八年级下册二次根式的计算专题 一．解答题（共30小题） 1．（2016?太仓市模拟）计算：（﹣1）3+﹣||． 2．（2016?丹东模拟）计算：．3．（2016?海南校级一模）（1）计算：（﹣1）3﹣（2﹣5）+×； （2）化简：?． 4．（2016?崇明县二模）计算：． 5．（2016春?罗定市期中）计算：（）﹣|| 6．（2016春?津南区校级期中）+3﹣5． 7．（2016春?萧山区期中）计算：（1）； （2）． 8．（2016春?台安县期中）（+）﹣2﹣． 9．（2016春?封开县期中）计算：．10．（2016春?中山市期中）计算：． 11．（2016春?江门校级期中）计算：5+2． 12．（2016春?浦东新区期中）计算：2﹣+． 13．（2016春?临沭县期中）（1）（+）（﹣）﹣（+3）2．（2）÷（﹣）﹣×+． 14．（2016春?新昌县校级期中）计算 （1）2﹣+2； （2）（+）2﹣（+）（﹣）． 15．（2016春?蓟县期中）计算： （1）（2） 16．（2016春?定州市期中）计算： （1）4+﹣+4 （2）（﹣2）2÷（+3﹣） 17．（2016春?固始县期中）（1）计算：4+﹣+4； （2）计算：÷2×． 18．（2016春?蚌埠期中）计算：
（1） （2）． 19．（2016春?泰兴市期中）计算： （1）+|﹣3|﹣（）2； （2）（﹣2）﹣． 20．（2016春?浦东新区期中）计算：（﹣）2﹣（+）2．21．（2016春?东湖区期中）计算： （1）（）﹣（3﹣） （2）﹣3+． 22．（2016春?邹城市校级期中）计算 （1） （2）（+1）2（2﹣3） 23．（2016春?安陆市期中）计算： （1）； （2）（）2． 24．（2016春?微山县期中）计算： （1）2﹣6+3 （2）（﹣）（+）+（2﹣3）2． 25．（2016春?天津校级期中）计算： （1）（）（）﹣（）2 （2）﹣． 26．（2016春?杭州期中）计算 （1）+﹣ （2）（3+）（3﹣）+（1+）2． 27．（2016春?召陵区期中）计算： （1）﹣（﹣） （2）（a2﹣） 28．（2016春?张家港市期中）计算与化简： （1）﹣+ （2）÷3× （3）÷﹣×+
二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练
一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念： 一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）． ︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2） 上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号 二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝； －()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷； （7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)； （9 ）（ （10 ）（ （11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()
三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（ ） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（ ）． A C ．19.在实数范围内因式分解： （1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
一.选择题 1. 下列运算正确的是（） A．a+a=2a B．a6÷a3=a2 C．+=D．（a﹣b）2=a2﹣b2 2. 与不是同类二次根式的是（） A. B.
C. D.
3. 下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-= ÷- B.529)52(2+=+ C.1)2 13 1)( 23(=- - D.c a b a c b a += +÷)( 4.(的运算结果是（ ） A ． 0 B. ()ab b a - C. ()ab a b - D. 25. 等腰三角形两边分别为32和25，那么这个三角形的周长是（ ） A.2534+ B.21032+ C.2534+或21032+ D.21034+ 二. 填空题 6.若最简二次根式与
是同类二次根式，则 . 7.设76,76,a b =+=-则20102011a b ?的值是_________ 8. 计算2﹣ 的结果是 ． 三 综合题 9.若x ，y 为实数，且y= ++． 求﹣ 的值． 1052的整数部分为a ，小数部分为,b 求2222 444a b a a b b -++的值.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 【解析】A 、a +a=（1+1）a=2a ，故本选项正确； B 、a 6÷a 3=a 6﹣ 3≠a 2，故本选项错误； C 、+=2+=3≠，故本选项错误； D 、（a ﹣b ）2=a 2+2ab +b 2≠a 2﹣b 2，故本选项错误． 2．【答案】A 3．【答案】A 4.【答案】B 【解析】注意运算技巧。 原式=()()a b b a b a a b +-=()()ab a b ab b a +-=()ab b a - 5．【答案】B 【解析】注意:分类讨论腰分别是23和52两种情况,但是当腰为23时， 232352+<， 所以这种情况不存在，只有腰为52一种情况，即23102+. 二、填空题 6.【答案】1；1 【解析】12,1;2534a a a b a +=∴=+=+Q Q 又，所以1b = 7.【答案】76- 8.【答案】﹣2 ． 【解析】原式=2×﹣3 = ﹣3 =﹣2 . 三.解答题 9.【解析】解：由二次根式的有意义，得， 解得x=，故y=， ∴原式= ﹣ = ﹣ = ． 10.52的整数部分为a ，小数部分为,b 所以4a =，52452b =-=
二次根式的混合运算（1） 教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。 重点：二次根式的加减乘混合运算。 难点：运算法则的综合运用。 关键：掌握混合运算顺序和步骤。 教学过程： 复习提问： 1．叙述二次根式加减法的两个步骤。 2．填空：当a ≥0，b ≥0时，________=?b a ； 3．叙述单项式乘以多项式运算顺序； 4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。 二次根式的乘法：ab b a = ?（a ≥0，b ≥0） 二次根式的除法：b a b a = （a ≥0，b>0） 新课： 形如a 的式子，a 表示什么？a 需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a ≥0时， a 表示a 的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a ；当a<0时，a 无意义。 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。 有如下性质： （1）) 0(0≥≥a a a 表示非负数且被开方数a 必须大于等于零 （2） )0()(2 ≥=a a a ； （3） |a |a 2=； 2a 表示2a 的算术平方根，若0x ,a x 2 2≥=， 则2a x = 如当a=2，-3，-0.1时，
22,22222==； 3)3(,)3(3222=--=； 1.0)1.0(,)1.0(1.0222=--=。 所以x=|a|，即 |a |a 2= 例1计算： （1）6)3527 8 (?- 解：6)3569 2 ( -= 2153 4 -= 。 （2）)3225)(65(-+ 解：26310310225-+-= 219=。 例2计算： （1）)2332)(2332(-+； （2）2 )534(+； （3）2 )336(-。 解：（1）原式2 2)23()32(-= =12-18 =-6； （2）原式2 2)53(53424+?-+=
16.2.3二次根式的运算 1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则； 2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)2x －5x ； (2)3a 2－a 2＋2a 2. 上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x 换成3，a 2换成5，这时上述两小题就成为如下题目： 计算： (1)23－53； (2)35－5＋2 5. 这时怎样计算呢？ 二、合作探究 探究点一：同类二次根式 下列二次根式中与2是同类二次根式的是( ) A.12 B. 32 C.23 D.18 解析：选项A 中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B 中， 32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C 中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D 中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D. 方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：二次根式的加减 【类型一】 二次根式的加法或减法 (1)8＋32； (2)12 23＋1332； (3)448－375； (4)1816－32 96. 解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并． 解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝62； (2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63 ； (3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；
二次根式运算的技巧 二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧： 一、巧移因式法 例1、计算) 3418)(4823(分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算 解：原式=)3418 )(4823(22=)4818)(4818 (=18-48 =-30 二、巧提公因数法 例2、计算)3225)(65 (分析：∵2=2) 2(∴3225中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算 解：原式=]3)2(25)[65 (2 = )]65(2)[65( = )65)(65(2 = 2（25-6） =19 2三、公式法 例3、计算) 632)(632(分析：整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62 [( = 22)3()62( = 366 222
=3 45四、因式分解法 例4、计算) ()2(y x y xy x 分析：本题若直接按乘除法则计算， 显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便 解：原式=) (])(2)[(22y x y xy x =) ()(2y x y x =y x 五、拆项法 例5、化简) 23)(36(2 3346分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=) 23)(36() 23(3)36( =3 63 231 =3 623 =2 6六、配方法 例6、计算3 819625223分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算 解：原式=2 22)34()23()21( =) 34()23()12( =-5
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想= ； （2）计算： （++…+）×（）
二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
考点跟踪突破5 二次根式及其运算 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·金华)在式子1x －2，1x －3，x －2，x －3中，x 可以取2和3的是( C ) A .1x －2 B .1x －3 C .x －2 D .x －3 2．(2014·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．(2014·泸州)已知实数x ，y 满足x －1＋|y ＋3|＝0，则x ＋y 的值为( A ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－4 4．(2014·白银)下列计算错误的是( B ) A .2×3＝ 6 B .2＋3＝ 5 C .12÷3＝2 D .8＝2 2 5．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( A ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D .152 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·衡阳)化简：2(8－2)＝__2__． 7．已知：一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是__2__． 8．(2012·江西)当x ＝－4时，6－3x 的值是． 9．(2014·福州)计算：(2＋1)(2－1)＝__1__． 10．(2012·杭州)已知a(a －3)＜0，若b ＝2－a ，则b 的取值范围是． 解析：∵a(a －3)＜0，∴a ＞0，a －3＜0，∴0＜a ＜3，∴－3＜－a ＜0，∴2－3＜2－a ＜2，即2－3＜b ＜2 三、解答题(共40分) 11．(6分)(2013·济宁)(2－3)2012·(2＋3)2013－2|－32 |－(－2)0. 解：原式＝[(2－3)(2＋3)]2012·(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝1 12．(12分)(1)(2014·成都)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1； 解：原式＝ b a －b ×（a ＋b ）（a －b ）b ＝a ＋b ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝2 3
第一讲 二次根式相关计算 一．二次根式的概念与性质 1.比较大小：- 22=，则()a b a b -+的值为 ． 3．方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是 ． 4．若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 ． 二．二次根式的运算 1．=-，则（ ） A.0x ≤ B.3x ≤- C.3x ≥- D.30x -≤≤ 2．若0x y <<=（ ） A.2x B.2y C.2x - D.2y - 3．若01x <<=（ ） A.2x B.2 x - C.2x - D.2x 4．化简0)a a <得（ ） B. C. 5．当0,0a b <<时，a b -+可变形为（ ） A.2 B.2- C.2 D.2 6．若2015a a -=，则22015a -=_____________．
7．计算： （1）201220130(2(22(-+-- （24 三．分母有理化 1.（10(2 + （2 （3）计算 ???+. 四．二次根式化简求值 1．化简（1 （2 （3 +???+.
2．已知521 +=a ，求代数式a a a a a a a -+-+-+-22212369的值． 3．已知1x == . 4．先化简，再求值，其中3x =，求 35(2)242x x x x -÷----的值. 5．已知22x y =+=-的值. 6.已知x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值.
7.已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a +-+?-+++的值为 . 8.若0,0a b >>=的值为 . 9.(1)已知实数,,a b c 满足211024 a b c c --+=，则()a b c += . (2)已知1 52a b c +-=-，求a b c ++的值为 . 五．降次 1．设12a -=，则5432322a a a a a a a +---+-的值为_________．
考点跟踪突破5 二次根式及其运算 一、选择题 1．(2016·宁波)使二次根式x －1有意义的x 的取值范围是( D ) A ．x≠1 B ．x ＞1 C ．x≤1 D ．x≥1 2．(2016·淮安)估计7＋1的值( C ) A ．在1和2之间 B ．在2和3之间 C ．在3和4之间 D ．在4和5之间 3．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( B ) A .10 B .8 C . 6 D . 2 4．(2015·荆门)当1＜a ＜2时，代数式（a －2）2＋|1－a|的值是( B ) A ．－1 B ．1 C ．2a －3 D ．3－2a 5．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( A ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D .152 二、填空题 6．(2016·聊城)计算：27·83÷12 ＝__12__． 7．(2015·自贡)若两个连续整数x ，y 满足x ＜5＋1＜y ，则x ＋y 的值是__7__． 8．(2016·天津)计算(5＋3)(5－3)的结果等于__2__． 9．(2015·黔西南)已知x ＝5－12 ，则x 2＋x ＋1＝__2__． 10．已知a(a －3)＜0，若b ＝2－a ，则b ． 点拨：∵a(a －3)＜0，∴a ＞0，a －3＜0，∴0＜a a ＜0，∴2－3＜2－a ＜2，即2－3＜b ＜2 三、解答题 11．(2016·商丘模拟)计算：(2－3)2 016·(2＋3)2 017－2|－32 |－(－2)0. 解：原式＝[(2－3)(2＋3)]2 016 ·(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝1 12．先化简，再求值： (1)(2016·烟台)(x 2－y x －x －1)÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2，y ＝6； 解：(x 2－y x －x －1)÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2＝(x 2－y x －x 2x －x x )×（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝－y －x x ×x －y x ＋y ＝－x －y x ，把x ＝2，y ＝6代入得：原式＝－2－62 ＝－1＋ 3
二次根式计算专题——30题(教师版含答案) https://www.doczj.com/doc/f018919118.html,work Information Technology Company.2020YEAR
二次根式计算专题 1．计算：⑴ ()() 24632463+- ⑵ 20(3)(3)2732π++-+- 【答案】(1)22; (2) 643- 【解析】 试题分析：(1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案. (2)分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) ()() 24632463+- 22(36)(42)=- =54－32 =22. （2）20(3)(3)2732π++-+- 313323=+-+- 643=- 考点: 实数的混合运算. 2．计算（1） ﹣ × （2）（6 ﹣2x ）÷3 ． 【答案】（1）1；（2）1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：2051 1235 +2553 235 += 32=- 1=； （2）1(6 2)34x x x ÷62)3x x x x =÷
=÷ = 1 3 =. 考点: 二次根式的混合运算. 3 ．计算：? ÷ ? 【答案】14 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再算括号里面的,最后算除法． 试题解析： ? ÷ ? ÷= 14 3 =．考点：二次根式运算． 4．计算：3 2 2 6 6 3- + - ? 【答案】2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减. 试题解析：原式=2 3 3 2 3- + - =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算：)2 3 (3 18 2+ - ? 【答案】- 【解析】
二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×．
（ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（）
二次根式的四则运算 同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。（PPT1） 二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。 下面我们来看几个具体的例子 例1计算下列各式： （1；（2） 最后把它化成最简二次根式得. 通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。 ，然后把它化成最简二次根 式得5． 通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。 我们一起来看例2 例2 计算： 我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开， -所以最后结得1848 果为－30 多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用 方法2： 所以可利用整式乘法公式进行计算得22 -＝18－48＝－30 所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。 拓展提高
（1） 通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。 总结： 通过本节课的学习我们可以发现： （1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立； （2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了 数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。 知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算 几种常见的类型： （1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 20152016 22)(3)-
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件： ● 2、二次根式的双重非负性： ● 3、二次根式的平方公式： ● 4、二次根式的开方公式： ● ● 5、二次根式的乘法公式： ● 6、二次根式的除法公式： ● 7、最简二次根式： ● 8、同类二次根式： ● 9、二次根式的加法运算步骤： （1）先 ● （2）再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤：（1）先 ● （2）再 ● 11、二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算：() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简：4 1 6 = ，3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算： () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9． ● 10是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． ● 11．分母有理化
● 12．已知x=3，y=4，z=5_______． ● 13=_________．（x ≥0） ● 14．化简二次根式号后的结果是_________． ● 15．在实数范围内分解因式①2x 2 －27＝________，②4x 4 －1＝________． ● 42．设a ，b ，c 为△ABC 的三边长，则2)(c b a --＋|a ＋b －c |＝________． ● 43．若0＜a ＜1，化简4)1 (2-+a a ＝________，a 3 1a ＝________． ● 46．当a <－b <1时，化简： 2 2) 1(1 )(++÷ ++b b a b b a 的结果为_____。 ● 选择题 ● 16、下列各式中不是二次根式的是 （ ） ● （A ）12+x （B ）4- （C ）0 （D ）()2b a - ● 17、下列运算正确的是 （ ） ● （A ）x x x 32=+ （B ）12223=- ● （C ）2+5=25 （D ） x b a x b x a )(-=- ● 18、下列二次根式中与24是同类二次根式的是( ) ● （A ） 18 （B ）30 （C ） 48 （D ） 54 ● 19、化简20032002 2323)() (+?-的结果为（ ） ● (A) –1 (B)23- (C)23+ (D) 23-- ● 20、2 2)(-化简的结果是( ) ● (A) –2 (B) 2 (C) ±2 (D) 4 ● 21、使代数式8a a -+ 有意义的a 的范围是（ ） ● （A ）0>a （B ）0 分式和二次根式知识总结 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 分式与二次根式—知识讲解 【知识网络】 知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质? (M为不等于零的整式).?3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用； （2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３） 判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意 义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． ； 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 二次根式运算和化简(超级经典) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。 【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。分式和二次根式知识总结
二次根式运算和化简超级经典
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