第三篇 电磁学
第七章 真空中的静电场
本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。 静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。
§7-1 电荷 库仑定律
一、电荷
1、电荷 种类 正电荷 负电荷
作用 同性相斥
异性相吸
（一般地说：使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电子） 2、电荷守恒定律
电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它是物理学的基本定律之一。 3、电荷量子化
在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷e 的整数倍。这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。 二、库仑定律
点电荷：带电体本身线度比它到其他带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点一样，是假想模型）
库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比，与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部
?????
????
??
静电学的基础。
数学表达式：2q 受1q 的作用力：
212
2112r q q k F = 0> 斥力（同号） 0< 吸引（异号） 采用国际单位制，其中的比例常数229/109c m N k ??=。 写成矢量形式：
12312
2112122122112r r q q k r r r q q k F ???=???? ??= 令0
41πε=k ，2
2120/1085.8m N c ??=-ε
? 123
12
2101241r r q q F ?
?πε= （7-1） 说明：①12F ?是1q 对2q 是作用力，12r ?
是由1q 指到2q 的矢量。
②2q 对1q 的作用力为：
()121212
021213
2121021441F r r q q r r q q F ?????-=-==πεπε ③库仑定律的形式与万有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，这是区别。
§7-2 电场 电场强度
一、电场 1、电荷间作用
电荷间作用原有不同看法，在很长的时间内，人们认为带电体之间是超距作用，即二者直接作用，发生作用也不用时间传递。即
两种看法 ①超距作用：电荷
?????←???→?不看传递时间
直接作用电荷
到了上世纪，法拉第提出新的观点，认为在带电体周围存在着电场，其他带电体受到的电力是电场给予的，即
②场观点：电荷
←→场←
→电荷 近代物理学证明后者是正确的。 2、静电场的主要表现
表现 电场力：放到电场中的电荷要受到电场力。 电场力作功：电荷在电场中移动时，电场力要作功。
??
??
???
??
???
????
??
?
二、电场强度
从静电场的力的表现出发，利用试验电荷来引出电场强度概念来描述电场的性质。
试验电荷0q （点电荷且0q 很小），放入A 点，它受的电场力为F ?
，试验发现，将0q 加倍。则受的电场力也增加为相同的倍数，即
实验电荷：0q 02q 03q … 0nq
受力：F ? F ?
2 F ?3… F n ?
0003322nq F
n q F q F q F ?
???=
???====实验电荷力 可见，这些比值都为0
q F
?，该比值与试验电荷无关，仅与A 点电场性质有关，因此，可
以用0
q F
?来描述电场的性质，
定义： 0
q F
E ??= （7-2）
为电荷q 的电场在A 0F E ??单位正电荷受的作用力= 三、场强叠加原理
试验电荷放在点电荷系n q q q q ???321、、所产生电场
中的A 点，实验表明0q 在A 处受的电场力F ?
是各个
点电荷各自对0q 作用力n F F F F ?
??????321、、的矢量和，
即： n F F F F F ?
????+???+++=321
按场强定义：n n E E E E q F q F q F q F q F E ??
????????+???+++=+???+++==3210
0302010
? ∑==n i i E E 1
?
? （7-3）
上式表明，生的场强矢量和，这称为场强叠加原理。 四、场强计算
1、点电荷电场的电场强度
q 在A 处产生的场强为：假设A 处有试验电荷， q 受力为F ?
，有
r r qq q q F E ???3
000041πε?==
即 r r
q E ??
3
04πε= (7-4)
r ?
由q 指向A ，q >0 E ?与r ?同向（由A q →）
<0 E ?与r ?反向（由q A →）
*点电荷电场球对称。
2、点电荷系电场的电场强度
∑
==+
???++
=?n
i i
i i
n
n n r r q r r q r r q r r q E 13
03
023
202131014444???
??πεπεπεπε
即
∑==n i i E E 1
?
? (7-5)
3、连续带电体电场的电场强度
把连续带电体分成无限多个电荷元，看成点电荷，可有：
dq 产生场强为r r dq E d ?
?0
3
4επ= 总场强??==q r r dq E d E ?
??3
04πε 4、电偶极子
等量异号点电荷相距为l ，如图所示，这样一对点
电荷称为电偶极子。由-q q +→的矢量l ?
叫做电偶极子
的轴，l q p ?
?=叫做电偶极子的电矩。
*在一正常分子中有相等的正负电荷，当正、负电荷的中心不重合时，这个分子构成了一个电偶极子。
例7-1：已知电偶极子电矩为p ?
，求
⑴电偶极子在它轴线的延长线上一点A 的A E ?
；
⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B 的B E ρ
。
解：⑴如图所取坐标，
-++=E E E A ???
2024?
?? ??-=+l r q
E πε ???????
?????
2
024?
?? ?
?
+=
-l r q
E πε
2
22
20
022002222421214?
?? ??+??? ??-??? ??--??? ??
+?=????
??????????? ??+-??? ?
?-=-=-+l r l r l r l r q l r l r q E E E A πεπε 3
03022404242212124r p
r ql l r r l r l r lr q πεπεπε=>>??
?
??+??? ??-?= 3
042r p E A πε??=? （A
E ?与p ?
同向） ⑵如图所取坐标
-++=E E E B ???
????
??+=
+222024l r q
E πε +-=E E ()αααcos 2cos cos +
-+-=+-=E E E E Bx 23220222
2204442442???
? ??+-=+????? ??+?-=l r gl l r l
l r q πεπε 3
03044r p
r gl l r πεπε-=->> 0=By E
3
04r p
E E Bx B πε???-==? *分立电荷产生场强的叠加问题。
例7-2：设电荷q 均匀分布在半径为R 的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距x 的p
点的场强。
解：如图所取坐标，x 轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，dl 部分在p 点产生的电场为：
()2
202044R x dl
r dl dE +==
πελπελ 电荷线密度==R
q πλ2
??????
?
(
)
2
3220//4cos R
x xdl
dE dE +==πελθ
(
)
()(
)
(
)
2
32202
322020
2
3220//4424R
x qx R
x x
R R
x xdl
E R
+=
+?=
+=?
πεπεπλπελπ
根据对称性可知，0=⊥E
∴()23
220//4R x qx
E E +==πε q >0 ：E ?
沿x 轴正向 <0 ：E ?
沿x 轴负向
（x 轴上E ?
关于原点对称）
结论：E ?与圆环平面垂直，环中心处E ?
=0，也可用对称性判断。
*R x >>，2
04x q
E πε=
例7-3：半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，计算轴线上与盘心相距x 的p 点
的场强。
解：如图所示，x 轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为r 、宽度为dr 的圆环在p 点产生的场强为：
()2
3
220//4r x xdq
dE +=πε（均匀带电圆环结果） ()()23
220
2
3220242r x xrdr r x rdr x +?=+?=εσπεπσ ∵各环在p 点产生场强方向均相同， ∴整个圆盘在p 点产生场强为：
()??+?==R r x xrdr
dE E 02
3220
////2εσ ()?+=R r x rdr x 02
3220
2εσ ()
?++?=R r
x
r x d x 02
322220)(212εσ ()R
r x x 0
2
12201
2
1
1212+?-??=
εσ ???
?
??+-=
220112R x x x εσ ???
???
? ??+-=
22012R x x
x ε σ >0：背离圆盘 <0：指向圆盘 即E ?与盘面垂直（E ?
关于盘面对称）
讨论：∞→R 时，变成无限大带电薄平板，0
//2εσ
=
E ，方向与带电平板垂直。 例7-4：有一均匀带电直线，长为l ，电量为q ，求距它为r 处p 点场强。 解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy 段在p 处产生场强为：
)(442
2020r y dy r dq dE +==πελπε )(l
q
=λ ①
由图知： θθππθβrctg rtg rtg rtg y -=???
??--=??? ??-==22
θθd r dy 2csc = 代⑴中有： 2
04'r
dy
dE πελ=
θ
πελθθπ
π
θβsin r
dy
sin dE )cos(
dE )
cos(dE cos dE dE 'x 2
042
2
=
=-=-==
Θθθππθβrctg rtg rtg rtg y -=??
?
??--=??? ??-==22
θθd csc r dy 2=，θ
βsin r
cos r r '==
∴θπεθ
θλ22
024sin r
d csc r dE x =
)cos (cos r r d sin dE E x x 2100442
1
θθπελ
πεθθλθθ-===??
θβcos dE sin dE dE y =-=
)sin (sin r d r cos dE E y
y 1200442
1
θθπελ
θπεθλθθ
-==
=?? 讨论：无限长均匀带电直线πθθ==210,,
r
E x 02πελ
=?,0=y E .
即无限均匀带电直线，电场垂直直线，0>λ，E ρ背向直线；0<λ，E ρ
指向直线。
例7-5：有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，求在平面附近任一点场强。
???
?????
解：如图所取坐标，x 轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于z 轴的无限长窄条，阴影部分在p 点产生场强为（无限长均匀带电直线结果）
()r dy r dE 00212πεσπελ?== ()()2202
22
122022cos y x xdy
y x x y x dy dE dE x +=+?+==πεσπεσθ ()()
???∞+∞-∞+∞-+=+==22022022y
x dy
x y x xdy dE E x x πεσπεσ 0
10222212επ
πππεσ
πεσ=????????? ??--=?=
+∞
∞--x y Ag x x
0==?y y dE E （由对称性可知）
结论：无限大均匀带电平面产生均匀场，大小为
2εσ
σ >0背离平面 <0指向平面
§7-3 电力线 电通量
一、电力线
电力线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E ?
用电力线描述
规定：E ?
方向：电力线切线方向
大小：E ?的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=ds
dN
即 ds dN
E =
（即：某点场强大小=过该点并垂直于E ?
的面元上的电力线密度。） 2、静电场中电力线性质
⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电力线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。 二、电通量
定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e Φ表示。
??
??
?
下面分几种情况讨论。 1、匀强电场
⑴平面S 与E ?垂直。如图所示，由E ?
的
大小描述可知：
⑵平面S 与E ?夹角为θ，如图所示，由E ?
的大小描述知：
S E ES ES e ?
??===Φ⊥θcos )(n S S ??=
式中n ?为S ρ
的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量
如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上
E ?可视为均匀，设n ?
为S d ?单位法向向量，S d ?与该处E ?夹角 E ?
为θ，则通过dS 电场强度通量为：
S d E d e ?
??=Φ 通过曲面S 的电场强度通量为：
???=Φ=Φe e S d E d ?
?
??=Φs e S d E ?
? （7-6）
在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量
??=Φs
e S d E ?
? （7-7）
注意：通常取面元外法向为正。
§7-4 高斯定理
一、高斯定理
高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量 的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任
意r 为半径的球面，S 上任一点p ?处E ?
为：
r
r q E ?
?304πε= 2、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：
ES
e =Φ
??
?=?=?=Φs s
s
e rdS r
q n dS r r q S d E 303044πεπε?
?
?
? （r ?
、S d ?同向）
0202044επεπεq dS r q dS r q s
s ===?? 结论：e Φ与r 无关，仅与q 有关)(0const =ε 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量
⑴q +在S 内情形
如图所示，在S 内做一个以q +为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1
的电场强度通量为0
εq
。∵通过S 1的电力线
必通过S ，即此时es es Φ=Φ1
，∴通过S 的电
场强度通量为0
εq S d E s
e =?=Φ???
⑵q +在S 外情形。
此时，进入S 面内的电力线必穿出S 面，即 穿入与穿出S 面的电力线数相等，
∴0=?=Φ?s
e S d E ?
?
结论：S 外电荷对e Φ无贡献
=Φe 0εq q 在S 内
0 q 在S 外 3、点电荷情况
在点电荷n q q q q ???,,,321电场中，任一点场强为
n E E E E E ?????+???+++=321 通过某一闭合曲面电场强度通量为：
()???+???+++=?=Φs
n s
e S d E E E E S d E ??
?????321
∑????=
?+???+?+?+?=内
S s
n s
q S d E S d E S d E S d E 0
3211ε????????
即 ∑?=
?=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε?? （7-8）
上式表示：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以0ε。这就是真空中的高斯定理。上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。
说明：⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解
??
?
而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明
⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。
>0时，不能说S 内只有正电荷 当∑
?=
?=Φ内
S s
e q S d E 0
1
ε?? <0时，不能说S 内只有负电荷 =0时，不能说S 内无电荷 注意：这些都是S 内电荷代数和的结果和表现。
⑷高斯定理说明∑?=?=Φ内
S s
e q S d E 01
ε??与S 内电荷有关而与S 外电荷无关，这并不
是说E ?只与S 内电荷有关而与S 外电荷无关。实际上，E ?
是由S 内、外所有电荷产生的结果。
⑸高斯面可由我们任选。 二、高斯定理应用举例
下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。
例7-6：一均匀带电球面，半径为R ，电荷为q +，求：球面内外任一点场强。 解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，
以O 为球心任意球面上的各点E ?
值相等。
⑴球面内任一点1P 的场强
以O 为圆心，通过P 1点做半径为1r 的球面1S 为高斯面，高斯定理为：
∑?=?内
1101
S s q S d E ε?? ∵E ?与S d ?同向，且1S 上E ?值不变
∴2
141
1
1
r E dS E dS E S d E s s s π?==?=??????
01
10
=∑内
S q ε
0421=??r E π ∴0=E
即均匀带电球面内任一点P 1场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在
球面内产生场强的矢量和=0。
??
??
?
????
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个别点有
可能为零）
⑵球面外任一点的场强
以O 为圆心，通过P 2点以半径2r 做一球面2S 作为高斯面，由高斯定理有：
q r E 0221
4επ=?
204r q
E πε=?
方向：沿2OP 方向（若0 结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点 产生的场强一样。 =E 0 )(R r < 2 04r q πε )(R r > 图7-20 例7-7：有均匀带电的球体，半径为R ，电量为q +，求球内外场强（8-13）。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐 射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E ? 相同。 （1）球内任一点P 1的?=E ? 以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为： ∵E ?与S d ?同向，且S 1上各点E ? 值相等， ∴2 141 1 1 r E dS E dS E S d E s s s π?==?=?????? 3 1 3031300343 41 1r R q r R q q S εππεε=?= ∑内 31 30214r R q r E επ=?? ∴13 04r R q E πε= E ? 沿OP 方向。 （若0 沿O P 1方向） 结论：1r E ∝? 注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。 （2）球外任一点P 2的?=E ? 以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为： ?? ???∑?=?内 11 1 S s q S d E ε?? ∑?= ?内 22 1S s q S d E ε?? 由此有： q r E 0 221 4επ= ? 2 204r q E πε= ? E ? 沿2OP 方向 结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷 全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。 =E 134r R q πε )(1R r < 20 4r q πε )(R r > r E - 曲线如左图。 例7-8：一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为λ+，求直线外任一点场强。 解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E ? 的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P 做半径为r 高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1、下底为S 2，侧面为S 3。 高斯定理为： ∑?=?内 S s q S d E 01 ε?? 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ???????? ∵在S 1、S 2上各面元E S d ? ?⊥，∴前二项积分=0 又 在S 3上E ? 与S d ?方向一致，且E =常数， ∴rh E dS E EdS S d E S d E s s s s π23 3 3 ?===?=?????? ??? h q S λεε0 1 1 = ∑内 h rh E λεπ0 1 2= ?? 即 r E 02πελ = E ?由带电直线指向考察点。（若0<λ，则E ?由考察点指向带电直线） 上面结果将与例4结果一致。 例7-9：无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0>σ，求柱面内外任一点 场强。 ? ???? 解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任 意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E ? 值相等。 1）带电圆柱面内任一点P 1的?=E ? 以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底为S 2，侧面为S 3。高斯定理为： ∑?=?内S s q S d E 01 ε?? 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ???????? ∵在S 1、S 2上各面元E S d ? ?⊥1，∴上式前二项积分=0， 又在S 3上S d ?与E ? 同向，且E =常数， ∴h r E dS E EdS S d E s s s 123 3 π?===????? ? 01 =∑内 S q ε 021=??h r E π ∴0=E 结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0 2）带电柱面外任一点场强?=E ? 以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下底为S 2’，侧面为S 3’。由高斯定理有： Rh h r E πσεπ21 20 1?=? 2 022r R E πεπσ?=? ∵[]122??=?R R πσπσ=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=λ ∴2 02r E πελ =，E ?由轴线指向P 2。0<σ时，E ?沿P 2指向轴线 结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面 的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。 例7-10：无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ+，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相 同的任意二点处的E ? 值相等。设P 为考察点，过P 点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S 1，左端面为S 2，侧面为S 3，高斯定理为： ∑?=?内 S s q S d E 01ε?? 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ???????? ∵在S 3上的各面元E S d ? ω⊥，∴第三项积分=0 又 ∵在S 1、S 2上各面元S d ?与E ?同向，且在S 1、S 2上E ? =常数， ∴有： 12122 1 2 1 ES ES ES dS E dS E EdS EdS S d E s s s s s =+=+=+=??????? ? 10 1 1 S q S σεε?= ∑内 1011 2S S E σε?= ?? 即： 0 2εσ =E （均匀电场） E ?垂直平面指向考察点（若0<σ，则E ? 由考察点指向平面） 。此结论与例5完全一致。 例7-11：有二平行无限大均匀带电平板A 、B ，电荷面密度分别为1）σσ++,；2）σσ-+,。 求：板内、外场强。 解：1）设P 1为板内任一点，有 B A E E E ???+= 即： 02200=-= -=εσεσB A E E E 设P 2为B 右侧任一点（也可取在A 左侧）， B A E E E ???+= 即 00022εσεσεσ=+=+=B A E E E 2）设P 3为二板内任一点， B A E E E ???+= 即 0 0022εσεσεσ=+=+=B A E E E 设P 4为B 右侧任一点（也可取在A 左侧） B A E E E ???+= 即： 0220 0=-= -=εσεσB A E E E 上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强 不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。 应用高斯定理时，要注意下面环节：1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算??=?s S d E ? ? ?1 0=∑内S q ε4）由高斯定理∑?=?内 S s q S d E 01ε??求出E 。 §7-5 静电场力的功 电势 此前，从静电场力的表现引入了场强这一物理量来描述静电场。这一节，我们将从静电场力作功的表现来阐述电势这一物理量来描述静电场的性质。 一、静电场力的功 力学中引进了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只与始末二位置有关，而与路径无关。前面学过的保守力有重力、弹性力、万有引力等。在保守力场中可以引进势能的概念，并且保守力的功 W =势能增量的负值)(p E ?- （7-9） 在此，我们研究一下静电力是否为保守力。 1、点电荷情况 点电荷q +置于O 点，实验电荷0q 由a 点 运动到b 点。在c 处，0q 在位移r d ? 内，静电力F ? 对0q 的功为： r d r r qq r d E q r d F dW ? ??????= ?=?=3 0004πε ∵2r r r =?? ? ∴rdr r d r r r d 2=?+?? ??? rdr r d r 22=??? ? ∴dr r qq dr r r qq dW 2 00 30044πεπε=?= b a →: ?? ? ???-===??b a r r r r qq dr r qq dW W b a 1141400200πεπε （7-10） 可见：W 仅与0q 的始末二位置有关，而与过程无关。 2、点电荷系情况 设0q 在n q q q 、、 、???21的电场中，由场强迭加原理有： n E E E E ????+???++=21 0q 从b a →中，静电场力的功为： ??????+???+?+?=?=?=ab n ab ab ab ab r d E q r d E q r d E q r d E q r d F W ? ?????????020100 ∵上式左边每一项都只与0q 始末二位置有关，而与过程无关，∴点电荷系静电力对0q 作的功只与0q 始末二位置有关，而与过程无关。 ρ+图 7-28 o 3、连续带电体情况 对连续带电体，可看成是很多个点电荷组成的点电荷系，所以2中结论仍成立。 综上所述，静电场力为保守力（静电场为保守力场）。0q 在静电场中运动一周，静电力对它作功为： 00=??l d E q l ?? （l d ?代替r d ?） ? 00≠q （7-11） 此式表明，静电场中的环流=0（任何矢量沿闭合路径的线积分称为该矢量的环流），这一结论叫做场强环流定律。 静电场的环流定律是静电场的重要特征之一，静电学中的一切结论都可以从高斯定理及场强的环流定律得出。他们是静电场的基本定律。（（7-10）、（7-11）等价，由（7-11）知，电场线不可能闭合） 二、电势能 电势 1、电势能： ∵静电场为保守力场，∴可以引进相应势能的概念，此势能叫做电势能。设pa E 、 pb E 为0q 在a 、b 二点的电势能，可有 [] ??==--b a ab pa pb r d E q W E E ? ?0 （7-12） 电势能的零点与其他势能零点一样，也是任意选的，∴对于有限带电体，一般选无限远处0=∞p E （电势能只有相对意义，而无绝对意义）选0=pb E ，令b 点在无穷远，有 ? ?=b a pa r d E q E ? ?0 结论：0q 在电场中某点的电势能=0q 从该点移到电势能为零处电场力所作的功，在此,电势能零点取在无限远处。 2、电势 由pa E 表达式知，它与位置a 有关，还有0q 有关。但是 q E pa 且仅与位置a 有关，而 与0q 无关。它如同0q F E ??=一样，反映的是电场本身的性质，该物理量称为电势，记做a U ， 定义：0 q E U pa a =为a 点电势，选0=p b E 时，有 （7-13） 选∞→b ，有 ?∞?=a a r d E U ? ? （7-14） 结论：电场中某一点a 的电势等于单位正电荷从该点移到电势为零处（即电势能为 零处）静电力对它做的功。A 点电势等于把单位正电荷从该点移到电势为零点电场力做的功。 说明：1）a U 为标量，可正、负或0。单位：V 2）电势的零点（电势能零点）任选。在理论上对有限带电体通常取无穷远 处电势=0，在实用上通常取地球为电势零点。一方面因为地球是一个很大的导体，它本身的电势比较稳定，适宜于作为电势零点，另一方面任何其他地方都可以方便地将带电体与地球比较，以确定电势。 3）电势与电势能是两个不同概念，电势是电场具有的性质，而电势能是电 场中电荷与电场组成的系统所共有的，若电场中不引进电荷也就无电势能，但是各点电势还是存在的。 4）场强的方向即为电势的降落方向。 3.电势差： 电场中任意二点电势差，称为他们的电势差。 ??=?-?=-∞∞b a a b a r d E r d E r d E u u ? ????? （7-15） 结论：a 、b 二点电势差等于单位正电荷从b a →静电力做的功。 三、电势的计算 1、点电荷电势： ? ? ∞ ∞ ?=?=a a a r d r r q r d E u ????3 04πε r q dr r q r a 020 44πεπε?∞=方向积分可沿? 2、点电荷系电势 设有点电荷n q q q ，， ，???21， () ?????∞ ∞∞∞∞?+???+?+?= ?+???++=?=a n a a a n a a r d E r d E r d E r d E E E r d E u ??????? ??ρ??2121 n n r q r q r q 02 021 0444πεπεπε+ ???++ = 图 7-29 图 7-30 1 q n a ∑ ==n i i i r q 1 04πε ∑ ==n i i i a r q u 1 04πε （7-16） 结论：点电荷系中某点电势等于各个点电荷单独存在时产生电势的代数和， 此结论为静电场中的电势叠加原理。 3、连续带电体电势 设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，dq 在a 处产生电 势为：r dq du a 04πε= 整个带电体在a 处产生的电势为： ??==q a a r dq du u 04πε 例7-12：均匀带电圆环、半径为R ，电荷为q ， 求其轴线上任一点电势。 解：如图所示，x 轴在圆环轴线上， 〈 方法一〉用?∞?=x p r d E u ??解： 圆环在其轴线上任一点产生的场强为 ()23 2204x R qx E +=πε（E ?与x 轴平行） ?∞?=x p r d E u ?? ?∞ ∞→x Edx x 轴积分与路径无关，可沿 ( ) ? ∞ +=x dx x R qx 2 32204πε ( ) () ?∞++?=x x R x R d q 2 3 222 20214πε ∞ +-? ?= x x R q 22 01211214πε 2 200 4x R q += πε 〈方法二〉用电势叠加原理解?=p p du u 把圆环分成一系列电荷元，每个电荷元视为点电荷，dE 在p 点产生电势为： dq q r a 图 7-31 2 2 0044x R dq r dq du p += = πεπε 整个环在p 点产生电势为： 2 2 02 2044x R q x R dq du u q p p += +==? ?πεπε 讨论：1）0=x 处，R q u p 04πε= 2）R x >>时，x q u p 04πε=，环可视为点电荷。 例7-13：一均匀带电球面，半径为R ，电荷为q ， 求球面外任一点电势。 解：如图所取坐标，场强分布为 =E ? 0（球面内） r r q ?3 04πε（球面外） 球面外任一点P 1处电势 ?? ∞∞ =?=1 1 1r r p Edr r d E u ??（∵积分与路径无关，∴可沿1r ? 方向∞→） r q dr r q r 02 0441 πεπε==? ∞ 结论：均匀带电球面外任一点电势，如同全部电荷都集中在球心的点电荷一样。 球面内任一点P 2电势 ???∞∞?+?=?=R R r r p r d E r d E r d E u ??????2 2 2 ? ?∞ ∞=?=R R dr r q r d E 2 04πε?? R q 04πε= 可见，球面内任一点电势与球面上电势相等。（∵球面内任一点0=E ? ，∴在球面内 移动试验电荷时，无电场力作功，即电势差=0，∴有上面结论） 例7-14：有二个同心球面，半径为1R 、2R ，电荷为q +，q -，求二面的电势差。 解：〈方法一〉用??=-21 R R r d E u u ? ?外内解 在二球面间，场强为： r r q E ??3 04πε= ??=-21 R R r d E u u ? ?外内 ? ∞→21 2 04R R dr r q r πε? 积分与路径无关，可沿 ??? ? ??? 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 012 14q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑? n i i 3 3i 1 0i q 11 dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定 理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑ ?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 10． 静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与 真空中的静电场 一、选择题 1．如图4—2所示，半径为 的半球面置于电场强度为 的 均匀电场中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球面 的电场强度通量ΦE 为： A ． B ．0 C ． D ． E ． （） 2．如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在 S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 3．两块平行平板，相距d ，板面积均为S ，分别均匀带电＋q 和―q ，若两板的线度远大于d ，则它们的相互作用力的大小为： A ． B ． C ． D ． 4．真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。其电荷密度分别为σ+和2σ+，两板之间的距离为d ，两板间的电场强度大小为 A .0 B. 023εσ C.0 εσ D. 02εσ 5．两无限长的均匀带电直线相互平行，相距2a ，线电荷密度分别为λ+ 和λ- ，则每单位 长度的带电直线受的作用力的大小为 A.2202a λπε B.2204a λπε C.220a λπε D.2 2 08a λπε 6．某区域静电场的电场线分布情况如图4—5所示，一负电荷从M 点移到N 点，有人根据此图做出下列几点结论，其中哪点是正确的? A ．电场强度E M ＞E N ，电场力做正功； B ．电势U M ＜U N ，电场力做负功； C ．电势能W M ＜W N ，电场力做负功； D ．负电荷电势能增加，电场力做正功。 Q ’ A P S Q B 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 2/εδE o x 02/εδE o x 2/εδ0 2/εδ-E o x 0 2/εδ0 2/εδ-o E x 第六章 电荷的电现象和磁现象 序号 学号 专业、班级 一 选择题 [ C ]1 .一带电体可作为点电荷处理的条件是 (A)电荷必须呈球形分布。 (B)带电体的线度很小。 (C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 (D)电量很小。 [ D ]2．真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图线应是（设场强方向向右为正、向左为负） （A ） （B ） （C ） （D ） 二 填空题 1． 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于 ________________________________略________________________________________________, 这称为场强叠加原理。 2．静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于_________略____________________________ ___________________________________________________________________________。 3．两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为δ（δ> 0）及-2δ，如图所示， 试写出各区域的电场强度E 。 Ⅰ区E 的大小 0 2εσ ， 方向 向右 。 Ⅱ区E 的大小 23εσ ， 方向 向右 。 δ -x o I II III σ 2-σ 02/εσ0/εσ0 2/2ε0 22εσ Ⅲ区E 的大小 0 2εσ， 方向 向左 。 4．A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小都为E 0 , 两平面外侧电场强度大小都为 E 0 / 3 ，方向如图。则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为 A δ= 3/E 200ε－ ， B δ = 3/E 400ε 。 三 计算题 1．一段半径为a 的细圆弧，对圆心的角为θ0，其上均匀分布有正电荷 q ，如图所示，试以 a , q , θ0表示出圆心O 处的电场强度。 解：建立如图坐标系，在细圆弧上取电荷元l a q q d d 0 ?=θ， 电荷元视为点电荷，它在圆心处产生的场强大小为： θθπεθπεπεd 4d 44d d 0 2003020a q l a q a q E === 方向如图所示。将E d 分解， θθcos d d ,sin d d E E E E y x -=-= 由对称性分析可知，? ==0d x x E E 2 sin 2d cos 4d 0 202 2 02 000 θθπεθ θθπεθθ a q a q E E y y - =-==??- 圆心O 处的电场强度j a q j E E y 2 sin 200 20θθπε- == 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 E E E n E +++= (21) 2、电势叠加定理 V 1 、V 2 ...V n 分别为各点电荷单独存在时在P 点的电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点电势的代数和。 3、高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷的代数和除以 ε 说明： ①高斯定理是反映静电场性质的一条基本定理。 ②通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的代数和。 ③高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 三、静电平衡 1、静电平衡 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，带电 体系即达到了静电平衡。 说明： ①导体的特点是体内存在自由电荷。在电场作用下，自由电荷可以移动， 从而改变电荷分布；而电荷分布的改变又影响到电场分布。 ②均匀导体的静电平衡条件：体内场强处处为零。 ③导体是个等势体，导体表面是个等势面。 ④导体外靠近其表面的地方场强处处与表面垂直。 第五章真空中的静电场 第一节电荷、库仑定律 一、 电荷 电子具有电荷191.6021910e C -=-?(库仑)，质子具有电荷 191.6021910p C e -=?，中子不带电。物理学对电荷的认识可概括为： (1)电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性； (2)电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍； (3)电荷具有守恒性； (4)电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。 不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。核反应中，电荷也是守恒的，例如 用α粒子42He 去轰击氮核147 N ，结果生成178O 和质子11H 反应前后，电荷总数皆为9e 。 根据(2)，电荷€电场€电荷，质量€引力场€质量。 在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。 从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。 二、 库仑定律 12301 4q q F r r πε=r r 或122014r q q F e r πε=r r 0ε为真空电容率(vacuumpermittivity)， 其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=??≈?? 介质中的库仑力 0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。 电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。它削弱了原点电荷之间的作用。 三、 叠加原理 实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并 大学物理静电场知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 0121 4q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑ ? n i i 33i 1 i q 11dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 练 习 六 静电场 一、填空题 1.点电荷q 1、q 2、q 3 和q 4 在真空中的分布如图所示．图中 为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量 s E dS ? =____120()q q ε+________， 式中的E 是点电荷___q 1、q 2q 3、q 4____在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和． 2.在边长为a 的正方体中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为_______ 2 03Q a πε______ 3.一半径为R 的均匀带电圆环，电荷线密度为λ． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心O 点的电势U ＝_______ 2λ ε________． 4.一半径为R 的均匀带电导体球壳，带电荷为Q ．球壳内、外均为真空．设无限远处为电势零点，则壳内各点电势U =_______ 04Q R πε_______． 5.在点电荷q 的电场中，把一个－1.0×10-9 C 的电荷，从无限远处(设无限远处电势为零)移到离该点电荷距离 0.1 m 处，克服电场力作功1.8×10-5 J ，则该点电荷q ＝_____ -2×10-7 C ___________．(真空介电常量0＝8.85×10-12 C2·N -1·m -2 ) 6.一电荷为Q 的点电荷固定在空间某点上，将另一电荷为q 的点电荷放在与Q 相距r 处．若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能We ＝_____ 04Qq r πε____________． 7. 图示BCD 是以O 点为圆心，以R 为半径的半圆弧，在A 点有一电荷为+q 的点电荷，O 点有一电荷为－q 的点电荷．线段BA = R ．现将一单位正电荷从B 点沿半圆弧轨道BCD 移到D 点，则电场力所作的_______ 06q R πε______________。 二、选择题 1. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由 闭合曲面内的P 点移到T 点，且（ D ） (A) 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； (B) 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； (C) 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； 3大学物理习题-静电场 静电场 一、选择题 1．一带电体可作为点电荷处理的条件是 （A ）电荷必须呈球形分布； （B ）带电体的线度很小； （C ）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略 不计； （D ）电量很小。 2．真空中有两个点电荷M 、N ，相互间作用力为 F ，当另一点电荷Q 移近这两个点电荷时，M 、N 两点电荷之间的作用力F （A ）大小不变，方向改变； （B ）大小改 变，方向不变； （C ）大小和方向都不变； （D ）大小和 方向都改变。 3．下列几种说法中哪一个是正确的? （A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放 在该点所受电场力的方向； （B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷 所产生的场强处处相同； （C ）场强方向可由q F E 定义给出，其中q 为试验 电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的 电场力； （D ） 以上说法都不正确。 4．一电偶极子放在均匀电场中，当电偶极矩的方向与场强方向不一致时，其所受的合力F 和合力矩M 为： （A ）0 F ，0 M ； （B ）0 F ，0 M ； （C ）0 F ，0 M ； （D ）0 F ，0 M 。 5．一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 （A ）E R 2 ； （B ）E R 221 ； （C ）E R 2 2 ； （D ）0。 6．如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： （A ）06 q ； （B ）012 q ； （C ）024 q ； （D ）0 48 q 。 第题· 图 真空中的静电场一、选择题 1、下列关于高斯定理的说法正确的是（A）A如果高斯面上E处处为零，则面内未必无电荷。 B女口果咼斯面上E处处不为零，则面内必有静电荷。 C如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。 D如果高斯面内有净电荷，则高斯面上E处处不为零。 2、以下说法哪一种是正确的（B） A电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B电场中某点电场强度的方向可由E=F qo确定，其中q o为试验电荷的电荷量，q o可正 可负，F为试验电荷所受的电场力 C在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D以上说法都不正确 3、如图所示，有两个电 2、下列说法正确的是（D） A电场强度为零处，电势一定为零。电势为零处，电场强度一定为零。B电势较高处电场强度一定较大，电场强度较小处电势一定较低。 C带正电的物体电势一定为正，带负电的物体电势一定为负。 D静电场中任一导体上电势一定处处相等。 3、点电荷q位于金属球壳中心，球壳内外半径分别为 R I,R2,所带静电荷为零A, B为球壳内外两点，试判断下 列说法的正误（C） A移去球壳，B点电场强度变大B移去球壳，A点电场强度 变大 C移去球壳，A点电势升高 D移去球壳，B点电势升高 4、下列说法正确的是（D） A场强相等的区域，电势也处处相等 B场强为零处，电势也一定为零 C电势为零处，场强也一定为零 D场强大处，电势不一定高 10、如图所示，在半径为 R 的“无限长”均匀带电圆筒的静电场中，各点的电场强度 大小与距轴 线的距离 r 关系曲线为（A ） 5、如图所示, AF 6、如图所示， 场强E 的方向与半球面的对称抽平行，穿过此半球面的电通量为（ D -- R 2E 2 2 A 2-R 2 E / 2 2 B .2-R 2E C -R 2 E 7、如图所示两块无限大的铅直平行平面 度均为?σ （a ；OC *m^）,在如图所示的 σ 0, ,0 ',0 D -，0，- 8、如图所示为一具有球对称性分布的静电场的 种带电体产生的.（B ） E ?r 关系曲线.请指出该静电场是由下列哪 A 半径为R 的均匀带电球面. B 半径为R 的均匀带电球体. C 半径为R 的、电荷体密度为 '=Ar （ A 为常数）的非均匀带电球体 D 半径为R 的、电荷体密度为 Q=A/r （ A 为常数）的非均匀带电球体 9、设无穷远处电势为零， U b 则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为 （图中的 q 位于立方体一顶点 一个点电荷 12 ；。 E 的均匀电场中, 在电场强度 A 和 B ,均匀带电，其电荷密 b 、 C 三处的电场强度分 U a 、 C 2 B 」 B F O CK 有一半径为 R 的半球 面， C ） 2) 静电场教案 一．教学目标 1.知识与技能：①理解库仑定律的意义并掌握其应用 ②理解电场叠加原理并掌握应用其求点电荷 电场分布的方法 ③掌握用解析法和几何法描述静电场的方法 ④理解静电场的性质 ⑤理解高斯定理的物理意义并掌握应用其求特殊带电体 电场分布的方法 2.过程与方法：①通过整理知识框图与“三基”问题带领学生 复习本章内容,培养学生归纳知识的能力 ②通过合作讨论探究问题，培养学生进一步运 知识的能力,学习一定研究问题的科学方法 3.情感态度与价值观：创设情境，联系生活中相关物理现象和 生活技巧，激发学生对本章内容的学习 兴趣，培养学生求实的科学态度。 二．重点、难点 1.重点：①静电场的描述 ②电场叠加原理的理解和应用 ③高斯定理的理解和应用 2.难点：高斯定理的理解和应用 通量 E dS 静电平衡0E = 1 E dS ε==∑?n E E =∑n E E =∑n E E =∑n i i E E = =∑静示：电场线对q E e = 场强度n i i q E e =∑ dq E dE e =?=? 12 q q F e = 电场强度定义式 F E = 四..基本物理量 1. 电荷：q 一切电磁现象归因于物体所带电荷，电荷具有量子性，即电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，这个基本单元 电荷的带电量为 191.60210e C -=? 2. 电力F 包括带电体与带电体之间的静电力和带电体在电场中受到的电场力 3. 电场强度F E q = 4. 电通量: cos e d E dS EdS φθ== 电通量是衡量静电场中垂直穿过某一面积元的电场线条数的量 五.基本定律 1. 库仑定律：12 204r q q F e r πε= 反映真空中两个静止点电荷之间的相互作用特点 2. 电场叠加原理：1 n i i E E == ∑ 反映当多个点电荷存在时，它们在某场点激发的总电场与他们各自单独存在时在该场点激发的电场的关系 3. 高斯定律：0 1 e in E dS q φε== ∑? 映在真空静电场内任意封闭曲面上电通量与该曲面包围的电荷代数和之间关系，它表示该电通量与封闭曲面外的电荷无关，即封闭曲面上的总电场只由曲面内的电荷决定。反 六. 基本问题 1. 静电场的图示 2. 在什么情况下可以将带电体近似看做点电荷? 3. 电力的计算和讨论 4. 利用电场叠加矢量求和方法求解分立电荷在空间某点激发的电场强度。 第7章 习题精选 （一）选择题 7-1、下列几种说法中哪一个是正确的 （A ）电场中某点场强的方向，就是点电荷在该点所受电场力的方向． （B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同． （C ）场强可由q F E / =计算，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F 为试验电荷所受电场力． （D ）以上说法都不正确． ［ ］ 7-2、图中实线为某电场的电场线，虚线表示等势面，由图可看出： … （A ）C B A E E E >>，C B A V V V >>．（B ）C B A E E E <<，C B A V V V <<． （C ）C B A E E E >>，C B A V V V <<．（D ）C B A E E E <<，C B A V V V >>． ［ ］ 7-3、关于电场强度定义式0/q F E =，下列说法中哪个是正确的 （A ）场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比． （B ）对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变． （C ）试验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向． （D ）若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E ． ［ ］ - 7-4、有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O 点垂直距离为a /2 处，有一电量为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 （A ）03εq ． （B ）0 4επq （C ）03επq ． （D ）06εq ［ ］ 7-5、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0=∑q ，则可肯定： （A ）高斯面上各点场强均为零． （B ）穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零． （C ）穿过整个高斯面的电场强度通量为零． （D ）以上说法都不对． ［ ］ 7-6、点电荷Q 被曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面外一点，如图，则引入前后： （A ）曲面S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变． ` （B ）曲面S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变． （C ）曲面S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化． （D ）曲面S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化． ［ ］ 7-7、高斯定理0/d ε∑??=q S E S （A ）适用于任何静电场． （B ）只适用于真空中的静电场． （C ）只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场． q 练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大 解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为 ()2 41r q q Q F -= πε 由极值条件0d d =q F ，得 Q q 2 1= 又因为 2 02221 d d r q F πε-=<0 这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立： 3 1022??? ? ??=mg l q x πε 式中x 为两球平衡时的距离。 (2)如果l = m ，m =10 g ，x = cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少 (3)如果每个球以-19s C 1001??-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有 F T =θsin mg T =θcos 由此二式可得 mg F = θtan 因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到 2 024x q F πε= 可解得 3 1 022? ?? ? ??=mg l q x πε （2）由上式解出 C 10382282 13 0-?±=??? ? ? ?±=.l mgx q πε （3） 由于 t q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313 10=???? ??==-πευ 带入数据解得 -13s m 10401??=-.υ 合力的大小为 2 22 220 1222412cos 2? ? ? ??+? ? ? ? ??+? ? ===d x x d x e F F F x πεθ () 2 322 2043241 d x x e += πε 令0d d =x F ，即有 ()()0482341825222 232202=??? ?????+?-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为 2 2d x ± = 浙江省大学物理试题库302-静电场的高斯 定理 － 选择题 题号：30212001 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ； ()B 0/2q ； ()C 0/4q ； ()D 0/6q 。 〔 〕 答案：()D 题号：30212004 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 Q ’ A P S Q B 练 习 三 静电场 一、填空题 1.点电荷q 1、q 2、q 3 和q 4 在真空中的分布如图所示．图中 为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量 s E dS ? =____120()q q +________，式中的E 是点电荷___q 1、q 2q 3、q 4____在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和． 2.在边长为a 的正方体中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为_______ 2 03Q a πε______ 3.一半径为R 的均匀带电圆环，电荷线密度为λ． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心O 点的电势U ＝_______ 2λ ε________． 4.一半径为R 的均匀带电导体球壳，带电荷为Q ．球壳内、外均为真空．设无限远处为电势零点，则壳内各点电势U =_______ 04Q R πε_______． 5.在点电荷q 的电场中，把一个－1.0×10-9 C 的电荷，从无限远处(设无限远处电势为零)移到离该点电荷距离 0.1 m 处，克服电场力作功1.8×10-5 J ，则该点电荷q ＝_____ -2×10-7 C ___________．(真空介电常量 0＝8.85×10-12 C2·N -1·m -2 ) 6.一电荷为Q 的点电荷固定在空间某点上，将另一电荷为q 的点电荷放在与Q 相距r 处．若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能We ＝_____ 04Qq r πε____________． 7. 图示BCD 是以O 点为圆心，以R 为半径的半圆弧，在A 点有一电荷为+q 的点电荷，O 点有一电荷为－q 的点电荷．线段BA = R ．现将一单位正电荷从B 点沿半圆弧轨道BCD 移到D 点，则电场力所作的_______ 06q R πε______________。 二、选择题 1. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由 闭合曲面内的P 点移到T 点，且（ D ） (A) 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； (B) 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； (C) 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； 一．选择题（每题3分） 1．如图所示，各图中所有电荷均与原点等距，且电量相等。设无穷远为零电势，则各图中电势和场强均为零的是（ ） +q +q +q +q +q -q –q -q –q -q +q +q -q -q +q +q （A ）图1 （B ）图2 （C ）图3 （D ）图4 2．一均匀带电球面，若球内电场强度处处为零， 则球面上带电量为σds 的面元在球面内产生的电场强度是（ ） （A ）处处为零 （B ）不一定为零 （C ）一定不为零 （D ）是常数 3．在一个点电荷+Q 的电场中，一个检验电荷+q ，从A 点分别移到B ，C ，D 点，B ，C ，D 点在+Q ） （A ） 从A 到B 电场力做功最大。 （B ） 从A 到C 电场力做功最大。 （C ） 从A 到D 电场力做功最大。 B （D ） 电场力做功一样大。 4．空心导体球壳，外半径为R 2，内半径为R 1，中心有点电荷q ，球壳上总电荷q ，以无穷远处为电势零点，则导体壳的电势为（ ） （A ） 01 1 4q R πε（B ）0214q R πε （C ）01124q R πε （D ）02124q R πε 5．等腰三角形三个顶点上分别放置+q ，-q 和2q 三个点电荷，顶角平分线上一点P 与 三个顶点的距离分别为d 1 ,d 1和d ，如图所示，把电荷Q 从无穷远处移到P 点最少需要做功（ ） 2q +q （A ） 011 4qQ d πε （B ）01124qQ d πε （C ）0124qQ d πε （D ） 01 12()4qQ qQ d d πε+ 6、如图所示，一点电荷q 位于一边长为a 的立方体的 q A 顶点A ，则通过立方体B 表面的电通量各为（ ） B （A ） 6q ε （B ）012εq （C ）024εq （D ）0εq 02/εδE o x 2/εδE o x 0 2/εδ0 2/εδ-E o x 2/εδ0 2/εδ-o E x 第六章 电荷的电现象和磁现象 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ C ]1 .一带电体可作为点电荷处理的条件是 (A)电荷必须呈球形分布。 (B)带电体的线度很小。 (C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 (D)电量很小。 [ D ]2．真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图线应是（设场强方向向右为正、向左为负） （A ） （B ） （C ） （D ） 二 填空题 δ -x o 1． 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于 ________________________________略________________________________________________, 这称为场强叠加原理。 2．静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于_________略____________________________ ___________________________________________________________________________。 3．两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为δ（δ> 0）及-2δ，如图所示， 试写出各区域的电场强度E 。 Ⅰ区E 的大小 2εσ ， 方向 向右 。 Ⅱ区E 的大小0 23εσ ， 方向 向右 。 Ⅲ区E 的大小 0 2εσ ， 方向 向左 。 4．A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小都为E 0 , 两平面外侧电场强度大小都为 E 0 / 3 ，方向如图。则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为 A δ= 3/E 200ε－ ， B δ = 3/E 400ε 。 三 计算题 I II III σ2-σ 02/εσ0/εσ0 2/2ε022εσA B 3 E 00 E 3 E 0 大学物理静电场知识点总结 1.电荷得基本特征:(1）分类：正电荷(同质子所带电荷）,负电荷(同 电子所带电荷)（2)量子化特性(3)就是相对论性不变量（4)微观粒子所带电荷总就是存在一种对称性 2. 电荷守恒定律：一个与外界没有电荷交换得孤立系统,无论发生什 么变化,整个系统得电荷总量必定保持不变。 3.点电荷：点电荷就是一个宏观范围得理想模型,在可忽略带电体自身得线度时才成立。 4.库仑定律: 表示了两个电荷之间得静电相互作用,就是电磁学得基本定律之一,就是表示真空中两个静止得点电荷之间相互作用得规律 5. 电场强度:就是描述电场状况得最基本得物理量之一,反映了电场 得基 ６．电场强度得计算: (1)单个点电荷产生得电场强度，可直接利用库仑定律与电场强度得定义来求得 (2)带电体产生得电场强度,可以根据电场得叠加原理来求解 (3）具有一定对称性得带电体所产生得电场强度，可以根据高斯定理来求解 (4）根据电荷得分布求电势,然后通过电势与电场强度得关系求得电场强度 7.电场线:就是一些虚构线,引入其目得就是为了直观形象地表示 电场强度得分布 (1）电场线就是这样得线:a.曲线上每点得切线方向与该点得电场强度方向一致 ｂ.曲线分布得疏密对应着电场强度得强弱,即越密越强,越疏越弱。 (2)电场线得性质：ａ．起于正电荷(或无穷远),止于负电荷(或无穷远)。b．不闭合,也不在没电荷得地方中断。c.两条电场线在没有电荷得地方不会相交 8．电通量： (1）电通量就是一个抽象得概念,如果把它与电场线联系起来,可以把曲面S得电通量理解为穿过曲面得电场线得条数。(２）电通量就是标量,有正负之分。 9.高斯定理: (1)定理中得就是由空间所有得电荷(包括高斯面内与面外得电荷)共同产生。（2）任何闭合曲面S 得电通量只决定于该闭合曲面所包围得电荷,而与S以外得电荷无关 10．静电场属于保守力：静电场属于保守力得充分必要条件就是,电荷在电场中移动,电场力所做得功只与该电荷得始末位置有关,而与其经历得路径无关。由此可得 １１.电势能、电势差与电势: （1)电势能：试探电荷在电场强度为得电场中得P与Q两点得电势 真空中的静电场 一、选择题 1、下列关于高斯定理的说法正确的是（A ） A 如果高斯面上E 处处为零，则面内未必无电荷。 B 如果高斯面上E 处处不为零，则面内必有静电荷。 C 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。 D 如果高斯面内有净电荷，则高斯面上 E 处处不为零。 2、以下说法哪一种是正确的（B ） A 电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B 电场中某点电场强度的方向可由0q F E 确定，其中0q 为试验电荷的电荷量，0q 可正 可负，F 为试验电荷所受的电场力 C 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D 以上说法都不正确 3、如图所示，有两个电 2、 下列说法正确的是（D ） A 电场强度为零处，电势一定为零。电势为零处，电场强度一定为零。 B 电势较高处电场强度一定较大，电场强度较小处电势一定较低。 C 带正电的物体电势一定为正，带负电的物体电势一定为负。 D 静电场中任一导体上电势一定处处相等。 3、点电荷q 位于金属球壳中心，球壳内外半径分别为 21,R R ,所带静电荷为零B A ,为球壳内外两点，试判断下 列 说法的正误（C ） A 移去球壳， B 点电场强度变大 B 移去球壳，A 点电场强度变大 C 移去球壳，A 点电势升高 D 移去球壳，B 点电势升高 4、下列说法正确的是（D ） A 场强相等的区域，电势也处处相等 B 场强为零处，电势也一定为零 C 电势为零处，场强也一定为零 D 场强大处，电势不一定高 5、如图所示，一个点电荷q 位于立方体一顶点A 上，则通过abcd A 06q ε B 012q ε C 024q ε D 0 36q ε 6、如图所示，在电场强度E 的均匀电场中，有一半径为R 的半球面，场强E 的方向与半球面的对称抽平行，穿过此半球面的电通量为（C ） A E R 2 2π B E R 22π C E R 2π D E R 2 2 1π 7、如图所示两块无限大的铅直平行平面A 和B ，均匀带电，其电荷密度均为）（2 0-??m C σσ，在如图所示的c b a 、、三处的电场强度分别为（D ） A 0,, 00,εσ B 0,2,00,εσ C 000,,2εσεσεσ D 0 0,0,εσεσ 8、如图所示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．（B ） A 半径为R 的均匀带电球面． B 半径为R 的均匀带电球体． C 半径为R 的、电荷体密度为Ar =ρ（A 为常数）的非均匀带电球体 D 半径为R 的、电荷体密度为r A /=ρ（A 为常数）的非均匀带电球体 9、设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：(C) 10、如图所示，在半径为R 的“无限长”均匀带电圆筒的静电场中，各点的电场强度E 的 大小与距轴线的距离r 关系曲线为（A ） a大学物理静电场知识点总结
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