中考二次函数压轴题分类汇编
一．极值问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．
∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，
故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用
二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．
2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．
（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x
1=﹣4，x
2
=2，
∴A（﹣4，0），S
△ABC
=ABOC=12．
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴，即，
化简得：S
△PBE
=（2﹣x）2．
S
△PCE =S
△PCB
﹣S
△PBE
=PBOC﹣S
△PBE
=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
=x2﹣x+
=（x+1）2+3
∴当x=﹣1时，S
△PCE
的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．
二．构成图形的问题
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中
点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a ，b ，c 的值，即求出解析式；
（2）设存在点K ，使得四边形ABFC 的面积为17，根据点K 在抛物线y=-x 2+2x+3上设点K 的坐标为：（x ，-x 2+2x+3），根据S 四边形ABKC =S △AOC +S 梯形ONKC +S △BNK 得到有关x 的一元二次方程求出x 即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y 的值，确定出D 坐标，将x=1代入直线BC 解析式求出y 的值，确定出E 坐标，求出DE 长，将x=m 代入抛物线解析式表示出F 纵坐标，将x=m 代入直线BC 解析式表示出P 纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ ，由DE 与QP 平行，要使四边形PEDQ 为平行四边形，只需DE=PQ ，列出关于m 的方程，求出方程的解得到m 的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O ，4)可得c=4,① ∵对称轴x=a b 2-
=1，∴b=-2a ，②， 又抛物线过点A （一2，O ）∴0=4a-2b+c ，③
由①②③ 解得：a=21-, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=2
1-x+x+4 (2)假设存在满足条件的点F ，如图如示，连接BF 、CF 、OF ．
过点F 分别作FH ⊥x 轴于H , FG ⊥y 轴于G ．
设点F 的坐标为（t, 2
1-t2+t+4），其中O 21OB.FH=21×4×（21-t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,S △OFC=21OC.FC=21×4×t=2t ∴S 四边形ABFC —S △AOC+S △OBF +S △OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12． 令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0, ∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F ． (3)设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠O ），又过点B(4,0，), C(0,4) 所以???==+404b b k ，解得：???=-=4 1b k ， 所以直线BC 的解析式是y=一x+4． 由y=21 x2+4x+4=一21（x 一1)2+29，得D （1，29）， 又点E 在直线BC 上，则点E(1，3)，于是DE=29一3= 2 3 . 设点P 的坐标是（m ，一m+4），则点Q 的坐标是（m ，一 21t2+m+4）． ①当O 1m2+2m ． 由一21m2+2m=2 3 ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ 与DE 重合,m=-1舍去, ∴m=-3，此时P 1 (3,1)． ②当m 1m2++m+4)= 21m2—2m, 由 21m2—2m=23，解得m=2±7，经检验适合题意， 此时P2（2+7，2一7），P3（2一7，2+7）． 综上所述，满足条件的点P 有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+7，2 -7），P3（2—7，2十7）. 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点， 平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题 第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题． 2．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y=x+3 的图象与y 轴的交点，点B 在二次函数 的图象上，且该二次函数图象 上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b ，c 的值，并写出该二次函数表达式； （2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC ？ ②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？ 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据一次函数解析式求出点A、点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置； ②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点 H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置． 解答： 解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0）， ∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴D点坐标为（8，3）， 将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得， 解得：， 故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3． （2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t， ∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=， 解得：t=． 即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC． ②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12， ∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小， 当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t， 设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=， 解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+， ∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=， 故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为． 三．翻转问题 1．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数． （1）求k的值； （2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标； （3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值． 二次函数综合题． 考 点： 分 （1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值； 析： （2）利用m先表示出M与N的 坐标，再根据两点间的距离公式 表示出MN的长度，根据二次函 数的极值即可求出MN的最大长 度和M的坐标； （3）根据图象的特点，分两种情 况讨论，分别求出b的值即可． 解 解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 答： ∴． ∴k﹣1＜2． ∴k＜3． ∵k为正整数， ∴k为1，2． （2）把x=0代入方程得k=1， 此时二次函数为y=x2+2x， 此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3） 由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1， 则N（m，m2+2m）， MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣． ∴当m=﹣时，MN的长度最大值为． 此时点M的坐标为． （3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示）， 把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1， 当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点． 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x ∴有一组解，此时有两个相等的实数根， 则所以b=， 综上所述b=1或b=． 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题． 四．平移和取值问题 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点． （1）试求抛物线的解析式； （2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积； （3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围． 解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2． （2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+． ∴顶点坐标（1，）， ∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）， ∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=3+1=3． （3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0， 当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=， 当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3， 当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5， ∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点， ∴＜b≤3． 2.如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点??? ??232，D 在抛物线上，直线l 是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以? ??=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2 3212++-=x x y . （2）由（1）知2 3212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F( 23,27k )， 令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k )， 根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即：,5 11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2 1232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 所以1 111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为N M N M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N, (2) 把y=kx-2(k ≠0)代入22 1x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件， 故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称. 考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大. 点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。 五．相似图形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx 2﹣8mx+4m+2（m ＞0）与y 轴的交点为A ，与x 轴的交点分别为B （x 1，0），C （x 2，0），且x 2﹣x 1=4，直线AD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E （t ，0）过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P 、Q ． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求△APC 面积的最大值； （3）当t ＞2时，是否存在点P ，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． 考 点： 二次函数综合题． 分析： （1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B ，C 两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式； （2）分0＜t ＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值； （3）分2＜t≤6时和t ＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解． 解 答： 解：（1）由题意知x 1、x 2是方程mx 2﹣8mx+4m+2=0的两根， ∴x 1+x 2=8， 由 解得： ∴B（2，0）、C（6，0） 则4m﹣16m+4m+2=0， 解得：m=， ∴该抛物线解析式为：y=； （2）可求得A（0，3） 设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵ ∴ ∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3， 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论： ①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=， ∴S△APC=S△APF+S△CPF = = =， 此时最大值为：， ②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=， ∴S△APC=S△APF﹣S△CPF= = =， 当t=8时，取最大值，最大值为：12， 综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12； （3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，）， ①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=， 若：△AOB∽△AQP，则：， 即：， ∴t=0（舍），或t=， 若△AOB∽△PQA，则：， 即：， ∴t=0（舍）或t=2（舍）， ②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=， 若：△AOB∽△AQP，则：， 即：， ∴t=0（舍），或t=， 若△AOB∽△PQA，则：， 即：， ∴t=0（舍）或t=14， ∴t= 或t=或t=14． 点评： 本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21 2y x =经过平移 得到抛物线21 22y x x =-，其对称轴与两段抛物线弧所围成 的阴影部分的面积为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得： 区域D 的面积=区域C 的面积=区域B 的面积， ∴阴影面积=区域A 的面积加上区域D 的面积=正方形的面积4． 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（10分）（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画． （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标； （3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积； （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）． 【解析】 试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解； （4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直 线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛 物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标． 试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， 故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）； （2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）； （3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B． S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA =×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣×× =4+﹣ =； （4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积． 设直线PM的解析式为y=x+b， ∵P的坐标为（2，4）， ∴4=×2+b，解得b=3， ∴直线PM的解析式为y=x+3． 由，解得，， ∴点M的坐标为（，）． 考点：二次函数的综合题 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值； （3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式． （2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值． （3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】 解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3． 中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，（ 的实数）其中正确的结论有（）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B （A）②④（B）①④（C）②③（D）①③ 3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）B A．0B．1C．2D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。下列结论正确的是（）D A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)
中考数学二模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案
二次函数中考真题汇编[解析版]
2020年中考试题分类汇编——二次函数