二次函数典型中考试题解析及训练
[解读中考要点] 1、二次函数 一般地，形如
2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做x 的二次函数。
解读：在函数中注意二次项系数0a ≠，,b c 是任意的实数即可。
2、二次函数
2y ax =（0a ≠）的性质
解读：（1）二次函数2y ax =的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。
（2）当0a
>时，
抛物线2y ax =的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当0a <时，抛物线2
y ax =的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。 3、二次函数
2y ax k =+（0a ≠）的图象与性质
解读：（1）二次函数2y ax k =+的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数2y ax =的图
象得到
2y ax k =+的图象。当0k >时，向上平移k 个单位长度；当0k
<时，向下平移k
个单位长度。
（2）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是
()0,k ，对称轴是y 轴。
4、二次函数
()2
y a x h k =-+（0a ≠）的图象与性质
解读：（1）它的图象与2y ax =的图象的形状完全一样，可以通过二次函数2
y ax =的图象得到()2
y a x h k
=-+的图象。 （2）当0a
>时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下。
（3）抛物线的顶点是
(),h k ，对称轴是y 轴。
5、关于二次函数
2y ax bx c =++（0a ≠）的图象
解读：（1）二次函数
2y ax bx c =++（0a ≠）的图象是与2y ax =的图象的形状完全一样的一条抛物线。
（2）抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴是直线2b
x a =-，顶点是24,24b ac b a
a ??-- ???。
（3）当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。当2b
x a
=-时，函数有最小值
244ac b a -；当2b
x
a
<-
时，
y 的值随x 值的增大而减小；当2b
x a
>-
时，y 的值随x 值的增大而增大。
（4）当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。当2b
x a
=-时，函数有最大值
244ac b a -；当2b
x a
<-
时，
y 的值随x 值的增大而增大；当2b
x a
>-
时，y 的值随x 值的增大而减小。 6、二次函数与一元二次方程 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数
2y ax bx c =++的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0y =时自变量x 的值，即一元二次方程
20ax bx c ++=的根。
解读：（1）当2
40b
ac ->时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，此时一元二次方程
20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；
（2）当
240b ac -=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x
轴有一个交点，此时一元二次方程
20ax bx c ++=有两个相等的实数根；
（3）当2
40b
ac -<时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴没有交点，此时一元二次方程2
ax bx c ++=没有实数根。
7、二次函数解析式的确定 解读：运用待定系数法确定二次函数
2y ax bx c =++的系数,,a b c ，一般需要三个条件，组成关于,,a b c 的三元
方程组，解方程组可以确定,,a b c 的值，从而确定解析式。 [剖析经典考题]
近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内容所占的比例比较大，考题既有基本题，又有综合题。基本题常以填空、选择的形式出现，考查二次函数的意义、性质等知识点；综合题常与方程、一次函数、反比例函数、圆等知识综合在一起，有些综合题也会考查学生利用二次函数的知识解决实际问题的能力。 例1、（2005·资阳）已知二次函数y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象如图5.3-1所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③ b +2a <0；④ abc >0 . 其中所有正确结论
的序号是 A. ③④
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
分析：从所给的图象，我们可以获取以下信息：（1）抛物线的开口向下；（2）顶点在第一象限，对称轴在直线x=1的左侧；（3）抛物线与y 轴的交点在正半轴
上；（4）横坐标为1的点在x 轴上方；横坐标为-1的点在x 轴下方。由以上信息可
以做出判断。
解：∵抛物线开口向下，∴a<0.
∵顶点在第一象限，∴0,02b
b a
-
>∴>。 ∵对称轴在直线x=1的左侧∴1,0,2,20.2b
a b a a b a
-<<∴->∴+ ∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c>0。 图5.3-1 ∴abc<0.故④错误。 ∵横坐标为1的点在x 轴上方，∴a +b +c >0.故①错误。 ∵横坐标为-1的点在x 轴下方，∴a -b +c <0，故②正确。 所以应选B 。 点拨：要充分利用函数的图象，数形结合，弄清图象中所给的信息是解题关键。 例2、（2005贵阳）已知二次函数342+-=x x y 的图象 如图5.3-2所示，它与 y 轴相交于点C ，点D 在二次函数图 象上与点C 对称，一次函数的图象过点A 、D ； （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数的解析式； 分析：这是一道二次函数与一次函数的综合题目。对于（1）问，由点D 在二次函数图象上与点C 对称，易知点D 的纵坐标为3；把y=3代入解析式 342+-=x x y 可求得x 的值， 从而可以确定点D 的坐标。对于（2）问，知道了点A 、D 的坐标，利用待定系数法可以求得一次函数解析式。 解： （1）∵D 在二次函数342+-=x x y 的图象上且与点C 对 称，则D （4，3）。 （2）设直线 b kx y +=过点A （1，0）和D （4，3） ∴? ? ?=+=+340 b k b k ，解得：1,1-==b k ∴所求一次函数为 1-=x y 。 点拨：确定函数解析式的关键是先要确定函数图象上的点的坐标。 例3、（2005泉州）有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM 为3米，跨度OA 为6米，以OA 所在直线为x 轴，O 为原点 建立直角坐标系（如图5.3-3所示）. ⑴请你直接写出O 、A 、M 三点的坐标； ⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底 板与水面同一平面）？ 分析：本题是通过实例确定二次函数解析式并利用解析式解 决问题 的一道简单的应用题。对于（1）根据题意可直接表示出；对于（2），关键是要读懂题意，必须先由三点的坐标确定出函数的解析式，当CD 表示宽，CD=2，B 是CD 的中点，此时OC=2。利用解析式求出2x =时对应的函数值即可解决。 解：（1）O （0，0），A （6，0），M （3，3） C D B M x y O A 图5.3-3 （2）求抛物线的解析式的方法列出两种： 法1：设抛物线的解析式为 2y ax bx c =++，∵抛物线过O ，A ，M 三点 ∴0,3660,930.c a b c a b c =?? ++=??++=?解之得1,32,0.a b c ?=-??=??=? ? ∴ 21 23 y x x =-+。 法2：依题意，抛物线的顶点坐标是（3，3），可设其解析式为()2 33y a x =-+， ∵抛物线过（0，0），∴() 2 0033a =-+。 解之得：()2 2111,332333 a y x x x =-∴=--+=-+。 要使木板堆放最高，依题意，B 点应是木板宽CD 的中点， 把2x =代入2123y x x =-+，得218 22233y =-?+?=（米） 。 ∴这些木板可以堆放8 3 米。 点拨：当知道抛物线的顶点坐标，设顶点式求函数解析式简便。 例4、（2004天津）已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且交点为A （2，0）. （1）求b 、c 的值； （2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△O AB 的周长。（答案可带根号）. 分析：由于抛物线与x 轴只有一个交点A （2，0），所以抛物线的顶点坐标为（2，0）。那么我们可以运用抛物线的顶点坐标公式求得b 、c 的值，从而可求出OA 的长。把x=0代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，可求出点B 的坐标，那么OB 的长野就确定了。然后再在Rt △AOB 中，利用勾股定理求出AB 的长，这样△O AB 的周长可得。 解：（1）由题意可知，抛物线的顶点是（2，0），那么2, 4.21 b b - =∴=-? 2 410,4160, 4.41 c b c c ??-=∴-==? （2）由（1）得，抛物线的解析式为 244y x x =-+， 当x=0时，y=4,∴点B 的坐标是（0，4）。 在Rt △AOB 中，OA=2，0B=4 ，∴AB ===。 ∴△O AB 的周长为246++=+ 点拨：这是一个涉及多个知识点的题目，要注意所学知识的综合运用。 例5、观察图5.1-3中1至5小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放.记第n 个图中小黑点的个数为y . 图5.1-3 解答下列问题： （1）填表： n 1 2 3 4 5 … y 1 3 7 13 … （2）当n ＝8时,y ＝＿＿＿＿＿＿； （3）根据上表中的数据,把n 作为横坐标,把y 作为纵坐标,在左图的平面直角坐标系中描 出相应的各点(n , y ),其中1≤n ≤5； （4）请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上,请写出该函数的解析式. 分析：本例把探求规律和函数结合起来，考查学生灵活应用各种知识去解决问题，同时又领悟各知识间的相互联系，本例先读图也可以发现规律，完成（1）（2）小题。只用第（1）小题的表格也可解决全部问题。 解：（1）21 （2）57 （3）(图略) （4）在一个函数的图象上，该函数的解析式为 12+-=n n y 。 点拨：规律探究题是近几年中考中频繁出现的一种新的题型，解决此类问题要按照由特殊到一般的认识规律，从变化的关系中寻找不变的规律。 [挑战中考名题] 一、选择题 1、（2005常德）y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线 （ B ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 2、（2005马尾）将函数762++=x x y 进行配方正确的结果应为（ ） A. 2)3(2++=x y B. 2)3(2+-=x y C. 2)3(2-+=x y D. 2)3(2--=x y 3、（2005武汉）若二次函数，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当x 取 + 时，函 数值为（ ）. A.a+c B.a-c C.-c D.c 4、（2005武汉）抛物线 的图角如图5.1-4， 则下列结论：① ＞0；② ； ③ ＞；④ ＜1.其中正确的结论是（ ）. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 5、 （2005·杭州）用列表法画二次函数 2y x bx c =++的 图象时先列一所对应的值依 个表,当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时,函数y 3 4 1 2 5 n y O 1 2 3 4 5 5 10 15 25 20 图5.1-4 2R 米 30米 次为:20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确,这个不正确的值是:（ ） A.506 B.380 C.274 D.182 6、（湖北宜昌）如图5.1-5所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y = x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 二、填空题： 7、（2005宁波）已知抛物线解析式为y=x 2 －3,则此抛物线的顶点坐标为 . 8、（2005·常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 。 9、（2005上海）如果将二次函数22y x =的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 10、（2005贵阳）已知二次函数c bx ax y ++=2的 部分图象（如 图5.1-6所示） 由图象可知关于x 的一元二次方程0 2 =++c bx ax 的两个根 分别是6.11 =x ，______2=x ； 11、（2005绍兴）平移抛物线 228y x x =+-，使它 经过原点，写 出平移后抛物线的一个解析式____________________ 12、(2005常州) 已知抛物线 562+-=x x y 的部分图象如图5.1-7,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y ＜0的x 的取值范围是 ,将抛物线 562+-=x x y 向 平移 个单位,则得到抛物线 962+-=x x y . 13、（2005湖北荆门）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图5.1-8所示）则需塑料布y(m 2 )与半径R(m)的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）＿＿＿＿＿＿＿＿＿. O x y 图5.1-6 图5.1-7 图5.1-8 三、解答题： 14、（2005南通）已知抛物线2y ax bx c =++ 经 过（-1,0）, （0,-3）,（2,-3）三点. ⑴求这条抛物线的解析式; ⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 15、（2005嘉兴）已知函数 241y x x =-+ （1）求函数的最小值； （2）在给定坐标系中，画出函数的图象； （3）设函数图象与x 轴的交点为A （x 1，0）、B （x 2，0）， 求2 2 1 2x x +的值。 16、（2005福建南安）已知反比例函数k y x = 的图象经过抛物线142 +-=x x y 的顶点, 求这个反比例函数的解析式. 17、（2005浙江丽水）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图5.1-10所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.6米． (1) 以O 为原点，OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，请根据 以上的数据，求出抛物线y=ax 2 的解析式； (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米） 18、（2005 泸州）如图 5.1-11，抛物线 )0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于A （－1， 0）、B （3， 0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线 )0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为??? ? ? ?--a b ac a b 44,22． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． 19、（2005泰州）如图5.1-12是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥 洞上沿是抛物线 形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（图5.1-13）． （1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离. 图5.1-9 图5.1-10 A B D C o x y 图5.1-11 5m ? y 20、（2005宿迁）已知：如图5.1-14，△ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝3厘米， CB ＝4厘米．两个动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时按顺时针 方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动 速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）． 面积（图中的 （1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的阴影部分）等于2厘米2 ； （2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围式，并指出自 成阴影部分面积为S （厘米2 ），求出S 与时间t 的函数关系 变量t 的取值范围； （3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 21、（2005贵阳）某企业投资100万元引进一条农产品生产线，若不计维修、保养费用，设计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第一年到地x 年的维修、保养费用累计为y （万元） ，且bx ax y +=2 ，若第1年维修、保养费为2万元，第2年的为6万元， （1）求 y 的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？ 22、（2005资阳）如图5.1-15，已知O 为坐标原点，∠AOB =30°，∠ABO =90°，且点A 的坐标为(2,0). (1) 求点B 的坐标； (2) 若二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象经过A 、B 、O 三点，求此二次函数的解析式； (3) 在(2)中的二次函数图象的OB 段(不包括点O 、B )上，是否存在一点C ，使得四边形ABCO 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由. C P Q 图5.1-14 图5.1-15 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）． （2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方． （3）令x=0，则y=m ． 即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ． 当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ） 在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8． 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处． 例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)
二次函数典型例题解析与习题训练