第五章系统的频率特性分析
本章目录
5.1 频率特性
5.2 对数坐标图
5.3 极坐标图
5.4 乃奎斯特稳定判据
5.5 相对稳定性分析
5.6 频域性能指标和时域性能指标的关系
小结
本章简介
在经典的控制系统分析方法中，有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性能进行分析和校正的：其一是上一章的根轨迹法，其二即本章介绍的频率特性分析法。频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。
与其它方法相比较，频率响应法还具有如下的特点：
1）频率特性除可以由前述传递函数确定外，也可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，特别便于工程上的应用。
2）由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量较少的特点。
3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。
由于上述的特点，频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个重要内容，而且它的有关理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中。
本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后，着重于开环控制系统的频率特性分析：极坐标图(Nyquist图)和半对数坐标图(Bode图)，同时将应用Matlab工具分析控制系统的频率特性，最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系，并研究它们与控制系统性能指标的关系。
5.1频率特性
频率特性又称频率响应，它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性。系统的频率特性可由两个方法直接得到：(1) 机理模型—传递函数法；(2) 实验方法。
5.1.1 由传递函数求系统的频率响应
设系统的开环传递函数
（5—1）
对应的频率特性为
（5—2）
如果在S平面的虚轴上任取一点，把该点与的所有零、极点连接成向量，并将这些向量分别以极坐标的形式表示：
则式（5－3）可改写为
（5－3）
由上式得到其对应的幅值和相角：
（5－4）
（5－5）
同理，可求得对应于的和。如此继续下去，就能得到一系列幅值和相位与
频率的关系，其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性，相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
5.1.2 由实验方法求频率特性
系统的频率特性也可用实验方法得到。图5－3给出了一种求取系统频率特性的实验接线方法，它由一台正弦信号发生器、系统或元件装置和双踪示波器组成。信号发生器的频率范围由被测试的实验装置决定，双踪示波器的一路用于测量输出、输入信号的比值，即系统的
幅频特性：，另一路用于测量输出信号与输入信号的相位差，即系统的相频特性：
。通过不断改变输入信号的频率值，应可以得到系统的频率特性。
5.1.3 频率特性的基本概念
线性定常系统的频率特性和时域响应是一致的。在频率特性已知的情况下，可通过数值或解析的方法得到系统的时间响应。
如果一个系统的频率特性已知，则可根据反富里叶级数示取系统的时间响应。令
为控制系统输出的频率特性，则由
(5-7)
可得到系统输出的时间响应。上面的积分式可通过解析法或根据频特性图由数值法求得。
反过来，若已知系统的时间响应，也可求出系统的频率特性。为了方便理解，下面先以R－C电路为例，并说明频率特性的物理意义。
同样，对于一般的线性定常系统，设输入为一频率为ω的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其幅值和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。
设线性系统的传递函数具有式（5－2）的形式，已知输入信号，其拉氏
变换，A为常量，则系统的输出为
（5—12）
式中，为的极点。对于稳定系统，这些极点都位于s的左平面，
即它们的实部均为负值。为简单起见，令的极点均为相异的实数极点，则式（5
—12）改写为
（5—13）
其中、和(i=1，2，…，n)，均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得
（5—14）
当时，系统响应的瞬态分量趋向零，其稳态分量为
（5—15）
其中、和由下列两式确定
（5—16）
（5—17）
由于是一个复数向量，因而可表示为
（5—18）
其中。注意到式中、是ω的偶函
数，、是ω的奇函数，因而与互为共轭复数。这样可改写为
（5—19）
把式（5—16）~（5—19）代入式（5—15），可得
（5—20）
以上证明了线性定常系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入
的幅值比为，输出与输入的相位差。
比较频率特性与传递函数的形式可以发现，只要把传递函数中的用代之，就可得
到系统的频率特性，即有。可见，频率特性只是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数一样能表征系统的运动规律，成为描述系统的又一种数学模型。
5.2对数坐标图
如前所述，频率特性法是一种工程方法，主要采用的是一种图解法。常用的频率特性图示方法分两种：极坐标图示法、对数坐标图示法。本节介绍极坐标图示法。
由于频率特性是一个复数，因而可在复平面上用直角坐标形式表示：
（5－21）
同样也可用极坐标形式写成：
（５－22）
式中，。这样，可用幅值为、相角为的向量来表示。
当输入信号的频率ω由变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端
点在复平面上移动而形成的轨迹曲线，称为极坐标图，又称为的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。
5.2.1 典型环节的奈氏曲线
为了便于对频率特性作图，本章中的开环传递函数均以时间常数形式表示。具有这种形
式的开环频率特性一般由下列五种典型环节组成。
1）比例环节K；
2）一阶环节；
3）积分和微分环节；
4）二阶环节；
5）延迟环节。
1．比例环节
比例环节的频率特性为
（5－23）
由于K是一个与ω无关的常数，它的相角为零度，因而它的奈氏图为复平面实轴上的一个定点，如图5－5所示。
图5-5比例环节频率特性极坐标图
2．积分和微分环节
积分环节的频率特性为
（5－24）
由上式可见，积分环节的幅值与ω成反比，相角恒为，其奈氏图如图5－6a所示。显
然积分环节是一个相位滞后环节，每当信号经过一个积分环节后，其相位滞后。
对于微分环节，其频率特性为
（5－25）
它的奈氏图应如图5－6b所示。由图可见，微分环节是一个相位超前环节，每当系统增加一
个微分环节，将使相位增加。
比较积分环节和微分环节可以发现，它们的幅值特性和相位特性均刚刚相反。
3．一阶惯性环节
一阶惯性环节的频率特性为
（5－26）
式中，。
若将上式写成实频特性和虚频特性的形式：
式中
，
于是得
也即
显然上式是一个圆的方程，其圆心为，半径为，如图5－7a所示。可见，一阶惯性
环节是一个相位滞后环节，其最大滞后角为，此时频率为无穷大。
一阶微分环节的频率特性为
（5－27）
式中。当时，其幅值从，相角，因此它是一个相位超前环节。图5－7b为它的奈氏图。
4．二阶振荡环节和二阶微分环节
根据第三章内容，典型二阶振荡环节的频率特性可写为
（5－28）式中
（5－29）
由式（5－28）可知，振荡环节奈氏图的低频段和高频段分别为
当
时，
，其相角为
。
当ξ值已知，则由式（5－28）可求得对应于不同ω值时的和值。图5－8为式
（5－28）在不同ξ值下用Matlab绘制的奈氏曲线。当时，在奈氏曲线上距原点最远
的点所对应的频率就是振荡环节的谐振频率，其谐振峰值用与之比来表示。
图5-8二阶振荡环节不同ξ的奈氏曲线图5-9二阶微分环节不同ξ的奈氏曲线
由第三章的讨论可知，当时，振荡环节不产生谐振，向量的长度将随着ω的
增加而单调地减小。当时，有两个相异的实数极点。如果ξ值足够大，则其中一
个极点靠近s平面的坐标原点，另一个极点远离虚轴。显然，远离虚轴的这个极点对瞬态响应的影响很小，此时式（5－28）的特性与一阶惯性环节相类同，它的奈氏图近似于一个半圆。
二阶微分环节的频率特性为
（5－30）
式中
（5－31）
图5－9为二阶微分环节的奈氏图。
5．时滞环节
时滞环节的频率特性为
（5－31）
由于时滞环节的幅频值恒为1，而其相位与ω成比例变化，因而它的奈氏图是一个单位圆，
如图5－10所示。在低频区，时滞环节和惯性环节的频率特性很接近，如图5－11所示。因为
当时，上式可近似为
（5－32）
因此当时，时滞环节通常近似地可用惯性环节表示。
5.2.2 开环系统的奈奎斯特图
在采用频率特性法对控制系统进行分析时，一般采用两种方法：一种是直接采用开环频率特性分析闭环系统的性能，另外一种是根据开环频率特性曲线绘制闭环频率特性，然后用闭环频率特性分析闭环系统的性能。但不论采用哪一种方法，在用极坐标图进行分析时，首先应作出极坐标形式的开环幅值特性和开环相位特性曲线。
对于如图5－12的闭环控制系统，其开环传递函数为，把开环频率特性写作如
下的极坐标形式或直角坐标形式：
（5－33）
当ω由变化时，逐点计算相应的和的值，可画出开环系统的奈氏图。在控制工程中，一般只需画出奈氏曲线的大致形状和几个关键点的位置，如与实轴相交点、与虑轴相交点及曲线的旋转方向等，即可对控制系统进行分析。
在实际的控制系统中，开环传递函数常常由若干典型环节串联而成，因此通过对典型系统的奈氏图的绘制将有助于用奈氏图分析和设计控制系统。下面通过对不同类型系统的奈氏
图在和时特征的分析，简要研究控制系统的静态和动态性能。
1．0型系统
设0型系统的开环频率特性为
（5－34）
当时，、，即为实轴上的一点（K，0），它是0型系统奈氏图的
始点。当时，、。当时，奈氏曲线的具体形状由开环传递函数所含的具体环节和参数所确定。
2．I型系统
设I型系统的开环频率特性为
（5－35）
由上式不难看出，当时，；当时，
。
图5-14a 0型、1型和II型系统的奈氏图图5-14b开环系统高频段的奈氏图
3、Ⅱ型系统
设Ⅱ型系统的开环频率特性为
（5－36）
由式（5－36）可知，当时，；当时，
。
综上所述，开环系统极坐标图的低频部分是由因式确定的。对于0型系统，
；而对于I型和I型以上的型系统，。如果，
当时，，曲线以顺时针方向按的角度趋向于坐标原点，如果(n-m)是偶数，则曲线与横轴相切；反之，若是奇数，则曲线与虚轴相切。图5－14a为0型、I型和Ⅱ型系统的奈氏图。图5－14b为高频段的奈氏图。
5.3 极坐标图
如果要比较精确地计算和绘制极坐标图，一般来说是比较麻烦的，为此可用频率特性的另一种图示法：对数坐标图。对数坐标图法不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现开环增益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。
一般对数坐标图由两部分组成：一张是对数幅频特性图，它的纵坐标为，单
位是分贝，用符号dB表示。通常为了书写方便，把用符号表示。另一张是
相频图。两张图的纵坐标都是按线性分度，单位分别为dB和，横坐标是角频率。
为了更好地体现开环系统各频段的特性，可对横坐标采用的对数坐标分度，从而形
成了半对数坐标系。这对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以分度的
横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示。对数坐标图又称伯德图(Bode 图)。
用伯德图表示的频率特性有如下的优点：
1)把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。
2)在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制。
3)用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，容易估计被测系统（或环节）的传递函数。
在Matlab控制工具箱中，亦有专门的函数用于绘制Bode图：Bode函数。同时为绘制开环系统的幅频特性的渐近线，我们编制了画渐近线的作图函数：Bode_asymp。有关它们的使用方法将结合例题进行说明。
5.3.1 典型环节的伯德图
1．比例环节
比例环节K的对数幅频特性是一高度为dB的水平线，它的相角为零度，如图5－18
所示。改变开环频率特性表达式中K的大小，会使对数幅频特性升高或降低一个常量，但不影响相角的大小。
（5－37）
图5-18 比例环节K的对数幅频特性
显然，当时，位于横轴上方；当时，位于横轴上；当时，
位于横轴下方。
2．一阶环节
一阶环节的对数幅频和相频表达式分别为
（5－38）
（5－39）
其中。
当时，略去式（5－38）中的项，则得，这表示的低频渐近线是高度为0dB的一条水平线。
当时，略去式（5－38）中的1，则得，表示高频部分的渐近
线是一条斜率为－20dB/dec的直线，当输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出信号的幅值便下降20dB。图5－19所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线，其中T＝1，Matlab命令如下：
G=tf(1,[1,1]);
[x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w);
subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)
subplot(212),semilogx(w,y0(:))
不难看出，两条渐近线相交点的频率，这个频率称为转折频率，又名转角频率。如果
环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示，则使作图大为简化。问题是，这种近似表示所产生的误差有多大？
图5-19 一阶惯性环节频率特性
由图5－19可见，最大的幅值误差产生在转折频率处，它近似等于－3dB。这是因为
用同样的方法，可计算其它频率点上的幅值误差。图5－20为环节精确的对数幅
频曲线与其渐近线在不同值时的误差曲线。
由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时，环节
的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图5－20修正。
图5－19所示的对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。
由于与互为倒数，因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符号，即有
与获取一阶惯性环节频率特性相似，同样方法可绘制环节的对数幅频和相频曲线如图5－21。
3．积分、微分环节
的对数幅频和相频特性的表达式分别为
由于
（5－40）
因而是一条斜率为-20 dB/dec的直线。
同理，的对数幅值表达式为
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。 u r R1 u c R2 C R2 R1 u r u c (a) (b) 题5-1图 R-C网络 解（a)依图： ? ? ? ? ?? ? ? ? + = = + = + + = + + = 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 )1 ( 1 1 ) ( ) ( R R C R R T C R R R R K s T s K sC R sC R R R s U s U r cτ τ ω ω τ ω ω ω ω ω 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 1( ) ( ) ( ) ( jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a+ + = + + + = = (b)依图： ? ? ? + = = + + = + + + = C R R T C R s T s sC R R sC R s U s U r c ) ( 1 1 1 1 ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2τ τ ω ω τ ω ω ω ω ω 2 2 2 1 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( jT j C R R j C R j j U j U j G r c b+ + = + + + = = 5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出) (t c s 和稳态误差) (t e s （1）t t r2 sin ) (= （2）) 45 2 cos( 2 ) 30 sin( ) (? - - ? + =t t t r 题5-2图反馈控制系统结构图
第五章系统的频率特性分析 本章目录 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 乃奎斯特稳定判据 5.5 相对稳定性分析 5.6 频域性能指标和时域性能指标的关系 小结 本章简介 在经典的控制系统分析方法中，有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性能进行分析和校正的：其一是上一章的根轨迹法，其二即本章介绍的频率特性分析法。频率响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。这种方法不仅能根据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模型的系统性能进行分析，也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样是又一种图解法，研究的主要手段有极坐标图(Nyquist图)和伯德图(Bode图)法。 与其它方法相比较，频率响应法还具有如下的特点： 1）频率特性除可以由前述传递函数确定外，也可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，特别便于工程上的应用。 2）由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量较少的特点。 3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 由于上述的特点，频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个重要内容，而且它的有关理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中。
本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后，着重于开环控制系统的频率特性分析：极坐标图(Nyquist图)和半对数坐标图(Bode图)，同时将应用Matlab工具分析控制系统的频率特性，最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系，并研究它们与控制系统性能指标的关系。 5.1频率特性 频率特性又称频率响应，它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性。系统的频率特性可由两个方法直接得到：(1) 机理模型—传递函数法；(2) 实验方法。 5.1.1 由传递函数求系统的频率响应 设系统的开环传递函数 （5—1） 对应的频率特性为 （5—2） 如果在S平面的虚轴上任取一点，把该点与的所有零、极点连接成向量，并将这些向量分别以极坐标的形式表示： 则式（5－3）可改写为 （5－3） 由上式得到其对应的幅值和相角：