14.4（2）全等三角形的判定ASA、AAS
一、探究
现在，我们讨论：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？
这时同样应有两种不同的情况：如图所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．
ASA AAS
二、检测反馈，学以致用
1.如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）
2. 如图，OP是∠MON的角平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别为A、B，△AOC≌△BOC吗？为什么？
3、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
三、巩固练习
1、如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边
上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______cm．
第1题
2、已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4求证：AC=AB．
3．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAC=∠CAD.试说明：AB=AD .
4、已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线 BE上．
求证：AB=DE , AC=DF．
5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B,试说明：AB=AC+AD
6、已知：如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：∠1=∠2．
7.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．
⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．
⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．
图4 C A D B E 图 2 图1 全等三角形判定 测试题 班级 学号 姓名 分数_______ 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为【 】. （A ）50 （B ）80 （C ）50或80 （D ）40或65 2. 如图1所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 【 】. （A ）2平方厘米 （B ）1平方厘米 （C ）12平方厘米 （D ）14 平方厘米 3. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三 边长为【 】. （A ）5厘米 （B ）7厘米 （C ）9厘米 （D ）11厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2所示，∠AOB 是一个 任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻 度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种 做法的道理是 【 】. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于 【 】. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是 【 】. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图4所示，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ．△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6．则BC 的长为 【 】.
全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.
全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注： A B C D E ② 梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ； 根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ． 发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC CB ACD B CD BE =?? ∠=∠??=? （已证）（已证） （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． E D C B A
其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 E D B A 2 1 F E D C B A 第1题图 第2题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ， 还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角 形是_______________，理由是_________． H G F E D C B A E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAS
全等三角形的判定巩固与提高 A: 学习篇 （一）全等三角形的特征 ∵△ABC≌△DEF ∴AB= ，AC= BC= ， ∠A= ，∠B= ，∠C= ；（全等三角形的对应 边） 别方法 （二）三角形全等的识 1、如图：△ABC与△DEF中 2 、如图：△ABC与△DEF中 ∵∵ ∴△ABC≌△DEF（）∴△ABC≌△DEF （） 3、如图：△ABC与△DEF中 4 、如图：△ABC与△DEF中 ∵∵
∴△ABC≌△DEF （）∴△ABC≌△DEF （） 5、如图：Rt△ABC与Rt△DEF中，∠____=∠_____=90° ∵ ∴Rt△ABC≌ Rt△DEF（） ①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： B: 运用篇 一. 理解运用 1、下列条件能判断△ ABC和△DEF全等的是（） A）、AB=DE，AC=D，F∠B=∠E B）、∠A=∠D，∠C =∠F，AC=EF C）、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE D）、AC=D，F BC=D，E∠C =∠D 2、在△ABC和△DEF中，如果∠C =∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等，还需要 的条件是（） A）、AB=ED B）、AB=FD C）、AC=DF D）、∠A =∠F 3 、在△ABC 和△A’B’C’中，AB=A’B’，AC=A’C’，要证 △ABC≌△A’B’C’，有以下四种思路证明 : ①BC=B’C’；②∠A=∠A’；③∠B=∠B’；④∠C=∠C’，其中正确的思路有 （） A）、①②③④B）、②③④C）、①②D）、③④
4．如图,已知AC和BD相交于O,且B O＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（） A．只能证明△AOB≌△COD B．只能证明△AOD≌△COB C．只能证明△AOB≌△COB D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB 5．已知△ABC的六个元素, 下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 6．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．A B＝CD C．A M＝CN D．AM∥CN 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样 法是（） 的玻璃, 那么最省事的办 A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 第7 题 第6题 8．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（） A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条直角边和它所对的锐角对应相等 D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 二、解答题 1、已知：如图，AE=CF,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F 是垂足，CD=AB求,证:DE=BF
一．知识点： 1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌” 3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点 4．全等三角形的性质： ⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等. 二、基础习题 1如图，ABC ?≌ADE ?，?=∠30EAC ，求BAD ∠的度数. 2、如图，ABC ?≌DEF ?，且A 、D 、B 、E 在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由. 3、如图，ABE ?≌ACD ?，21∠=∠，C B ∠=∠.求证：CAE BAD ∠=∠ 4.如图，ABC ?≌EFC ?，B 、C 、E 在同一条直线上，且cm BC 3=，cm CE 4=，?=∠52EFC . 求AF 的长和A ∠的度数. 5.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且 ?=∠50BAF .求DAE ∠的度数. 6、如图，点A 、E 、B 、F 在同一条直线上，ABC ?≌FED ?. ⑴判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由； ⑵判断AE 与BF 的数量关系，并说明理由.
一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???===DF AC EF BC DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SSS ） 二、基础习题 1如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，CF BE =，DE AB =，DF AC =.求证：D EGC ∠=∠ 2、如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，DC AF =，DE AB =，EF BC =求证：DE AB // 3、如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，BC AD =.求证：①CD AB //；②BC AD //． 4、如图，AC 与BD 交于点O ，CB AD =，E 、F 是BD 上两点，且CF AE =，BF DE =． 求证：⑴B D ∠=∠；⑵CF AE // 全等三角形（3） 一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS ” 几何符号语言：在ABC ?和DEF ?中 ∵?? ???=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴ABC ?≌DEF ?（SAS ）
图 4 C A D B E 图2 A B D C E F 图1 图3 45321全等三角形判定 测试题 班级 学号 姓名 分数_______ 一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共30分） 1．已知等腰三角形的一个内角为50o ，则这个等腰三角形的顶角为【 】. （A ）50o （B ）80o （C ）50o 或80o （D ）40o 或65o 2. 如图1所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S △＝4平方厘米，则BEF S △的值为 【 】. （A ）2平方厘米 （B ）1平方厘米 （C ） 12平方厘米 （D ）1 4 平方厘米 3. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为【 】. （A ）5厘米 （B ）7厘米 （C ）9厘米 （D ）11厘米 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是 【 】. （A ）HL （B ）SSS （C ）SAS （D ）ASA 5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（ ） A.绝对准确 B.误差很大，不可信 C.可能有误差，但误差不大，结果可信 D.如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离 6. 在图3所示的3×3正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于 【 】. （A ）145° （B ）180° （C ）225° （D ）270° 7. 根据下列条件，能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是 【 】. （A ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，∠A =∠A ′ （B ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，AC =B ′C ′ （C ）∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′ （D ）AB =A ′B ′，BC =B ′C ′，△ABC 的周长等于△A ′B ′C ′的周长 8. 如图4所示，△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ．△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6．则BC 的长为 【 】. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9. 将一副直角三角尺如图5所示放置，已知AE BC ∥，则AFD ∠的度数是 【 】. （A ）45o （B ）50o （C ）60o （D ）75o
全等三角形（三）AAS 和ASA 【典型例题】 例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD 例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE. 例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF. 例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE. 例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？ A E B D C F O A D E B C A B O D C D F C O B A E A B D C E O 1 2 3 A F D O B E C
【经典练习】 1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,' ，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 . 3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ） ①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ） A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 7. 如图，已知∠A=∠C ，AF=CE ，DE ∥BF ，求证：△ABF ≌△CDE. B A E 21 F C D 8．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。 B A E F C D 1 2 A B C F E D M N A C B D
$ 全等三角形判定 1．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，利用SSS只需增加的一个条件是 ___ __。 2．如图，已知△ABC和△DBE，B为AD的中点，BE＝BC，请增加的一个条件____________使△ABC≌△DCB。 3．如图，点F、C在线段BE上，且AB=DF，AC＝DE，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件___________。 】 4．已知:△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：△ABD≌△ACD 5．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗 | 6、已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，问AB∥CD吗说明理由。 ！ A B C ？ D [ A C B D E F A B C D
7、已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗说明理由。 8已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗为什么 # 9、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗说明理由。 、 10、已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗说明理由。 11、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么 { 12已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗说明理由。 A B C D F ） E A D ! E B C 1 2 A D C E F B A C M E ? F B D > A B C E H D
全等三角形的判定 1 .如图,已知AC和BD相交于0,且B8 D0,A3 CO,下列判 断正确的是（ A.只能证明厶AOB^A COD B.只能证明厶AOD^A COB C.只能证明厶AOB^A COB D.能证明△ AOB^A CO併口△ AOD^A COB 2 .已知△ ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形 中和△ ABC全等的图形是（ ） A.甲和乙E.乙和丙C.只有乙D.只有丙 3.如图，已知MB= ND,/ MBA F Z NDC下列不能判定△ ABMP^ CDN的条件是（） A.Z M=Z N B. A吐CD C. AM= CN D. AM// CN 4.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 5.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条直角边和它所对的锐角对应相等 D.—个锐角和锐角所对的直角边对应相等 6.A ABC中,AB = AC,BD CE是AC AB边上的高，则BE与CD的大小关系为（ A. BE>CD B. BE= CD C. BEv CD D.不确定 7.如图，是一个三角形测平架，已知A吐AC,在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为___________ . 8 .正方形ABCD中,AC、BD交于O,/EOB 90°,已知AE= 3,CF = 4,则EF 的长为_____ . 那么最省事的办法是 A.带①去 B.带②去 C.带③去 D. 带①和②去 第3题第4题
9、若厶ABC的边a,b满足a2 12a b2 16b 100 0,则第三边c的中线长m的取值范围 为___________ 10. “三月三，放风筝”，如图1—24—4是小明制作的风筝，他根据DE= DF,EHhFH,不用度量，就知道/ DEHk/ DFH小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是___________ （用字母表示）.
全等三角形证明练习 1．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D 7. 已知：如图，AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F． 求证：OE=OF 8．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C. 9. 已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
10 已知：如图AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。 求证：BF=DE D F A B 11：已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE （2）DE=CF A D F E C E c B 12、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与 EG垂直吗？证明你的结论。 13.如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC. 求证：BE=CF. A B F C D E C E F
14.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE. 求证：AF=AD+CF。 15．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？ 请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。 ① ② B C E A D A B F C E D B A D E C
全等三角形(SSS,SAS) 一、知识点部分 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； （1）能完全重合的图形叫全等形，特别的，能完全重合的三角形叫全等三角形。 (2) 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应点，能互相重合的边叫对应边，能互相重合的角叫对应角。 你能指出上面的△ABC 与△ADE 中，对应点、对应边、对应角吗？ （3）“全等”用“≌”表示，读作：“全等于”如 上面问题中△ABC 与△ADE,可以记作：△ABC “≌”△ADE,注意：对应点写在对应位置上。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（其中两种） （1）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“S S S ”）。 用符号语言表达为： 在△ABC 和△ DEF 中 AB=DE BC=DF AC=EF ∴ △ABC ≌△ DEF （SSS ） （2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。（可以简写为“S A S ”或“边角边”） 用符号语言表达为： 在△ABC 与△DEF 中， ?? ? ??=∠=∠=EF BC E B DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 二、例题 例1：如图，已知：AB=DC ，AC=DF ，C 是BF 的中点，求证；△ABC ≌△DCF C B D E F A C B E D F A B C A D F
巩固练习1 1、如图，已知： AB=DC ，AD=BC,求证：∠A=∠C B C A D 2、如图，已知：BE=CF ，AB=DE ，AC=DF ，求证：△ABC ≌△DEF B A D F E C 例2：如图，已知：AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD. 巩固练习2 1、如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，求证：△ADB ≌△AEC A D B E C A B D E C 1 2
全等三角形的判定（SSS ）练习题 1．如图，ABE ?≌DCF ?，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 2．如图， ABC ?≌ AED ?，若 =∠?=∠?=∠?=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ， =∠DAC ． 3．已知ABC ?≌DEF ?，若ABC ?的周长为23，AB=8，BC=6，则AC= ，EF= ． 4．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ? ACD ?，所以 =∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ． 5．如图，ABC ?≌ADC ?，点B 与点D 是对应点，?=∠26BAC ，且?=∠20B ， 1 =?ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积． 6．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求DEF ∠的度数及CF 的长． B 第1题图 D 第2 题图 第4题图
7．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 8．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ 9．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ?≌FED ?；②AB//EF 10．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠ D F
2.5.3全等三角形的判定（ASA ） 教学目标 1、使学生理解ASA 的内容，能运用ASA 全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等； 2、通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念。使学生体会探索发现问题的过程。经历自己探索出AAS 的三角形全等识别及其应用。 重点难点： 1、难点：三角形全等的识别法ASA 和AAS 及应用； 2、重点：利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。 教学过程： 一、复习 1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？ （能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。识别两个三角形全等的方法有：SSS ；SAS ）。 2、叙述SSS 、SAS 的内容。 3、已知：如图，''AB A B =，''BC B C =，请问再加上什么条件下，△ABC ≌△'''A B C ，并说明理由。 （''AC A C =，根据SSS ；'B B ∠=∠，根据SAS ）。 二、新授 1、引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情 况，情况如何呢？ （如果两个三角形有三条边分别对应相等或两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形就一定全等。如果两个三角形有三个角分别对应相等，或两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那
么这两个三角形不一定全等。） 还有哪些情况还没有探讨呢？ （如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全 等吗？） 本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形 是否全等的课题。 2、问题1：如果把已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况 呢？ （一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对 边。） 每一种情况下得到的三角形都全等吗？ 3、请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组。 （1）共同商定画出任意一条线段AB ，与两个角A ∠、B ∠（180A B ∠+∠
全等三角形的判定 一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ AAS ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（ ④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（ ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“ SSA'、“ AAA能成为判定两个三角形全等的条件吗 二、常考典型例题分析 第一部分：基础巩固 1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（） A.两边一角对应相等 B ?两角一边对应相等 C ?直角边和一个锐角对应相等 D ?三边对应相等 2.如图，点D, E分别在线段AB, AC上, CD与BE相交于0点，已知AB=AC现添加以下的哪个条件仍不能判定 △ ABE^A ACD（）
厲 C A. / B=Z C B . AD=AE C . BD=CE D . BE=CD 3. 下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧厶 ABC 全等的是（ ） A .甲和乙 B .乙和丙 C .甲和丙 D .只有丙 ） 5.如图，已知/ ABC=/ DCB 下列所给条件不能证明厶 ABC^^ DCB 的是（ ） z s c A ./ A=/ D B .AB=D C C . / ACB=/ DBC D . AC=B A 、它.W ■ ￡ ￡ A . SAS B .SSS C .ASA D .HL 第二部分：考点讲解 考点1:利用“ SAS 判定两个三角形全等 1.如图，A 、 D 、F 、B 在同一直线上， AD=BF ，AE=BC 且 AE// BC.求证：△ AEF^A BCD 2. 如图，AB=AC AD=A E / BACK DAE 求证：△ ABD^A ACE 考点2:利用“ SAS 的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3. 已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD AB// DE,且AB=DE 求证： CBF FEC 考点3:利用“ SAS 判定三角形全等解决实际问题 4. 有一座小山，现要在小山 A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A 、 B 两端的距离，于是先在平地上取一个
全等三角形判定二（ASA ，AAS ）（基础） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它 们判定两个三角形全等． 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】 【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】 要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能 全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已 知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最 省事的办法是：( ) A、带①去， B、带②去 C、带③去 D、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
全等三角形的判定习题 1． (2006浙江):如图,点B 在AE 上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC ≌ΔABD,可补充的一个条件是 E D C B A 2． (2006湖南株洲):如图,AE=AD,要使ΔABD ≌ΔACE,请你增加一个条件是 3、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 4如图3，已知： AO=DO ，EO=FO ，BE=CF ．求证：△AOE ≌△DOF 、 △ABE ≌△DCF ？ 5、四边形ABCD 中AB=DC,AD=BC,E 、F 在直线BD 上，且BE=DF 。如图在ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF 。 (1)说明△ABD ≌△CDB (2) 说明∠E ＝∠F (3)请你说明AE 与CF 的关系 6如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE O F D C B E A 图3 E D C B A E （图4） D C B A
7.如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。 求证：AB=AC 。 8.如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。求证：PA=PD 。 9如图：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D 。求证：BD=DC 。 10、如图：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AC 和DB 相交于O 。 求证：OA=OD 。 11、如图（16）AD ∥BC ，AD=BC ，AE=CF 。求证：（1）DE=BF ，（2）AB ∥CD 。 *12.已知：如图11 , AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．, 求证：AD =_AB E （图10） D C B A P 4321（图11） D B A F （图16）E D C B A O D C B A E D C B A 图11
全等三角形判定 1．如图，已知AＣ=ＤB,要使△ＡBC≌△DCB，利用SＳS只需增加的一个条件是 ___ __ 。 ２．如图,已知△ＡＢC和△DBＥ,Ｂ为AD的中点，BE=BＣ，请增加的一个条件__＿＿_＿＿＿_＿__使△ABC≌△DCB。 3。如图,点F、C在线段ＢE上,且ＡB=DF,AC＝ＤE,若要使△AＢC≌△DEF，则还需补充一个条件＿_____＿____。 4、如图:将纸片△ＡＢC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°,则∠A＝度； ５．已知:△ABC中,AB=AＣ,D是BC的中点.求证:△ABＤ≌△ACD A B C D 2 1 F E （第13题） D C A
6。已知A Ｃ＝BD ,A Ｅ=ＣF ,BE =DF ,问AE ∥ＣF 吗? ７、已知在四边形ＡBCD 中,A Ｂ=ＣD ,AD =CB ,问A Ｂ∥CD 吗?说明理由。 ８、已知A Ｄ是⊿ABC 的中线，B Ｅ⊥AD ，ＣF ⊥A Ｄ，问ＢE =C Ｆ吗？说明理由。 9已知∠BAC =∠ＤAE ，∠1＝∠2,BD =ＣE ，问ＡBD ≌⊿ACE ．吗？为什么？ A B D E F A B C D F E B A D E B C 1 2
10、已知CD ∥A Ｂ,DF ∥E Ｂ，DF =ＥB ,问AF =ＣE 吗？说明理由. １1、已知ED ⊥ＡＢ,EF ⊥BC ,B Ｄ＝EF ,问BM =ME 吗？说明理由。 １2、在⊿AB Ｃ中，高AD 与ＢE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿B ＨD ≌⊿ACD ,为什么？ 13已知AD ＝AE ，∠Ｂ=∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。 A D C E F B A C M E F B D A B C E H A D E B C
全等三角形判定基础练习（有答案） 一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE． 求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．
全等三角形判定练习题1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。求证：△ABD≌△ACD 2、如图（2）：AC∥EF，AC=EF，AE=BD。求证：△ABC≌△EDF。 3、如图（3）：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 F E D C B A F E D C （图1）D C B A
4、如图（4）：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。 求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE 5、如图（5）：AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE。求证：AC⊥CE。E （图4） D C B A E （图5） D B A
6、如图（6）：CG =CF ，BC =DC ，AB =ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF =EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN =BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A =∠CBM 。 G F E （图6） D C B A N M （图7） C B A
8、如图（8）：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF。 求证：△ABE≌△DCF。 9、如图（9）AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。 F E （图8）D C B A M F E （图9） C B A
10、如图（10）∠BAC =∠DAE ，∠ABD =∠ACE ，BD =CE 。 求证：AB =AC 。 11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。 求证：PA =PD 。 12、如图（12）AB ∥CD ，OA =OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE =DF 。 求证：EB ∥CF 。 E （图10） D C B A P 4321（图11） D B A F