尺度间里也具有很强的相关性，噪声的小波系数却是弱相关的或者是不相关的.将相邻尺度上的系数做乘法运算得到空域相关的系数，若某点经过归一化后的相关系数的幅值大于其小波系数的幅值，我们则认为该点为信号的突变点，将该点提取出来.对提取出的小波系数进行逆变换后，就能得到滤波信号.xu在提出空域相关滤波方法的时候，并没有给出来噪声方差的估计以及终止迭代过程的阈值.pan在计算过各分解尺度上的噪声方差之后，提出了噪声能量阈值的理论计算方法，还给出终止迭代过程的准则，首次提出了理论相对完整的空域相关滤波算法.并对此算法进行了改进，得到了具有令人满意滤波效果的自适应性空域相关滤波算法.这里值得注意的是，相关系数的定义将会直接影响滤波的结果[7].
2.2.2模极大值重构滤波
小波系数的模极大值体现了小波的奇异性，这种方法则是利用了这个性质来重构信号，即通过处理各个尺度上小波系数的模极大值来改变小波的奇异性，而描述信号和噪声在多尺度空间上不同特性的lipschitz指数就可以度量函数的奇异性.mallat认为噪声的lipschitz指数小于零，根据这点可以去除掉噪声，留下模极大值点处的值，再用交替投影法（alternative projection,ap）来重构信号.基于模极大值的重构滤波算法已经有了很好的理论基础，滤波性能也相对稳定，对噪声并无特殊的要求，只要信号与噪声的lipschitz指数不相同，就可以利用此
方法来滤波.其缺点就是：由模极大值重构信号的算法不但复杂，而且计算的难度大，在实际的应用中的滤波效果并不佳.
2.2.3小波域阈值滤波
小波域阈值滤波算法最先由donoho等人提出，其主要思想就是把小波分解后各层小波系数的模值与一特定的阈值进行比较，小于阈值的视为由噪声产生，设为零，小波系数大于阈值时将保留或增强，然后用信号阈值函数处理小波系数，最后，再进行小波逆变换来重构信号，从而达到消除噪声的目的.该方法较为重要的是对阈值和阈值函数的选择，这两个要素决定了去噪后的信号的准确度.
第三章 小波阈值去噪算法
3.1小波阈值去噪算法
小波阈值去噪即是依照有效信号和噪声在不同的分解尺度上有着不一样的性质 ，使用数学的工具构造出合适的阈值，并且对目标信号的小波系数进行相应的阈值处理.其过程，就是利用小波分解将信号按尺度进行多层分解，然后根据以往的经验和学到的知识设置一个阈值λ，小于λ的小波系数认为主要由噪声引起，大于λ的小波系数认为是由有效信号引起，接着消除每个尺度之中由噪声所引发的小波系数，根据情况保留或是加强由有效的信号引发的小波系数，最后，再进行小波逆变换将经过阈值处理后的小波系数重构得出去噪后的信号[5].大致流程图如下：
3.2小波阈值去噪的具体步骤:
(1) 利用小波分解处理带噪信号.确定n 层的小波分解，然后将信号分解为n 层.
(2) 阈值处理.采取恰当的阈值和阈值函数对每一层的高频系数进行处理，将噪声信号过滤出来.
(3) 小波的重构.依照小波分解的第n 层低频的系数和每一层的高频的系数，来进行信号重构.
在以上描述的3个步骤之中，最为关键重要的便是如何应用恰当的方法选取阈值和阈值函数，信号中噪声去除的好不好，全靠这两个点.
阈值的选取方式大致分为两种，全局阈值和局部适应阈值.全局阈值适用于每一层的小波系数，局部阈值是为各层小波系数单独设置的，因而选取更加灵活.
（1） 全局统一阈值（dj 统一阈值）：N ln 2αλ=.其中的α是噪声的标准方差,n 为信号的长度.该阈值是在高斯模型下针对多维独立的正态变量联合分布所得出的[5];
（2）基于零均值的正态分布的置信区间阈值:λ=3α，其中α为噪声的标准方差.该阈值是假设0均值的正态分布变量必定会处在区间［－3α，3α］之内，因此我们通常都会认为绝对值大于3α的系数是由信号产生的，否则就是由噪声所产生的[5].
3.3 阈值函数
含噪信号
小波分解
阈值去噪
重构信号
小波逆变换
主要有这么两种阈值函数选取方式，硬阈值法和软阈值法 硬阈值法：
λ
λ>≤=||,||,0{)(x x x x f
其中λ为选取的阈值（下同）.即将信号的绝对值与阈值对比，信号的绝对值小于等于阈值则设其为0，若信号的绝对值大于所选阈值，则信号将保持不变. 软阈值法：
λ
λλ
>-≤=||),|)(|sgn(||,0{
)(x x x x x f
其中()0
,10,1{sgn ><-=x x x
这里将信号的绝对值与设置的阈值作比较，信号的绝对值小于等于阈值则设其为0，若信号的绝对值大于阈值，则将其设置为信号绝对值与阈值的差.
对比这两种阈值函数的选取.硬阈值方法能很好的反映信号的非平稳特征 ，但是它是不连续的，会导致重构之后的信号有所波动，所以去噪后的信号残留的噪声会很明显；软阈值法具有较好的连续性，所以去噪结果更平滑，然则它的导数不具有连续性，其预计小波系数与初始小波系数值相比有一个固定不变的差值，而且对大于阈值的系数进行定值压缩与噪声随着小波系数增大而减少的事实不符合，所以软阈法处理后的小波系数较好处理，但可能会使图像边缘模糊出现失真.
3.4 小波阈值去噪算法的算法设计
小波阈值算法以其简单,运算量小的特点,得以大量的运用在信号去噪方面.美中不足之处有二:分解层数越大，白噪声信号的模极大值会跟着下降,这就会导致在用全局阈值处理不同的分解层时会在低频系数中错误的去掉太多的有效信息，在高频系数反而使大量的噪声残留.在进行阈值处理时,硬阈值处理能较好的保存有效信号的局部特征,但由于硬阈值法的不具有连续性,去除噪声后的结果不能稳定；软阈值处理的信号尽管在去除噪声后变得更为光滑,但估计的小波系数与原小波系数之间存在固定的偏差.本文采用的改进方法如下: 3.4.1各层采用不同的阈值
ja K t x WT 2|)(|2≤——（1）
其中k 为一个常数，j 为分解层数，a 为lipschitz 指数，)(2t jx WT 为第j 层的小波系数.lipschitz 指数能衡量信号的奇异性,即是说a 越小,信号突起越多.对于一般信号a >0,即有用信号对应小波系数随分解尺度j 的增大而变大.而白噪声的
lipschitz 指数则为负值0,2
1
>--=εεa ,即噪声对应的小波系数随分解尺度j 的增
大而减小.而白噪声的lip 指数满足：
0,2
1
>--=εεa ——（2）
有（1）式和（2）式可知：
|})(max {|2
2
|})(max {|122t x WT t jx WT n j n +>
其中
)
(2t jx WT n 为噪声对应的第j 层小波系数,由以上式子不难看出噪声说对应的
第j +1层小波系数的最大值比第j 层小波系数的最大值要小,所以,此文在经过阈值处理时每层系数都会使用不一样的阈值,选取恰当的阈值计算方法就可以得到第一层阈值,往下的每层阈值为上一层阈值的
2
2倍，即12
2
+=
j j λλ. 3.4.2采用新的阈值函数
由于软阈值和硬阈值的不足之处明显,在这里选用一种新的阈值函数.该阈值函数要尽可能的结合软、硬阈值的优点，即是说，既要保证新阈值函数的连续性,又要尽可能避免软阈值函数中的固定偏差.拟阈值函数如下:
λλ≥-<=||),|)(|sgn(||,0{i i i i d t d d d i d
其中，2
)]
||[exp(N
d t i λλ
-=
式中n 是一个为正的实数，i d
是经过处理前的初始小波系数,i d
是经过处理后的
小波系数.该阈值函数具有连续性,并且当λ≥||i d 的时时候，函数在高阶上可导,这时
i
d 增大，t 的值就会随之减小,这样，处理后的小波系数也不会改变.当n 的
取值非常大时,新阈值函数类似于软阈值函数;当n 接近于0的时候,新阈值函数则类似于硬阈值函数.这也即是说新的函数能够通过调节正实数n 的大小从而得以在软阈值函数和硬阈值函数之间切换,比两种经典的阈值函数灵活了许多.
图1硬阈值函数、软阈值函数及改进法制函数的曲线
图2block信号及去噪结果
图1是硬阈值函数、软阈值函数和新阈值函数曲线,阈值λ=1，n=0.5.从图中能够看出硬阈值函数的不连续性和软阈值函数存在的固定偏差.而新的阈值函数在阈值点处连续,而且在这里的渐近线是硬阈值曲线.
3.4.3实验仿真
在这里使用matlab软件首先把高斯白噪声加到block信号中去,接着再使用dbl小波将初始信号利用小波分解分为5层.通过最小极大方差法得到阈值,分别使用一般的小波阈值去噪方法和本文里设计的小波阈值去噪方法处理小波系数.仿真的结果如图2所示.
从图中可以看出,硬阈值法不能完全去除噪声信号,处理后的信号包含了一些“锯齿”,不光滑.软阈值已经失去了很多有效的信号,使信号在奇异点变化缓慢.而本文设计的小波阈值去噪方法恰恰避免了软、硬阈值两者的不足之处,既成功去除掉了更多的噪声,又还很好的保留了更多的有效信号.
3.5小波阈值去噪算法实例：
心电信号去噪
3.5.1心电信号的噪声特点
心电信号中混杂着的噪声是不平稳的，在其采集过程中会受到来自多类型噪声的干扰，其中以下三种噪声影响较大:
（1）当来自电源的磁场作用于心电图机时，会与周围人体之间形成一个环形电路;
（2）人体肌肉紧张也会产生电路而造成影响; （3）人体呼吸系统也会产生噪声影响.
这些额外的磁场与电路所产生的噪声会严重地干扰心电信号，心电信号会因为这些干扰而变得畸形，还会影响之后对信号的处理,特别是计算机会因此而得出错误的判断，导致不良的后果.可以看出，准确有效的去除心电信号中的噪声是非常有必要的.
(心电信号)
3.5.2小波分析的去噪原理
在现实的应用中，信号一般波动较大，不具有线性还有不少的奇异点.一个原始的一维信号用公式可表示为：
其中，f (t )为真实的信号，s (t )为含噪的信号，e (t )为噪声，σ为噪声的标准偏差. 有效信号通常处于低频地带，而高频信号一般是噪声信号.
在使用小波分析分解原始信号之后，在高频小波系数中包含了大量的噪声信号，有用信号往往集中在数量较少的低频小波系数内；而噪声对应的小波系数则相反.
综合上面的叙述，我们能够利用阈值去噪法来处理小波系数，然后应用小波逆变换进行信号重构，这样就能够消除信号中的噪声.
3.5.3小波分解的示意图：
0.5
1
1.5
2
2.5
3 3.5
4 4.55
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812811
1
111181
Time / s
V o l t a g e / m V
ECG signal 100.dat
)(*)()(t e t f t s σ+=1
_,,1,0n t =
3.5.4一维信号利用小波进行除噪的步骤
1.利用小波变换来去噪的流程示意图：
在小波变换域上进行阈值处理：
3.5.5阈值函数和阈值的选取
阈值函数可以采用硬阈值法或者是软阈值法，阈值则可选择固定阈值、stein 无偏似然估计阈值、启发式阈值和极大极小阈值中的一个.
3.5.6小波函数的选择
小波变换并不只是由正弦函数所唯一确定的，小波基分为了很多种，不同的小波对应不同的信号去噪.对于特定的信号来说，假如小波的选择不当，去噪的结果很有可能相差很远，甚至还有可能丢失一些有用的信息.面对如此之多小波，必须经过大量的仿真研究结果来筛选出能出色处理心电信号的小波.依照不少文献记载，对心电去噪最适宜的函数是b 样条函数：
小波分解系数示意图
预处理
小波变换多尺度分解
各尺度小波系数除噪
小波逆变换重构信号
除噪后的信号
含噪信号
多层小波分解
阀值操作 多层小波重构
b 样条函数是一种非紧支撑正交的对称小波，光滑性比较高，频率特性不错，分频能力也强，还有频带相干较小的特性.在信号处理之中小波的作用就相当于带通滤波器，并且它的对称性和反对称性分别等价为线性相位和广义线性相位.我们知道的是，当一个带通滤波器是非线性相位或广义线性相位的时候，它将会使通过它的信号发生生畸变.本文从理论的和实践的两个角度来看，紧支集的小波则是最有力的一个.b 样条函数是一种基本的样条函数，并且它的支撑区域最小．据上所述，b 样条小波确实是一个很合适的选择.
3.5.7小波去噪效果的评价
2
1)(1∑
=-=
N
i xi yi N
MSE ))
((l o g *1012210∑=-=N
i i i i y x y SNR
式中的yi 表示标准的原始信号, xi 则表示经处理后的估计的信号.其中，信
噪比mse 越大越好, 多尺度熵snr 则越小越好.
3.5.8小波去噪程序
输出评价结果及去噪后的心电信号
去噪效果的评价
根据选取的阈值去噪及重构
求各层的阈值
提取各尺度小波系数
对被选的心电信号进行小波分解
选取其中一个导联的数据
调用心电数据
开始
matlab程序：
应用作为小波函数进行层分解
%db53
%利用无偏似然估计阈值
%对100.dat from mit-bih-db的单导联数据进行去噪处理clear;clc
()
load'D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat';
()
=
E M:,2;
=
E E';
()
=
n size E;
()
s E1:2000;
=
%小波分解
[c l]=wavedec(e,3,'db5');
%?从c中提取尺度3下的近似小波系数
()
=
cA3appcoef C,L,'db5',3;
从信号中提取尺度下的细节小波系数
%c1,2,3
()
cD1detcoef C,L,1;
=
()
=
cD2detcoef C,L,2;
()
=
cD3detcoef C,L,3;
% 从c中提取尺度3下的近似小波系数
ca3=appcoef(c,l,'db5',3);
从信号中提取尺度下的细节小波系数
%c1,2,3
()
=
cD1detcoef C,L,1;
()
=
cD2detcoef C,L,2;
()
cD3detcoef C,L,3;
=
使用的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值
%stein
%cD1,cD2,cD3为各层小波系数，
%'rigrsure?为无偏似然估计阈值类型
()
=
thr1thselect cD1,'rigrsure';
()thr2thselect cD2,'rigrsure';=
()thr3thselect cD3,'rigrsure';=
%各层的阈值
[]TR thr1,thr2,thr3;=
%'s';'h '.为软阈值硬阈值 SORH 's';=
%-------------------------去噪 %XC 为去噪后信号
[]%CXC,LXC 为的小波分解结构
%PERF0PERF2.和是恢复和压缩的范数百分比 %'lvd ',为允许设置各层的阈值 %'gbl'.为固定阈值
%3为阈值的长度
[]XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2wdencmp('lvd ',E,? ...'db5',3,TR,SORH);
= ()%SNR ,%MSE %.N n 2;-----------------------=去噪效果衡量（越大效果越好越小越好）选取信号的长度 x E;
y XC;F 0;
M 0;====
221:()(()());()();()()/();();();
forii N
m ii x ii y ii t ii y ii f ii t ii m ii F F f ii M M m ii ==-===+=+
()()end;
SNR 10*log10F ;MSE M /N;SM SNR /MSE;
%subplot 2,1,1;
===对比原始信号和除噪后的信号
()()()()()()()plot s 1:1000;
title ''subplot 2,1,2;plot XC 1:1000;
title ''SNR,MSE
原始信号除噪后的信号
程序运行结果
tr =0.0708 0.3636 1.0552 snr =121.6977 mse =0.0024
3.5.9 仿真分析
通过仿真结果来看，对应小波函数和阈值的不同选择，会导致去噪的效果也大相径庭.选择’db5’小波，默认阈值对心电去噪处理效果较好.
基于小波阈值的图像去噪方法研究 摘要：本文根据已有的阈值处理函数的优缺点,提出了一种新的阈值处理函数,用于图像的小 波阈值去噪.实验表明,该方法比传统的硬阈值函数与软阈值函数具有更好的去噪效果 关键字：小波阈值去噪，阈值函数 0 引言 图像在获取或传输过程中会因各种噪声的干扰使质量下降,这将对后续图像的处理产生 不利影响.所以必须对图像进行去噪处理,而去噪所要达到的目的就是在较好去除噪声的基 础上,良好的保持图像的边缘等重要细节.近年来,小波理论得到了迅速的发展和广泛的应用. 由于其具有低熵性,多分辨性,去相关性和选基灵活性等优点,在图像去噪领域得到广泛的应 用.本文提出一种新阈值函数,并将其应用于小波阈值去噪,该函数是现有软、硬阈值函数的 推广,通过调整参数,可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点。 1 小波阈值处理 小波阈值收缩法是Donoho 和Johnstone 提出的,其主要理论依据是,小波变换具有很强的 去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却 分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可 以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声. 于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法 去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈 值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩 (shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的图 像. 2 阈值函数的选取 阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中 关键的一步。 设w 表示小波系数,T 为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有： 硬阈值函数： ? ??<≥=T w T w w w new ,0, （1） 软阈值函数： ? ??<≥-=T w T w T w w w new ,0),)(sgn( （2） 分析(1)(2)式可以得出:硬阈值函数在阈值点是不连续的,软阈值函数，原系数和分解得 到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度.同时这两种函数不能表达出分解 后系数的能量分布。因此,寻找一种新阈值函数,使它既能实现阈值函数的功能,又具有高阶 导数,同时可以体现出分解后系数的能量分布，将是我们的目标。我们提出一种新的阈值函 数为：
[转帖]小波去噪matlab程序 ****************************************** clear clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换[coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3'); %[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2);
energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw); sw=sw/sum(sw); r=xcorr(sw,'biased'); corr=max(r); %为清音（unvoice）时，输出为1；为浊音（voice）时，输出为0 if corr>=0.8
自适应图像分析与识别 课程论文 题目基于小波变换的图像去噪中的阈值研究学院电子工程学院 专业电路与系统
摘要：图像去噪是对图像进行高级处理的重要基础，已经成为当今数字图像处理的热门领域之一。基于小波多尺度分解的阈值方法是一种有效的信号去噪方法．本文详细介绍了阈值的选取方法，并列举了几种常用的阈值函数，并对它们进行了比较，以期给小波图像处理研究者一些参考。 关键字：图像去噪；阈值；阈值函数；小波变换
Abstract：Image denoising is an important foundation for advanced image processing，and is the hot research area in digital image processing．The thresholding denoising based on the multi-scales wavelet is an effective way.This text intuoduced the way how to choose the threshold, listed some common thresholding function and compared them,in the hope of giving some references for the researcher in image processing with wavelet. Key words：image denoising，thresholding,thresholding function,wavelet transform
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） 摘要 小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。 关键词：小波变换；去噪；阈值 -I-
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） Abstract Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise. Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold -II-
小波去噪 [xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,n,'wname') 式中： 输入参数x 为需要去噪的信号； 1.tptr ：阈值选择标准. 1)无偏似然估计（rigrsure）原则。它是一种基于史坦无偏似然估计（二次方程）原理的自适应阈值选择。对于一个给定的阈值t，得到它的似然估计，再将似然t 最小化，就得到了所选的阈值，它是一种软件阈值估计器。 2）固定阈值（sqtwolog）原则。固定阈值thr2 的计算公式为：thr 2log(n) 2 = (6)式中，n 为信号x（k）的长度。 3）启发式阈值（heursure）原则。它是rigrsure原则和sqtwolog 原则的折中。如果信噪比很小，按rigrsure 原则处理的信号噪声较大，这时采用sqtwolog原则。 4）极值阈值（minimaxi）原则。它采用极大极小原理选择阈值，产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。 2.sorh ：阈值函数选择方式，即软阈值(s) 或硬阈值(h). 3.scal ：阈值处理随噪声水平的变化，scal=one 表示不随噪声水平变化，scal=sln 表示根据第一层小波分解的噪声水平估计进行调整，scal=mln 表示根据每一层小波分解的噪声水平估计进行调整. 4.n 和wname 表示利用名为wname 的小波对信号进行n 层分解。输出去噪后的数据xd 及xd 的附加小波分解结构[cxd,lxd]. 常见的几种小波：haar，db，sym，coif，bior haar db db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 sym sym2 sym3 sym4 sym5 sym6 sym7 sym8 coif coif1 coif2 coif3 coif4 coif5 coif6 coif7 coif8 coif9 coif10 bior bior1.1 bior1.3 bior1.5 bior2.2 bior2.4 bior2.6 bior2.8 bior3.5 bior3.7 bior3.9 bior4.4
30 李剑等：局部放电在线监测中小波阈值去噪法的最优阈值自适应选择 its application in partial discharge detection[J] ． IEEE Trans on Dielectrics and Electrical Insulation，2002，9(3：446-457． Vol. 30 No. 8 wavelet polarity of modulus maxima[J]．Power System Technology， 2003，27(5：55-57,71． [12] Saito N，Beylkin G．Multiresolution representations using the autocorrelation functions of compactly supported wavelets[J] ． IEEE Trans on Signal Processing，1993，41(12：3584-3590． [13] 徐冰雁，黄成军，钱勇，等．多小波相邻系数法在局部放电去噪中的应用[J]．电网技术，2005，29(15：61-64,70． Xu Bingyan， Huang Chengjun，Qian Yong，et al．Application of multiwavelet based neighboring coefficient method in denoising of partial discharge[J]． Power System Technology，2005 ，29(15： 61-64,70． [14] Donoho D L ． De-noising by soft- thresholding[J]． IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3：613-627． [15] 王立欣，诸定秋，蔡维铮．局部放电在线监测中基于小波变换的阈值消噪算法研究[J]．电网技术，2003，27(4：46-48,78． Wang Lixin ， Zhu Dingqiu ， Cai Weizheng ． Wavelet transform based de-noise algorithm by thresholding in on-line
小波去噪matlab程序 ****************************************** clear clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换 [coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3');%[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2); energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw);
一种基于小波阈值降噪方法的图像降噪效果研究 电子信息学院 赵华 2015201355 一、引言 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所?干扰?的现象。如果图像被干扰得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、基本原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数ψ(x )来构造，ψ(x )称为母小波（mother wavelet ），或者叫做基本小波。一组小波基函数， {ψa,b (x )}，可以通过缩放和平移基本小波来生成： ?? ? ??-ψ=ψa b x a x b a 1)(, 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波ψ(x )为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和ψa,b (x )的内积： ( )()dx a b x a x f f x W b a b a ?? ? ??-ψ=ψ=?∞ ∞-1,,,
收稿日期：2007－12－10 作者简介：史振江（1979－），男，汉，河北唐山人，学士，讲师，研究方向智能检测与控制技术。 基金项目：河北省教育厅自然科学项目（Z2006442） 基于MATLAB 的小波消噪仿真实现 史振江１） 安建龙 ２） 赵玉菊１） （石家庄铁路职业技术学院１） 河北石家庄 ０５００４１ 衡水学院２） 河北衡水 ０５３０００） 摘要：小波阈值消噪方法是利用小波变换技术对含噪信号进行分解和重构，通过对小波分解后的小波系数限定阈值来消除噪声的方法。分析小波消噪的算法和实现步骤，并基于MATLAB 软件平台编写仿真程序。进行光纤光栅反射信号的小波消噪仿真实验，消噪效果良好。 关键词：小波消噪 阈值 分解 重构 光纤光栅 中图分类号：ＴＰ２７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：1673-1816(2008)01-0063-04 １ 引言 微弱信号检测[1]是关于如何提取和测量强噪声背景下微弱信号的方法，有效的去除信号中的噪声是实现微弱信号检测的关键。小波变换[2]是一种信号的时间、频率分析方法，具有多分辨分析的特点，是时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，已经广泛应用于信号消噪、信号处理、图像处理、语音识别与合成等领域。小波消噪[3～5]的方法可以分为三类：模极大值法、相关法以及阈值方法。其中，小波阈值消噪方法是利用小波变换技术对含噪信号进行分解和重构，通过对小波分解后的各层系数限定阈值来消除噪声的方法，因其实现简单、计算量小，取得了广泛应用。 MATLAB 即矩阵实验室，是一种建立在向量、数组和矩阵基础上，面向科学与工程计算的高级语言，它集科学计算、自动控制、信号处理、神经网络、图像处理于一体，具有极高的编程效率[6]。其中的小波处理工具箱可以方便实现小波消噪算法，对含噪信号进行消噪处理和研究。 本文详细分析了小波消噪算法，利用MATLAB 软件编写了程序，并对光纤光栅反射谱信号进行了小波消噪仿真实验。 ２ 小波变换与Mallat 算法 小波变换是指，把某一被称为基本小波的函数()t ψ平移位移b 后， 在不同尺度a 下作伸缩变换，得到连续小波序列,()a b t ψ，再与待分析信号()f t 作内积： 1/2(,)()()f R t b W a b a f t dt a ψ??=∫ （1） 在实际应用中，经常将,()a b t ψ作离散化处理，令2j a =，2j b k =g ，Z k j ∈,则得到相应的离散
小波图像去噪及matlab实例 图像去噪 图像去噪是信号处理的一个经典问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方法进行，常用的是维纳滤波，但是去噪效果不太好（维纳滤波在图像复原中的作用）。 小波去噪 随着小波理论的日益完善，其以自身良好的时频特性在图像去噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河。具体来说，小波能够去噪主要得益于小波变换有如下特点： （1）低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低。意思是对信号（即图像）进行分解后，有 更多小波基系数趋于0（噪声），而信号主要部分多集中于某些小波基，采用阈值去噪可以更好的保留原 始信号。 （2）多分辨率特性。由于采用了多分辨方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变和断点等（例如0-1突变是傅里叶变化无法合理表示的），可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来消除噪声。（3）去相关性。小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。（4）基函数选择灵活。小波变换可灵活选择基函数，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波和小波 包等（小波包对高频信号再次分解，可提高时频分辨率），对不同场合，选择不同小波基函数。 根据基于小波系数处理方式的不同，常见去噪方法可分为三类： （1）基于小波变换模极大值去噪（信号与噪声模极大值在小波变换下会呈现不同变化趋势）
（2）基于相邻尺度小波系数相关性去噪（噪声在小波变换的各尺度间无明显相关性，信号则相反）（3）基于小波变换阈值去噪 小波阈值去噪是一种简单而实用的方法，应用广泛，因此重点介绍。 阈值函数选择 阈值处理函数分为软阈值和硬阈值，设w是小波系数的大小，wλ是施加阈值后小波系数大小，λ为阈值。（1）硬阈值 当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，而大于阈值时，保持其不变，即： （2）软阈值 当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，大于阈值时，令其都减去阈值，即： 如下图，分别是原始信号，硬阈值处理结果，软阈值处理结果。硬阈值函数在|w| = λ处是不连续的，容易造成去噪后图像在奇异点附近出现明显的伪吉布斯现象。 阈值大小的选取 阈值的选择是离散小波去噪中最关键的一部。在去噪过程中，小波阈值λ起到了决定性作用：如果阈值太小，则施加阈值后的小波系数将包含过多的噪声分量，达不到去噪的效果；反之，阈值太大，则去除了有用的成分，造成失真。小波阈值估计方法很多，这里暂不介绍。 小波去噪实现步骤 （1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。
clear all clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换 [coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3'); %[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2); energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw); sw=sw/sum(sw); r=xcorr(sw,'biased'); corr=max(r); %为清音（unvoice）时，输出为1；为浊音（voice）时，输出为0 if corr>=0.8 output1(i)=0; elseif corr<=0.1
1.阈值获取 MATLAB中实现阈值获取的函数有ddencmp、thselect、wbmpen和wwdcbm，下面对它们的用法进行简单的说明。 （1）ddencmp的调用格式有以下三种： （1）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,IN2,X) （2）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wp',X) （3）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wv',X) 函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名（只在选择小波包时使用）。 （2）函数thselect的调用格式如下： THR=thselect(X,TPTR); THR=thselect(X,TPTR)根据字符串TPTR定义的阈值选择规则来选择信号X的自适应阈值。 自适应阈值的选择规则包括以下四种： *TPTR='rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein的无偏风险估计原理。 *TPTR='heursure'，使用启发式阈值选择。 *TPTR='sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(length(X))).
*TPTR='minimaxi'，用极大极小原理选择阈值。 阈值选择规则基于模型 y = f(t) + e，e是高斯白噪声N(0,1)。（3）函数wbmpen的调用格式如下： THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA); THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)返回去噪的全局阈值THR。THR 通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart的处罚算法。{C,L]是进行去噪的信号或图像的小波分解结构；SIGMA是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA是用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数，一般去ALPHA=2。 设t*使crit(t)=-sum(c(k)^2,k<=t) + 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t))的最小值，其中c(k)是按绝对值从大到小排列的小波包系数，n是系数的个数，则THR=|c(t*)|。 wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA,ARG)计算阈值并画出三条曲线。 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t)) sum(c(k)^2, k<=t) crit(t) （4）wdcbm的调用格式有以下两种： （1）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA); （2）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA,M); 函数wdcbm是使用Birge-Massart算法获取一维小波变换的阈值。返回值THR是与尺度无关的阈值，NKEEP是系数的个数。[C,L]是要进行压缩或消噪的信号在j=length(L)-2层的分解结构；LAPHA
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数(即母小波)和缩放函数(也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。
Matlab小波函数 一、Matlab小波去噪基本原理 1、带噪声的信号一般是由含有噪声的高频信号和原始信号所在的低频 信号。利用多层小波，将高频噪声信号从混合信号中分解出来。 2、选择合适的阈值对图像的高频信号进行量化处理 3、重构小波图像：依据图像小波分解的低频信号与处理之后的高频信 号来重构图像的信息。 二、第二代小波变换 1、构造方法特点： （1）继承了第一代小波的多分辨率的特性。 （2）不依赖fourior变换，直接在时域完成小波变换。 （3）变换之后的系数可以是整数。 （4）图像恢复质量与变换是边界采用何种延拓方式无关。 2、优点：算法简单，速度快，适合并行处理。对内存需求量小，便于DSP 芯片实现、可用于本位操作运算。 3、提升原理:构造紧支集双正交小波 （1）步骤：分裂—预测—更新 （2）分解与重构 三、matlab小波函数库 1、matlab小波通用函数： （1）wavemngr函数【小波管理器（用于小波管理，添加、删除、储存、读取小波）】 wavemngr(‘add’,FN,FSN,WT,NUMS,FILE) wavemngr(‘add’,FN,FSN,WT,NUMS,FILE,B) % 添加小波函数，FN为family name，FSN为family short name WT为小波类型：WT=1表示正交小波，=2表示非正交小波，=3表示带尺度函数的小波，=4表示无尺度函数的小波，=5表示 无尺度函数的复小波。 小波族只有一个小波，则NUMS=“，否则NUMS表示小波参数的字符串 FILE表示文件名 B=[lb ub]指定小波有效支撑的上下界 wavemngr(‘del’,N) %删除小波 wavemngr(‘restore’)/ wavemngr(‘restore’,IN2) %保存原始小波 OUT1= wavemngr(‘read’) %返回小波族的名称 OUT1= wavemngr(‘read’,IN2) %返回所有小波的名称 OUT1= wavemngr(‘read_asc’) %读取wavelets.asc文件并返回小波信息 （2）scal2frq函数【尺度转换频率】 F=scal2frq(A,’wname’,DELTA) %返回由尺度A，小波函数“wname”和采样周期DELTA决定的准 频率。 （3）orthfilt函数【正交小波滤波器组】
基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成：
())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的积： ( )dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ= ψ=?+∞∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （4） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 2. 图像去噪综述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设
小波去噪和小波包去噪的对比
问题 1：试生成一个含噪声信号，利用matlab 中的小波去噪和小波包去噪函数去除噪声，比较两者的性能差异。 程序如下： clc clear all load noisdopp x=noisdopp; subplot(311) plot(x); title(' 原始信号的波形图 ') axis tight; [thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xwd=wden(x,'rigrsure','s','one',4,'sym4'); subplot(312) plot(xwd) title(' 小波降噪信号 ') axis tight [thr1,sorh1,keepapp1,crit]=ddencmp('den','wp',x); xwpd=wpdencmp(x,'h',4,'sym4','sure',thr1,1); subplot(313) plot(xwpd) title(' 小波包降噪信号 ') axis tight 运行结果如下： 原始信号的波形图 5 -5 1002003004005006007008009001000 小波降噪信号 5 -5 1002003004005006007008009001000 小波包降噪信号 5 -5 1002003004005006007008009001000 区别：小波变换在低信噪比情况下的去噪效果较好，小波包分解去噪后信号更 加的平滑；小波分解主要是针对细节成分全置 0 或者给定软（硬）阈值去噪，容易丢失信号中的有用信息。
1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。 （1）Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。 Haar 函数的 定义如下：其他 1212 1 001-1(t)≤≤≤≤?????=ψt t Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； (t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波 族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j
Haar 小波的时域和频域波形图 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 t haar 时域 x 10 5 1 2 3 4 5 6 75 f haar 频域 i=20; wav = 'haar'; [phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下