最新6年高考4年模拟（更新到2010年高考）之万有引力、
天体运动
第一部分 六年高考题荟萃
2010年高考新题
1．2010·重庆·1６月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O 做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O 点运动生物线速度大小之比约为 A ．1：6400 B.1:80 C. 80:1 D:6400:1 【答案】C
【解析】月球和地球绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有
R M r m 22ωω=，所以
m
M R r V v ==，线速度和质量成反比，正确答案C 。 2. 2010·天津·6探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小
B.向心加速度变小
C.线速度变小
D.角速度变小 答案：A
3. 2010·全国卷Ⅱ·21已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R 1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R 2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
121
12
13
111)2(34
r T m r R Gm ππρ=?
22222
2
32
2
2)2(34r T m r R Gm ππρ=? 两式化简得122
1
2==
T T 小时 【命题意图与考点定位】牛顿第二定律和万有引力定律应用于天体运动。
4. 2010·江苏物理·62009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
（A ）在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
（B ）在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C ）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
（D ）在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案：ABC
5． 2010·福建·14火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个
重大太空探索项目。
假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期1T ，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为2T ，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则1T 与
2T 之比为
A.
3
pq B.
31
pq C. 3
p
q D. 3
q p
答案：D
6. 2010·新课标·20太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是lg(/)O T T ，纵轴是
lg(/)O R R ;这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，O T 和0R 分别
是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
30
20kR T =两式相除后取对数，得：30
3
2
02lg
lg
R R T T =，整理得：0
lg
3lg
2R R T T =，选项B
正确。
7．2010·北京·16一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A.1
2
4π3G ρ??
???
B.1
2
34πG ρ?
?
???
C.1
2
πG ρ??
???
D.1
2
3πG ρ??
???
【答案】D
【解析】赤道表面的 物体对天体表面的压力为零,说明天体对物体的万有引力恰好等于物体
随天体转动所需要的向心力，有R T m R
m
R G 223)2(34
π
π=，化简得G
T ρπ
3=
，正确答案为D 。
8. 2010·上海物理·15月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为1g ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为2g ，则 （A ）1g a = （B ）2g a = （C ）12g g a += （D ）21g g a -= 【解析】
根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B 。本题考查万有引力定律和
圆周运动。难度：中等。这个题出的好。
9．2010·海南物理·10火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法正确的是 A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的长 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大 【答案】AB
【解析】由
2Mm G
mg R =得
2M g G R =，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的2
5，A 正确；由2
22()Mm G m R r T π=得
32r T GM π
=，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线速度小，(
或由
GM
r =
v 判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转向心加速度
2M
a G
r =，D 错。
10. 2010·安徽·17
【答案】A
【解析】由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有
21
2112()()()Mm G
m R h R h T π=++；2
2222
2()()()Mm G m R h R h T π=++，可求得火星的质量
2323
1222
124()4()R h R h M GT GT ππ++==
和火星的半径2
23
2112
2311T h h T R T T ??
- ???=??- ?
??
，根据密度公式得：
3
33443M M M
V R R ρππ=
==。在火星表面的物体有2Mm G mg R =，可得火星表面的重力加速度2
GM g R =，故选项A 正确。
11. 2010·全国卷Ⅰ·25如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。
? 求两星球做圆周运动的周期。
? 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】?)
(23m M G L T +=π ?1.01
【解析】 ?A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有
R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=
，L M m M
r +=
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M
T m L GMm +=22
)2(π 化简得 )
(23
m M G L T +=π
?将地月看成双星，由?得)
(23
1m M G L T +=π
将月
球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
L T m L GMm 2
2
)2(π=
化简得 GM
L T 3
22π=
所以两种周期的平方比值为01.110
98.51035.71098.5)(24
22
24212=??+?=+=M M m T T
2009年高考题
一、选择题
1.（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×
10-11
N
·m 2/kg 2,
,
由此估算该行星的平均密度为
（ D ）
A.1.8×103
kg/m 3
B. 5.6×103
kg/m
3
C. 1.1×104
kg/m 3
D.2.9×104
kg/m 3
解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供
2224T
R
m R Mm G π=,可求出地球的质量.然后根据3
43R M πρ=,可得该行星的密度约为2.9×104
kg/m 3
。
2.（09·上海物理·8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建
立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿 （ AB ）
A ．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B ．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F ∝m 的结论
C ．根据F ∝m 和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F ∝m 1m 2
D ．根据大量实验数据得出了比例系数G 的大小
解析：题干要求“在创建万有引力定律的过程中”，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即F ∝m 的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量G 的大小，只与C 项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有AB 。
3.（09·广东物理·5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选
择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近
（ B ）
A ．地球的引力较大
B ．地球自转线速度较大
C ．重力加速度较大
D ．地球自转角速度较大
解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大，发射时较节能，因此B 正确。
4.（09·江苏物理· 3）英国《新科学家（New Scientist ）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约
45km ，质量M 和半径R 的关系满足2
2M c R G
=（其中c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为 （ C ） A ．8
2
10m/s B ．10
2
10m/s C ．12
2
10m/s D ．14
2
10m/s
解析：处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的
万有引力，对黑洞表面的某一质量为m 物体有：mg R Mm G =2，又有2
2M c R G
=，联立解
得R
c g 22=，带入数据得重力加速度的数量级为122
10m/s ，C 项正确。
5.（09·广东理科基础·10）关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ A ）
A ．第一宇宙速度又叫环绕速度
B ．第一宇宙速度又叫脱离速度
C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关
解析：第一宇宙速度又叫环绕速度A 对，B 错；根据定义有R V m
R
mM G 2
2= 可知与地球的质量和半径有关，CD 错。
6.（09·重庆·17）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km 和100Km ，运动速率分别为v 1和v 2，那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1700Km ） （ C ）
A.
1918 B.1918 C,18
19
D. 1819 7.（09·四川·15）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地
球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为 （ A ） A.13
3.39
-
B.12
3.39
-
C.3
2
3.39
D.23
3.3.9
解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有
2
GMm
R ＝22()m R T
π
，可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R 1:R 2＝
3
2
122
T T ，又根据V ＝GM
R
，联立解得V 1:V 2＝3
12T T ，已知12T T ＝13.39
，则V 1:V 2＝3
1
3.39
。 8.（09·安徽·15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的
轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 （ D ）
A. 甲的运行周期一定比乙的长
B. 甲距地面的高度一定比乙的高
C. 甲的向心力一定比乙的小
D. 甲的加速度一定比乙的大
解析：由r GM v =可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B 错；由公式GM
R 2T 3
π
=可知甲的周期小故A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错；碎片的
加速度是指引力加速度由
ma R m GM =2
得a R GM
=2
，可知甲的加速度比乙大，故D 对。 9.（09·安徽·16）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A 型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R 和宇宙年龄的关系， 大致是下面哪个图像 （ C ）
解析：图像中的纵坐标宇宙半径R 可以看作是星球发生的位移x ，因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢程度。由题意，宇宙加速膨胀，其半径增加的速度越来越大。故选C 。 10.（09·山东·18）2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 （ BC ） A ．飞船变轨前后的机械能相等
B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C ．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度
D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A 不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B 正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据2T π
ω
=
可知，飞船在此圆轨道上运动的角
度速度大于同步卫星运动的角速度，C 正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D 不正确。
考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律
提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他
P
地球
Q 轨道1
轨道2
力做功之和不为零，则机械能不守恒。
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。
由22Mm v G m r r =得GM v r =，由222()Mm G m r r T π=得3
2r T GM π=，由
2
2Mm G
m r r ω=得3GM r
ω=，2n Mm G ma r =可求向心加速度。 11.（09·福建·14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨
道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ C ）
A.r 、v 都将略为减小
B.r 、v 都将保持不变
C.r 将略为减小，v 将略为增大
D. r 将略为增大，v 将略为减小
解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。 12.（09·浙江·19）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的7
107.2?倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ AD ） A ．太阳引力远大于月球引力 B ．太阳引力与月球引力相差不大 C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析：
2
2
R R M M F F 太阳
月
月
太阳月
太阳?
=
，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心
到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。
13. (09·广东文科基础·59)关于万有引力及其应用，下列表述正确的是 （ D ）
A ．人造地球卫星运行时不受地球引力作用
B ．两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比
C ．两物体间的万有引力跟它们的距离成反比
D ．人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，称为第一宇宙速度 二、非选择题
14.（09·海南物理·11）在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）
答案：第谷（1分）；开普勒（1分）；牛顿（1分）；卡文迪许 （1分） 评分说明：每选错1个扣1根，最低得分为0分。
15.（09·上海·45）小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度。他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度。经过骑行，他得到如下的数据：
在时间t 内踏脚板转动的圈数为N ，那么脚踏板转动的角速度ω= ;要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有 ；自行车骑行速度的计算公式v= . 答案：;2t
N
π
牙盘的齿轮数m 、飞轮的齿轮数n 、自行车后轮的半径R(牙盘的半径r 1、飞轮的半径r 2、自行车后轮的半径R);
)2(22
121Rw r r t r N r R nt mN Rw n m 或或ππ
16.（09·全国卷Ⅱ·26） (21分)如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，
在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即
PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G 。
（1）设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
答案：（1）223/2
()
G Vd d x ρ+；（2）1
3/2-=k L d ,)1(3
/22-=k G k L V ρδ
解析：本题考查万有引力部分的知识.
（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力g m r
Mm
G
?=2………①来计算,式中的m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量,V M ρ=……………② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22x d r +=
………③
g ?在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小.Q 点处重力加
速度改变的方向沿OQ 方向,重力加速度反常g '?是这一改变在竖直方向上的投影
g r
d
g ?=
'?………④ 联立以上式子得
2
/322)(x d Vd
G g +=
'?ρ,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常g '?的最大值和最小值分别为()2
max d
V
G g ρ=
'?……⑥ ()2
/322min )
(L d Vd
G g +=
'?ρ……………⑦ 由提设有()δk g ='?max 、()δ='?min g ……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
1
3/2-=
k L d ,)1(3
/22-=k G k L V ρδ
17.（09·北京·22）（16分）已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度v 1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T 。
解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M, 在地球表面附近满足
mg
R Mm
G
=2
得 g R GM 2= ①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
22
1R
Mm
G R v m = ②
①式代入②式，得到Rg v =1 （2）考虑式，卫星受到的万有引力为
22
2)()(h R mgR h R Mm G F +=+= ③
由牛顿第二定律)(422
h R T
m F +=π ④
③、④联立解得g
h R R
T 2
)(2+=
π
18.（09·天津·12）（20分）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。 （1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-G
Mm
R
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7?10-11
N ·m 2/kg 2，光速c=3.0?108
m/s ，太阳质量M s =2.0?1030kg ，太阳半径R s =7.0?108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径g R 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）6
104?，（2）17<
解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌
生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。 （1）S2星绕人马座A *
做圆周运动的向心力由人马座A *
对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则
r m r m M G
S S A 2
22
2ω= ① T
π
ω2= ②
设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则 E E E
E
S r m r m M G 22
ω= ③ 综合上述三式得
2
3
??
?
?????
?
??=T T r r M M E E S A
式中 T E =1年 ④
r E =1天文单位 ⑤
代入数据可得
6104?=S
A
M M ⑥ （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有 0212<-R
Mm
G mc ⑦ 依题意可知
A R R =，A M M = 可得
2
2c
GM R A
A < ⑧ 代入数据得