弹性力学重点复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、
形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相
适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规
定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力
=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512
MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力
=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三
套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、
应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部
分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量
应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（√）
2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（×）
3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×）
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）
5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z
方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√）
6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z
方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√）
7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×）
8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（×）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（×）
12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×）
13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（×）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）
三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。
在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。
在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。
2、简述弹性力学的研究方法。
答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？
答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。
4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。
答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v
5、简述圣维南原理。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。
答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。
7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。
（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。
（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。
（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。
（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。
（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。
（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。
（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。
8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？
答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。
9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？
每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。
10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？
答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。
11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：
（1）y x y x u 3221),(ααα++=，2654),(y x y x v ααα++=
（2）23221),(y xy x y x u ααα++=，26524),(y xy x y x v ααα++=
答：（1）不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x ，y 不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。
（2）不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的
应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ；
（2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ；
其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程???????=??+??=??+??00x y
y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+???? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力
边界条件()()()()
?????=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy
C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程
???????=??+??=??+??00x y
y x xy y yx x τστσ 得
???=--=--+-0
23033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即
()()()???=+=+--02303332
22231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
?????=+=+=-023030332
231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，2
3Q C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和
相容方程。
解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程
???
????=+??+??=+??+??00Y x y X y x xy y yx x τστσ
可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ???+=-??+-??τννσσνσσ222
22)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ???-=--??+--??τνσννσσννσ2222212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。
（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ；
（2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ；
（3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ；
其中，A ，B ，C ，D 为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
y x x
y xy y x ???=??+??γεε22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。
（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。
5、证明应力函数2by =?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解
决什么问题（体力不计，0≠b ）。
解：将应力函数2by =?代入相容方程
024422444=??+???+??y
y x x ??? 可知，所给应力函数2by =?能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
b y
x 222=??=?σ，022=??=x y ?σ，02=???-=y x xy ?τ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2
=-=-=h y y y f σ； 下边，2h y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2
===h y y y f σ； 左边，2l x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2
=-=-=l x xy y f τ； 右边，2l x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2
===σ，0)(2===l x xy y f τ。 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。因此，应力函数2by =?能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。
6、证明应力函数axy =?能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解
决什么问题（体力不计，0≠a ）。
解：将应力函数axy =?代入相容方程
024422444=??+???+??y
y x x ???
可知，所给应力函数axy =?能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为 022=??=y
x ?σ，022=??=x y ?σ，a y x xy -=???-=?τ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2
=-=-=h y y y f σ； 下边，2h y =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ； 左边，2l x -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2
)(τ； 右边，2l x =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2
)(τ。 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。因此，应力函数axy =?能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分
量。
解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，
即设0=x σ。由此可知
022??=y
x ?σ 将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式
())()(,21x f y x f y x +=?
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0)()(424414=+dx
x f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
0)(414dx x f d ， 0)(424=dx
x f d
这两个方程要求
I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=?
对应应力分量为
022=??=y
x ?σ gy E Dx B Ax y x
y ρ?σ-+++=??=26)26(22 C Bx Ax y
x xy ---=???-=2322?τ 以上常数可以根据边界条件确定。
左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有
0)(0==-=C x xy τ
右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有
q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ
上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00==?dx y b xy τ
将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有
0)23(2302302=--=--=--?Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b
而00)(00=?=?dx y b
xy τ自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00==?dx y b y σ， 0)(00==?xdx y b y σ
将y σ的表达式代入，则有
02323)26(2020=+=+=+?
Eb Db Ex Dx dx E Dx b b 022)26(230230=+=+=+?
Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b
由此可得 2b
q A -=，b q B =，0=C ，0=D ，0=E
应力分量为
0=x σ, gy b x b y q y ρσ-??
? ??-=312, ??? ??-=23b x b x q xy τ 虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。
8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
x
V f x ??-=，y V f y ??-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V y
x +??=22?σ，V x y +??=22?σ，y x xy ???-=?τ2，试导出相应的相容方程。 证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy τ应当满足平衡微分方程
???????=??-??+??=??-??+??00y V x y
x V y x xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程
()()???? ?
???+??+-=+???? ????+??y f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题） ()???
? ????+??--=+???? ????+??y f x f y x y x y x μσσ112222（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
()()???????=??+-??=??+-??00x V y
y V x xy y yx x τστσ 这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为
()()yx x y
V x τσ-??=-?? 根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得
y A V x ??=
-σ，x
A yx ??=-τ 同样，将第二个方程改写为
()()yx y x
V y τσ-??=-??（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得
x
B V y ??=
-σ，y B yx ??=-τ 由此得 y
B x A ??=?? 因而又一定存在某一函数()y x ,?，使得
y A ??=?，x
B ??=? 代入以上各式，得应力分量
V y
x +??=22?σ，V x y +??=22?σ，y x xy ???-=?τ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,?必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
()V y x V x V y y x ???
? ????+??+=???? ??+??++?????? ????+??2222222222221μ?? ()V y x V y x x y y x ???
? ????+??++???? ????+??-=???? ????+?????? ????+??222222222222222212μ?? 简写为
V 24)1(?--=?μ?
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
V y x V x V y y x ???
? ????+??-=???? ??+??++?????? ????+??22222222222211μ?? V y x V y x x y y x ???
? ????+??-+???? ????+??-=???? ????+?????? ????+??2222222222222222112μ?? 简写为
V 24121?---=?μ
μ? 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求
解。
解：纯三次的应力函数为
3223dy cxy y bx ax +++=?
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-??=?σ, gy by ax yf x y y ρ?σ-+=-??=2622, cy bx y x xy 222--=???-=?τ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有
02)(0==-=bx y xy τ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=b
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
06)(0==-=ax y y σ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=a
因此，应力分量可以简化为
dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ
斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=??
??????? ??+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有 ()()??
???=+=+==00tan tan αατστσx y xy y x y yx x l m m l 由第一个方程，得
()0sin tan 6sin 4cos tan 2sin tan 62=--=-+-αααααααdx cx cx dx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 64=--αd c
由第二个方程，得
0sin sin tan 2cos tan sin tan 2=-=-αρααααρααgx cx gx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 2=-g c ρα（1分）
由此解得
αρcot 21g c =（1分），αρ2cot 3
1g d -= 从而应力分量为
αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=
设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l
h =αtan 。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x 方向的分量为0，沿y 方向的分量为glh ρ2
1-。因此，所求x σ在这部分边界上合成的主矢应为零，xy τ应当合成为反力glh ρ2
1-。 ()()
0cot cot cot 2cot 22020=-=-=??=αραραραρσgh glh dy gy gl dy h l x h x ()()glh gh dy gy dy h h
l x xy ραραρτ2
1cot 21cot 200-=-=-=??= 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。 10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重
力及液体压力，楔形体的密度为1ρ，液体的密度为2ρ，试求应力分量。
：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意
一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重
力引起，应当与g 1ρ成正比（g 是重力加速度）
；另一
部分由液体压力引起，应当与g 2ρ成正比。此外，每一
部分还与α，x ，y 有关。由于应力的量纲是L -1MT -2，
g 1ρ和g 2ρ的量纲是L -2MT -2，α是量纲一的
量，而x 和y 的量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是gx A 1ρ，gy B 1ρ，gx C 2ρ，gy D 2ρ四项的组合，而其中的A ，B ，C ，D 是量纲一的量，只与α有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一次式。
其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设
3223dy cxy y bx ax +++=?
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-??=?σ, gy by ax yf x y y 12226ρ?σ-+=-??=, cy bx y x xy 222--=???-=?τ
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。
左面，0=x ，1-=l ，0=m ，作用有水平面力gy 2ρ，所以有
gy dy x x 206)(ρσ=-=-=
对左面的任意y 值都应成立，可见
62g
d ρ-=
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
02)(0==-=cy x xy τ
对左面的任意y 值都应成立，可见
0=c
因此，应力分量可以简化为
gy x 2ρσ-=，gy by ax y 126ρσ-+=，bx xy 2-=τ
斜面，αtan y x =，αcos =l ，ααπsin 2cos -=??
? ??+=m ，没有面力，所以有 ()()??
???=+=+==00tan tan αατστσy x xy y y x yx x l m m l 由第一个方程，得
0sin tan 2cos 2=+-αααρby gy
对斜面的任意y 值都应成立，这就要求
0sin tan 2cos 2=+-αααρb g
由第二个方程，得
()()0sin sin 4sin tan 6cos tan 2sin 2tan 611=+--=--+-y g b a by gy by ay αρααααααρα
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
04tan 61=+--g b a ρα
由此解得
αραρ321cot 31cot 61g g a -=，αρ22cot 2
1g b = 从而应力分量为
gy x 2ρσ-=, ()()y g g x g g y 122321cot cot 2cot ραραραρσ-+-=, αρτ22cot gx xy -=
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”是指（B）。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A ）。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于（弹性）阶段的（应力）、（应变）和（位移） 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答：1）研究对象更为普遍； 2）研究方法更为严密； 3）计算结果更为精确； 4）应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。（×） 改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。 7、弹性力学对杆件分析（C） A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）
A 、材料力学 B 、结构力学 C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答：该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都是体力。（√） 11、下列外力不属于体力的是（D ） A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。（×） 解答：外力。它是质量力。 13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。（ × ） 解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为（D ） A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1 τ2 τ3 τ4 τO x z 15、按弹性力学规定，下图所示单元体上的剪应力（ C ）。
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学2011年期末考试试卷（A ）卷 《弹性力学》 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷； 20分） 、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？(10分) 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 (2分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 （6分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （8分） 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10分） 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分） 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？（5分） 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 三、计算题（80分） 2.1 已知薄板有下列形变关系：,,,2 3 Dy C By Axy xy y x -===γεε式中A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。（10分） 1、 相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
2０16-２0１7第二学期弹性力学考试答案及评分标准 一、 概念问答题 1、 以应力作未知量,应满足什么方程及什么边界条件? 答:以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。(5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？ 答：平面问题有σｘ、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个,方程有两个平衡方程,三个几何方程,三个物理方程。（5分) 3、已知200x Pa σ= ，100y Pa σ=-，50xy Pa τ=-及100r Pa σ=，300Pa θσ=， 100r Pa θτ=-,试分别在图中所示单元体画出应力状态图。 （2分) (3分） 4、简述圣维南原理。 答:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同,对同一点的主矩也相同）,那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。(5分） 5、简述应变协调方程的物理意义。 答： ⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分) ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续; 形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。(３分） 6、刚体位移相应于什么应变状态。 答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为 εx =εy =γxy ＝０ (5分) 7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程? 答：由位移变分方程可得 ()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ??-++-++=?? ????? 或0δ∏= x y 200Pa =Pa Pa 100r Pa =-100Pa =-
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”就是指(B)。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识就是(A )。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都就是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的就是(D )。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下,处于(弹性)阶段的(应力)、(应变)与(位移) 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题;并对杆状结果进行精确分析,以及验算材力结果的适用范围与精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答:1)研究对象更为普遍; 2)研究方法更为严密; 3)计算结果更为精确; 4)应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件,不能分析板壳;弹性力学研究板壳,不能分析杆件。(×) 改:弹性力学不仅研究板壳、块体问题,并对杆件进行精确的分析,以及检验材料力学公式的适用范围与精度。 7、弹性力学对杆件分析(C) A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力与位移分析要用什么分析方法？(C) A、材料力学 B、结构力学
C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答:该构件为变截面杆,并且具有空洞与键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于( B )。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都就是体力。(√) 11、下列外力不属于体力的就是(D) A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上,所以它属于内力。(×) 解答:外力。它就是质量力。 13、在弹性力学与材料力学里关于应力的正负规定就是一样的。( × ) 解答:两者正应力的规定相同,剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为(D) A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1τ2 τ3τ4τO x z 15、按弹性力学规定,下图所示单元体上的剪应力( C )。
弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题：
弹性力学复习题（06水工本科） 一、选择题 1. 下列材料中，（）属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 2 关于弹性力学的正确认识是（）。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 4. 所谓“完全弹性体”是指（）。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 5. 所谓“应力状态”是指（）。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 6. 变形协调方程说明（）。 A. 几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是不正确的； B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束； C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件； D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。 7. 下列关于弹性力学基本方程描述正确的是（）。 A. 几何方程适用小变形条件； B. 物理方程与材料性质无关； C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件； D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件； 8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（）求解这些微分方程，以
华中科技大学土木工程与力学学院 《弹性力学》试卷 2003~2004学年度第一学期 一. 如图所示为两个平面受力体，试写出其应力边界条件。（固定边不考虑） x （a）（b） 二.已知等厚度板沿周边作用着均匀压力σx=σy= - q ，若O点不能移动或转动， 试求板内任意点A(x,y)的位移分量。 q x 三.如图所示简支梁，它仅承受本身的自重，材料的比重为γ, 考察Airy应力函 数：y Dx Cy By y Ax2 3 5 3 2+ + + = ? 1．为使?成为双调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系； 2．写出本问题的边界条件。并求各系数及应力分量。
四. 如图所示一圆筒，内径为a ，外径为b ，在圆筒内孔紧套装一半径为a 的刚性圆柱体，圆筒的外表面受压力q 的作用，试确定其应力r σ，θσ。 q
五. 如图所示单位厚度楔形体，两侧边承受按 τ=qr 2（q 为常数）分布的剪应力作用。试利用应力函数 θθθφ2cos 4cos ),(4244r b r a r += 求应力分量。 O y qr 2 qr 2 x 六. 设]27 4)3(1[),(22 32 2 a xy x a y x m y x F ---+=，试问它能否作为如图所示高为a 的等边三角形杆的扭转应力函数(扭杆两端所受扭矩为M)？若能，求其应力分 量。 (提示：截面的边界方程是3a x -=，3 323a x y ±= 。) α α
1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 (√) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那么由) ,(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结 果会有所差别。 （×） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （×） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 (×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 (×) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。 (3)平衡微分方程则表示物体 内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。 (6)应力函数()4 2 2 4 ,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是 033=++c b a 。
《弹性力学》试题 一．名词解释 1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 二．填空 1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。 2.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 3.一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。 4.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。 5.平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数 在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。 6.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 7.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。 8.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、 整体分析三个主要步骤。 三．绘图题 分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。 图3-1
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1 MT -2 。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ， =2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ， =2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ， =2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
同济大学课程考核试卷（A 卷） 2008 — 2009 学年第 一 学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：030192 课名： 弹性力学 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√ )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 得分 一．是非题（正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(共30分，每小题2分) 1. 三个主应力方向必定是相互垂直的。（ ） 2. 最小势能原理等价于平衡方程和面力边界条件。（ ） 3. 轴对称的位移对应的几何形状和受力一定是轴对称的。（ ） 4. 最大正应变是主应变。（ ） 5. 平面应力问题的几何特征是物体在某一方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸。（ ） 6. 最大剪应力对应平面上的正应力为零。（ ） 7. 弹性体所有边界上的集中荷载均可以按照圣维南原理放松处理边界条件。（ ） 8. 用应力函数表示的应力分量满足平衡方程，但不一定满足协调方程。（ ） 9. 经过简化后的平面问题的基本方程及不为零的基本未知量(应力、应变和位移)均为8 个。（ ） 10. 运动可能的位移必须满足已知面力的边界条件。（ ） 11. 实对称二阶张量的特征值都是实数。（ ） 12. 对单、多连通弹性体，任意给出的应变分量只要满足协调方程就可求出单值连续的位 移分量。（ ） 13. 若整个物体没有刚体位移，则物体内任意点处的微元体都没有刚体位移。（ ） 14. 出现最大剪应力的微平面和某两个应力主方向成45度角。（ ） 15. 对任意弹性体，应力主方向和应变主方向一致。（ ） 二．分析题（共20分，每小题10分） 1．已知应力张量为()()2211e e e e σ?-+?+=b a b a ，0>>a b (1) 设与xy 平面垂直的任意斜截面的法向矢量为21sin cos e e n θθ+=，试求该斜截面上的正应力与剪应力。 (2) 求最大和最小剪应力值。
一、列出下图所示问题的全部边界条件(，单位厚度)。在其中的小边界上，采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。 二、（a）、平面问题中的应力分量应满足哪些条件？ （b）、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. бx = 4x2,бy = 4y2, τxy=- 8xy （c）、在平面应变状态下，已知一组应变分量为 为非零的微小常数，试问由此求得的位移分量是否存在？ 三、平面问题,直角坐标，研究一点的变形，考虑通过P点的二个正向微段PA∥x, ,PB∥y，PA=dx, PB=dy, P 点位移为u,v, (1) 正应变、剪应变的定义和正负号规定？(2) PA是x正向微段，PB是y正向微段，为何要正向微段? (3)写出A点和B点位移，推导出几何方程 四、(1)平面应力问题z面上任一点的应力( s z t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？(2)平面应变问题的z面上任一点的应力( t zx t zy) 是近似为0还是精确为0？为什么？
五、空间问题的物理方程为： e x=[s x- ms y- ms z]/E r xy=t xy/G e y=[s y- ms x- ms z]/E r xz=t xz/G e z=[s z- ms x- ms y]/E r zy=t zy/G 由上式推导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 六、已知平面应力问题矩形梁，梁长L,梁高h, 已知E=200000, μ= 0.2. 位移分量为：u(x,y)=6(x-0.5 L)y/E v(x,y)=3(L-x)x/E-3μy2/E 求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力的合力和合力矩。 七、回答以下问题： 1）单元结点力是什么？正负号规定？ 2）单元结点荷载是什么？正负号规定？ 3）单元劲度矩阵的某一个元素的物理意义？ 4）整体劲度矩阵的某一个元素的物理意义？ 5）有限单元法结点的平衡方程是什么力和什么力的平衡？ 6）有限单元法中一个离散的结构只有有限个自由度，为什么？ 八、设平面问题中r=50mm的圆周上的点在外力作用下都移动至r=51mm的圆周上，求r=50mm的圆周上
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
2009 ~ 2010学年第二学期期末考试试卷（A ）卷 一．名词解释（共10分，每小题5分） 1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显着的改变，但是远处所受的影响可以不计。 二．填空（共20分，每空1分） 1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以 分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是 作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。 3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于 远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 4. 弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。 5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、 整体分析三个主要步骤。 三．绘图题（共10分，每小题5分） 分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。 图3-1 图3-2 四．简答题（24分） 1.（8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分） 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸
2011----2012学年第二学期期末考试试卷（1 ）卷题号一二三四五六七八九十总分评分 评卷教师 一．名词解释（共10分，每小题5分） 1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 二．填空（共20分，每空1分） 1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以 分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是 作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。 3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于 远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 4. 弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。 5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、 整体分析三个主要步骤。 三．绘图题（共10分，每小题5分） 分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。 图3-1
,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学2011年期末考试试卷（A ）卷 《弹性力学》 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷； 20分） 、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？(10分) 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 (2分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 （6分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （8分） 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10分） 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分） 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？（5分） 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 三、计算题（80分） 2.1 已知薄板有下列形变关系：,,,2 3 Dy C By Axy xy y x -===γεε式中A,B,C,D 皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。（10分） 1、 相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程：
弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。