第7讲 一元二次方程
1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，她是这样做的：
由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：
x 2＋b a x ＝－c a
，…第一步 x 2＋b a x ＋????b 2a 2＝－c a
＋????b 2a 2
，…第二步 ????x ＋b 2a 2＝b 2
－4ac 4a 2 ，…第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a
(b 2－4ac >0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a
.…第五步 (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c
＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝－b ±b 2－4ac 2a
）； (2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.
【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0型．方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2＋px ＋q ＝0型，然后配方．
解：(1)四 x ＝－b ±b 2－4ac 2a
(2)移项，得x 2－2x ＝24.
配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25.
开方，得x －1＝±5.
∴x 1＝6，x 2＝－4.
2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B)
A. a ＜1
B. a ＞1
C. a ≤1
D. a ≥1
【解析】 ∵关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，∴b 2－4ac ＝22－4×1×a ＜0.解得a ＞1.
3. (2019，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c )2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 有一根为0
【解析】 由(a －c )2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
一元二次方程的概念及解法
例1 解下列方程：
(1)x 2－2x －1＝0；
(2)x 2－1＝2(x ＋1)；
(3)x 2＋3x ＝－14
. 【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程．
解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±222
＝1±2， 即x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.
(2)移项，得x 2－1－2(x ＋1)＝0，
(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，
因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0，
于是，得x ＋1＝0或x －3＝0.
∴x 1＝－1，x 2＝3.
(3)配方，得x 2＋3x ＋????322＝－14＋????322
， ???
?x ＋322
＝2. 由此可得x ＋32
＝±2. ∴x 1＝－32＋2，x 2＝－32
－ 2. 针对训练1(2019，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x 2－4x －2＝1的过程中，变形正确的是(C)
A. 2(x －1)2＝1
B. 2(x －2)2＝5
C. (x －1)2＝52
D. (x －2)2＝52
【解析】2x2－4x－2＝1，2x2－4x＝3，x2－2x＝3
2，x2－2x＋1＝3
2
＋1，(x－1)2＝5
2.也可以
把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.
一元二次方程根的判别式例2 (2019，扬州)如果关于x的方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（m＜1
3
且m≠0）.
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m>0.解得m<1
3.但当m＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m≠0.
针对训练2(2019，石家庄桥西区一模)常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)
训练2题图
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
【解析】从数轴上可知，a，c异号，则b2－4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根.
针对训练3 (2019，张家口桥东区模拟)若关于x的一元二次方程3
4x
2＋3x＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(3)2－4×3
4
×tan α＝0.解得tan α＝ 3.∴α＝60°.
一元二次方程的实际应用
例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．
(1)求n 的值；
(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a .在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．
【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m )家，第三年40(1＋m )2家，三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了39.5，列方程组求解即可．
解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.
(2)根据题意，得40＋40(1＋m )＋40(1＋m )2＝190.
解得m 1＝12，m 2＝－72
(舍去)． ∴m ＝50%.
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m )＝40×(1＋50%)＝60(家)．
(3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x .
第二年Q 值用乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30.
根据题意，得???x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5.
解得?
??x ＝20.5，a ＝9.5. 针对训练4(2019，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2.若设道路的宽为x m ，
则下面所列方程正确的是(A)
训练4题图
A. (32－2x )(20－x )＝570
B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570
C. (32－x )(20－x )＝32×20－570
D. 32x ＋2×20x －2x 2＝570
【解析】 设道路的宽为x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.
针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76－4(x －1)，每件利润是10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．
解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．
答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．
(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品．
根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080.
整理，得x 2－16x ＋55＝0.
解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)．
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
一、 选择题
1. 已知关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0的一个解为x ＝－1，则m 的值为(A)
A. －4
B. 4
C. －2
D. 2
【解析】 把x ＝－1代入原方程，得m ＝－4.
2. (2019，石家庄28中质检)若x 2＋4x －4＝0，则3(x －2)2－6(x ＋1)(x －1)的值为(B)
A. －6
B. 6
C. 18
D. 30
【解析】 已知条件转化为x 2＋4x ＝4，原式＝－3x 2－12x ＋18＝－3(x 2＋4x )＋18＝6.
3. (2019，石家庄40中二模)用配方法解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是(C)
A. ????x －122＝34
B. ????x ＋122＝34
C. ????x ＋122＝54
D. ????x －122＝54 【解析】 配方过程x 2＋x ＝1，x 2＋x ＋????122＝1＋????122，????x ＋122＝54
. 4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2＋mx －1＝0的根的判别式的值为5，则m 的值为(D)
A. ±3
B. 3
C. 1
D. ±1
【解析】 根据题意，得Δ＝m 2＋4＝5.解得m ＝±1.
5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－a ·b ＋b .如：3★5＝32－3×5＋5.若x ★2＝10，则实数x 的值为(C)
A. －4或－1
B. 4或－1
C. 4或－2
D. －4或2
【解析】 根据题意，得x ★2＝x 2－2x ＋2.∴x 2－2x ＋2＝10.解得x 1＝4，x 2＝－2.
6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)
A. x 2－2x ＝0
B. x 2－2x －1＝0
C. x 2－2x ＋1＝0
D. x 2－2x ＋2＝0
【解析】 选项A ，Δ＝4>0；选项B ，Δ＝8>0；选项C ，Δ＝0；选项D ，Δ＝－4<0.
7. (2019，娄底)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋k ＝0的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 不能确定
【解析】 ∵Δ＝[]－（k ＋3）2－4k ＝k 2＋2k ＋9＝(k ＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．
8. (2019，定西)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(C)
A. k ≤－4
B. k ＜－4
C. k ≤4
D. k ＜4
【解析】 因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k ≥0.解得k ≤4.
9. (2019，桂林)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)
A. ±2 6
B. ± 6
C. 2或3
D. 2或 3
【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k 2－24＝0.解得k ＝±2 6.
10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300 hm 2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2019年底已达到363 hm 2.设绿化面积的年平均增长率为x .根据题意，所列方程正确的是(B)
A. 300(1＋x )＝363
B. 300(1＋x )2＝363
C. 300(1＋2x )＝363
D. 363(1－x )2＝300
【解析】 2019年底的绿化面积是300(1＋x ) hm 2，2019年底的绿化面积是300(1＋x )2 hm 2，可得方程．
11. (2019，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)
A. 9人
B. 10人
C. 11人
D. 12人
【解析】 设参加酒会的有x 人，则每人碰杯(x －1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯x （x －1）2次，得方程x （x －1）2
＝55，取正根x ＝11. 二、 填空题
12. (2019，淮安)一元二次方程x 2－x ＝0的根是 x 1＝0，x 2＝1 .
【解析】 x (x －1)＝0，得x 1＝0，x 2＝1.
13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为 1 .
【解析】 把x ＝1代入方程，得m ＋n ＝－1，则m 2＋2mn ＋n 2＝(m ＋n )2＝1.
14. (2019，南充)若2n (n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为（ 12
）. 【解析】 把x ＝2n 代入方程，得(2n )2－2m ·2n ＋2n ＝0， 变形为2n (2n －2m ＋1)＝0，∵2n ≠0，
∴2n －2m ＋1＝0.∴m －n ＝12
. 15. (2019，邵阳)已知关于x 的方程x 2 ＋3x －m ＝0的一个解为x ＝－3，则它的另一个解是 x ＝0 .
【解析】 把x ＝－3代入方程解得m ＝0，则原方程为x 2 ＋3x ＝0，可求出另一个解是x ＝0.
16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2－6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值为 9 .
【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c ＝0.解得c ＝9.
17. (2019，威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是 4 .
【解析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤112
.又因为m ≠5，所以m 的最大整数值是4.
三、 解答题
18. 解下列方程：
(1)x 2－3x ＋1＝0；
(2)x 2－2x ＝6－3x ；
(3)(2x ＋3)2＝8.
【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．
解：(1)这里a ＝1，b ＝－3，c ＝1.
∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，
∴x ＝3±52，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52
. (2)原方程可化为x (x －2)＝－3(x －2)．
移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0.
于是，得x －2＝0或x ＋3＝0.
x 1＝2，x 2＝－3. (3)2x ＋3＝±22，
2x ＝±22－3，
x 1＝－3＋222，x 2＝－3－222
. 19. (2019，北京)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0.
(1)当b ＝a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．
【思路分析】 (1)把b ＝a ＋2代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a ，b 之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．
解：(1)Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b 2－4a ＝0.
令b ＝2，a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，
∴x 1＝x 2＝－1.
20. 【发现思考】
已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？
如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
【探究应用】
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC 的两边长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14
＝0的两个实数根． (1)当m ＝2时，求等腰三角形ABC 的周长；
(2)
【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边．
解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.
错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)． 【探究应用】(1)当m ＝2时，
方程为x 2－2x ＋34
＝0. 解得x 1＝12，x 2＝32
. 当12为腰时，因为12＋12<32
，所以不能构成三角形． 当32为腰时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12.此时周长为32＋32＋12＝72
. (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．
∴Δ＝m 2－4????m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0.
∴m 1＝m 2＝1，即m 的值为1.
21. (2019，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天可售出 26 件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？
【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．
解：(1)26
(2)设每件商品降价x 元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则平均每天售出(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元，且40－x ≥25，即x ≤15.
根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200.
整理，得x 2－30x ＋200＝0.
解得x 1＝10，x 2＝20(舍去)．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．
22. (2019，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？
【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．
解：(1)设年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．
将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得?
??40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550. 解得?
??k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.
(2)设该设备的销售单价应定为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．
根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000.
整理，得x 2－130x ＋4 000＝0.
解得x 1＝50，x 2＝80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x ＝50.
答：该设备的销售单价应定为50万元．
1. (2019，福建A ，导学号5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D)
A. 1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根
B. 0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根
C. 1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根
D. 1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根
【解析】 方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b )2－4(a ＋1)2＝0，且a ＋1≠0.解得b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)，且a ＋1≠0.若b ＝a ＋1，则－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；若b ＝－(a ＋1)，则1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故1和－1不会同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．
2. (2019，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，
使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a 2
.则该方程的一个正根是(B) 第2题图 A. AC 的长
B. AD 的长
C. BC 的长
D. CD 的长
【解析】 用配方法解方程
x 2＋ax ＝b 2，易得正根x ＝b 2＋a 24－a 2.据勾股定理知AB ＝b 2＋a 2
4.∵AD ＝AB －BD ＝b 2＋a 24－a 2
，∴AD 的长是方程的正根． 3. (2019，河北，导学号5892921)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中
较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}min{(x－1)
2，x2}＝1，则x＝2或－1 .
【解析】min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，∴当(x－1)2＜x2时，(x－1)2
＝1.解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)．当(x－1)2≥x2时，x2＝1.解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.
4. (2019，内江B，导学号5892921)已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为 1 .
【解析】把(x＋1)看作一个整体，据已知条件可得x＋1＝1或x＋1＝2，所以x1＝0，x2＝1.所以和为1.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2） 根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ 2 6 a a+ ，x1x2= 6 a a+ ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ 6 6 a- 是是负整数，即可得 6 6 a- 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2． 【详解】 （1）∵原方程有两实数根， ∴， ∴a≥0且a≠6． （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣，x1x2=， ∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣． ∵（x1+1）（x2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数． ∵a是整数， ∴a﹣6的值为1、2、3或6， ∴a的值为7、8、9或12． 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键． 2．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】 表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】 设每天获得的利润为w元，
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可. 试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12 ． 2．解方程：（3x+1）2=9x+3． 【答案】x 1=﹣ 13，x 2=23． 【解析】 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可. 试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0， 分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0， 可得3x+1=0或3x ﹣2=0， 解得：x 1=﹣13，x 2=23 ． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可. 3．将m 看作已知量，分别写出当0
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等 式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内. 【详解】 解：()1依题意得2(2)404 k k k =+-?>， 1k ∴>-， 又0k ≠， k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠； ()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根， 理由是：设方程()2204 k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +?+=-????=?? ， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根， 212 k k +∴-=， 43 k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠， 43 k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】 本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。 5．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2， （1）若x 12+x 22=6，求m 值； （2）令T=1212 11mx mx x x +--，求T 的取值范围．
中考数学专题 一元二次方程试题 一、选择题 1、（2007巴中市）一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ）B Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、（2007安徽泸州）若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C A ．m
九年级数学一元二次方程中考真题汇编[解析版] 一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难） 1．阅读与应用： 阅读1： a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而 a+b≥2(当a＝b时取等号)． 阅读2： 若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝ ，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2． 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1： 已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝ 时，周长的最小值为； 问题2： 汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶， 1h的耗油量为yL． (1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)； (2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量． 【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10. 【解析】 【分析】 （1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8； （2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度． 【详解】 (1)∵x+≥2＝4， ∴当x＝时，2(x+)有最小值8． 即x＝2时，周长的最小值为8； 故答案是：2；8； 问题2：， 当且仅当，
即x ＝90时，“＝”成立， 所以，当x ＝90时，函数取得最小值9， 此时，百公里耗油量为 ， 所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ． 【点睛】 本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上． 2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数1 2 y x = 的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点． （1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式； （2）当03PQ <时，求n 的取值范围； （3）求出当n 为何值时，PQC ?面积为12？ 【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10． 【解析】 【分析】 （1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式； （2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可； （3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】 （1）将点C(m ，3)代入正比例函数1 2 y x =得： 3= 1 m 2 ，解得：m=6
一元二次方程及根的判别式 一、选择题 1．下列方程中，有实数解的方程是（ ）． （A ）022=+x （B ）023=+x （C ）0222=++y x （D ）02=+x 2．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是 （A ）1)2(2=-x ； （B ）1)2(2-=-x ； （C ）3)2(2=-x ； （D ）3)2(2=+x ． 3.已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ） A .该方程有两个相等的实数根 B .该方程有两个不相等的实数根 C .该方程无实数根 D .该方程根的情况不确定 4．下列一元二次方程没有实数解的是……………………………………………( ) A 、0122=--x x B 、0)3)(1(=--x x C 、022=-x D 、 012=++x x 5．k 为实数，则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是 （ ） （Ａ）有两个不相等的实数根； （Ｂ）有两个相等的实数根； （Ｃ）没有实数根； （Ｄ）无法确定． 6．一元二次方程x 2＋2x ＋1＝0根的情况是 （A ）有两个不相等的实数根； （B ）有两个相等的实数根； （C ）有一个实数根； （D ）无实数根． 7．下列方程中，有两个不相等实数根的是………………………………（ ） A ．2440x x -+= ； B ．2310x x +-=； C ．210x x ++=； D ．2230x x -+=． 8．若一元二次方程1x 3x 42=+的两个根分别为1x 、2x ，则下列结论正确的是 （A ）43x x 21- =+，41x x 21-=?； （B ）3x x 21-=+，1x x 21-=?； （C ）43x x 21=+，41x x 21=?； （D ）3x x 21=+，1x x 21=?． 二、填空题： 1. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米。如果每年绿化面积的增加率相同，那么计算增长率的方程是_____________ 2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则 m =___________ 3．关于x 的方程01mx mx 2=++有两个相等的实数根，那么m= ． 4．如果关于x 的方程02=+-m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是 ．
2019-2020年中考数学试题分类汇编 一元二次方程 一．选择题 1.（2015?广东）若关于x 的方程29 04 x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥ B.2 a ≤ C.2 a ＞ D.2 a ＜【答案】C. 【解析】△＝1－4（9 4 a -+ ）＞0，即1＋4a －9＞0，所以，2a ＞2. （2015?甘肃兰州） 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为A. 17)4(2 =+x B. 15)4(2 =+x C. 17)4(2 =-x D. 15 )4(2 =-x 3. （2015?甘肃兰州） 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 A. 1011)1(2= +x B. 910)1(2=+x C. 101121=+x D. 9 10 21= +x 4. （2015?湖北滨州）一元二次方程2414x x +=的根的情况是( )A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 5. （2015?湖北滨州）用配方法解一元二次方程01062=--x x 时，下列变形正确的为A.1)32 =+x （ B.1)32 =-x （ C.19)32 =+x （ D.19 )32 =-x （6. （2015?湖南衡阳）若关于x 的方程230x x a ++=有一个根为-1，则另一个根为（ B ）． A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-3 7. （2015?湖南衡阳） 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为（ B ）． A ．()10900x x -= B ．()10900x x += C ．()1010900x += D ． ()210900 x x ++=????8. （2015?益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 建议收藏下载本文，以便随时学习！
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
第 7 讲 一元二次方程 1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋ bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b － 4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为： b c x ＋ x ＝－ ，…第一步 aa a a 2 c b 2 x ＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a a b 2 b －4a c x ＋ ＝ 2a 4a ，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a －b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步 2a (1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b － 4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b － 4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）； 2a (2)用配方法解方程：x － 2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形 如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b － 4ac 解：(1)四 x ＝ 2a (2)移项，得 x － 2x ＝24. 配方，得 x － 2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4. 1 2 2. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1 【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋ 2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1. 3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋ c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为 0 【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b － 4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根． 一元二次方程的概念及解法 例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0； 2 2 2 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案 一、一元二次方程 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0
解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1. 【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】 试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据 求根公式x =求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x ＝42 ±＝， ∴x 1＝2，x 2＝2 3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围； （2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣ 26a a + ，x 1x 2=6a a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66 a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】 （1）∵原方程有两实数根， ∴ ， ∴a≥0且a≠6． （2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，
中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
作业七一元二次方程 一、选择题 1、（2014?襄阳，第9题3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设 2、（2017?兰州）如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么是实数m的取值为（C） A．m＞9 8 B．m＞ 8 9C．m= 9 8 D．m= 8 9 3、（2017?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（B） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 二、填空题 4、（2016·湖北鄂州）方程x2－3=0 5、（2015?绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=26 6、(2016大连改编)若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是1 a>-。 三、解答题 7、（2016·四川成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．解：∵3x2+2x﹣m=0没有实数解， ∵b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0， 解得：m＜，故实数m的取值范围是：m＜． 8、（2016·江苏泰州）随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率． 解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x， 根据题意，得：200（1+x）2=392， 解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40%．
9、（2016·湖北鄂州）关于x 的方程(k －1)x 2+2kx +2=0 （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根。 （2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx +2=0的两个根，记S =x x 12+x x 21+ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值。若不能，请说明理由。 解：⑴①当k -1=0即k =1时，方程为一元一次方程2x =1, x =1/2有一个解； ②当k -1≠0即k ≠1时，方程为一元二次方程， ⑴=（2k ）2-4×2（k -1）=4k 2-8k ＋8=4(k -1) 2 ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 ⑴⑴x ?＋x ?＝－2k / k -1 ,x ? x ?=2 /k -1, ⑴s = (x ? 2＋ x ? 2)/x ? x ?＋(x ?＋x ? ) =[ ( x ?＋x ?) 2－2 x ? x ? ]/ x ? x ?＋(x ?＋x ?) =(4k 2-8k ＋4)/2（k -1）=2 k 2－3k ＋2=0 k ?=1 k ?＝2 ⑴方程为一元二次方程，k -1≠0 ⑴k ?=1 应 舍去 ⑴当k =2时，S 的值为2 ⑴S 的值能为2，此时k 的值为2.
南外仙林分校九年级周测试卷 一元二次方程综合 班级 姓名 得分 考试说明： 1.本卷满分120分，考试时间15：50－17：10 2.请将选择题答案填入指定表格内，漏填或不填不得分. 一、选择题（每小题2分，共30分） 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ） 222200350x ax bx c x x a a x =++=-=+-=①，②，③，④， 222 2114011211932m m x x x x x x -++ =+=-=+=-⑤（），⑥，⑦，⑧（）． A ．2个 B ．3个 C.4个 D ．5个 2. 若方程013)2(| |=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．m= —2 D ．2±≠m 3. 一元二次方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是（ ） A. 23162x ??-= ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ?? ?; D.以上都不对 4.（2017·山东泰安·7）一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ） A ．2 (3)15x -= B ．2(3)3x -= C. 2 (3)15x += D ．2 (3)3x += 5.已知，x、y y x y x 013642 2=+-++为实数，则y x 的值是 （ ） A.-8 B. 8 C. -9 D.9 6. 已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或-1 7.（2017·江苏苏州·4）关于x 的一元二次方程2 20x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C.2 D ．2- 26x x +-
第7讲一元二次方程 1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ^ 0)的求根公式时, 对于b 2— 4ac>0的情况，她是这样做的： 由于0,方程ax 2 + bx + c = 0变形为： 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程?用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如x 2+ px + q = 0型.第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可. (2)形 如ax 2 + bx + c = 0型?方程两边同时除以二次项系数，即化成 x 2 + px + q = 0型，然后配方. ” —b ± b 2— 4ac 解: (1)四 x = 1- 2a 2 ⑵移项，得x — 2x = 24. 配方，得 x 2— 2x + 1 = 24 + 1，即(x — 1)2= 25. 开方，得x — 1 = ±5. x 1 = 6, x 2=— 4. 2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2+ 2x + a = 0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a v 1 B. a > 1 C. a < 1 D. a > 1 【解析】???关于x 的方程x 2 + 2x + a = 0不存在实数根，??? b 2— 4ac = 22— 4X 1X a v 0.解 得 a > 1. 2 2 2 2 3. (2019，河北)a , b , c 为常数，且(a — c) >a + c ,则关于x 的方程ax + bx + c = 0根的 情况是(B) A. 有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 【解析】 由(a — c)2>a 2+ c 2得出一2ac > 0,^A = b 2 — 4ac > 0.「.方程有两个不相等的实数根. 2 丄 b c x + a x =— a ，…第步 x 2, b x +色* = c +d 彳…第一步 x + a x + 2a =— a + 2a ，第二步 2 2 (b X b — 4ac x + 亦=47 ，…第三步 x + 2- = b ：4ac (b 2— 4ac>0)，…第四步 2a 4a ' —b +「■. ：b — 4ac ?…第五步 4a 2a (1)嘉淇的解法从第 =0(a ^ 0)的求根公式是 四 步开始岀现错误：事实上，当 —b ± b 2 — x= -------- ; ------- b 2 — 4ac>0 时，方程 ax 2 + bx + c (2)用配方法解方程: 4ac 2a )； x 2— 2x — 24= 0.
2 2．关于x 的一元二次方程x 2+4kx ﹣1=0根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 3．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A ．2x 2﹣6x +1=0 B ．3x 2﹣x ﹣5=0 C ．x 2+x=0 D ．x 2﹣4x +4=0 4．（2013辽宁大连）若关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0没有实数根，则实数m 取值范围是 A ．m ＜－4 B ．m ＞－4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 5. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. x 210+= B. x x 210+-= C. x x 2230++= D. 44102x x -+= 6．.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2﹣8=0 B ． 2x 2﹣4x+3=0 C ． 9x 2+6x+1=0 D ． 5x+2=3x 2 1. 用配方法解一元二次方程x 2－4x ＋2＝0时，可配方得( )． A. (x －2)2＝6 B. (x ＋2)2＝6 C. (x －2)2＝2 D. (x ＋2)2＝2 2．（2011辽宁本溪）一元二次方程x 2－x ＋ 41＝0的根是（ ） A ．x 1＝21，x 2＝－2 1 B ．x 1＝2，x 2＝－ 2 C ．x 1＝x 2＝－ 21 D ．x 1＝x 2＝2 1 3. 一元二次方程x 2－2x ＝0的解是( )． A. x 1＝0，x 2＝ 2 B. x 1＝1，x 2＝2 C. x 1＝0，x 2＝－2 D. x 1＝1，x 2＝－2 4．一元二次方程2 210x x -+=的解是 ． 5．方程（x ﹣3）（x ﹣9）=0的根是 ． 6．.方程（x+2）（x ﹣3）=x+2的解是 ． 7．一元二次方程2 210x x -+=的解是 ． 8．一元二次方程x 2＋2x ＝0的解是 ．
第7讲一元二次方程 陕西《中考 说明》 陕西2012～ 2014年中考 试题分析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重 一元二次方 程及其解法 理解配方 法，会用因 式分解法、 公式法、配 方法解简单 的数字(有 理数)系数 的一元二次 方程 2014 选择题8 3 一元二次方 程的解的定 义 2013 填空题12 3 一元二次方 程的解法 1.7% 由表格呈现内容可看出陕西历年中考对一元二次方程的考查主要是一元二次方程解的意义及解一元二次方程，如2014年第8题考查了一元二次方程解的意义，2013年第12题考查了解一元二次方程，题型主要以选择题和填空题为主，分值为3分，设题较为简单，预计在2015年的中考中，一元二次方程解的意义及其解法仍是本节考查的重点内容，题型为选择或填空，分值为3分，难度不大． 1．定义 只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 2．解法 首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式： __x＝ －b±b2－4ac 2a (b2－4ac≥0)__． 4．一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0?方程有两个__不相等__的实数根； (2)b2－4ac＝0?方程有两个__相等__的实数根； (3)b2－4ac＜0?方程__没有__实数根． 5．一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝__－ b a __，x1x2＝__ c a __． 转化思想
2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析 一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家 庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008 年底全市汽车拥有量为14.4 万 辆．已知2006 年底全市汽车拥有量为10 万辆． （1）求2006 年底至2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到2010 年底汽车拥有量不超过15.464 万辆，据估计从 2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数 量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决 问题； （2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不 等式来判断正确的解． 试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得： 10（1+x）2=14.4， 解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009 年底汽车数量为14.4 ×90%+，y 2010 年底汽车数量为（14.4 ×90%+）y×90%+，y ∴（14.4 ×90%+）y ×90%+y≤15.464， ∴y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题 2．如图，抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于点 A 和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴l 为x=﹣1． （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P 的坐标； ②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P 的坐标．
一元二次方程 一、 选择 1. 方程05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值不能是（ ） A ．0 B ．21 C ．1± D ．2 1- 2. 一元二次方程221x x -=的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．±1 3.一元二次方程2(1)2x -=的解是（ ） A.11x =-21x =- B.11x =21x = C.13x =，21x =- D.11x =，23x =- 4. 把方程0462=+-x x 的左边配成完全平方，正确的变形是（ ） A ．9)3(2=-x B ．13)3(2=-x C ．5)3(2=-x D ．5)3(2 =+x 5. 方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．0,121==x x B ．2,121==x x C ．1,221-==x x D ．无解 6. 若关于x 的方程0222=-+-a ax x 有两个相等的实根，则a 的值是（ ） A ．－4 B ．4 C ．4或－4 D ．2 7. 方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 8. 某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是 （ ） A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1－a%)2 =148
C. 200(1－2a%)=148 D. 200(1－a 2 %)=148 二、填空题 9. 一元二次方程x x 6122=-的一般形式是 ，其中一次项系数是 ． 10. 认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： (1)221x x +=-，应选用 法； (2)()()()()42122++=-+x x x x ，应选用 法； (3)07322=--x x ，应选用 法. 11. x x 2 12- 配成完全平方式需加上 . 12. 若关于x 的方程220x x k ++=的一个根是1，则另一个根是 ． 13. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范是 ． 14. 以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 15. 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2 ，则原来的正方形铁皮的面积是 . 16．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为 . 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）2(1)4x -= （2）04632=+-x x （3）(2)(3)12x x --= （4）231y += 18.
全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析 一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆． （1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题； （2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解． 试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得： 10（1+x）2=14.4， 解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4×90%+y， 2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y， ∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2． 答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题 2．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以 3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？ (2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ (3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？