刘炳初等 《泛函分析》第二版课后习题答案
习题二
1.设(,)X 是赋范空间. 对于,,x y X ∈令10,
,1,,
x y d x y x y =?=?
-+≠?
证明：1d 是X 上的距离但不是由范数诱导的距离.
证明：显然1d 满足距离公理1)、2). 若x y =，显然有111(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 若x y ≠，则当,x z z y ≠≠时，
111(,)112(,)(,)d x y x y x z z y x z z y d x z d z y =-+≤-+-+≤-+-+≤+； 当,x z z y =≠时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y z y d z y d x z d z y =-+=-+==+； 当,x z z y ≠=时，1111(,)11(,)(,)(,)d x y x y x z d x z d x z d z y =-+=-+==+； 因此，1(,)d x y 满足距离公理3).
但10,,(,)1,,
x d x x x θθθ=?=?
+≠?显然不满足11(,)(,)d x d x αθαθ=，因此1d 不是由
范数诱导的距离.
2.在l ∞中，按坐标定义线性运算且对,k x l x ξ∞∈=定义sup n n
x ξ=，证明l ∞是一
个赋范空间.
证明：显然这是一个范数.
3.设M 是空间l ∞中除有穷个坐标之外为0的元之全体构成的子空间. 证明M 不是闭子空间.
证明：令01111111,,,,,0,0,,1,,,,,2323
n x x n n ????
== ? ????? ，则显然我们有n x M ∈，
且01110,0,,,,0()121n x x n n n n ??
-==→→∞ ?+++?? ，但0x M ?，因此M 不
是l ∞得闭子空间.
4.试举例说明，在赋范空间中，由1
n n x ∞
=<∞∑，一般地不能推出1
n n x ∞
=∑收敛.
例：
5. 设(,)X 是赋范空间，0X 是X 中的稠密子集，证明：对于每一x X ∈,存在
{}0n x X ?，使得1
n n x x ∞==∑，并且1
n n x ∞
=<∞∑
.
证明：取10x X ∈，使得112x x -<
，则11
2
x x ≤+；0X X = ，∴可取20x X ∈，使得12212x x x --<，则2121211
122
x x x x x x ≤--+-<+<；同理可取30x X ∈，
使得123312x x x x ---<，则31231223111
222
x x x x x x x x ≤---+--<+<；继
续此法，可得{}0n x X ?，使得1
1
2n
i n
i x x =-<
∑，且21(2,3,)2n
n x n -<= ，由此知1
n n x x ∞==∑，并且1
n n x ∞
=<∞∑
11112n n x ∞
-=??
≤++ ???
∑.
6. 设(,)X 是赋范空间，{}0X ≠，证明：X 是Banach 空间，当且仅当，X 中的单位球面{}:1S x X x =∈=是完备的.
证明：必要性是显然的(S 为X 中闭集)，下证充分性.
若S 是完备的，设{}n x 为X 中的Cauchy 列，由于m n m n x x x x -≤-，从而
lim n n x →∞
存在，不妨设lim n n x a →∞
=. 若0a =，则显然0()n x n →→∞.若0a ≠，不
妨设0n x ≠，则n n x S x ????
???????，因为
11()0
m n n m m n n m n m n
n m n
m n
m n
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x -=
-≤
-+-→也即n n x x ????
??????
为S 中的Cauchy 列，由S 的完备性，lim n n n x x →∞存在，不妨设
lim
n n n x x S x →∞
=∈，从而有1lim
0n n n n
n n x a a
x ax x x x x x x a →∞-=-→-=，故 lim 0n n x ax →∞
-=，即{}n x 收敛，从而证得X 是Banach 空间.
7. 证明0c 是可分的Banach 空间. 证明：分以下三步来证明：
1). 证明0c 是l ∞的线性子空间. 事实上收敛列必有界，从而显然0c l ∞∈，且设
()()12120,,,,,,,,,n n x y c ξξξηηη==∈ ，则
()1122,,,,n n x y αβαξβηαξβηαξβη+=+++ ，
由于lim 0n x y αβ→∞+=，从而我们有0x y c αβ+∈，即0c 是l ∞的线性子空间.
2). 证明0c 是l ∞的闭子空间. 事实上，设()()()()120,,,,,k k k k n x c ξξξ=∈
()(0)(0)(0)012,,,,n x ξξξ= ，并且()(0)0sup 0()k k n n n
x x k ξξ-=-→→∞，因此0ε?>，
1N ?，使得当1k N >时，()(0)0sup 2
k k n n n
x x ε
ξξ-=-<
. 由于
(0)()()(0)()1()2
k k k n n n n n k N ε
ξξξξξ≤+-<+>，又因0k x c ∈，()0()k n n ξ→→∞，故存
在()1N N ≥，使得当n N >时恒有()2
k n ε
ξ<，从而(0)n ξε<，n N ?>，即00x c ∈，
由此知0c 是l ∞的闭子空间.
3). 由于l ∞为Banach 空间，而0c 是l ∞的闭子空间，从而0c 是Banach 空间，下证
0c 是可分的. 设M 为一切有限有理数列全体，即()12,,,,n n x M ξξξξ=∈? 全
为有理数，且存在x N ，使得当x n N >时，0n ξ=. 显然1
n n M Q ∞
= ，可知M 可数.
()1200,,,,,n y c εηηη?>=∈ ，由于0n η→，故存在N ，使得当n N >时，n ηε<. 对()12,,,N N R ηηη∈ ，存在()12,,,N N Q ξξξ∈ ，使得1sup n n n N
ηξε≤≤-<，从而存在
()012,,,,0,0,N x M ξξξ=∈ ，使得0y x ε-<，即M 在0c 中稠密. 综上可知0c 是可分的Banach 空间.
8. 设(,)n n X 是一列赋范空间，{}(),1,2,n n n x x x X n =∈= 且满足条件
1
p
k
k x ∞
=<∞∑
，用X 表示所有x 的全体，按坐标定义线性运算构成的线性空间，
在X 中定义11
(1)p
p
k
k x x p ∞
=?
?=≥ ???
∑，证明(,)X 是一个赋范空间.
证明：只需证明 是一个范数即可. 事实上，显然0x ≥，且0x =，即
1
0p
k
k x ∞
==∑
，从而有0(1,2,)k
k
x k == ，又k X 是赋范空间，故
(1,2,k x k θ== ，从而可得x θ=，即证明了范数公理的条件1)成立，而条件2)显然成立，下证条件3)成立. 设{}{}(),,,1,2,n n n n n x x y y x y X n ==∈= ，由离
散
情
形的Minkowski 不
等式
，我们
有
11
1111
p
p
p
p
p p k
k k
k k k k x y x y
x y x y ∞
∞
∞
===????
??
+
=+≤+=
+ ? ? ???
?
?
??
∑∑∑
,从而证得 是一个范数，从而(,)X 是一个赋范空间.
9. 证明：1) 离散情形的H?lder 不等式与Minkowski 不等式；2) ()1p l p ≥是可分的Banach 空间.
证明：1). 首先证明离散情形的H?lder 不等式，即证明下列不等式成立：
11
111p
q
p q k k k k k k k ξηξη∞
∞
∞
===??
??≤ ? ???
??
∑∑∑，其中11
1,1p p q ≥+=. 令1
1
,p
q
p q k k
k k A B ξη∞
∞
====∑∑，由不等式p
q
a b ab p q ≤+可得11p q
k k k k AB p A q B
ξηξη≤+ 从而有1
111
1
1111
1p
q
p
q p
q
k k
k k
k
k k k k k k A B AB p A q B
p
q
p q
ξηξηξη--∞
∞
∞
∞
∞
=====≤+=+=
+=∑
∑∑∑∑，所以11
111p
q
p q k k k k k k k AB ξηξη∞
∞∞===??
??≤= ? ?????
∑∑∑. 由离散情形的H?lder 不等式，我们可以推导相应的Minkowski 不等式：
11
1
111p
p
p
p p p k k k k k k k ξηξη∞
∞
∞
===????
??
+≤+ ? ? ???
??
??
∑∑∑
事实上，由H?lder 不等式，我们得到
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1)
(1)
11
11
111
111,p
p p k k k k k
k k k
k k k p
q
p
q
p q p p q p k k k k k k k k k k q
p p p p p k k k k k k k ξηξξηηξηξξηηξηξηξη∞
∞
∞
--===∞
∞
∞
∞
--====∞
∞∞===+≤+++??
?
????
?≤+++ ? ? ? ???
??
??
??
???????? ?=++ ? ? ? ???
??????
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
由此即可得到1
1
1
111p
p
p
p p p k k k k k k k ξηξη∞∞∞===??
??
??
+≤+ ?
? ???
??
??
∑∑∑.
2). 首先，由于(){}12,,,,,1,2,,n n i Q r r r r r Q i n ==∈= 为n R 中全体有理点集，它是n R 中稠密的可数集，因此n R 是可分空间.
令(){}12,,,,;,,1,2,,n i M r r r r n N r Q i n ==∈∈= ，易知M 为p l 的可数子集，下证p M l =. 事实上，设()12,,,,,0,p n x l ξξξε=∈?> 存在()N ε，使得
1
2
p
p
i i N εξ∞
=+<
∑
，从而有()12,,,,0,N y r r r M =∈ ，使得
1
1112
2p p
p
N
p
p p i i i p
i i N x y
r εεξξε∞
==+??
??
-=-+<+= ?
?
??
??∑∑，
因此p M l =，即()1p l p ≥是可分的Banach 空间.
10. 证明任意线性空间中存在Hamel 基.
证明：设E 是线性空间X 中的线性无关集，令集合M 为包含E 的所有线性无关集全体，在M 上定义偏序关系为''''?,显然M 的全序子集都有上界(所有集合的并集)，由Zorn 引理，M 有极大元，不妨设为B ,下证B 即为X 的Hamel 基，如若不然，则存在y X ∈，但y B ?，即y 与B 中任何元素都线性无关，从而
{}y B M ∈ ，这与B 的极大性矛盾.
11. 设A 是线性空间X 中的子集. 证明：
111():,01.n
n n k k k k Co A x x X n x A αααα=??
=++∈∈≥=????
∑ 是任意自然数，且
证明：若令S 表示上式右端，则A S ?而且S 是凸集，从而()Co A S ?. 反之，设
F 是包含A 的任一凸集，那么(1,2,,)i x F i n ∈= ，从而1n
i i i x F α=∈∑，即得S F ?，
从而()S Co A ?.
12. 设E 是直线上的Lebesgue 可测集，且mE <∞，用p 表示()(1)p L E p ≥的范数，∞ 表示()L E ∞的范数. 证明：对于每一()x L E ∞∈，lim p
p x
x ∞→∞
=.
证明：设x M ∞=，若0mE =或0M =，显然成立，下设0,0mE M ≠≠：
i). 根据本性上确界的可达性，即存在0E E ?，使得00mE =，并且0
\sup ()E E M x t =，
所以0
\\()d ()d d p
p
p p
E
E E E E x t t x t t M t M mE =≤=*??
?
，
所以()1
p
p
x M mE ≤*. 因
为当p →∞时，()11p
mE →，即lim p
p x
M x ∞→∞
≤=；
ii). 对任意的0ε>，令{}1:()E t E x t M ε=∈>-，由上确界定义易知10mE >，从而1
1()d ()d ()p p
p E
E x t t x t t M mE ε≥≥-*??，令p →∞，则lim p
p x
M ω→∞
≥-，
由ε的任意性，知lim p
p x
M →∞
≥.从而lim p
p x
M x ∞→∞
==.
13. 设()11,X ，()22,X 是赋范空间，在乘积线性空间12X X ?中定义
()1212
1122
12
,max ,z x x z
x x =+=，其中()1
2
1
2
,,z X X z x x ∈?=.证明
1z ，
2z 是12X X ?上的等价范数.
证明：显然2122z z z ≤≤，从而它们是等价范数.
14．设X 是区间[],a b 上所有连续函数全体按通常方式定义线性运算所成的线性空间，对于x X ∈定义1sup ();()d b
a a t b
x x t x x t t ≤≤==?.证明： 和1 是X 上两个
不等价的范数.
证明：显然 和1 是X 上的两个范数，且1()x b a x ≤-，要证两个范数不等价，则只需证明不存在0c >，使得1x c x ≥，即证明存在[]C ,n x a b ∈，使得
1
n n x x →∞.令()()(),,2()2,
,20,,
n b a
a n t a a t a n
b a nb
b a
x t a b a t a b a n n
b a a t b n
-?
+-≤≤+
??
--?=--++≤≤+?-??-+≤≤??
则()()12,
,
2n n b a b a x x b n
-+=
=()()
1
22n n
x n
x b b a b a =
→∞-+.
15. 设Banach 空间(,)X 具有Schauder 基{}n e ，用M 表示所有使得1
k k k e ξ∞
=∑在X
中收敛的数列{}k ξ的全体，按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一
{}k x M ξ=∈，定义11
sup
n
k k
n
k x e
ξ==∑，证明(,)M 是Banach 空间.
证明：首先易知1 是范数.设{}()m x M ∈是Cauchy 列，
()()()()()12,,,,m m m m n x ξξξ=
16. 设(,)X 是赋范空间，Y 是X 的子空间，对于x X ∈，令
(),inf y Y
d x Y x y δ∈==-.如果存在0y Y ∈，使得0x y δ-=，称0y 是x 的最佳逼近.
1) 证明：如果Y 是X 的有穷维子空间，则对每一x X ∈，存在最佳逼近. 2) 试举例说明，当Y 不是有穷维空间时，1)的结论不成立. 3) 试举例说明，一般地，最佳逼近不惟一.
4) 证明对于每一点x X ∈，x 关于子空间Y 的最佳逼近点集是凸集.
证明：1).有下确界定义，0,n y Y ε?>?∈，使得n x y δδε≤-<+.因为Y 是有穷维子空间，从而存在子列{}
{}k n n y y ?，使得0k n y y →，将上面不等式中的n 改为k n ，并令k →∞，便有0x y δδε≤-<+，由ε的任意性即可得到0x y δ-=，即0y 就是x 的最佳逼近元.
2).例：在0c 空间中，令{}011:02n n n
n n M x c ξξ∞
∞
==??==∈=????
∑，则易证M 是0c 的闭子空间. 设()02,0,,0,x = ，下面说明对此0x ，
M 中不存在最佳逼近元. 事实上，N m ?∈，令()11
1,1,,1,0,0,2m m m x M -??
?=---∈ ? ?
??
个，则
()
00111(,)12
m m m x x d x M →∞--=+?≤.下证0,1y M x y ?∈->.用反证法.假设存在
()12,,,,k y M ξξξ=∈ ，使得01x y -≤，则()0122,,,,k x y ξξξ-=--- ，
011,2,
12 1.
k k x y ξξ?≤≥-≤??
-≤?又由()12
2
1
1,212
22
k
k
k k
k
k k k ξξξξ∞
∞
==≤≥?≤<
?<∑∑
.这与121ξ-≤矛盾.所以0,1y M x y ?∈->.两边取下确界，得到0(,)1d x M ≥，从而我们可以得到0(,)1d x M =，即在M 上找不到一点，使得该点是0x 的最佳逼近. 3).例：在2R 中，对()212,x x x R ?=∈，定义范数12max(,)x x x =，并设()00,1x =,
()11,0e =，a R ∈，则(){}01,1max ,1x ae a a -=-=，从而01min 1a R
x ae ∈-=，但
最佳逼近元{}11a ae ≤不惟一.
4).设M 为x 关于子空间Y 的最佳逼近点集，则对[]12,,0,1y y M λ?∈∈，
12(,)x y x y d x Y -=-=，从而
()()()121212(1)(1)(1)(,)
x y y x y x y x y x y d x Y λλλλλλ-+-=-+--≤-+--=又显然()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-≥，从而()12(1)(,)x y y d x Y λλ-+-=，即
12(1)y y M λ+-∈，所以M 是凸集.
17. 设(,)X 是赋范空间，如果对任意,,x y X x y ∈≠且1x y ==必有
2x y +<，称(,)X 是严格凸赋范空间.
1) 证明赋范空间(,)X 是严格凸的，当且仅当，对任意,x y X ∈，
x y x y +=+必有(0)x y αα=>.
2) 证明在严格凸赋范空间中，对于每一个x X ∈，x 关于任意子空间Y 的最佳逼近是惟一的.
证明：1). 必要性. 设x y x y +=+，则
11x y x y x
y x y x y x x y
y +=?+
=+++，由严格凸性，x y
c x y
=，即c x x y y
=
，令c x y
α=
，即可得到x y α=.
充分性.用反证法，如果存在,,x y X x y ∈≠且1x y ==，使得(1)1x y ββ+-=，即(1)(1)x y x y ββββ+-=+-，由假设，必存在α，使得(1)x y βαβ=-，又因为1x y ==，从而可得x y =，矛盾.
2).用反证法.事实上，若(),0d x Y >,并有12(,)x y x y d x Y -=-=，则对
[]0,1α?∈，由严格凸性有
()()()12121211
(1)(1)(,)(,)
(1)1
(,)(,)x y y x y x y d x Y d x Y x y x y d x Y d x Y αααααα-+-=-+--????
--=+-< ? ?????
即()12(1)(,)x y y d x Y αα-+-<，这显然与(,)d x Y 的定义矛盾.但若(),0d x Y =，
12,y y 是相应的最佳逼近元，则必有12y x y ==，从而最佳逼近元必是惟一的. 18．设(,)X 是赋范空间，如果对任意0ε>，存在0δ>，当x y ε-≥，
1x y ==时必有2x y δ-≤-，称(,)X 是一致凸的. 证明： 1) 一致凸赋范空间必是严格凸的. 2) [],C a b 不是一致凸的. 3) []1,L a b 不是一致凸的.
证明：设X 是一致凸的赋范空间，,,x y X x y ∈≠且1x y ==，则必存在00ε>，使得0x y ε-≥(若不然，对0ε?>，都有x y x y ε-，必存在0δ>，使得22x y δ-≤-<，从而X 是严格凸的. 2). 由1),只需证明[],C a b 不是严格凸的即可.以[]0,1C 为例.取()1,()x t y t t ≡= 都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.
3). 同理. 取()1,()2x t y t t ≡=，都满足1x y ==，但2x y +=.从而不是严格凸的.
习题三
1. 设1
sup n n α≥<∞，在1l 上定义算子:T y Tx =，其中{}{},k k x y ξη==，k k k ηαξ=
(1,2,)k = . 证明T 是1l 上的有界线性算子并且1
sup n n T α≥=.
证明：1
1
1
,sup k k k k k k k k k k x ηαξηαξα∞∞
≥====≤∑∑ ，()112,,,,,k x l ξξξ?=∈
()112,,,,k y l ηηη∴=∈ ，且1
sup k k Tx x α≥≤ ，1
sup k k T α≥∴≤.另一方面，由
上确界定义，对任意的n ，存在k n ，使得1
1
sup k n k k n αα≥>-. 取()01
0,0,,1,0,k n x = 第项为,
则显然01x =，且00k n Tx T x T α=≤=，从而1
1
sup k k T n
α≥-
<. 令n →∞，则有1
sup k k T α≥≤. 所以1
sup k k T α≥=.
3. 证明Banach 空间X 是自反的，当且仅当*X 是自反的.
证明：必要性. 设X 是自反的，:**()J X X J X →=为典型映射，现证*
X 也自反. 任取
****:x x J X =→ k ，显然**x X ∈. 因为()****()()(*)x Jx x x Jx x ==，及X 的自
反性得()**R J X =，因此对任意的****x X ∈，()*******(*)x x x x =，由此知
1****J x x =，其中1:****J X X →为典型映射，且()1***R J X =，从而*X 是自反的.
充分性. 设*X 自反，假设X 不是自反的，即0()J X X =为**X 的真闭子空间(因为J 是
X 到0X 上的等距同构映射，且X 完备)，由Hann —Banach 定理，存在0******x X ∈，
满足0***1x =，且()**x J X ?∈，()0*****0x x =. 因为()1****J X X =，故存
在*
0*x X ∈，使得********001001,()x x J x x ===，********001001,()x x J x x ===，因而对任意的****x X ∈，()
****00(**)**x x x x =，但()()
*****
000()0,x x x x Jx x X ===?∈，因此*
0*x X θ=∈，这与*0
1x =矛盾，从而设X 是自反的. 20. 设X 是一致凸赋范空间，()0,1,2,n x x X n ∈= . 证明如果()0W
n x x n ??→→∞且
()0n x x n →→∞，则()0n x x n →→∞.
证明：不妨设00,n x x θ≠≠，用反证法. 为简单起见，设01n x x ==，且n x 不按范数收敛于0，那么可设00ε?>，使得00n x x ε-≥，由空间的一致凸性，0δ?>，使得
02n x x δ+≤-. 由于0W
n x x ??→，故*f X ?∈，
且1f =有()()0n f x f x →，从而有
()()002n f x x f x +→. 由于(
)002n n f x x f x x δ+≤+≤-及
()()0001
112sup sup lim
2
2n n f f
x f x f x x δ
→∞==-==+≤知01x <，这与01x =矛盾，从而必有()0n x x n →→∞.
22. 证明空间(1)p
l p <<∞上的有界线性泛函的一般形式为()1
k k
k f x αξ
∞
==
∑，其中
{}p
k x l ξ=∈，{}111q
k y l p q α??=∈+= ???
并且11
q k k f q α∞=??= ???∑，()*p q l l =.
证明：令()0,,0,1,0,n e = ，显然()12,,,,p
n x l ξξξ?=∈ ，有1
i i
i x e
ξ∞
==
∑. 设
()1
i i i f x ξη∞
==∑，其中()12,,,,q
n y l ηηη=∈ ，则由H?
lder 不等式，我们可以得到 ()1
11
11
q
p
q
p
i i i i i i i f x y x ξηηξ∞
∞
∞
===?
??
?=
≤= ? ?????
∑∑∑，从而可知()*p
f l ∈，且f y ≤.
反之，对任一()*p f l ∈，()()1,2,i i f e i η== ，()12,,,,n y ηηη= ，下证q y l ∈且()1i i i f x ξη∞
==∑
及
f y =. 事实上，令1
1
sgn n
q p n i
i i i x e l ηη-==∈∑，则
()(
)1
1
1
sgn n
n
q q
n i
i i i n i i f x f e f x ηηη-====≤∑∑. 由于
()
1111
1n
n
p
p
p q q n i
i i i x ηη-==?
???== ? ?????∑∑
，因此()111,2,n
q
q i i f
n η=??
≤= ???
∑ ，令n →∞得
1
1n
q
q i i y f
η=??
=≤ ???
∑，令(),:*p q Tf y T l l =→
，
则y T f f =≤，从
而
y T f f ==
. 又显然T 是线性算子，且为满射，故为()*p l 到q l 上的等距同构
映射，从而()*p q l l =.
习题四
1. 设12,,,,n H H H 是一列内积空间，令{}2
1:,.n n n n
n H x x H x ∞
=?
?
=∈<∞???
?
∑对于
{}{},n n x y H ∈，定义
{}{}{}(,)n n n n x y x y αβαβαβ+=+∈k ，{}{}(),n n x y ()1,n n n x y ∞
==∑.
证明H 是内积空间，并且当每一个n H 都是Hilbert 空间时，H 是Hilbert 空间. 证明：先证H 是内积空间. 因为
()()112
2
221
11
11,,n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y ∞∞∞
∞∞
=====????
≤≤≤<∞ ? ?????
∑∑∑
∑∑，
故定义
{}{}(),n
n
x y ()1
,n
n
n x y ∞
==∑是有意义的. 又由
{}{}{}()()()()
{}{}(){}{}()
1
1
1
,,,,,,n
n
n
n
n n n n n n n n n n n n n x y z x
y z x z y z x z y z αβαβαβαβ∞
∞∞
===+=+=+=+∑∑∑
及
{}{}()()()(){}{}()1
1
1
,,,,,n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n x y x y y x y x y x ∞∞∞
=======∑∑∑，而且
{}{}()()1
,,0n
n
n
n
n x x x x ∞
==≥∑及{}{}()()(),0,01,2,n n n n x x x x n =?==?
(){}1,2,n n x n x θθ==?= ，由内积定义可知H 是内积空间.
再证H 是完备的. 设{}()1
i i x ∞
=是H 中的Cauchy 列，其中()()()()()
12
,,,,i i i i n x x x x = .由定义00,i ε?>?，使得当0,i j i >时，有()()i j x x ε-<，即12
2
()()1i j
n n
n x x ε∞
=?
?
-< ???
∑，于是()()i j n n x x ε-<，所以{}
()
1
i n n x ∞
=是n H 中的Cauchy 列(n 固定)，设()(0)i n n x x →，并令()(0)(0)(0)
12
,,,,n x x x x = ，由前证12
2()()1i j n n n x x ε∞
=??-< ???
∑，0,i j i ?>，故对固定的k 使得2
()
()2
1
k
i j n n
n x x ε=-<∑. 令j →∞，则2
()(0)
2
1
k
i n n
n x x ε=-≤∑，再令k →∞，
就有2()(0)
2
1
i n n
n x x ε∞
=-≤<∞∑，即()i x x H -∈. 因为H 是线性空间，于是有
()()()i i x x x x H =--∈，故点列()()1,2,i x i = 按H 中范数收敛于x ，于是H 是完
备的，即是Hilbert 空间.
2. 设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间. 证明M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，当且仅当M ⊥是一维子空间.
证明：必要性. 若M 是H 上某个非零连续线性泛函的零空间，由Riesz 表示定理知存在f y H ∈，使得()(),,f f x x y x H =?∈，于是
()(){}
{}:,0,f f f M x f x x y y H y ⊥
===∈=，
由本节题4知.{}(
)
{}
span f f M y y ⊥
⊥⊥
==是一维子空间.
充分性. 若M ⊥是非零元y 生成的一维子空间，,x H ?∈令()(),f x x y =，则显然有()0f x x y =?⊥，即()
x M M ⊥
⊥∈=，所以M 是非零连续线性泛函f 的零空
间.
4. 设M 是Hilbert 空间H 上的非空子集，证明()M ⊥
⊥是包含M 的最小闭子空间.
证明：记span Y M =，则Y 是包含M 的最小闭子空间，故只需证()M Y ⊥
⊥=.事
实上，x Y ?∈，有s p a n n x M ∈，使得n x x →. y M ⊥?∈有()(),lim ,0n n x y x y →∞
==,
故()x M ⊥
⊥∈，即有()Y M ⊥
⊥?. 又因为Y 是闭子空间，故有()Y Y ⊥
⊥=(证明见指
南P63例5). 于是由M Y ?可得Y M ⊥⊥?，进而可得()()M Y Y ⊥
⊥
⊥⊥?=，所以
可得()span M Y M ⊥
⊥==.
5. 设H 是内积空间，M 是H 的线性子空间. 证明如果对于每一个x H ∈，它在
M 上的正交投影存在，则M 必是闭子空间.
证明：x M ?∈，
存在{}n x M ?，使得lim n n x x →∞
=. 由条件0101,,x x x x M x M ⊥=+∈∈, 于是001n x x x x x M ⊥-→-=∈. 注意到0n x x M -∈，故有()()1101,lim ,0n n x x x x x →∞
=-=
即1x θ=，从而0x x M =∈，从而M 是闭子空间.
6. 证明在可分内积空间中，任一标准正交系最多为一可数集.
证明：设H 为可分的内积空间，{}1n n x ∞
=为H 的可数稠密子集，又设{}:e λλ∈Λ为
H 中任意一簇标准正交系，则,n x λ?∈Λ?，使得2
n x e λ-<
. 若Λ不可数，
则必有{}1k n n x x ∞
=∈以及,','λλλλ∈Λ≠，使得',22
k k x e x e λλ-<
-<
，于是
''k k e e x e x e λλλλ-≤-+-<但由勾股定理，有2
2
2
''
2e e e e λλλ
λ-=+=，
即'e e λλ-=H 中的任一标准正交系最多为可数集. 7. 设{}e I αα∈是内积空间H 中的标准正交系. 证明对于每一个x H ∈，x 关于这个标准正交系的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.
证明：记{}:F e I αα=∈，由Bessel 不等式， x X ?∈，若取n 个F 中元素e λ排
成一列，不妨设为12,,,n e e e ，则有()2
2
1,n
i i x e x =≤∑，于是在F 中使(),x e λ≥
得e λ只能为有限个，记():,,n F e x e λλλ?=∈Λ≥??
及1?n
n F F ∞
== . 显然?F 为可数集，且当?e F F λ∈-时，(),0x e λ=，即x 的Fourier 系数(){},:x e I αα∈中最多有可数个不为零.
8. 设H 为Hilbert 空间，()0,1,2,n x x H n ∈= .当n →∞时，0W
n x x ??→，且
0n x x →，证明()0n x x n →→∞.
证明：由()()()()()2
,,,,,n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -=--=--+，故当n →∞时，
()2
222,0n x x x x x -→-=，即()0n x x n →→∞.
11. 设T 是Hilbert 空间H 上的线性算子且对所有,x y H ∈，()(),,Tx y x Ty =.证明
T 是有界算子.
证明：只需证明T 是H 上的闭线性算子. 设n x H ∈，且满足00,n n x x Tx y →→，则y H ?∈，由条件()(),,n n Tx y x Ty =. 令n →∞，则有()()()000,,,y y x Ty Tx y ==，故00y Tx =，即T 是闭线性算子，从而由闭图像定理可知T 有界.
13. 设H 是Hilbert 空间，(),x y ?是定义在H H ?上的泛函且关于x 是线性的，关于y 是共轭线性的并且存在常数C ，使得()(),,x y C x y x y H ?≤∈.证明：存在惟一算子()A B H ∈，使得对所有,x y H ∈，()(),,x y Ax y ?=且A ?=，其
中()11
sup ,x y x y ??===.
证明：因(),x y ?关于y 是共轭线性的，故(),x y ?关于y 是线性的，固定x H ∈，则(),x y ?为H 上的有界线性泛函，由Riesz 表示定理，存在惟一*x H ∈，使得
()(),,*x y y x ?=，即()(),*,x y x y ?=. 作映射:*A x x ，有()()(),*,,x y x y Ax y ?==
由于()()()()()()()()
1
2
1
2
1
2
1212,,,,,,,A x x y x x y x y x y Ax y Ax y Ax Ax y αβ?αβα?β?αβαβ+=+=+=+=+，即
()1212A x x Ax Ax αβαβ+=+
又因为()()2
,,Ax Ax Ax x Ax x y ??==≤，即A ?≤，所以()A B H ∈.再由Schwartz 不等式，有()(),,x y Ax y Ax y A x y ?=≤≤，故A ?≤，于是 A ?=. 若设()T B H ∈，且满足()(),,x y Tx y ?=，则()(),,,,
A xy T x y xy H =?∈，
即()(),0,,A T x y x y H -=?∈. 特别地，令()y A T x =-，得()2
0A T x -=，因此(),A T x x H θ-=?∈，故0A T -=，所以A T =.
14. 设{}n T 是Hilbert 空间H 上的有界自共轭算子列且()0n T T n -→→∞. 证明
T 也是自共轭的.
证明：由()()***0n n n T T T T T T n -=-=-→→∞，即可得**n T T →，由n T 的自共轭性即可得T 也是自共轭的.
2011年博士研究生第二次公开招考报考须知
发布时间：2011-02-24 08:37 来源：本站点击量：303
一、报名
2011博士研究生第二次公开招考网上报名时间：2011年3月4日-13日，网址：https://www.doczj.com/doc/f51941347.html,/hityzb/zs.jsp?cla=2。考生报名前需与报考导师联系，确认报考导师招生名额是否已满，是否安排本年度第二次招生。完成网上报名的考生必须进行报名确认和资格审查，具体安排如下：
1．对哈尔滨以外考生，采取邮寄报考材料的方式进行报名确认。需邮寄的报考材料有：网上报名信息卡一份（指定位置粘贴近期免冠一寸照片1张）；硕士毕业证书和学位证书（或研究生学生证）复印件1份。报考材料邮寄地址：哈尔滨市西大直街92号哈尔滨工业大学研究生院招生办杨老师收，邮编：150001。为确保报考材料邮寄准确及时，推荐各位考生使用特快专递邮寄，并在信封表面注明“博士生报考材料”的字样。邮寄截止时间为3月14日（以寄出日期为准）。
外地考生需在4月14-15日携带本人身份证、硕士毕业证书、硕士学位证书原件（或研究生证原件），到哈工大一校区（西大直街92号）行政楼302室进行资格审查，并领取报名登记表，未经过资格审查的考生不允许参加考试。
2．对哈尔滨地区考生，采取现场照相的方式进行报名确认。确认时间：3月22日；确认地点：哈工大一校区（西大直街92号）行政楼302室。现场确认的同时进行资格审查，考生需携带本人网报信息卡、身份证、硕士毕业证书、硕士学位证书原件和复印件（应届硕士生带研究生证原件和复印件）。
3．报名结束两周后，考生可在网上查询报名是否有效，如有问题请及时与我们联系。其它时间不接受报考材料是否收到和报名是否有效的查询。
二、考试
专业综合和综合能力的考核由各院（系）组织，考核时间和具体方式请留意学校网站的有关通知。
外国语和专业基础课的考试由学校统一组织，请考生于4月11日左右，到我校研究生招生网查询考场和考试地点，考试期间持本人有效证件进入考场考试，准考证在第一科考试时发放。考试的具体安排如下：
考生报考的其他注意事项请浏览我校2011年博士研究生招生简章，网址：https://www.doczj.com/doc/f51941347.html,/hityzb/newslist.jsp?cla1=2&cla=13。
哈尔滨工业大学研究生院招生办
2011年2月22日
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
涉江采芙蓉 1、诗歌表达的情感是一种怎样的情感 忧伤之情，痛苦惆怅之情。 2、到底是谁思念谁本诗的抒情主人公是男性还是女性 “所思在远道”——妻子思念丈夫。 “还顾望旧乡，长路漫浩浩”——丈夫思念家乡的妻子。 因此，本文抒发的是分居两地的夫妻相互思念的“忧伤”之情。 注：朱光潜认为是女性，这诗可纳入“闺怨诗”范畴。 3. 诗歌中的抒情主人公表达感情的方式是什么其目的是什么 明确：中国人民很早对于自然就有很深的爱好，对自然的爱与对人的爱往往紧密地联系在一起。古代人送给最亲爱的人的礼物往往不是什么金银珠宝，而是一株花或是一棵芳草，送别时总是折一枝柳条送给远行的人，远行的人为了表示对好朋友的思念，逢到驿使就托带一枝梅花给他。这种生活情调是简朴的，也是美好的。正如王维的《相思》所写：“红豆生南国，春来发几枝。愿君多采撷，此物最相思。”采花折柳，这正是古人传情达意的方式，一方面是传达了对亲朋的关怀、思念等感情，另一方面又寄托了对亲朋的美好祝愿。 1．按要求用课文原句填空。《涉江采芙蓉》中表现抒情主人公形象雅洁，情感纯洁美好的诗句是涉江采芙蓉，兰泽多芳草 2.解C（“所思在远道”指所思念的人在远乡，表现的是游子对故乡亲人的思念之情） 短歌行 1、你认为本诗的情感着眼点在哪一个字请结合诗歌具体分析。 2、明确：忧；忧人生短暂；人才难求；功业未就。 3、梳理诗意，并探究本文运用了哪些艺术手法来表达作者什么样的情感？ 4、明确：①设问开头，破空而来，表达诗人对人生的思考。②运用“朝露”为喻，表达年华易失的 感慨。③以造酒的杜康代酒，形象突出，引人联想。 5、（4）运用典故。表达作者求贤若渴的心情，说明贤才若来投奔于已，必将极尽礼节招待他。 所谓用“典”，是指在诗词中通过各种手法，或引用、或化用、或改用前人的成句、故事，以使诗典雅耐读，富于文采；还可怀古伤今，咏史言志。（补充：“青青子衿，悠悠我心”一句出自《诗经．子衿》，原句为“青青子衿，悠悠我心。纵我不往，子宁不嗣音”，言外之意即“贤士们呀，即使我不去寻访你们，你们怎么就不能主动给我个音讯呢” ） （5）运用了比喻的手法，将贤才喻为明月，意即：天下的贤士们呀，我怎样才能得到你们呢恰如其分地表达渴望贤才来归的心意。而在这还没有实现的情况下，才“忧从中来，不可断绝”。这四句诗仍是写“忧”，从情感上照应第一节。“越陌度阡”四句句意呼应第二节，仍是想象贤才归已时的欢快场面。 （6）以“乌鹊”无枝可依类比在三国鼎立的局面下，有些人才犹豫不决，彷徨不知何去何从。表达出对人才的渴望。言外之意即“我就是你们所要寻求的明主，不要再犹豫徘徊了，赶紧来投奔于我，我助你们实现你们的人生理想，你们助我实现统一大业”。 1、《短歌行》中以_山不厌高，水不厌深喻自己胸怀宽广，招揽人才越多越好。 2．明确：不然，作者的这种忧思，源于内心的焦急。正因为人生短暂，才最渴望招纳贤才，为己所用，建功立业。3．这一句充分吐露了诗人的心志。“山不厌高，海不厌深”化用《管子·形解》的话，用比喻手法说明自己渴望多纳贤才。同时曹操以周公自比，是说自己也有周公那样的胸襟，一定会热切殷勤地接待贤才，使天下的人才都心悦诚服地归顺。 归园田居 1、“归园田居”这个标题能告诉我们哪些信息呢题眼是哪个字 标题明确告诉我们作者要回到田园生活；“归”字是这首诗的题眼 2、从何而归 (l)“尘网”“樊笼”比喻什么 明确：“尘网”“樊笼”比喻官场生活（要特别注意，“羁鸟”“池鱼”是陶渊明自比） (2)为什么要如此比喻表现了诗人怎样的情感 明确：对官场生活的厌恶“误落尘网中，一去三十年”，沉痛悔恨误入仕途的生活上“尘网”一词，足见他对钩心斗角、尔虞我诈的官场的极端厌恶“误”字显出诗人的悔恨之深东晋来年权力 之争剧烈，陶渊明既不愿成为上层统治阶级矛盾斗争的牺牲品，也不愿成为政治野心家 争夺的工具，但是仕途生活却将他紧紧束缚在自己政治斗争的罗网之中，因此他十分痛 苦“一去三十年”，实应为“十三年”用夸大了的数字，说明了时间之长，痛苦之深 3、为何而归 (l)哪一句是点题句明确：“守拙归国田” (2)归西园的目的是什么为什么要“守拙”如何理解 明确：反对机巧圆滑，反对官场生活中的八面玲珑、尔虞我诈怕自己受到官场不良环境的影响而失其本心官场是个是非之地，没有那种当官的本领，很难往上爬这样，一个正直清高的人就会感到精神上很压抑没有自由，所以诗人耙自己比作‘羁鸟”“池鱼”（结合陶渊明辞官原因：不为五斗米折腰的故事） 4、归向哪里 (l)诗人笔下的田园景色有何特点抓住诗中几组意象分析 明确：方宅、草屋、榆柳、桃李、村庄、炊烟、狗吠、鸡鸣 (2)非常普通平常的农村生活场景，在陶渊明笔下为什么显得那么美 明确：诗人捕捉住农村中司空见惯的事物，画出了优美画面，有近有远有声有色，有淡有浓，有活泼有生机．有朴拙自然的趣味而这一切又与诗人在官场上的生活形成了鲜明的对照这里诗人用歌颂田园，无言地批判了官场的倾轧、争斗、混乱、险恶．表明了诗，、追求恬淡生活和平静和谐的心境 1、《归园田居》中表现诗人厌恶官场，回归自然的心情的诗句有_误落尘网中，一去三十年。羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。久在樊笼里，复得返自然。 2. (1)．明确：C（“暧暧”和“依依”不可互换） (2)．对诗的赏析，不恰当的一项是D（两句诗意境不同） (3)．“但使愿无违”中“愿”是什么愿望 远离尘世，回归自然的愿望。
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
古诗三首练习一 一、诗歌考查。 1．诗歌前两句用（）两字点明仲春景色;后两句用（）点明享受特权的对象。 2.简单分析诗歌暗喻讽喻的特色。 3.今天人们用此诗中的“（）”渲染春天的美丽景色。 二、请尝试默写古诗《寒食》。 三、小试牛刀。 1.说说诗歌《寒食》中，你最喜欢哪一句？为什么？ 3.你知道寒食节与哪位古人有关吗？ 古诗三首练习二
阅读《迢迢牵牛星》，回答后面的问题。 迢迢牵牛星 迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨。 河汉清且浅，相去复几许。 盈盈一水间，脉脉不得语。 1.这首诗取材于我国古代___________________的神话传说，它写的虽然是 天上的事，反映的却是现实的生活。人们常用这一神话比喻 ___________________。 2.这首诗中，有一个很关键的过渡性句子，它既是前因又是后果，这个 句子是___________________。 3.这首诗在刻画织女时，并没有孤立静止地去写她的思想活动，而是通 过___________________和___________________来揭示人物的内心世界，显得含蓄深沉，极富艺术感染力。 古诗三首练习三 1.字正腔圆读古诗。（将错误的读音画去） 中庭 / 地白 / 树栖（xī qī）鸦（yāyá ）， 冷（lěn lěng ）露（lùlòu）无声 / 湿桂花。 今夜 / 月明 / 人尽（jìn jìng ）望，
不知 / 秋思（shīsī）/ 落谁家。 2.“十五夜”指的是_______节的夜晚，中国历代有_______的习俗。 3.分辨孪生兄弟。（组词） 鸦（）庭（）栖（） 鸭（）廷（）晒（） 4.诗意再现。（写出下面诗句的意思） 今夜月明人尽望，不知秋思落谁家。 5.走进《十五夜望月》。 ①作者在诗中描述了_________________________________________这些景物。“秋思”一词告诉我们，诗人描写的是___________天的景物。 ②“秋思”是一种清冷、孤寂，思念感怀的情绪，这从诗中的_______、_____、______等词可以看出。“不知秋思落谁家”的疑问，我们很难作出具体的回答，但通过读诗，我们可以想象到有一个人一定是思绪满怀的，他就是________________。 6.阅读冲浪。 九月九日忆山东兄弟 唐王维 独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。 遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
7诗三首 课后篇巩固提升 随堂演练 一、课文精读 (一)阅读下面的诗歌,完成第1~2题。 涉江采芙蓉 《古诗十九首》 涉江采芙蓉,兰泽多芳草。 采之欲遗谁?所思在远道。 还顾望旧乡,长路漫浩浩。 同心而离居,忧伤以终老。 1.导学号95114014下面对这首诗的赏析不正确的两项是() A.诗的开头以女子的口吻写起,在荷花盛开的美好季节,在风和日丽中,荡一叶小舟摘几枝可爱的荷花,归去送给各自的心上人。 B.“采之欲遗谁?所思在远道。”长长的吁叹,点明了这女子全部忧思之由来。 C.第五、六两句空间突然转换,出现在画面上的,似乎已不是拈花沉思的女主人公,而是那身在“远道”的丈夫了:“还顾望旧乡,长路漫浩浩。” D.“同心而离居,忧伤以终老。”这无疑是全诗的主旨之语,将一对同心离居的夫妇的痛苦之情准确而又含蓄地表达了出来。 E.芙蓉花在我国古典诗歌中具有高洁、素雅、清幽的特点,诗歌采用比喻的手法,用芙蓉花赠人,能营造素雅的意境,象征纯洁的爱情。 解析D项,“含蓄”的说法不当,诗歌的结尾两句,是直抒胸臆。E项,“采用比喻的手法”错误,“芙蓉”是诗歌中的一个美好意象,诗人用这一意象营造意境,表达情感。 答案DE 2.从诗歌的内容上看,这首诗的前四句和后四句有不连贯的地方,似乎是叙述的角度发生了变化。你是怎样理解这种变化的? 解析对这首诗结构的理解,历来有不同的说法,可以把该诗理解为女子思夫之作,也可以把该诗理解为游子思归之作。正是因为这看似不连贯的结构,才造成了蒙太奇般的审美效果。 参考答案既可以把该诗理解为女子思夫之作,也可以把该诗理解为游子思归之作。前一种理解,诗歌的后半部分为虚写;后一种理解,诗歌的前半部分为虚写。 (二)阅读下面的诗歌,完成第3~4题。 归园田居(其一) 陶渊明 少无适俗韵,性本爱丘山。 误落尘网中,一去三十年。 羁鸟恋旧林,池鱼思故渊。 开荒南野际,守拙归园田。 方宅十余亩,草屋八九间。 榆柳荫后檐,桃李罗堂前。 暧暧远人村,依依墟里烟。 狗吠深巷中,鸡鸣桑树颠。
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
2016慕课毛概最全答案 第一章 1.1.马克思主义中国化的科学内涵 1 毛泽东在明确提出“使马克思主义中国化”的命题和任务是在 A、遵义会议 B、中共六届六中全会 C、中共七大 D、中共七届二中全会 正确答案：B 我的答案：B 得分：16.7分 2 在党的七大上，对“马克思主义中国化”、“中国化的马克思主义”两大科学命题加以阐释的党的领导人是 A、毛泽东 B、周恩来 C、邓小平 D、刘少奇 正确答案：D 我的答案：D 得分：16.7分 3 中国共产党确定毛泽东思想为指导思想的会议是 A、遵义会议 B、党的第七次全国代表大会 C、党的第八次全国代表大会 D、中共十一届六中全会 正确答案：B 我的答案：B 得分：16.7分 4 马克思主义中国化的理论成果的精髓是 A、实事求是 B、毛泽东思想 C、邓小平理论 D、“三个代表”重要思想 正确答案：A 我的答案：A 得分：16.7分 5 中国共产党在把马克思列宁主义基本原理与中国革命实际相结合的过程中，在学风问题上曾经反对过的主要错误倾向是
A、投降主义 B、经验主义 C、教条主义 D、冒险主义 正确答案：BC 我的答案：AC 得分：0.0分 6 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系都是中国化的马克思主义，它们都 A、体现了马克思列宁主义的基本原理 B、包含了中国共产党人的实践经验 C、揭示了中国革命的特殊规律 D、包含了中华民族的优秀思想 正确答案：ABD 我的答案：AB 得分：8.4分 1.2.毛泽东主义的科学内涵和形成条件 1 在毛泽东思想活的灵魂的几个基本方面中，最具特色、最根本的原则是 A、实事求是 B、群众路线 C、理论联系实际 D、独立自主 正确答案：A 我的答案：A 得分：20.0分 2 下面关于毛泽东思想的论述不正确的是pA、毛泽东思想是毛泽东同志个人正确思想的结晶 B、毛泽东思想是马克思主义中国化第一次历史性飞跃的理论成果 C、毛泽东思想是中国革命和建设的科学指南 D、毛泽东思想是中国共产党和中国人民宝贵的精神财富 正确答案：A 我的答案：A 得分：20.0分 3 毛泽东思想的核心和精髓是 A、武装斗争 B、统一战线 C、党的建设 D、实事求是 正确答案：D 我的答案：D 得分：20.0分 4 毛泽东思想形成的标志是 A、实事求是 B、遵义会议
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
1、20世纪70年代，人们就已发现，高达50%的疾病或死亡因素与什么有关？ 行为及不健康的生活方式 2哪一年在上海成立的精武体育会是当时影响最大，传播最广，维持时间最长的武术组织？1910 3.网球比赛的第一原则是什么？ 增加进攻（这个不确定，是根据网球老师说的选的） 4. 网球比赛中要赢得一局比赛，必须比对手多赢几分才可以？ 2分 5. 联合国报告认为什么将会是21世纪最严重的健康问题？ 体质下降 6. 国际羽联在哪一年正式恢复了我国的合法席位后，开始了我国羽毛球运动的鼎盛时期。1981 7. 哪一个季节人体脂肪合成速度最快？ 冬天 8. 哪一年被世界公认为现代足球的诞生日？ 1863 9. 下列哪位运动员是新中国历史上第一个获得世界锦标赛冠军的运动员？ 容国团 10.在哪届奥运会上，乒乓球成为正式比赛项目？ 汉城奥运会 11.篮球规则规定，篮圈离地垂直高度为多少？ 3.05米 12. 1895年，由美国人（）发明了排球运动。 威廉·G·摩根
13,。有助于提高肌肉力量的训练方法有哪些？ 卧推 14．下列不易于发展柔韧素质的练习时段或状态有哪些？（这个也不清楚，是看它字体颜色不一样）身体极其疲惫 15．20世纪50年代末期，巴西人创造了哪种阵型被誉为足球史上的第二次变革。 “四二四”阵形 16.曾经在NBA总决赛中受伤，坚持参加比赛最后获得冠军并取得最有价值称号的凯尔特人球星是（）？ 保罗皮尔斯 17.体育锻炼与传统心理治疗手段同样具有抗抑郁效能，是治疗抑郁症的（）手段；体育锻炼治疗抗抑郁症的效果与药物相比比较（）。 辅助；持久 18.在运动中不慎扭伤，下列做法不正确的是（） 马上揉搓患处 19.20XX年伦敦奥运会羽毛球囊括多少枚金牌？ 5 20.“让参与者成为享受运动，实现人生潜能的一代”是哪一个健康促进的愿景？ 为动而生 21.减小肚皮应采用哪一类运动？ 长时间低强度 22.棍多以抡、劈、扫、云等法为主，大多是横方向用力，动作幅度较大，其特点：一招一式虎虎生威，动如疾风骤雨，产生"棍打一大片"的效果。棍被称为（） 百兵之首 23.作为当下盛行的舞蹈元素，以人体中段（腰、腹、臀部）的各种动作为主，具有阿拉伯风情的舞蹈形式是（）。肚皮舞
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
第二单元第七课 一、课双基 1．下列词语中没有错别字的一项是( ) A．忧伤终老辟如朝露慨当以慷 B．攸攸我心兰泽芳草周公吐哺 C．山不厌高越陌度阡乌鹊南飞 D．绕树三匝同心离居误落 【答案】C(A.辟—譬，B.攸—悠，D.—尘。) 2．下列加点词语解释有误的一项是( ) A．少无适俗韵．(气质，性格) 忧思 ．．难忘(功业未就而老将至的焦虑之情) B．食野之苹．(苹果) 越陌．度阡．(田间小路，南北为阡，东西为陌) C．桃罗．堂前(排列) 枉．用相存(枉驾，屈就) D．羁．鸟恋旧林(束缚) 乌鹊 ．．南飞(乌鸦) 【答案】B(苹：艾蒿。) 3. 下列句子中没有用“互文”手法的一句是( ) A．东西植松柏，左右种梧桐 B．榆柳荫后檐，桃罗堂前 C．枝枝相覆盖，叶叶相交通 D．盈盈一水间，脉脉不得语 【答案】 D 4．对“月明星稀，乌鹊南飞。绕树三匝，何枝可依”理解不恰当的一项是( ) A．“月明”四句既是准确而形象的写景，同时也是深刻的比喻。 B．用“乌鹊”比喻贤才，希望群贤毕至。 C．操以“乌鹊”“绕树”“何枝可依”来启发那些犹豫不定的人才，不要三心二意，要善于择枝而栖，赶紧到自己这边来。 D．这四句诗采用赋的手法，直其事，表现操求贤若渴。 【答案】D(“赋”的手法，直其事，不对，应为比的手法。) 5．对“山不厌高，海不厌深。周公吐哺，天下归心”理解有误的一项是( ) A．诗人因怜贤才的无所依托，渴望其归己。 B．诗人以山海作比，引“周公吐哺”的典故作勉励，表明自己求贤不懈的耿耿赤诚。 C．诗人希望开创一个“天下归心”的大好局面。 D．诗人求才若渴，以古人自况，表明自己已成为天下人心目中的圣明君主，但却有未显声名之意。 【答案】D(“表明……”一句不对) 6．下列对《归园田居(其一)》的分析不恰当的一项是( )
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
语文：2.7 诗三首 同步练习（人教新课标版必修2） 1．下列加点字注音完全正确的一项是( ) A ．芙蓉．(rón ɡ) 鼓瑟． (sè) 度阡． (qiān) 樊．(pān)笼 B ．子衿． (jīn) 呦呦．(yōu) 遗． (wèi)谁 兰泽．(zé) C ．阡陌．(mò) 三匝．(zā) 吹笙．(shēnɡ) 吐哺．(pǔ) D ．可掇． (duō) 譬．(bì)如 守拙．(zhuō) 羁． (jī)鸟 【解析】 A ．“樊”读fán ，C.“哺”读bǔ，D.“譬”读pì。 【答案】 B 2．下列加点词语解释有误的一项是( ) A ．同心．． 而离居(指感情深厚) B ．但． 为君故(但是) C ．桃李罗． 堂前(罗列) D ．暧暧．． 远人村(昏暗，模糊) 【解析】 “但”应解释为“只，只是”。 【答案】 B 3．下列词句书写正确的一组是( ) A ．月明星稀 误落尘网中 鸡鸣桑树巅 B ．我有嘉宾 长路漫浩浩 池鱼思故渊 C ．僻如朝露 兰泽多芳草 桃李罗堂前 D ．契阔谈讠燕 复得反自然 少无适俗韵 【解析】 A 项“巅”应为“颠”，C 项“僻”应为“譬”，D 项“反”应为“返”。 【答案】 B 4．下列句子中加点字的意义和用法相同的一组是( ) A.????? 采之．欲遗谁呦呦鹿鸣，食野之．苹 B.????? 同心而离居，忧伤以．终老何以． 解忧 C.????? 同心而．离居，忧伤以终老忍尤而． 攘诟 D.????? 所．思在远道此人一一为具言所．闻 【解析】 D 项放在动词前面，组成名词性词组。A 项代词，代“芙蓉”/助词，的。B 项连词，相当于“而”/介词，凭借、依靠。C 项连词，表转折，却/连词，表并列，和。 【答案】 D 5．下列各句中加点的字解释有误的一项是( )
1计算之树中，通用计算环境的演化思维是怎样概括的？________。 A.程序执行环境—由CPU-内存环境，到CPU-存储体系环境，到多CPU-多存储器环境，再到云计算虚拟计算环境 B.网络运行环境---由个人计算机、到局域网广域网、再到Internet C.元器件---由电子管、晶体管、到集成电路、大规模集成电路和超大规模集成电路 D.上述全不对 正确答案：A
2计算之树中，网络化思维是怎样概括的________。 A.局域网、广域网和互联网 B.机器网络、信息网络和人-机-物互联的网络化社会 C.机器网络、信息网络和物联网 D.局域网络、互联网络和数据网络 正确答案： B
3人类应具备的三大思维能力是指_____。 A.抽象思维、逻辑思维和形象思维 B.实验思维、理论思维和计算思维 C逆向思维、演绎思维和发散思维 D.计算思维、理论思维和辩证思维 正确答案：B
4如何学习计算思维？_____。 A.为思维而学习知识而不是为知识而学习知识 B.不断训练，只有这样才能将思维转换为能力 C.先从贯通知识的角度学习思维，再学习更为细节性的知识，即用思维引导知识的学习 D.以上所有 正确答案：D
5自动计算需要解决的基本问题是什么？_______。 A.数据的表示，数据和计算规则的表示 B.数据和计算规则的表示与自动存储 C数据和计算规则的表示、自动存储和计算规则的自动执行D.上述说法都不正确 正确答案：C
6计算机器的基本目标是什么？ _______。 A.能够辅助人进行计算，能够执行简单的四则运算规则 B.能够执行特定的计算规则，例如能够执行差分计算规则等 C.能够执行一般的任意复杂的计算规则 D.上述说法都不正确 正确答案：C
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
13 诗词三首 行路难(其一) 酬乐天扬州初逢席上见赠 01积累与运用 1．给下列加点字注音。 金樽．(zūn)珍羞．(xiū)投箸．(zhù) 侧畔．(pàn) 长．精神(zhǎng) 2．解释下面句中加点的词。 (1)玉盘珍羞直 ．．万钱 羞：同“馐”，美味的食物 直：同“值”，价值 (2)长风破浪会．有时会：一定、必然 (3)直挂云帆济．沧海济：渡 (4)酬．乐天扬州初逢席上见赠酬：以诗相答 (5)暂凭杯酒长．精神长：增长，振作 3．文学常识填空。 (1)《行路难》(其一)选自《李太白全集》。行路难，乐府古题。诗人李白，字太白，号青莲居士，唐代(朝代)伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”，与杜甫并称为“李杜”。其代表作有《望庐山瀑布》《行路难》《蜀道难》《将进酒》《早发白帝城》等。 (2)《酬乐天扬州初逢席上见赠》选自《刘禹锡集》。诗人刘禹锡，唐代文学家、哲学家，字梦得，洛阳人，有“诗豪”之称。 4．默写。 (1)《行路难》(其一)中比喻诗人仕途受阻的诗句是：欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。“停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然”两句诗，用四个连续的动作，形象地表现了李白内心的苦闷抑郁与感情的激荡变化。“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”两句诗表现作者积极入世，对人生前途充满乐观豪迈的心态。 (2)《酬乐天扬州初逢席上见赠》中蕴含新事物必定将要取代旧事物的句子是：沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。“怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人”两句，运用典故表达了作者久谪归来，人事已非，恍如隔世之感。 5．下面诗句没有运用典故的一项是(D) A．怀旧空吟闻笛赋B．忽复乘舟梦日边 C．到乡翻似烂柯人 D．拔剑四顾心茫然 6．下列对书法作品的赏析，不恰当的一项是(C) A．笔断意连，牵丝不断 B．劲健雄峻，神韵飘逸 C．和谐匀称，端庄整齐 D．笔意流畅，粗细相间 02课内精读
13.诗词三首（课案） 组题人：陈昱雯审核人：何芳英 班级姓名组别 一、学习重点： 1.总体感知课文，了解诗意，体会诗情，背诵诗篇。 2.品味诗歌语言，了解诗的艺术特色。 3.大致了解诗人的生平和写作背景。 4.鉴赏情景交融的写法。 二、预习导学：注音或写字 金樽（）投箸（）闻笛fù（）侧畔（）长（）精神qióng （）楼歧（）路酬（）烂柯（）人 婵（）娟宫què（）低绮（）户 三、活动1：学习《行路难（其一）》 作家作品和背景简介 (1)《行路难》：李白，字太白，号青莲居士。唐朝诗人，有“诗仙”、“诗侠”之称。年轻时即漫游全国各地，曾经至长安，供奉翰林，但不久遭谗去职。其诗想象丰富奇特，风格雄健奔放，色调瑰奇绚丽，是中国文学史上继屈原之后伟大的浪漫主义诗人。 《行路难》这首诗是李白在天宝三载离开长安时所作。共三首，这是第一首。“行路难”是乐府《杂曲歌辞》旧题。诗中写世路艰难，反映了政治上遭遇挫折后，诗人内心的强烈苦闷、愤郁和不平；同时又表现了诗人的倔强、自信和对理想的执着追求，展示了诗人力图从苦闷中挣脱出来的强大精神力量。 1.解释词语 珍羞．直．万钱会．济． 2.知内容，想意境。 （1）写出（交代）李白离别京城，亲朋好友为他设宴饯行，宴席十分豪华的诗句是： ，。 （2）写出诗人极度愤懑、抑郁不舒的心情的诗句 是，。 （3）写出了诗人在困境中仍然积极乐观的坚定信念的两句诗句 是：，。 3.悟情感，析哲理。 （1）诗句：欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。 情感、哲理：。（2）诗句：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 情感、哲理：
。 4.品特色。 ①“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边”用了什么修辞手法？有何作用？ 四、活动2：学习《酬乐天扬州初逢席上见赠》 作家作品和背景简介： 刘禹锡，字梦得，洛阳人，自称为汉代中山王刘胜的后人。贞元九年进士，官至察御史。王叔文失败，被贬为朗州司马，后又任连州.夔州.和州等刺史，官至检礼部尚书兼太子宾客。有《刘宾客集》，又称《刘中山集》《刘梦得集》。 这首诗是唐代诗人刘禹锡于敬宗宝历二年（826）冬，刘禹锡罢和州刺史后，回归洛阳，途经扬州，与罢苏州刺史也回洛阳的白居易相逢。相同的经历遭遇，使两人有了共同的语言。白居易在筵席上写了一首诗相赠：为刘禹锡的长期被贬鸣不平。刘禹锡回忆往事，感慨万千，因此，写了《酬乐天扬州初逢席上见赠》这首诗，以答谢白居易。 1.解释词语 闻笛赋_______________ 烂柯人_______________ 歌一曲_______________ 长________ 弃置身 ____________ 2.知内容，想意境。 （1）交代了诗人贬地的荒凉和被贬的漫长的诗句 是，。 （2）交代了诗人回乡所见的两句 是，。 （3）写出了新陈代谢的自然现象的两句 是，。 （4）写出了诗人积极乐观的思想境界的诗句 是，。 3.悟情感，析哲理。 （1）诗句：今日听君歌一曲，暂凭杯酒长精神。 情感、哲理： 。 4.品特色。 （1）“怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人”用了什么手法？写出了什么现状？体会作者此刻的心情。 （2）“沉舟侧畔千帆过，病树前头万物春。”用了什么修辞手法？表现了什么哲理？表现了诗人怎样的思想境界？ 。 五、活动3、学习《水调歌头》 作家作品和背景简介： 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州（今四川眉山）人。他与父亲苏洵、弟弟苏辙，都是北宋著名的文学家，被后人列入“唐宋八大家”，称为“三苏”。