附录A 线性常微分方程
本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。
把包含未知函数和它的j 阶导数()j y
(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式
()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （）
其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。
在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。
一阶线性常微分方程
一阶线性常微分方程表示为
'()()y p x y f x x I +=∈，. （）
当()0f x ≡，方程退化为
'()0y p x y +=, （）
假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y
=，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ ）
对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端
因此有
两端积分
其中C 是任意常数。进一步有
综上有如下结论
定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式
()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --?
??=+?‘ （） 其中C 是任意常数。
观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐
次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?
。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程
解 此时()2()1p x f x =-=，,由（）式，解为
其中C 是任意常数。
二阶线性常微分方程
将具有以下形式的方程
"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称
"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （）
为与（）相伴的齐次方程.
A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构
首先讨论齐次方程（）解的结构。
定理 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不全
为零的常数12,,n k k k L ，
，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。
有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（）通解结构的定理。 定理假设线性齐次方程（）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（）一定存在两个线性无关的解。
类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。
定理 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。
从定理可以看出二阶线性齐次常微分方程（）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。
关于二阶线性非齐次常微分方程（）的通解，有如下结论
定理 若函*()y x 是方程（）的一个特解，()Y x 是方程（）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（）的通解。
从定理,可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（）的通解的一般步骤：
（１）求解与（）相伴的齐次方程（）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该齐次方
程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；
（２）求二阶线性非齐次常微分方程（）的一个特解*()y x ，那么方程（）的通解为
()()*()y x y x Y x =+
对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。
定理 设二阶线性非齐次常微分方程为
12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （）
且12*()*()y x y x 与分别是
和
的特解，则12*()*()y x y x +是方程（）的特解。
A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法
如果二阶线性常微分方程为
"'()y py qy f x ++=, （） 其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。以下分两种情形讨论方程（）的解法。
一、二阶常系数线性齐次方程的解法
此时问题为
"'0y py qy ++=, （）
考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx
y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,
由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程
2
0r pr q ++=, 即只要r 是上述一元二次方程的根时，rx y e =就是（）的解，方程称为方程的特征方程，它的根称为特征根。关于特征方程的根与微分方程的解的关系有如下结论。
１． 特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。
此时函数1212()()r x r x y x e y x e ==和都是微分方程的解，且因
1212
r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为 1212()r x r x y x c e c e =+.
２． 特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-
。 这时函数11()r x y x e =是微分方程的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特解
2()y x 。为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程得，
12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=， 注意到12
p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程的解。特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程的通解为
1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.
３． 特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。
这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。为了便于在实数
范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。由欧拉公式cos sin ix e x i x =+，
可得
1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,
于是由定理１知，函数
121cos 2x e x y y αβ=+（），121sin 2
x e x y y αβ=-（） 是微分方程的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为
12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .
上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下 （１）写出所给微分方程的特征方程；
（２）求出特征根；
（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。
例2 求解二阶齐次常微分方程
（1）"0y y -=； （2）"0y y +=.
解
(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x y x c e c e -=+。又
cosh ,sinh 22
x x x x
e e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。
(2) 特征方程为2
10r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。
在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如
"4,(0)0,'(0)1x y y e y y +===或"23sin 2,(0)0,(1)0y y y x y y +-===‘
等，这些问题称为初值问题或边值问题。
例3 求方程"4'40y y y -+=的满足初始条件(0)1,'(0)4y y ==的特解
解 "4'40y y y -+=的特征方程为2
440r r -+=，有重根2r =，其对应的两个线性无关的特解为 2212()()x x y x e y x xe ==，,
所以通解为
212()()x y x c c x e =+,
求导得
22212'()2()x x y x c xe c c x e =++‘,
将(0)1,'(0)4y y ==代入以上两式得
121124
c c c =??+=?, 解之得1212c c ==，，即得初值问题为
2()(12)x y x x e =+.
例4 求含参数方程"0y y λ+=（λ为实数）满足边界条件(0)0,'()0y y l ==的特解。 解 微分方程的特征方程为20r λ+=，λ为实数，分以下三种情形进行讨论： ① 当0<λ时，
特征方程有两个互不相等的实根12r =此时微分方程的两个线性无关
的特解为12(),()y x y x e ==，因此其通解为
12()y x c c e =+,
其中12,c c 是任意常数。由条件(0)0,'()0y y l ==, 得
12120
c c c c e +=???-=??, 解之得, 120c c ==, 从而()0y x ≡，也即方程没有非零解。
② 当0=λ时，方程退化为''0X =，其特征方程有两个相等的实根120r =，此时微分方程的两个线性无关的特解为12()1,()y x y x x ==，因此其通解为
00()X x c d x =+.
其中00,c d 是任意常数（当然这个通解也可以直接由''0X =积分两次得到）。
由条件(0)0,'()0y y l ==, 得0000c d ==，，此时，方程没有非零解。
③ 当0>λ
时，特征方程有两个互为共轭的复根12r =，于是微分方程的两个线性无
关的特解为12(),()y x y x ==，因此其通解为
12()y x c c =+,
其中12,c c 是任意常数。代入边界条件，得
120)0c c c ?=?-+=,
0≠，所以10c =
，故10c =，要使()y x 不恒等于零，须20c ≠，因此
必有0=
1π,0,1,2,2n n ??=+= ??
?L ，也即 2
221π2,0,1,2,n n l λ??+ ???==L ， 相应的解为
21π2()sin n x y x c l
??+ ??
?=, 其中2c 为任意的数。
例5 求解如下带有周期条件的常微分方程问题
()()
''02y y y x y x λπ?+=??+=??.
解 首先与上例同理可得常微分方程''0y y λ+=在参数λ取不同值时的通解为
(
)120012(0)(0)(0)c c y x c d x c c e λλλ?+>?=+=??+
结合周期条件()()2y x y x π+=，可求得参数2n λ=，0,1,2,n =L ，而相应的解为
()120
cos sin (0)(0)c n c n n y x c n ??+≠?=?=?. 二、二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
由定理, 线性非齐次常微分方程
"'()y py qy f x ++=,
的解可由其相伴齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的一个特解*()y x 之和构成。因此，求解二阶常系数线性非齐次常微分方程的关键就在于确定它的一个特解*()y x 。确定特解的方法很多，下面介绍常用的待定系数法，该方法的基本思想是：利用右端项()f x 的具体形式确定特解*()y x 的结构，然后代入到非齐次方程中确定其中系数。下面分几种情形来讨论特解的求法。
1．自由项为多项式，即()()n f x P x =
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'()n y py qy P x ++=, （）
其中()n P x 为x 的n 次多项式。由于方程中系数p q ，都是常数，且多项式的导数仍为多项式，所以可设（）的特解为
=*y ()k n x Q x ,
其中()n Q x 是与()n P x 同阶的多项式，k 是一个常数，当系数0q ≠时，k 取０，当00q p =≠，时，k 取１，当00q p ==，时，k 取２。
例6 求非齐次方程2
"2'y y y x -+=的一个特解。
解 使用待定系数法。由于该方程中自由项2()f x x =是二次多项式，且1q =，故取0k =，所以设特解为=*y 2ax bx c ++，代入方程，合并同类项后有
22(4)(22)ax a b x a b c x +-++-+=,
比较两端系数可得1,4,6a b c ===。于是求得特解为=*y 246x x ++。
2. 自由项()f x 为x Ae α型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'x
y py qy Ae α++=, （）
其中,A α均为常数。考虑到p q ，都是常数，且指数函数的导数仍为指数函数，所以可设（）的特解为
=*y k x bx e α, 其中b 为待定的系数，当α不是（）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；当α是（）的相伴齐次方程的单特征根时，k 取１；当α是（）的相伴齐次方程的重特征根时，k 取２。
例7 求方程2"'2x
y y y e ++=的通解。
解 非齐次方程的相伴齐次方程的特征方程为210r r ++=，其特征根为
1211,22
r r -+--==，所以齐次方程的通解为
1212()(cos sin )22x Y x e
c x c x -=+, 又2α=不是特征方程210r r ++=的特征根，取0k =，所以设特解为=*y 2x be ，代入
方程得
2222422x x x x be be be e ++=, 比较系数得27
b =，故原方程的一个特解为*()y x =227x e 。因此2"'2x y y y e ++=的通解为
122122()(cos sin )722
x x y x e e c x c x -=++. 3．自由项()f x 为(cos sin )x e A x B x αββ+型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'(cos sin )x y py qy e A x B x αββ++=+, （）
其中,,A B α均为常数。考虑到指数函数的导数仍为指数函数，三角函数的导数仍为三角函数，所以可设（）的特解为
=*y (cos sin )k x x e a x b x αββ+.
其中,a b 为待定的系数，当i αβ+不是方程（）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；否则，k 取１。将*y 代入非齐次方程确定系数,a b 。
例8 求方程"3'cos2x
y y y e x +-=的一个特解。
解 非齐次方程的自由项为cos2x e x ，且12i +不是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
=*y (cos2sin 2)x e a x b x +.
代入方程，合并同类项得
[(10)cos2(10)sin 2]cos2x x e b a x b a x e x --+=,
即
(10)cos2(10)sin2cos2b a x b a x x --+=,
比较两端系数得
101100b a b a -=??+=?
, 解之得110101101
a b =-=，，故所求特解为 =*y 110cos2sin 2101101x e x x ??-+ ???
. 例9 求方程"sin y y x +=的通解。
解 非齐次方程的自由项为sin x ，且i 是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
*()y x =(cos sin )x a x b x +,
代入方程，合并同类项得
2sin 2cos sin a x b x x -+=, 比较两端系数得102
a b =-=，，故所求特解为 *()y x =1cos22
x x -, 而对应的齐次方程"0y y +=的通解为
12()cos sin Y x c x c x =+,
故所求的通解为
121()cos2cos sin 2
y x x x c x c x =-++. A ．2．2 二阶变系数线性常微分方程的解法
定理，定理给出了二阶线性微分方程（）
的通解
()()*()y x y x Y x =+,
其中()Y x 是微分方程（）相伴的齐次方程的通解，*()y x 是它的一个特解。
在上一小节中，我们给出了自由项为一些特殊结构的函数的常系数微分方程的求解方法。对于变系数微分方程，一般情况下处理起来比较困难，这里我们给出两种方法分别用以求齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的特解*()y x 。
一、求二阶齐次线性微分方程的特解
对于二阶齐次线性微分方程（）
"()'()0y p x y q x y ++=,
其通解为1122()()()y x c y x c y x =+，这里的12,c c 是任意常数，12()()y x y x ，是齐次方程的两个线性无关的解。现假设我们已知二阶齐次线性微分方程的一个非零特解1()y x ，利用 小节中的定理，可以证明如下结论［ ］。
定理 假设在方程（）中，函数(),()p x q x 连续，1()y x 是（）的一个非零特解，则 是（）的与1()y x 线性无关的特解。
例１０ 已知x
e 是二阶齐次常微分方程"(1)'0xy x y y -++=“
的一个特解，求该方程的通解。
解 由定理，可以得到 ()1d 222()d d d ()1x x x x x x
x x x x x x x e xe y x e
x e x e xe x e xe e x e e +---?====--=--???所以方程的通解为 12()(1)x y x c e c x =++.
二、参数变异法
参数变异法可以从相伴齐次方程的通解出发求得非齐次方程的一个特解*()y x 。设齐次方程的通解为
1122()()()y x c y x c y x =+.
所谓参数变异法就是设想非齐次方程（）有一个形如
1122()()()()()y x c x y x c x y x =+, （）
的解，这里12()()c x c x ，是两个待定的函数，即参数12c c ，变异为函数了。下面我们来选择12()()c x c x ，，使()y x 成为非齐次方程的一个解。由（）有
11221122'()'()()'()()()'()()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++.
由于要确定两个函数12()()c x c x ，，但它们只需满足一个方程，所以可以对12()()c x c x ，添加一个约束条件，事实上如下的条件可以同时起到简化计算的作用，我们规定
1122'()()'()()0c x y x c x y x +=. （）
利用（）和（），有
1122'()()'()()'()y x c x y x c x y x =+，
11221122"()()"()()"()'()'()'()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++““，
将以上两式代入方程（）可得
112211221122112211110
222"()'()(()"()()"()'()'()'()'())
()(()'()()'())()(()()()())
()("()()'()()())()("()()y p x y q x y c x y x c x y x c x y x c x y x p x c x y x c x y x q x c x y x c x y x c x y x p x y x q x y x c x y x p x y =++=+++++++=++++144444424444443
“““211220
1122'()()())'()'()'()'()'()'()'()'()
().
x q x y x c x y x c x y x c x y x c x y x f x =+++=+=144444424444443
由上式和式（），待定函数12()()c x c x ，满足
11221122'()'()'()'()()'()()'()()0.
c x y x c x y x f x c x y x c x y x +=??+=?，, 这是一个关于12'()'()c x c x ，的方程组，由克莱默法则 记121212()()((),())'()
'()
y x y x W y x y x y x y x =，则有 积分求得
从而得到（）的一个特解 21121212()()()()*()d ()d .((),())((),())
f x y x f x y x y y x x y x x W y x y x W y x y x -=+?? （） 例11 求方程"tan y y x +=“
的通解。 解 齐次方程"0y y +=“
的通解为 12()cos sin Y x c x c x =+.
用参数变异法，求解方程组
由此得
积分可得
故所求通解为
所求通解为
其中12,c c 为任意的常数。
欧拉方程
在数理方程课程中还经常要用到一类特殊的二阶变系数线性常微分方程
"'()xy pxy q f x ++=, （）
其中,p q 为常数。这样的方程被称为欧拉方程,它虽然不是常系数方程，但其系数很特殊，可以通过简单的自变量变换后化为常系数方程。令t
x e =，则
d d d 1d d dt d dt
y y t y x x x ==, 222222222'd 1d 1d 1d d 1d 1d d dt dt dt d dt dt y y y y t y y x x x x x x x ??==-+=-+ ???
, 代入方程（），有
22d d (1)()d dt
t y y p qy f e t +-+=. 这是一个二阶线性常系数常微分方程，用中的方法求得其通解，最后再进行自变量代换还原为x 的函数即可。
例 12 求解如下方程
22"'0x y xy n y +-=,
其中n 非负整数。
解 这是一个欧拉型常微分方程。作代换t x e =，方程化为
2220d y n y dt
-=, 其解为
00(0)()(0)nt nt n n C e D e n y t C D t
n -?+≠=?+=? ,
将变量还原为x ，得到解 001(0)()ln (0)n n n n C x D n y x x
C D x n ?+≠?=??+=?.
非齐次线性微分方程通解的证明 问题重述 如果 是区间上的连续函数， 是 区间上齐次线性微分方程 （5.21） 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程 (5.28) 的满足初值条件 的解由下面公式给出 （5.29） 这里 是的朗斯基行列式， 是在 中的第k 行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30） 这里 是适当选取的常数。 公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。 我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为 证明 考虑n 阶线性微分方程的初值问题 12(),(),...,(),() n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (), n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0 n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=() n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,] n a b t t t t ???-'=∈，，...,0 n 12k 1 12[x (),x (),...,x ()] ()=x (){ }()[x (),x (),...,x ()]t k n k t n W s s s t t f s ds W s s s ?=∑?12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12x (),x (),...,x () n s s s 12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()] n W s s s (0,0,...,0,1)T 1122()()()...()() n n u t c x t c x t c x t t ?=++++12,,...,n c c c 1122()()...()() n n x c x t c x t c x t t ?=++++
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
二阶线性微分方程解的结构
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附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.１ 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于
'()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -????=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.１ 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5)
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?
注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解： ] 23 )1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++- ?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-
而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1） 的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)
1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx
(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）
阶线性微分方程解的结 构 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方 程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （）
假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ ） 对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （） 其中C 是任意常数。 观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).
,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：
一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程
目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+
(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t -。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++ =。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t , t ; ;,t , t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin , ,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+
一阶线性微分方程及伯 努利介绍 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第三节 一阶线性微分方程 内容要点 一、一阶线性微分方程 形如 )()(x Q y x P dx dy =+ 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程成为 0)(=+y x P dx dy 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程称为一阶非齐次线性方程. 方程的通解 .)(?-=dx x P Ce y 其中C 为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程的通解为 [] ?-?+=?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( 二、伯努利方程：形如 n y x Q y x P dx dy )()(=+ 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n . 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程两端除以n y ，得 或 ),()()(1111x Q y x P y n n n =+'?--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程
)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705) 伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。 雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行，他在科学上
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为