哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文）
摘要
小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。
关键词：小波变换；去噪；阈值
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Abstract
Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise.
Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold
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目录
摘要........................................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................................II
第1章绪论 (1)
1.1 研究背景和意义 (1)
1.2 国内外研究历史和现状 (2)
1.3 本文研究内容 (4)
第2章小波变换的基本理论 (5)
2.1 傅立叶变换 (5)
2.2 加窗傅立叶变换 (6)
2.3 小波变换 (7)
2.3.1 连续小波变换 (8)
2.3.2 离散小波变换 (9)
2.4 多分辨分析 (12)
本章小结 (13)
第3章经典噪声类型及去噪方法 (14)
3.1 经典噪声类型 (14)
3.2 常用滤波器 (17)
3.2.1 线性滤波器 (18)
3.2.2 均值滤波器 (18)
3.2.3 顺序统计滤波器 (19)
3.2.4 其他滤波器 (19)
3.3 经典去噪方法 (20)
3.4 Matlab工具 (21)
3.4.1 Matlab 发展历程 (21)
3.4.2 Matlab 简介 (21)
本章小结 (22)
第四章小波阈值去噪及MATLAB仿真 (23)
4.1 小波阈值去噪概述 (23)
4.1.1 小波阈值去噪方法 (24)
4.1.2 图像质量评价标准 (24)
4.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介 (25)
4.3小波去噪对比试验 (27)
本章小结 (34)
结论 (35)
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致谢 (36)
附录1 译文 (38)
附录2 英文参考资料 (39)
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第1章绪论
1.1 研究背景和意义
随着计算机技术的飞速发展，数字图像处理技术获得了飞速的发展。去除图像的噪声是图像处理过程中的一个重要环节，其结果直接影响到图像质量和特征提取的精确性。现实中由于获取图像的环境、设备及传输过程存在不确定因素，使得图像受到噪声污染是不可避免的。现代医学中, 影像被广泛应用于诊断和治疗, 是必不可少的手段和工具. 医学图像的好坏直接影响着医生对病情的诊断和治疗. 医学图像在获得的过程中都会混有各种噪声, 因此有必要进行去噪研究。
如何减少甚至消除噪声一直是图像处理研究中的课题之一。噪声是影响图像质量的重要因素；噪声的存在导致图像的某些特征细节不能被辨识, 图像信噪比下降。在图像处理中如何有效地去除噪声, 提取图像信息变得尤为重要。利用计算机等设备处理图像，容易受噪声干扰造成质量下降，极大影响了人们从图像中提取信息，所以非常有必要在利用图像之前消除噪声。
信号在生成和传输的过程中会受到各种各样噪声的干扰，对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。寻求一种既能有效地减小噪声，又能很好地保留信号原始信息的方法，是人们一直追求的目标。利用振动信号或状态量对设备进行诊断是设备故障诊断中最有效、最常用的方法 ,过去常用传统的基于快速傅里叶变换( FFT)的频谱分析方法进行振动信号处理,但是傅里叶分析存在着严重的不足,它只适于分析时不变系统的平稳信号 ,而不适于分析非平稳信号,且傅里叶变换对在检测信号中包含的趋势、突变事件的开始和结束等特征分析时也显得无能为力。出于对非平稳信号和突变信号的分析的迫切要求 ,法国地球物理学家Morlet 于1984 年提出了一种新的线性时频分析方法——小波分析理论,为机械故障诊断中的非平稳信号分析,弱信号提取，信号滤波等提供了一条有效的途径。
从数学上看，小波去噪本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，完成原信号和噪声信号的区分。由此小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号分析的角度看，小波去噪是信号滤波问题，尽管在很大程度上小波去噪可以看成是
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低通滤波，但是由于去噪后还能成功地保留图像特征，在这一点上又优于传统的低通滤波器，所以小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。小波变换能够很好地保留边缘(这是因为小波变换的多分辨率特性)，小波变换后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对于早期的方法，小波去噪对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而更利于理论分析。
小波去噪的成功主要在于小波变换有如下特点:
(1)低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；
(2)多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布特点进行去噪；
(3)去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；
(4)选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同相应场合，可以选择不同的小波母函数。
小波分析是时频分析方法，具有良好的时频局部性，并且有快速算法(Mallat 算法)加以实现。这样，小波变换理论就为噪声消除问题提供了一个新的思路，其应用也日渐广泛。
1.2 国内外研究历史和现状
在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然这种方法同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用。
Mallat是最早从事小波在信号处理中的应用的研究者之一，他提出的利用
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小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法是小波去噪中最经典的方法。其基本原理是在小波变换域内去除由噪声对应的模极大值点，仅保留由真实信号所对应的模极大值点。然而仅仅利用这些有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。Mallat提出的交替投影方法较好地解决了这个问题。然而，交替投影方法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。陈德智、刘贵忠、赵瑞珍等人分别对小波系数的重构问题作了进一步的研究和改进，提出了较易实现的算法。
Xu等人于1994年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法，根据信号与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确，但很直接，易于实现。在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。潘泉等人推导出噪声能量阈值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有效方法，使得空域相关滤波算法具有自适应性。赵瑞珍等人在相关去噪的基础上，提出了一种基于区域相关的小波滤波算法，克服了通常相关算法中由于各尺度间小波系数的偏移导致的判断准确率低的缺点。
Stanford 大学以Donoho为首的一个学术群体致力于信号的去噪，取得了大量的成果。Donoho和Johnstone等人于1994年提出了信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法(WaveShrink)，还给出了t=σ2ln(N)的阈值，并从渐进意义上证明了WaveShrink的最优性；同年Coifman和Donoho提出了平移不变小波去噪。Gao和Bruce把软阈值和硬阈值方法进行推广，提出了semisoft阈值方法，研究了不同收缩(shrinkage)函数的特性，推导出最小最大阈值，并给出阈值估计的偏差、方差等的计算公式。
Johnstone等人1997年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器。Nowak 于1997年提出Cross V alidation方法进行最优信号估计，同年Jansen等人采用GCV(Generalized Cross Validation)估计器来估计小波阈值，从而对图像中的相关噪声进行去除。Nowak 等人1999年提出了针对光子图像系统的小波变换域滤波算法，在该系统中的噪声属于Poisson噪声Nowak提出了PRESS-最优非线性小波滤波方法，根据图像局部区域的大小，来调整PRESS-最优滤波器，使其与Poisson噪声的方差水平相匹配。事实上PRESS-最优非线性小波滤波方法也是介于软阈值和硬阈值之间的一种方法。
Speckle 噪声实际上是一种乘性噪声，其去除方法由Fukuda 等人提出，随后又有不少学者对乘性噪声的去除作了进一步的研究。Chang等人在2000年将自适应阈值和平移不变量去噪思想结合起来，提出一种针对图像的空域自适应
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小波阈值去噪方法，所选阈值可随图像本身的统计特性而作自适应改变。
Oktem等人提出了一种Film-grain型噪声的去除与含噪图像压缩的变换域方法。赵瑞珍等人提出了一种Poisson噪声去除的小波变换局部域复合滤波算法。Chen等人根据图像小波系数在小波分解后的相关性，提出了使用邻域小波系数的图像阈值去噪算法。Zhang等人提出了基于神经网络的图像去噪算法。Jansen提出了对于重噪声的最小风险阈值方法。
总之，目前小波去噪方法的研究非常活跃，不断有新的方法出现，尤其是有关Gaussian噪声的去除已取得了不少好的结果。
1.3本文研究内容
目前，小波去噪的基本方法有：（1）利用小波变换模极大去噪；（2）基于各尺度下小波系数相关性进行去噪；（3）采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪。此外，还有基于投影原理的匹配追踪（matching persuit）去噪法以及多小波（multiwavelet）去噪法等。阈值法由于具有能得到原始信号的近似最优估计、计算速度快以及具有广泛适应性等优点，是小波去噪方法中应用最广泛的一种，因此是本论文中主要研究的去噪方法。
本文内容安排如下：
首先，介绍小波变换基本理论。对傅里叶变换和小波变换进行了分析，分析了它们各自之间的区别和联系，指出小波变换适合信号处理的原因，同时介绍了小波变换的数学背景，这是后面讨论的理论基础。
其次，介绍了几种经典的噪声的类型，并介绍了几种经典的去噪方法和Matlab仿真工具，接着给出了小波消噪综述。介绍小波变换消噪的优势、原理以及基函数的选取问题。
再次，为一维信号和二维图像小波变换去噪算法的研究。
第四步是Matlab仿真实验。给出了图像去噪的一般模型和图像质量评价标准，通过编程实现小波阈值去噪，得到去噪后信号的直观图形，以及去噪的信噪比和最小平方误差，从而直观地证明了基于小波阈值消噪方法的优越性。
最后为全文的工作的总结。
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第2章小波变换的基本理论
小波分析（Wavelet Analysis）是数字信号处理中非常有力的一种工具。它是20世纪80年代初，由Morlet在分析研究地球物理信号时提出来的，是一种刚刚发展，但具有强大生命力的新学科技术。近些年来，小波分析成为信号处理研究的热点，不仅仅在理论上取得了很多突破性的进展，而且还在图像处理、语音信号处理、地震信号处理以及数据压缩处理等许多领域中得到了极广泛的应用。小波分析，是泛函分析、傅里叶分析及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。小波分析属时频分析的一种。它是一种多尺度的信号分析方法，使分析非平稳信号的强有力的工具。它克服了短时傅里叶变换固定分辨率的缺定，即能分析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。
一般说来，传统上使用Fourier分析的地方，现在都可以用小波分析并能够取得更好的结果，小波分析能对几乎所有的常见函数空间给出简单的刻画，也能用小波展开系数描述函数的局部性质。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统Fourier分析的不足，由于小波分析对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。这一优越的局部分析性能，使小波分析在数据压缩、边缘检测、信号处理和语音分析等领域得到了广泛应用。近年来小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波理论不断完善。随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。小波分析与Fourier分析的区别在于，Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析则联合时间，尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间—尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。本章给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法。
2.1 傅立叶变换
自Fourier提出了Fourier分析这一全新的观点后，傅立叶变换在分析领域内产生了极为重要的影响，使数学和物理等学科发生了很大的变化，引起了众多科学家的广泛关注。FFT(快速Fourier变换)的提出更使Fourier方法从理论走
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向实践，成为大们进行分析的强有力工具。傅立叶变换（Fourier Transform ）定义为：给定信号)(t f ，如果它满足
∞
∞-dt t f 2
)( (2-1)
那么可对其进行傅立叶变换
dt
e
t f w F jwt
-+∞
∞-?=)()( (2-2)
其逆变换为
dw e
w F t f jwt
)(21)(∞
-∞+?=
π
(2-3)
)(t f 与)(w F 是一一对应的变换对。
傅立叶变换在信号分析和图像处理等领域里有着重要的应用，能将信号的时域特征和频域特征联系起来，是信号分析与信号处理的重要工具。傅立叶变换有很强的频域定位和频域局部化能力，但
是没有时间定位和时间局部化能力。傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。受海森堡测不准原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好，也无法根据信号的特点来自动调节时域及频域的分辨率。为了从模拟信号中提取频谱，就要取出无限的时间量，使用过去的和将来的信息只为计算单个频率的频谱。由定义可知属于某一给定的区间反映不出)(t f 在其时间区域上的信息。因为信号的频率反比于其时间周期长，因此对高频谱信息而言，时间区域应相对窄，而对低频谱信息而言，时间区域应相对宽，即应给一个可调时频窗，Fourier 分析不能做到这一点，从而不适于做局部分析。
2.2 加窗傅立叶变换
由于傅立叶变换不能将信号的时域特征和频域特征有机结合起来，DennisGabor 于1946年提出了短时傅立叶变换(Short Fourier Transform)，也称为加窗傅立叶变换(Windowed Fourier Transform)。设)()(2R L x g ∈,而且
0)()(2
≠?=
dx x g x g ，
如果∞
∞-dx x g x 2
)(，则称)(x g 是一个窗函数。)(x g 的中心)(g E 和半径)(g ?分别定义为：
)(g E dx
x g dx x g x 2
2
)()(∞
+∞-+∞
∞-?
??=
)(g ?=
dx
x g dx
x g g E x 2
2
2
)()()]([∞+∞
-∞+∞-?
-? (2-4)
如果窗函数)(x g 的傅立叶变换)(w G 也满足窗函数的条件，)(w G 的频率中心
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)(G E 和频窗半径)(G ?分别定义为：
)(G E dw
w G dw w G w 2
2
)()(∞+∞-+∞
∞-?
??=
)(G ?=
dw
w G dw
w G G E w 2
2
2
)()()]([∞+∞
-∞+∞-?
-? (2-5)
对任意固定的t 和w ，加窗傅立叶变换给出了信号在时频平面上的一个时频窗 )]()(),()([)]()(),()([G w G E G w G E t t g E t t g E ?++?-+??++?-+ (2-6) 选定窗口函数)(x g 之后，这个时频窗是时频平面上的一个具有固定面积
)()(4G g ??的矩形。加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的
某些特殊需要。但是当窗口函数选定以后，它不能随着所要分析的的信号成份在高频信息和低频信息而相应变化，对非平稳信号的分析能力是很有限的，不适合分析频带较宽的频谱。而我们希望对高频信号进行分析时窗口要窄一些，对低频信号分析时窗口要宽一些，而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口的宽度，具有敏感的变焦距特性，能够满足我们分析的需要。
2.3 小波变换
令)()(2R L t ∈ψ（)(2R L 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅里叶变换为)(Ωψ。当)(Ωψ满足下面的允许条件时
∞
<ΩΩ
Ωψ=
?
d C R
2
)(ψ (2 -7)
则)(t ψ就是一个基本函数，令
)(
1)(,a
b t a
t b
a -=ψψ
式中，a ，b 均为常数，且a >0。a 称为尺度因子，b 为位置参数，若a ，b 不断地变化，可得到一组函数)(,t b a ψ。则x (t )的小波变换（wavelet transform, WT ）
定义为
??>=<=
-=
)(),()()(
)(1),(,*,*
t t x dt t x dt a
b t t x a
b a WT b
a b
a x ψ
ψ
ψ (2-8)
小波变换可理解为用一组分析宽度不断变化的基函数对x (t )做分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同频率范围需要不同的分辨率这一基本要求。 令x (t )的傅里叶变换为)(ΩX ，)(t ψ的傅里叶变换为)(Ωψ，由傅里叶变换的性质，)(,t b a ψ的傅里叶变换为
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b
j b a e
a a a
b t a
t Ω-Ωψ=Ωψ?-=
)()()(
1)(,ψψ (2-9)
由Parseval 定理可得
Ω
ΩψΩ>=
ΩψΩ<=
Ω∞
∞
-?
d e
a X 2a X
b a WT b
j b a x )()()(),(21),(*,π
π
(2-10)
此式即为小波并变换的频率表达式。可以看出当a 减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且b 的窗口中心向Ω增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低。这便是它优于短时傅里叶变换与经典傅里叶变换的地方。总的来说，小波变换具有更好的时频窗口特性。
2.3.1 连续小波变换
设)(t ψ是平方可积函数，即)(t ψ)(2R L ∈，若)(t ψ的傅立叶变换)(w ψ满足条件：
∞
<ψ?
∞+∞
-dw w
w 2
)( (2-11)
则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，称式(2-11)为小波函数的可容许性条件。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移得小波基函数：
R b a a
b t a t b
a ∈>-=-,0),(
)(2
1,ψψ
(2-12)
其中a 为伸缩因子（又称尺度因子），b 为平移因子。
连续小波变换(CWT)定义为：设函数f(t)平方可积，)
(t ψ表示)(t ψ的复共轭，则f(t)的连续小波变换为：
dt a
b t t f a
t t f b a WT b a f ?
∞
+∞
--=
=)(
)(1)(),(),(,ψψ (2-13)
由CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。由于小波基不同于傅立叶基，小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其中最重要的是，小波基具有尺度a 、平移b 两个参数，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间，尺度相平面上。从频率域的角度来看，
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小波变换已经没有像傅立叶变换那样的频率点的概念，取而代之的是本质意义上的频带概念，从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的时间点处的变化，而是体现了原信号在某个时间段内的变化情况。
CWT 系数具有很大冗余量，从节约计算量来说，这是它的缺点之一，但是从另一方面来讲，我们可以利用CWT 的冗余性实现去噪和数据恢复的目的，其冗余性又成为CWT 不可替代的优势。
连续小波变换是一种线形变换，它具有以下几方面的性质：
（1）叠加性：设)(t x ，)()(2R L t y ∈，21,k k 是任意常数，x(t)的CWT 为
),(b a WT x ，y(t)的
CWT 为),(b a WT y ，)()()(21t y k t x k t z +=，则z(t)的CWT 为：
),(),(),(21b a WT k b a WT k b a WT y x z +== (2-14)
（2）时移不变性：若x(t)的CWT 为),(b a WT x ，则)(0t t x -的CWT 为),(0t b a WT x -。x(t)的时移对应于WT 的b 移。
（3）尺度变换：若x(t)的CWT 为),(b a WT x ，0>λ，则)(λ
t
x 的CWT 为
),(
λ
λλb
a
WT x 。此性质表明，当信号在时域作某一倍数伸缩时，其小波变换在
a,b 两轴上也作同一倍数伸缩，形状不变。
（4）内积定理（Moyal 定理）：设R L t x t x 221)(),(∈，它们的CWT 分别为
)
,(1
b a WT
x 和),(2
b a WT x ，则有：
)(),(),(),,(212
1
t x t x C b a WT b a WT x x ψ= (2-15)
式中?
∞
+ψ=
2
)(dw
w
w C ψ。
任何变换只有存在逆变化才有实际意义。对连续小波而言，若采用的小波满足可容许性条件，则其逆变换存在，即根据信号的小波变换系数就可以精确地恢复原信号，并满足连续小波变换的逆变换公式：
db a
b t a
b a WT a
da C t x x )(
1)
,(1)(0
2
-=
?
?
+∞
∞
-+∞
ψψ
(2-16)
其中∞
<ψ=
?
∞
+da a
aw C 0
2
)
(ψ。
2.3.2 离散小波变换
通常用冗余度这一概念来衡量函数族是否构成正交性，若信号损失部分后
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仍能传递同样的信息量，则称此信号有冗余，冗余的大小程度称为冗余度。连续小波变换的尺度因子a 和移位因子b 都是连续变化的，冗余度很大，为了减小冗余度，可以将尺度因子a 和移位因子b 离散化。现在的问题是，怎样离散化才能得到构成空间)(2R L 的正交小波基。由连续小波变换的时—频分析得知 小波的品质因数不变，因此我们可以对尺度因子a 按二进的方式离散化，得到的二进小波和二进小波变换，之后再将时间中心参数b 按二进整数倍的方式离散化，从而得到正交小波和函数的小波级数表达式，真正实现小波变化的连续形式和离散形式在普通函数形式上的完全统一。
由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取
Z
k j a k b j
j
∈=
=
,;2
1,2
，这时
()()()k t t t j
j k b a j
j
-=
=22
2
/2
,
2
1,ψψ
ψ (2-17)
常简写为：()t k
j ,ψ
。
变换形式为：k
j j j
f f k WT ,,2,
2
1ψ
=??
? ??
为了能重构信号()t f ，要求{}
Z
k j k
j ∈,,ψ
是()R L 2
的Riesz 基。 一个函数()R L 2∈ψ称为一个R 函数，如果{}
Z
k j k
j ∈,,ψ
在下述意义上是一个
Risez 基：
Z
k j k
j ∈,,,ψ的线性张成在()R L 2中是稠密的，并且存在正常数A 与B ，
∞
<≤
{}
{}
2,2
2
,,2,2
2
l
k j j k k
j k
j l
k j c B c
c A ≤≤
∑∑∞-∞=∞
-∞
=ψ
对所有二重双无限平方可和序列{}k j c ,成立，即对于
{}
∞<=
∑∑
∞-∞=∞
-∞
=2
,2,2
j k k
j l
k
j c c 的{}k j c ,成立。
假定ψ是一个R 函数，那么存在()R L 2的一个唯一的Riesz 基{}
Z
k j k
j ∈,,ψ，它
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在意义
Z
m l k j m k l
j m
l k
j ∈=,,,,
,,,,,δδ
ψ
ψ
上与{
}k
j ,ψ对偶。这时，每个()()R L t f 2
∈有如式(2-18)的唯一级数表示：
()()∑∑
∞
-∞=∞
-∞
==
j k k
j k
j t f t f ,,,ψ
ψ
(2 -18)
特别地，若{}
Z
k j k
j ∈,,ψ
构成()R L 2
的规范正交基时，有k
j k
j ,,ψ
ψ=
重构公式为：
()()t f t f j k
j k k
j ∑∑
∞
-∞=∞
-∞
==
,,,ψ
ψ
(2 -19)
图像可以看作是二维的矩阵，一般假设图像矩阵的大小为N N ?，且有
n
N 2=（n 为非负的整数）
。那么每次小波变换后，图像便分解为4个大小为原来尺寸1/4的子块区域，如图2-1所示，分别包含了相应频带的小波系数，相当于在水平方向和坚直方向上进行隔点采样。进行下一层小波变换时，变换数据集中在LL 频带上，图2-2所示为3层小波变换的系数分布。
LL
1
HL 1
LH 1 HH
1
图2-1 一次离散小波变换后的频率分布
LL 3
HL
3
HL
2
HL 1
LH
3
HH
3
LH
2
HH
2
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LH
1
HH
1
图2-2层小波变换后的频率分布
2.4 多分辨分析
Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。
空间()R L 2的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列{}Z j j V ∈，使其具有以下性质：
(1) 单调性（包容性）:
??????--21012V V V V V
(2) 逼近性：
(){}0,
2
==?
?????∞
-∞
=∞-∞= j f
j f V
R L V close
(3) 伸缩性：
()()12-∈?∈j j V t V t φφ
(4) 平移不变性：
()()
Z k V k t V t j j j ∈?∈-?∈-,
2
1
φφ
(5) Riesz 基存在性：存在()0V t ∈φ，使得(){}Z k j k t ∈--2φ构成j V 的Riesz 基。 在定义2.4-1中，j V 对应于j -2分辨率，有时候j V 对应于j 2分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。
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本章小结
小波分析来源于傅里叶分析，它不能代替傅里叶分析，它是傅里叶分析的新发展，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实，对于长时间内比较稳定的信号，用傅里叶分析比较适合，小波变换由于具有时-频局部化，具有自适应性，在低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在高频段采用低的频率分辨率和高的时间分辨率，非常适合于分析有突变的信号。
本章是小波分析的理论基础。首先从小波定义谈起 继而介绍连续小波变换和其特殊化形式——离散小波变换，然后较为详细地介绍了多分辨分析。
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第3章 经典噪声类型及去噪方法
3.1 经典噪声类型
噪声是造成图像退化的重要因素之一，数字图像的噪声主要来源于数字化过程和传输过程。噪声对图像信号的幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独立不相关，有些事相关的，噪声本身之间也有可能是相关的。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同的方法，以达到满意的处理效果。
设g(x)表示图像。我们将图像分解成所需要的部分，用f(x)表示，噪声部分用n(x)表示。最常用的分解就是加性分解，即
)()()(x n x f x g += (3-1) 例如，高斯噪声就常常被认为是加性结构的。 第二常用的分解就是乘性的，即
)()()(x n x f x g *= (3-2) 散斑就是通常被模拟为乘性噪声的一个例子。
下面，将介绍几种经典的噪声模型：
（1） 高斯噪声
高斯噪声是一种具有正态分布，也称为高斯分布，概率密度函数的噪声。加性高斯噪声可能是出现概率最大的一类噪声了。高斯噪声广泛应用于热噪声和某些理想情况，在这些情况下它限制其它噪声的作用。如，光子计数噪声和影片颗粒噪声。
均值为μ方差为2σ的一元高斯噪声密度函数n 为
2
2
2
12)
()
2()(σ
πu x e
x p n --=- (3-3)
X 的取值为∞<<∞-x 。
高斯分布最重要的性质应该是中心极限定理，这个定理陈述了大量的独立、小随机变量和的分布函数具有高斯分布的特性。注意，对于单个随机变量不需要它们自己有高斯分布函数，也不需要是同分布。
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（2） 重尾噪声
很多情况下，中心极限定理的条件都只是差不多满足而不是十分满足和函数中的项可能不是足够的多，或者那些项不是充分的独立，或者其中小部分的项对和提供的数据不均衡。在这些情况下，噪声可能就只能近似为高斯型。这是一种值得注意的情况。甚至当某个密度函数的中心接近高斯型，但其尾部有可能不是。
“重尾”就是对于值很大的x ，其密度)(x P n 趋近0的速度比高斯型慢很多。
例如，对于大值的x ，高斯型以)2exp(2
2
σ
x
-的速度趋近于0，而二重指数密度
会以)exp(
σ
x
-的速度趋近于0。二重指数密度就是所谓的重尾噪声。
重尾噪声的一个有趣、应该熟悉的例子是在暴风雷电的天气下由微弱广播调幅电台所产生的静电干扰。大多数时间，中心极限定理的条件还是很好的被满足，而噪声也是高斯型。然而，在某些情况下，也存在晴天霹雳。闪电淹没了微电子的作用主宰了和函数。
（3） 椒盐噪声
椒盐噪声指的是广泛存在于多种处理过程，这些过程导致了相同的图像退化：仅仅小部分的像素被噪声污染，但是噪声非常严重。这种噪声影响就像少量黑白点——即盐粒和胡椒粉在图像上。
有椒盐噪声产生的一个例子就是在有噪数字链接中的图像传输。利用多种顺序统计滤波器可以很容易将椒盐噪声消除，特别是中心加权中位值滤波和LUM 滤波器。
（4） 均衡和量化噪声
量化噪声产生于连续随机变量被转换成离散型的过程或者离散随机变量转换成另一个更少等级的离散随机变量过程。在图像中，量化噪声常常出现在数据收集过程。可能最初图像是连续的，但是，被处理过后就会变成一幅数字图像。
就像我们应该知道的那样，量化噪声通常都被建模为均衡噪声。一些学者用均衡噪声来模拟其他图像损坏，例如，混色信号。均衡噪声与上面所讨论的重尾噪声的完全相反。其尾部噪声是极其轻的。
较小量化级数图像的普遍特征也许就是所谓的“圆齿状”。密度明显的分级的地方就会丢失。有连续不变颜色的很大区域被清晰的边界分隔。其影响与
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将平滑的斜坡变成一组离散阶梯相似。
（5） 光子计数噪声
基本上，获得图像的设备都是光子计数器。以a 表示图像中某些地方（一个像素）的所计的光子数目。那么，a 的分布函数常被模拟为参数为λ的泊松分布。该噪声也被称为泊松噪声或者播送技术噪声。
!
)(k e
k a P k
λ
λ
-=
= (3-4)
其中k=1，2，...
我们就可以清楚泊松分布的一个最重要的性质，即其方差与期望值相等。当λ值很大的时候，就能够用到中心极限定理。而此时泊松分布就与均值和方差值都等于λ的高斯分布很接近。
(6) 摄影颗粒噪声
摄影颗粒噪声是摄影胶片的特殊产物。它限制照片的扩放效果。以下是一个摄影过程的简单模型：
摄影胶片是由数百万个晶粒组成的。当灯光打在胶片上的时候，有些晶粒吸收光子而有些却没有，那些吸收了光子的微粒改变了样子变成了金属银。在这个变化的过程中，那些没有改变的晶粒就被清除了。
在给定的区域A ，假设有L 个晶粒，每个晶粒改变的概率为p ，p 与入射光子的数目成比例。则发生改变的微粒数N 就是一个二项分布
k L k p p k L k N --???
?
??==)1()Pr( (3-5) 因为L 很大，当p 很小但是EN Np ==λ适中，该概率就可以用泊松分布很好的近似
!
)Pr(k e
k N λ
λ
-=
= (3-6)
且当p 更大的时候也可以用高斯分布近似。
(7) CCD 成像
大约在过去的20年，CCD （电荷耦合装置）成像已经作为主流的成像形式取代了摄影成像。CCD 按光电原理完成工作。入射光子被吸收，引起电子增加至更高的能量级。这些电子完全被颗粒捕获。过后，这些电子被“读出”装置计算出来。
基于小波阈值的图像去噪方法研究 摘要：本文根据已有的阈值处理函数的优缺点,提出了一种新的阈值处理函数,用于图像的小 波阈值去噪.实验表明,该方法比传统的硬阈值函数与软阈值函数具有更好的去噪效果 关键字：小波阈值去噪，阈值函数 0 引言 图像在获取或传输过程中会因各种噪声的干扰使质量下降,这将对后续图像的处理产生 不利影响.所以必须对图像进行去噪处理,而去噪所要达到的目的就是在较好去除噪声的基 础上,良好的保持图像的边缘等重要细节.近年来,小波理论得到了迅速的发展和广泛的应用. 由于其具有低熵性,多分辨性,去相关性和选基灵活性等优点,在图像去噪领域得到广泛的应 用.本文提出一种新阈值函数,并将其应用于小波阈值去噪,该函数是现有软、硬阈值函数的 推广,通过调整参数,可以克服硬阈值函数不连续和软阈值函数有偏差的缺点。 1 小波阈值处理 小波阈值收缩法是Donoho 和Johnstone 提出的,其主要理论依据是,小波变换具有很强的 去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却 分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可 以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声. 于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法 去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈 值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩 (shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的图 像. 2 阈值函数的选取 阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中 关键的一步。 设w 表示小波系数,T 为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有： 硬阈值函数： ? ??<≥=T w T w w w new ,0, （1） 软阈值函数： ? ??<≥-=T w T w T w w w new ,0),)(sgn( （2） 分析(1)(2)式可以得出:硬阈值函数在阈值点是不连续的,软阈值函数，原系数和分解得 到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度.同时这两种函数不能表达出分解 后系数的能量分布。因此,寻找一种新阈值函数,使它既能实现阈值函数的功能,又具有高阶 导数,同时可以体现出分解后系数的能量分布，将是我们的目标。我们提出一种新的阈值函 数为：
[转帖]小波去噪matlab程序 ****************************************** clear clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换[coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3'); %[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2);
energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw); sw=sw/sum(sw); r=xcorr(sw,'biased'); corr=max(r); %为清音（unvoice）时，输出为1；为浊音（voice）时，输出为0 if corr>=0.8
自适应图像分析与识别 课程论文 题目基于小波变换的图像去噪中的阈值研究学院电子工程学院 专业电路与系统
摘要：图像去噪是对图像进行高级处理的重要基础，已经成为当今数字图像处理的热门领域之一。基于小波多尺度分解的阈值方法是一种有效的信号去噪方法．本文详细介绍了阈值的选取方法，并列举了几种常用的阈值函数，并对它们进行了比较，以期给小波图像处理研究者一些参考。 关键字：图像去噪；阈值；阈值函数；小波变换
Abstract：Image denoising is an important foundation for advanced image processing，and is the hot research area in digital image processing．The thresholding denoising based on the multi-scales wavelet is an effective way.This text intuoduced the way how to choose the threshold, listed some common thresholding function and compared them,in the hope of giving some references for the researcher in image processing with wavelet. Key words：image denoising，thresholding,thresholding function,wavelet transform
小波去噪 [xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,n,'wname') 式中： 输入参数x 为需要去噪的信号； 1.tptr ：阈值选择标准. 1)无偏似然估计（rigrsure）原则。它是一种基于史坦无偏似然估计（二次方程）原理的自适应阈值选择。对于一个给定的阈值t，得到它的似然估计，再将似然t 最小化，就得到了所选的阈值，它是一种软件阈值估计器。 2）固定阈值（sqtwolog）原则。固定阈值thr2 的计算公式为：thr 2log(n) 2 = (6)式中，n 为信号x（k）的长度。 3）启发式阈值（heursure）原则。它是rigrsure原则和sqtwolog 原则的折中。如果信噪比很小，按rigrsure 原则处理的信号噪声较大，这时采用sqtwolog原则。 4）极值阈值（minimaxi）原则。它采用极大极小原理选择阈值，产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。 2.sorh ：阈值函数选择方式，即软阈值(s) 或硬阈值(h). 3.scal ：阈值处理随噪声水平的变化，scal=one 表示不随噪声水平变化，scal=sln 表示根据第一层小波分解的噪声水平估计进行调整，scal=mln 表示根据每一层小波分解的噪声水平估计进行调整. 4.n 和wname 表示利用名为wname 的小波对信号进行n 层分解。输出去噪后的数据xd 及xd 的附加小波分解结构[cxd,lxd]. 常见的几种小波：haar，db，sym，coif，bior haar db db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 sym sym2 sym3 sym4 sym5 sym6 sym7 sym8 coif coif1 coif2 coif3 coif4 coif5 coif6 coif7 coif8 coif9 coif10 bior bior1.1 bior1.3 bior1.5 bior2.2 bior2.4 bior2.6 bior2.8 bior3.5 bior3.7 bior3.9 bior4.4
小波去噪matlab程序 ****************************************** clear clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换 [coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3');%[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2); energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw);
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） 摘要 小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。 关键词：小波变换；去噪；阈值 -I-
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） Abstract Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise. Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold -II-
收稿日期：2007－12－10 作者简介：史振江（1979－），男，汉，河北唐山人，学士，讲师，研究方向智能检测与控制技术。 基金项目：河北省教育厅自然科学项目（Z2006442） 基于MATLAB 的小波消噪仿真实现 史振江１） 安建龙 ２） 赵玉菊１） （石家庄铁路职业技术学院１） 河北石家庄 ０５００４１ 衡水学院２） 河北衡水 ０５３０００） 摘要：小波阈值消噪方法是利用小波变换技术对含噪信号进行分解和重构，通过对小波分解后的小波系数限定阈值来消除噪声的方法。分析小波消噪的算法和实现步骤，并基于MATLAB 软件平台编写仿真程序。进行光纤光栅反射信号的小波消噪仿真实验，消噪效果良好。 关键词：小波消噪 阈值 分解 重构 光纤光栅 中图分类号：ＴＰ２７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：1673-1816(2008)01-0063-04 １ 引言 微弱信号检测[1]是关于如何提取和测量强噪声背景下微弱信号的方法，有效的去除信号中的噪声是实现微弱信号检测的关键。小波变换[2]是一种信号的时间、频率分析方法，具有多分辨分析的特点，是时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，已经广泛应用于信号消噪、信号处理、图像处理、语音识别与合成等领域。小波消噪[3～5]的方法可以分为三类：模极大值法、相关法以及阈值方法。其中，小波阈值消噪方法是利用小波变换技术对含噪信号进行分解和重构，通过对小波分解后的各层系数限定阈值来消除噪声的方法，因其实现简单、计算量小，取得了广泛应用。 MATLAB 即矩阵实验室，是一种建立在向量、数组和矩阵基础上，面向科学与工程计算的高级语言，它集科学计算、自动控制、信号处理、神经网络、图像处理于一体，具有极高的编程效率[6]。其中的小波处理工具箱可以方便实现小波消噪算法，对含噪信号进行消噪处理和研究。 本文详细分析了小波消噪算法，利用MATLAB 软件编写了程序，并对光纤光栅反射谱信号进行了小波消噪仿真实验。 ２ 小波变换与Mallat 算法 小波变换是指，把某一被称为基本小波的函数()t ψ平移位移b 后， 在不同尺度a 下作伸缩变换，得到连续小波序列,()a b t ψ，再与待分析信号()f t 作内积： 1/2(,)()()f R t b W a b a f t dt a ψ??=∫ （1） 在实际应用中，经常将,()a b t ψ作离散化处理，令2j a =，2j b k =g ，Z k j ∈,则得到相应的离散
30 李剑等：局部放电在线监测中小波阈值去噪法的最优阈值自适应选择 its application in partial discharge detection[J] ． IEEE Trans on Dielectrics and Electrical Insulation，2002，9(3：446-457． Vol. 30 No. 8 wavelet polarity of modulus maxima[J]．Power System Technology， 2003，27(5：55-57,71． [12] Saito N，Beylkin G．Multiresolution representations using the autocorrelation functions of compactly supported wavelets[J] ． IEEE Trans on Signal Processing，1993，41(12：3584-3590． [13] 徐冰雁，黄成军，钱勇，等．多小波相邻系数法在局部放电去噪中的应用[J]．电网技术，2005，29(15：61-64,70． Xu Bingyan， Huang Chengjun，Qian Yong，et al．Application of multiwavelet based neighboring coefficient method in denoising of partial discharge[J]． Power System Technology，2005 ，29(15： 61-64,70． [14] Donoho D L ． De-noising by soft- thresholding[J]． IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3：613-627． [15] 王立欣，诸定秋，蔡维铮．局部放电在线监测中基于小波变换的阈值消噪算法研究[J]．电网技术，2003，27(4：46-48,78． Wang Lixin ， Zhu Dingqiu ， Cai Weizheng ． Wavelet transform based de-noise algorithm by thresholding in on-line
clear all clc %在噪声环境下语音信号的增强 %语音信号为读入的声音文件 %噪声为正态随机噪声 sound=wavread('c12345.wav'); count1=length(sound); noise=0.05*randn(1,count1); for i=1:count1 signal(i)=sound(i); end for i=1:count1 y(i)=signal(i)+noise(i); end %在小波基'db3'下进行一维离散小波变换 [coefs1,coefs2]=dwt(y,'db3'); %[低频高频] count2=length(coefs1); count3=length(coefs2); energy1=sum((abs(coefs1)).^2); energy2=sum((abs(coefs2)).^2); energy3=energy1+energy2; for i=1:count2 recoefs1(i)=coefs1(i)/energy3; end for i=1:count3 recoefs2(i)=coefs2(i)/energy3; end %低频系数进行语音信号清浊音的判别 zhen=160; count4=fix(count2/zhen); for i=1:count4 n=160*(i-1)+1:160+160*(i-1); s=sound(n); w=hamming(160); sw=s.*w; a=aryule(sw,10); sw=filter(a,1,sw); sw=sw/sum(sw); r=xcorr(sw,'biased'); corr=max(r); %为清音（unvoice）时，输出为1；为浊音（voice）时，输出为0 if corr>=0.8 output1(i)=0; elseif corr<=0.1
一种基于小波阈值降噪方法的图像降噪效果研究 电子信息学院 赵华 2015201355 一、引言 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所?干扰?的现象。如果图像被干扰得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、基本原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数ψ(x )来构造，ψ(x )称为母小波（mother wavelet ），或者叫做基本小波。一组小波基函数， {ψa,b (x )}，可以通过缩放和平移基本小波来生成： ?? ? ??-ψ=ψa b x a x b a 1)(, 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波ψ(x )为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和ψa,b (x )的内积： ( )()dx a b x a x f f x W b a b a ?? ? ??-ψ=ψ=?∞ ∞-1,,,
小波图像去噪及matlab实例 图像去噪 图像去噪是信号处理的一个经典问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方法进行，常用的是维纳滤波，但是去噪效果不太好（维纳滤波在图像复原中的作用）。 小波去噪 随着小波理论的日益完善，其以自身良好的时频特性在图像去噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河。具体来说，小波能够去噪主要得益于小波变换有如下特点： （1）低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低。意思是对信号（即图像）进行分解后，有 更多小波基系数趋于0（噪声），而信号主要部分多集中于某些小波基，采用阈值去噪可以更好的保留原 始信号。 （2）多分辨率特性。由于采用了多分辨方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变和断点等（例如0-1突变是傅里叶变化无法合理表示的），可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来消除噪声。（3）去相关性。小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。（4）基函数选择灵活。小波变换可灵活选择基函数，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波和小波 包等（小波包对高频信号再次分解，可提高时频分辨率），对不同场合，选择不同小波基函数。 根据基于小波系数处理方式的不同，常见去噪方法可分为三类： （1）基于小波变换模极大值去噪（信号与噪声模极大值在小波变换下会呈现不同变化趋势）
（2）基于相邻尺度小波系数相关性去噪（噪声在小波变换的各尺度间无明显相关性，信号则相反）（3）基于小波变换阈值去噪 小波阈值去噪是一种简单而实用的方法，应用广泛，因此重点介绍。 阈值函数选择 阈值处理函数分为软阈值和硬阈值，设w是小波系数的大小，wλ是施加阈值后小波系数大小，λ为阈值。（1）硬阈值 当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，而大于阈值时，保持其不变，即： （2）软阈值 当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，大于阈值时，令其都减去阈值，即： 如下图，分别是原始信号，硬阈值处理结果，软阈值处理结果。硬阈值函数在|w| = λ处是不连续的，容易造成去噪后图像在奇异点附近出现明显的伪吉布斯现象。 阈值大小的选取 阈值的选择是离散小波去噪中最关键的一部。在去噪过程中，小波阈值λ起到了决定性作用：如果阈值太小，则施加阈值后的小波系数将包含过多的噪声分量，达不到去噪的效果；反之，阈值太大，则去除了有用的成分，造成失真。小波阈值估计方法很多，这里暂不介绍。 小波去噪实现步骤 （1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。
1.阈值获取 MATLAB中实现阈值获取的函数有ddencmp、thselect、wbmpen和wwdcbm，下面对它们的用法进行简单的说明。 （1）ddencmp的调用格式有以下三种： （1）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,IN2,X) （2）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wp',X) （3）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,'wv',X) 函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名（只在选择小波包时使用）。 （2）函数thselect的调用格式如下： THR=thselect(X,TPTR); THR=thselect(X,TPTR)根据字符串TPTR定义的阈值选择规则来选择信号X的自适应阈值。 自适应阈值的选择规则包括以下四种： *TPTR='rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein的无偏风险估计原理。 *TPTR='heursure'，使用启发式阈值选择。 *TPTR='sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(length(X))).
*TPTR='minimaxi'，用极大极小原理选择阈值。 阈值选择规则基于模型 y = f(t) + e，e是高斯白噪声N(0,1)。（3）函数wbmpen的调用格式如下： THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA); THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)返回去噪的全局阈值THR。THR 通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart的处罚算法。{C,L]是进行去噪的信号或图像的小波分解结构；SIGMA是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA是用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数，一般去ALPHA=2。 设t*使crit(t)=-sum(c(k)^2,k<=t) + 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t))的最小值，其中c(k)是按绝对值从大到小排列的小波包系数，n是系数的个数，则THR=|c(t*)|。 wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA,ARG)计算阈值并画出三条曲线。 2 * SIGMA^2 * t*(ALPHA+log(n/t)) sum(c(k)^2, k<=t) crit(t) （4）wdcbm的调用格式有以下两种： （1）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA); （2）[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA,M); 函数wdcbm是使用Birge-Massart算法获取一维小波变换的阈值。返回值THR是与尺度无关的阈值，NKEEP是系数的个数。[C,L]是要进行压缩或消噪的信号在j=length(L)-2层的分解结构；LAPHA
数字图像去噪典型算法及matlab实现 希望得到大家的指点和帮助 图像去噪是数字图像处理中的重要环节和步骤。去噪效果的好坏直接影响到后续的图像处理工作如图像分割、边缘检测等。图像信号在产生、传输过程中都可能会受到噪声的污染，一般数字图像系统中的常见噪声主要有：高斯噪声（主要由阻性元器件内部产生）、椒盐噪声（主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生的泊松噪声）等； 目前比较经典的图像去噪算法主要有以下三种： 均值滤波算法：也称线性滤波，主要思想为邻域平均法，即用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。有效抑制加性噪声，但容易引起图像模糊，可以对其进行改进，主要避开对景物边缘的平滑处理。 中值滤波：基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性平滑滤波信号处理技术。中值滤波的特点即是首先确定一个以某个像素为中心点的邻域，一般为方形邻域，也可以为圆形、十字形等等，然后将邻域中各像素的灰度值排序，取其中间值作为中心像素灰度的新值，这里领域被称为窗口，当窗口移动时，利用中值滤波可以对图像进行平滑处理。其算法简单，时间复杂度低，但其对点、线和尖顶多的图像不宜采用中值滤波。很容易自适应化。 Wiener维纳滤波：使原始图像和其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法，是一种自适应滤波器，根据局部方差来调整滤波器效果。对于去除高斯噪声效果明显。实验一：均值滤波对高斯噪声的效果 I=imread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面\1.gif');%读取图像 J=imnoise(I,'gaussian',0,0.005);%加入均值为0，方差为0.005的高斯噪声 subplot(2,3,1);imshow(I); title('原始图像'); subplot(2,3,2); imshow(J); title('加入高斯噪声之后的图像'); %采用MATLAB中的函数filter2对受噪声干扰的图像进行均值滤波 K1=filter2(fspecial('average',3),J)/255; %模板尺寸为3 K2=filter2(fspecial('average',5),J)/255;% 模板尺寸为5 K3=filter2(fspecial('average',7),J)/255; %模板尺寸为7 K4= filter2(fspecial('average',9),J)/255; %模板尺寸为9 subplot(2,3,3);imshow(K1); title('改进后的图像1'); subplot(2,3,4); imshow(K2); title('改进后的图像2');
Matlab小波函数 一、Matlab小波去噪基本原理 1、带噪声的信号一般是由含有噪声的高频信号和原始信号所在的低频 信号。利用多层小波，将高频噪声信号从混合信号中分解出来。 2、选择合适的阈值对图像的高频信号进行量化处理 3、重构小波图像：依据图像小波分解的低频信号与处理之后的高频信 号来重构图像的信息。 二、第二代小波变换 1、构造方法特点： （1）继承了第一代小波的多分辨率的特性。 （2）不依赖fourior变换，直接在时域完成小波变换。 （3）变换之后的系数可以是整数。 （4）图像恢复质量与变换是边界采用何种延拓方式无关。 2、优点：算法简单，速度快，适合并行处理。对内存需求量小，便于DSP 芯片实现、可用于本位操作运算。 3、提升原理:构造紧支集双正交小波 （1）步骤：分裂—预测—更新 （2）分解与重构 三、matlab小波函数库 1、matlab小波通用函数： （1）wavemngr函数【小波管理器（用于小波管理，添加、删除、储存、读取小波）】 wavemngr(‘add’,FN,FSN,WT,NUMS,FILE) wavemngr(‘add’,FN,FSN,WT,NUMS,FILE,B) % 添加小波函数，FN为family name，FSN为family short name WT为小波类型：WT=1表示正交小波，=2表示非正交小波，=3表示带尺度函数的小波，=4表示无尺度函数的小波，=5表示 无尺度函数的复小波。 小波族只有一个小波，则NUMS=“，否则NUMS表示小波参数的字符串 FILE表示文件名 B=[lb ub]指定小波有效支撑的上下界 wavemngr(‘del’,N) %删除小波 wavemngr(‘restore’)/ wavemngr(‘restore’,IN2) %保存原始小波 OUT1= wavemngr(‘read’) %返回小波族的名称 OUT1= wavemngr(‘read’,IN2) %返回所有小波的名称 OUT1= wavemngr(‘read_asc’) %读取wavelets.asc文件并返回小波信息 （2）scal2frq函数【尺度转换频率】 F=scal2frq(A,’wname’,DELTA) %返回由尺度A，小波函数“wname”和采样周期DELTA决定的准 频率。 （3）orthfilt函数【正交小波滤波器组】
基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成：
())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的积： ( )dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ= ψ=?+∞∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （4） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 2. 图像去噪综述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如 图所示[6] ： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下
1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。 （1）Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。 Haar 函数的 定义如下：其他 1212 1 001-1(t)≤≤≤≤?????=ψt t Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； (t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波 族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j
Haar 小波的时域和频域波形图 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 t haar 时域 x 10 5 1 2 3 4 5 6 75 f haar 频域 i=20; wav = 'haar'; [phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')
函数wdencmp 功能：小波去噪，得到去噪后的图像 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = WDENCMP('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP) 其中XC为去噪后的图像信号 在wdencmp中通过xc = waverec2(cxc,lxc,w) ，重构函数得到信号xc Waverec2如何工作的呢？ X = W A VEREC2(C,S,'wname') reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S] 利用经过阈值处理过得系数C和它对应的长度S按照分解时选择的小波来重构；Waverec2涉及到的函数x = appcoef2(c,s,varargin{:},0) Appcoef2函数得到x的方法：x= idwt(a,d,Lo_R,Hi_R,l(imax-p)),综合滤波器重构 Idwt中包含了上采用和卷积函数upsconv1 x = upsconv1(a,Lo_R,lx,dwtEXTM,shift) + upsconv1(d,Hi_R,lx,dwtEXTM,shift); 里面分别调用了采样函数和卷积函数 完成！！ 函数wavedec2 功能：返回N层小波分解系数，使用指定滤波器 [C,S] = WA VEDEC2(X,N,'wname') returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N，using the wavelet named in string 'wname' ，输出C小波系数，S是对应的系数长度；Wavedec2中通过dwt获得低频系数和小波系数 for i=1:n [x,h,v,d] = dwt2(x,Lo_D,Hi_D); % decomposition c = [h(:)' v(:)' d(:)' c]; % store details s = [size(x);s]; % store size end % Last approximation. c = [x(:)' c]; s = [size(x) ; s]; Dwt2函数如何实现此功能？包含卷积conv2和下采样convdown函数 根据二维mallat变换 输入信号先与滤波器卷积conv2，再下采样得到系数[x,h,v,d] ;