建筑力学常见问题解答
6 超静定结构內力计算
1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？
答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？
答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？
答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？
答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？
答：撤除多余约束常用方法如下：
（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？
答：用力法计算超静定结构的基本思路是：
去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？
答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程
对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多
余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程：
00
22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ
（6-5）
式中：
δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。可由i M 自身图乘得出。
δij 称为副系数，表示当X j =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式：
∑?
=ds EI
M M j i ij δ 很容易得出： ji ij δδ= δij 可由i M 和j M 图乘得出。
ΔiP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿X i 方向的位移，可正可负也可等于零。可由i M 和M P 图乘得出。
（2）求原结构的全部反力和內力
1）由图乘法求得主系数、副系数和自由项后，即可解得n 个多余未知力X i 。按照静定结构的分析方法可求原结构的全部反力和內力。
2）绘制原结构的弯矩图时，也可以利用已经绘出的基本结构的M P 图和i M 图用叠加原理计算，即：
P n n M X M X M X M M ++++= 2211
最后，根据平衡条件可求剪力和轴力。
9．在力法典型方程中，其主系数为什么恒大于零？而副系数和自由项则可能为正值、负值或为零？
答：δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δii 是X i =1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。可由i M 自身图乘得出。
δij 称为副系数，表示当单位力X j =1单独作用在基本结构上时，力X i 作用点沿X i 方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式：
∑?
=ds EI M M j i ij δ ΔiP 为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿
X i 方向的位移，可正可负也可等于零。可由i M 和M P 图乘得出。
10．力法方程的物理意义是什么？
答：力法方程的物理意义是：基本结构在多余未知力和荷载的作用下，在去掉多余约束处的位移与原结构中相应的位移相等，即基本结构与原结构的位移协调条件。
11．试列出用力法求解超静定结构的基本步骤。
答：用力法计算超静定结构的步骤是：
（1）选择基本结构
确定结构的超静定次数，撤去多余约束，代以相应的多余未知力，得到基本结构。
（2）建立力法典型方程
根据所撤去的多余约束数，建立力法典型方程
（3）计算系数和自由项
首先作基本结构在荷载和X i =1单独作用时的各弯矩图，然后用图乘法分别计算。
（4）求多余未知力
将计算出的系数和自由项代入力法典型方程，解出多余未知力。
（5）作內力图
按静定结构，用平衡条件或叠加法计算基本结构內力，画出內力图。
12．简述位移法的基本假定。
答：为了简化计算，用位移法讨论多跨超静定梁和刚架时，作如下基本假定：
（1）刚性结点假定：各杆不是铰结合，而是牢固结合，假定这种结点是刚性的，即假定变形时在该结点相交各杆端的截面有相同的转角。
（2）杆端联线长度不变假定：对于受弯杆件，通常可略去轴向变形和剪切变形的影响，并认为弯曲变形是微小的，因而可假定各杆端之间的联线长度在变形后仍保持不变。
（3）小变形假定：即结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。
13．位移法与力法的主要区别是什么？
答：位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其它未知力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再计算结构的未知内力和其它未知位移。
14．什么是位移法的基本体系？
答：对于超静定结构，可用在结点上加约束的方法，将组成结构的各个杆件都变成单跨超静定梁，将这些单跨超静定梁的组合称作位移法的基本体系。
15．试述位移法的基本原理。
答：位移法的基本原理是：根据结构及其在荷载作用下的变形情况，确定结点位移为基本未知量；进而将整体结构划分成若干根单元杆件，每根杆件均可看作单跨超静定梁，从而建立这些杆件的杆端弯矩与结点位移以及荷载之间的关系；然后利用平衡条件建立求解结点位移的关系式；求出结点位移的数值后，便可进一步求出各杆的杆端弯矩；最后根据杆端弯矩和荷载便可画出弯矩图。
16．用位移法分析超静定刚架的基本过程如何？
答：用位移法分析超静定刚架的基本过程是：
（1)根据结构的变形分析，确定某些结点位移为基本未知量；
（2)把每根杆件都视为单跨超静定梁，必要时可以单独画出来，以建立内力与结点位移之间的关系；
（3)根据平衡条件建立关于结点位移为基本未知量的方程，即可求得结点位移未知量；
（4)由结点位移求出结构的杆端内力；
（5）根据杆端弯矩和荷载画出弯矩图。
17．用位移法计算超静定结构时，有哪两类基本未知量？
答：用位移法计算超静定结构时，是以刚结点的角位移和独立的结点线位移作为基本未知量的。
18．如何确定位移法的基本未知量？
答：确定位移法的基本未知量
（1）结点角位移：独立的结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目。
（2）独立的结点线位移：在确定独立的结点线位移数目时，首先可把原结构的所有刚结点和固定端支座假设改为铰，这就得到一个铰结体系。若此铰结体系是几何不变体系，则由此可以知道原结构所有结点均无线位移。如这个铰结体系是几何可变或瞬变的，则可线位移数目。
19．如何建立位移法的基本体系？位移法的基本体系与力法的基本体系由何不同？
答：（1）建立位移法的基本体系，可在刚架的每个刚性结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动，但不能阻止刚结点的移动；对产生线位移的结点加上附加链杆，以阻止其线位移，而不阻止结点的转动。这样一来，就得到了单跨超静定梁的组合体。这就是位移法的基本体系。
（2）位移法的基本体系是通过增加刚臂和链杆得到，一般情况下其基本体系是唯一的。这与力法不同，力法的基本结构是通过减少约束，用多余未知力来代替多余约束，采用静定结构作为基本结构，因此它的基本结构可有多种形式。
20．位移法分析等截面直杆时的关键是什么？如何表示超静定梁杆端弯矩和杆端剪力？杆端力的符号如何规定？
答：（1）位移法分析等截面直杆时，关键是要用杆端位移表示杆端力。
（2）两端固定的杆端弯矩和杆端剪力
其两端产生的位移为：A 端和B 端分别产生顺时针转角θA 和θB ，B 点产生垂直于AB 的线位移△，它绕AB 也是顺时针转动。杆端位移的符号规定为：杆端转角θ以顺时针方向转向为正，反之为负；杆端相对线位移△以使杆件顺时针转向为正，反之为负。由力法算得的杆端弯矩和杆端剪力为： ???????????+?+--=+?+--=+?-+=+?-+=F QBA B A F QBA F QAB B A QAB F BA B A BA
F AB B A AB
F l i l i l i F F l i l i l i F M l i i i M M l i
i i M 2212661266642624θθθθθθθθ
图6-19 式中l
EI i =为杆件的线刚度。 （3）一端固定、一端铰支的杆端弯矩和杆端剪力
???????+?+-=+?+-==+?-=F QBA A QBA F
QAB A QAB BA F AB A AB F l i l i F F l i l i F M M l i i M 223333033θθθ
图6-20
（3）杆端力的符号规定
杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正(对结点或支座而言，则以逆时针转动为正)，反之为负；杆端剪力绕着其所作用的隔离体内侧附近一点顺时针转动为正(简述为顺时针为正)，
反时针转动为负。
21．形常数和载常数分别指的是什么？
答：当杆端位移为单位值时，所得的杆端力通常称为等截面直杆的刚度系数。刚度系数是只与杆件的长度、截面的几何形状、材料性质有关的常数，所以也叫形常数。
对于两端固定梁，其上作用有其它形式荷载，或对其它形式支座的单跨超静梁，其作用有某种形式的荷载，同样均可用力法算出其固端弯矩和固端剪力。因为它们是只与荷载形式有关的常数，所以又叫做载常数。
22．什么叫固端弯矩？
答：力矩分配法中，约束状态下的杆端弯矩称为固端弯矩。
23．如何计算附加刚臂上的约束力矩？
答：在附加刚臂上必有约束力矩M B ，约束力矩等于各杆固端弯矩之和。以顺时针转向为正，反之为负。
24．力矩分配法中杆端弯矩正、负号是如何规定的？
答：在力矩分配法中杆端弯矩正、负号的规定都与位移法相同，即杆端弯矩以顺时针转向为正，作用于结点的弯矩以逆时针转向为正；结点上的外力偶(荷载)仍以顺时针转向为正等。
25．力矩分配法的三个要素是什么？分别是如何确定的？
答：力矩分配法的三要素为：转动刚度、分配系数和传递系数。
转动刚度：使杆端产生单位转角以θA =1时，所需施加的力矩称为转动刚度，用S AB 表示。转动刚度不仅与该梁的线刚度i 有关(l
EI i )，而且与远端的支承情况有关。 分配系数：相交于A 点的各杆的分配系数，等于该杆A 端的转动刚度S Aj ，除以汇交于A 点的各杆A 端转动刚度之和。
传递系数：各杆远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C 表示。对于等截面直杆来说，传递系数C 的大小与杆件远端的支承情况有关。
支撑情况与转动刚度、传递系数的关系
26．试述力矩分配法的基本原理。
答：力矩分配法可归结为单个结点的力矩分配与传递。为了能在结点上进行力矩分配，首先设想于结点处附加约束（固定结点），形成位移法基本结构，求得荷载作用下各杆固端力矩及约束力矩，即求得了固定状态的力矩；然后，放松约束使结构恢复其自然状态，以消除基本结构与原结构的差别，此时应在结点加上一个与约束力矩相反的力矩，并对此力矩进行分配、传递，即求得了放松状态的力矩；最后，与位移法相似叠加这两种状态的力矩，即各杆端力矩，并据此汇出弯矩图。
27．列出力矩分配法的基本步骤。
答：力矩分配法的基本步骤：
（1）将结点固定，求荷载作用下的杆端弯矩，即固端弯矩；
求各杆固端弯矩的代数和，得出结点的约束力矩。
（2）求各杆端的分配系数，将约束力矩冠以负号，分别乘以各杆的分配系数，得到分配弯矩。
（3）将分配弯矩乘以传递系数，得到远端的传递弯矩。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩相加，就得到结构在荷载作用下的杆端弯矩。
以上过程中的第一步是求约束状态下的杆端弯矩。第二、三步是求放松状态下的杆端弯矩，第四部是叠加约束状态和放松状态的杆端弯矩，求得结构在自然状态下的杆端弯矩。
第6章 力矩分配法 §6 – 1 基本概念 力矩分配法适用于无结点线位移的刚架和连续梁结构，是位移法求解问题的一种特殊情况，有线位移结构不能直接利用力矩分配法求解。 6-1-1 名词解释 (1)转动刚度AB S ：表示抵抗转动的能力，其值等于转动端产生单位转角所需施加的力矩，单跨梁转动刚度如图6-1。 静定结构（或静定部分）的转动刚度为零，即对转动无抵抗能力。 图6-2所示结构有一个转角位移未知数，各杆的转动刚度为： 4433DA DA DC DC S i i S i i ==== 30DB DB DF S i i S === (2)分配系数Di μ：某一杆端的分配系数等于，该杆端转动刚度在同一结点各个杆端转动刚度中所占的比例值。图6-2结构的分配系数为： 0.4DA DA DA DB DC DF S S S S S μ==+++ 0.3DB DB DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ 0.3DC DC DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ 图6-2无侧移刚架结构 )b () c ( (a) 3AB S i =4AB S =AB S =(d) 图6-1等截面单跨梁转动刚度
2 结构力学典型例题解析 0DF DF DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ (3)弯矩符号规定：力矩分配法在计算过程中不需要画弯矩图，只是以数值形式进行计算，因此，需要事先对力矩和弯矩符号进行规定，具体规定如下： 固端弯矩：顺时针为正。 结点外力偶：顺时针为正。 (4)固端弯矩F i j M ：将转动结点固定变成位移法的基本体系，外荷载在基本体系上产生的杆端弯矩。如图6-2结构的固端弯矩为： F F F F F F 0DA DA DB BD CD FD M M M M M M ====== F 2 145kN m 8 DC M ql -= =-? F 30kN m DF M =-? (5)不平衡力矩u D M ：不平衡力矩为转动结点所连杆端 的固端弯矩之和，其值等于刚臂反力矩。如图6-3为荷载引起的不平衡力矩u D M ，此时就是位移法典型方程的 1P R ： F F F F 1P u D DA DB DC DF M R M M M M ==+++ 75kN m u D M =-? (6)被分配力矩M ：M 等于不平衡力矩u D M 的负值； 若该转动结点有外力矩，外力矩可以直接进行分配，此时外力矩是被分配力矩的一部分。如图6-3被分配力矩为： 75kN m u D M M =-=? (7)分配弯矩Di M ：某一杆端的分配弯矩Di M 等于该杆端的分配系数Di μ乘以被分配力矩 M 。如图6-3结构的分配弯矩为： 30kN m DA DA M M μ==? 22.5k N m D B D B M M μ==? 22.5kN m DC DC M M μ==? 0D F D F M M μ== (8)传递系数AB C ：传递系数AB C 只与另一端（远端，即B 端）的支座情况有关，远端为定向支座时其值为-1，远端为固定支座时其值为0.5，远端为铰支座（包括自由端）时其值为0。如图6-3结构的传递系数为： 0.5DA C = 1DB C =- 0DC C = 0DF C = 图6-3不平衡力矩 F DC F M DB F
第6章 力矩分配法 §6 – 1 基本概念 力矩分配法适用于无结点线位移的刚架和连续梁结构，是位移法求解问题的一种特殊情况，有线位移结构不能直接利用力矩分配法求解。 6-1-1 名词解释 (1)转动刚度A B S ：表示抵抗转动的能力，其值等于转动端产生单位转角所需施加的力矩，单跨梁转动刚度如图6-1。 静定结构（或静定部分）的转动刚度为零，即对转动无抵抗能力。 图6-2所示结构有一个转角位移未知数，各杆的转动刚度为： 4433DA DA DC DC S i i S i i ==== 30DB DB DF S i i S === (2)分配系数Di μ：某一杆端的分配系数等于，该杆端转动刚度在同一结点各个杆端转动刚度中所占的比例值。图6-2结构的分配系数为： 0.4DA DA DA DB DC DF S S S S S μ==+++ 0.3DB DB DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ 0.3DC DC DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ 图6-2无侧移刚架结构 )b () c ( (a) 3AB S i =4AB S =AB S =(d) 图6-1等截面单跨梁转动刚度 m m
0DF DF DA DB DC DF S S S S S μ= =+++ (3)弯矩符号规定：力矩分配法在计算过程中不需要画弯矩图，只是以数值形式进行计算，因此，需要事先对力矩和弯矩符号进行规定，具体规定如下： 固端弯矩：顺时针为正。 结点外力偶：顺时针为正。 (4)固端弯矩F i j M ：将转动结点固定变成位移法的基本体系，外荷载在基本体系上产生的杆端弯矩。如图6-2结构的固端弯矩为： F F F F F F 0DA DA DB BD CD FD M M M M M M ====== F 2 145kN m 8 DC M ql -= =-? F 30kN m DF M =-? (5)不平衡力矩u D M ：不平衡力矩为转动结点所连杆端 的固端弯矩之和，其值等于刚臂反力矩。如图6-3为荷载引起的不平衡力矩u D M ，此时就是位移法典型方程的1P R ： F F F F 1P u D DA DB DC DF M R M M M M ==+++ 75kN m u D M =-? (6)被分配力矩M ：M 等于不平衡力矩u D M 的负值； 若该转动结点有外力矩，外力矩可以直接进行分配，此时外力矩是被分配力矩的一部分。如图6-3被分配力矩为： 75kN m u D M M =-=? (7)分配弯矩Di M ：某一杆端的分配弯矩Di M 等于该杆端的分配系数Di μ乘以被分配力矩 M 。如图6-3结构的分配弯矩为： 30kN m DA DA M M μ==? 22.5kN m DB DB M M μ==? 22.5kN m DC DC M M μ==? 0DF DF M M μ== (8)传递系数AB C ：传递系数AB C 只与另一端（远端，即B 端）的支座情况有关，远端为定向支座时其值为-1，远端为固定支座时其值为0.5，远端为铰支座（包括自由端）时其值为0。如图6-3结构的传递系数为： 0.5DA C = 1DB C =- 0DC C = 0DF C = 图6-3不平衡力矩 F DC F M DB M F
6 超静定结构內力计算 1 ．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的 结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一 个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其 几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束 后，结构仍可能是几何不变的。 2 ．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4 ．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构， 则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （ 1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （ 2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6． 用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知 力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解 多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结 构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未 知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述 n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1） n 次超静定结构的力法方程 对于 n 次超静定结构，撤去 n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的 建筑力学常见问题解答 n 个多
1、清华5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 C 清华 V图 M (kN 解：（1）计算分配系数： 32 0.6 324 4 0.4 324 BA BA BA BC BC BC BA BC s i s s i i s i s s i i μ μ ? === +?+? ? === +?+? （2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。 33606 67.5 1616 F AB F BA M Pl M = ?? ===? kN m （3）分配与传递，计算列如表格。 （4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
015 3027.60153032.63517.5 8.756 AB BA AB AB AB BA BA BA BC CB BC CB M M V V l M M V V l M M V V l ++=- =-=++=-=--=+--==-=-=5kN 5kN kN ? 2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 4m 1m 2m 2m 原结构 简化结构 · 解：（1）计算分配系数：,4,34 BA BC BA BC EI i i i S i S i = ====令 430.429 0.5714343BC BA BA BC BA BC BA BC s s i i s s i i s s i i μμ= === ==++++ （2）计算固端弯矩：CD 杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C 处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC 段的外力偶矩，将在远端引起B 、C 固端弯矩。 22 204101088 154102020828 F F AB BA F F BC CB Pl M M ql m M M ?=- =-=-???=-+=-+=-?=?kN m,=kN m kN m,kN m （3）分配与传递，计算列如表格。 （4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
§7-6 用位移法计算有侧移刚架 例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。 解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。 （2）0 1111=+P R Z r （3）求系数和自由项 2211123l i l i r ==∑ ql R P 4 3 1-= （4）代入方程求未知量 i ql Z 163 1= （5）绘制弯矩图 例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆， 便得到图(b)所示的基本结构。 （2）建立位移法方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-== 16 15434122222i i i r = += 01=P R kN ql R P 60308 3 2-=--= （4）求未知量 Z 87.201=，Z 39.972= （5）绘制弯矩图
例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。 解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。 （2）求各杆杆端弯矩的表达式 3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD = 25.0Z M BD -= （3）建立位移法方程 有侧移刚架的位移法方程，有下述两种： Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。 ∑=0C M ， 037021=+-?=+Z Z M M CD CA Ⅱ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。 ∑=0 x F ， 0 =+DC CA Q Q 取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 33 1 216262121-+-=--- =Z Z ql Z Z Q CA 同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212 1 65.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得 0312 5 012133121221=-+-?=+-+-Z Z Z Z Z （4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37 （5）求杆端弯矩绘制弯矩图 将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。 例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。 解：解法（一）——用典型方程求解 （1）确定基本未知量。变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b) 所示。其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。 （2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 128411=+=， l i l i l i r r 66122112-=+- == 22222361224l i l i l i r =+= , 01=P R , ql R P -=2
第六章 力矩分配法 一 判 断 题 1、 传递系数C 与杆件刚度与远端的支承情况有关、( √ ) 2、 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关、( √ ) 3、 力矩分配法所得结果就是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩就是否平衡、( × ) 4、 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)就是传递弯矩的代数与、( √ ) 5、 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总与为1,则表明力矩分配系数的计算绝对无错误、( × ) 6、 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之与与结点不平衡力矩大小相等,方向相同、( × ) 7、 力矩分配法就是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精确解、( √ ) 8、 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都就是近似的、( × ) 9、 力矩分配系数就是杆件两端弯矩的比值、( × ) 10、 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16/2 ql ( × ) 题10图 题11图 题12图 11、 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2、( × ) 12、 图示刚架可利用力矩分配法求解、( √ ) 13、 力矩分配法就就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法、(× ) 14、 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之与等于1、( √ ) 15、 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度与其远端的支承情况有关、( √ ) 16、 单结点结构的力矩分配法计算结果就是精确的、( √ ) 17、 力矩分配法仅适用于解无线位移结构、( √ ) 18、 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数29/18=AC μ、(√ ) 题18图 题19图 题21图
建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多
1、清华 5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 kN kN A 20 · A 55 · B i C B C 清华 2i 题9-1b EI EI 题5-6 35 M 图 15 M 图 (kN · m) (kN · m) 5 90 17.5 27.5 8.75 V 图 V 图 32.5 分配系数 0.6 0.4 分配系数 0.5 0.5 固端弯矩 0 (20) 0 固端弯矩 0 (55) 0 67.5 0 45 0 分与传 0 -52.5 -35 -17.5 分与传 0 -50 -50 0 最后弯矩 15 -35 -17.5 最后弯矩 -5 -50 解：（ 1）计算分配系数： s BA 3 2i 0.6 BA s BC 3 2i 4 s BA i s BC 4 i 0.4 BC s BC 3 2i 4 s BA i （ 2）计算固端弯矩： 固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。 M AB F 0 M BA F 3Pl 3606 67.5kN m 16 16 （ 3）分配与传递，计算列如表格。 （ 4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （ 5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
V AB M AB M BA 30 0 15 5kN V AB l 6 27. V BA 0 M AB M BA 30 0 15 5kN V BA l 6 32. V BC V CB M BC M CB 35 17.5 kN l 6 8.75 2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 kN kN/m 20kN M 图 15.71 30 20 (kN · m) 7.14 A EI B EI C D 20 2m 2m 4m 1m 题9-1b 原结构 28.93 kN · m 20 N V 图 7.86 kN/m 20k kN A (kN) EI B EI C D 12.14 31.07 kN kN/m A 20kN ·m EI B EI C 分配系数 0.571 0.429 简化结构 固端弯矩 -10 10 -30+10 20 -20 分与传 2.86 5.71 4.29 0 0 最后弯矩 -7.14 15.71 -15.71 20 -20 解：（ 1）计算分配系数： 令 EI , 4 , 3 i BA i i BC S BA i S BC i 4 BA s BA 4i 0.429 BC s BC 3i 0.571 s BA s BC 4i 3i s BA s BC 4i 3i （ 2）计算固端弯矩： CD 杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从 C 处切开，让剪力直接通过 支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为 BC 段的外力偶矩，将在远端引起 B 、C 固端弯矩。 F Pl 20 4 kN m, F = 10 kN m M AB 8 8 10 M BA M BC F ql 2 m 15 42 10 20kN m,M CB F 20kN m 8 2 8 （ 3）分配与传递，计算列如表格。 （ 4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （ 5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
第五章位移法和力矩分配法 一、判断题（“对”打√，“错”打） 1.位移法和力矩分配法只能用于求超静定结构的内力，不能用于求静定结构的内力。（） 2.用位移法求解图示结构基本未知量个数最少为 5。（） 3.对于图（a）所示结构，利用位移法求解时，采用图（b）所示的基本系是可以的。（） （a） (b) 4.图示两刚架仅在D点的约束不同，当用位移法求解时，若不计轴向变形则最少未知量数目不等，若计轴向变形则最少求知量数目相等。（）
（a） (b) 5.图（a）所示结构的M图如图(b)所 示。 （） （a） (b) 6．某刚架用位移法求解时其基本系如图所示，则其MF图中各杆弯矩为0，所以有附加连杆约束力FR1F=0。 ( )
7.图a结构用位移法计算的基本系如图b，则其2图如图c所示。（） (a) (b) (c) 8.图示连续梁在荷载作用下各结点转角的数值大小排序为 A>B>C> D. ( ) 9.图示两结构（EI均相同）中MA相 等。 （）
（a） (b) 10.下列两结构中MA相 等。 （） （a） (b) 11.图示结构结点无水平位移且柱子无弯 矩。 （）
12.图示结构下列结论都是正确的： . ( ) 13.用位移法计算图示结构，取结点B的转角为未知量，则. ( ) 14.图a对称结构（各杆刚度均为EI）可以简化为图b结构（各杆刚度均为EI）计算。（） （a）(b)
15.图a对称结构可以简化为图b结构计算（各杆刚度不变）。（） （a）(b) 16.图a对称结构可以简化为图b结构计算。（） （a） (b) 17.图（a）所示对称结构，利用对称性简化可得计算简图，如图(b)所示。（） (a） (b) 18.图示结构中有c点水平位移和BE杆B点弯矩（）
习题 9-1 图示结构（EI =常数）中，不能直接用力矩分配法计算的结构有（ ）。 A ．（a ）、（b ）； B ．（b ）、（c ）； C ．（c ）、（a ）； D ．（a ）、（b ）、（c ） (a) (b) (c) 题9-1图 9-2 若使图示简支梁的A 端截面发生转角θ，应（ ）。 A ．在A 端加大小为3i θ的力偶； B ．在A 端加大小为4i θ的力偶； C ．在B 端加大小为3i θ的力偶； D ．在B 端加大小为4i θ的力偶； 题9-2图 题9-3图 9-3 若使B 截面发生单位转角，M = 。 9-4 转动刚度除与线刚度有关，还与 有关。 9-5 传递系数只与 有关。 9-6 杆端弯矩绕杆端 为正。 9-7 当远端为滑动支座时，弯矩传递系数为 。 9-8 图示结构各杆EI =常数，AB 杆A 端的分配系数为（ ）。 A ．0.56； B ．0.30； C ．0.21 ； D ． 0.14 题9-8图 题9-9图 9-9 已算得图示结构B 截点所连接三个杆端的弯矩分配系数中的两个，分别为 0.37BA μ=，0.13BC μ=，则BD μ= 。在结点力偶作用下，BA M = ， AB M = 。 9-10 图示结构（各杆件长度均为l ）A 截面弯矩AB M = ， 侧受拉。 M 题9-10图 题9-11图
9-11图示结构（各杆件长度均为l ）A 截面弯矩AB M = ， 侧受拉；AB 杆B 端截面弯矩BA M = ， 侧受拉。 9-12 试作图示结构弯矩图，EI =常数。 10kN.m 题9-12图 题9-13图 9-13 试作图示结构弯矩图，EI =常数。 9-14试作图示结构弯矩图，EI =常数。 题9-14图 题9-15图 9-15试作图示结构弯矩图，EI =常数。 9-16 试用力矩分配法计算图示结构，作弯矩图、剪力图，并求支座反力。 题9-16图 9-17试用力矩分配法计算图示结构，作弯矩图。 题9-17图 9-18 图示结构中各杆的线刚度相同，均为i 。试作弯矩图。 题9-18图 9-19 试用力矩分配法计算图示结构，作弯矩图。
力矩分配法练习题答案 第 1 题 力 矩 分 配 法 计 算 得 出 的 结 果 ： A. 一 定 是 近 似 解 ； B. 不 是 精 确 解 ； C. 是 精 确 解 ； D. 可 能 为 近 似 解 ， 也 可 能 是 精 确 解 。 （） 答案( D ) 第 2 题 在力 矩 分 配 法 中 ， 刚 结 点 处 各 杆 端 力 矩 分 配 系 数 与 该 杆 端 转 动 刚 度 （ 或 劲 度 系 数 ） 的 关 系 为 ： A. 前 者 与 后 者 的 绝 对 值 有 关 ； B. 二 者 无 关 ； C. 成 反 比 ； D. 成 正 比 。（） 答案( D ) 第 3 题 在 力 矩 分 配 法 的 计 算 中 ， 当 放 松 某 个 结 点 时 ， 其 余 结 点 所 处 状 态 为 ： A. 全 部 放 松 ； B. 必 须 全 部 锁 紧 ； C.. 相 邻 结 点 放 松 ； D 相 邻 结 点 锁 紧 。 （ ） 答案( D ) 第 4 题 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 ， 放 松 结 点 的 顺 序 ： A. 对 计 算 和 计 算 结 果 无 影 响 ； B. 对 计 算 和 计 算 结 果 有 影 响 ； C.. 对 计 算 无 影 响 ； D . 对 计 算 有 影 响 ， 而 对 计 算 结 果 无 影 响 。（） 答案( D ) 第 5 题 图 a所 示 结 构 的 弯 矩 分 布 形 状 如 图 b 所 示 。（）
( ) b 答案( X ) 第 6 题 图示结构，各杆i= 常数，欲使A结点产生单位顺时针转角θA=1, 须在A结点施加的外力偶为数 -8i。（） A 答案( X ) 第 7 题 力 矩 分 配 法 中 的 传 递 弯 矩 等 于 ： A . 固 端 弯 矩 ； B . 分 配 弯 矩 乘 以 传 递 系 数 ； C. . 固 端 弯 矩 乘 以 传 递 系 数 ； D . 不 平 衡 力 矩 乘 以 传 递 系 数 。（） 答案( B ) 第 8 题 图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 分 配 系 数 μBC 为 1 / 8 。（） m A B C D I I I 答案( X )
力法位移法。力矩分配法常见问题
建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 7
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 7
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后 7
力矩分配法 一、判断题 1.力矩分配法适于计算连续梁和无结点线位移刚架。（） 2.AB杆A端的转动刚度Sab，表示B端产生单位转角时引起A端的杆端弯距。（） 3.结点的约束力矩C（不平衡力矩）等于该结点各杆近端固端弯距的代数和。（） 4.力矩分配法中杆端弯距的正负号的规定与位移法规定的不同。（） 5.汇交与同一结点的各杆分配系数之和等于1。（） 6.转动刚度只与该杆的线刚度有关，而与远端的支承情况无关。（） 7.AB杆A端的分配系数与各杆端转动刚度的关系为。（） 8.等截面直杆的传递系数决定于近端约束。（） 9.杆端最终弯距为固端弯距与各次分配力矩及传递力矩之和。（） 10.转动刚度S AB，表示AB杆当B端产生单位转角时在A端施加的力偶矩。（） 11.在力矩分配法中进行力矩分配时，相邻的两刚结点可以同时放松。（） 12.转动刚度S AB，表示AB杆当B端产生单位转角时在A端施加的外力偶矩。（） 13.在力矩分配法中，规定使结点逆时针方向转动的力矩为负。（） 14.图1所示结构中的弯矩分配系数μBA=0.5 。（）
图 1 二、填空题 1.转动刚度不仅与梁的___________ 有关，而且与___________ 有关。它反映了___________ 能力，转动刚度越大，表示___________ 越大。 2.汇交于同一刚结点的各杆的分配系数之和等于___________ 。由分配系数乘以反号的约束力矩得 ___________。 3.各远端弯矩与近端弯矩的比值称___________ 。对于等直杆来说，传递系数的大小与___________ 有关。 三、计算题 1.试用力矩分配法为计算图2所示连续梁，绘出内力图，并求支座反力。
结构力学力矩分配法题 目大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第六章力矩分配法 一判断题 1. 传递系数C与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √ ) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √ ) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( × ) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数 和.( √ ) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分 配系数的计算绝对无错误.( × ) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相 同.( × ) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得 精确解.( √ ) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( × ) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( × ) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16 /2 ql( × ) 题10图题11图题12图
11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2.( × ) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √ ) 13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数29/18=AC μ.(√ ) 题18图 题19图 题21图 19. 图示杆AB 与CD 的EI,l 相等,但A 端的劲度系数(转动刚度)S AB 大于C 端的劲度系数 (转动刚度) S CD .( √ ) 20. 力矩分配法计算荷载作用问题时,结点最初的不平衡力矩(约束力矩)仅是交于结点各 杆端固端弯矩的代数和.( × ) 21. 若使图示刚架结点A 处三杆具有相同的力矩分配系数,应使三杆A 端的劲度系数(转动 刚度)之比为:1:1:1.( √ ) 22. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行内力分析.( × ) 23. 计算有侧移刚架时,在一定条件下也可采用力矩分配法.( √ )
第六章力矩分配法 一判断题 1. 传递系数C与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( ×) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数 和.( √) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分 配系数的计算绝对无错误.( ×) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相 同.( ×) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精 确解.( √) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( ×) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( ×) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB=-16/2ql( ×) 题10图题11图题12图 11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC=—M/2.( ×) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √)
13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数 29/18=AC μ.(√ ) 题18图 题19图 题21图 19. 图示杆AB 与CD 的EI,l 相等,但A 端的劲度系数(转动刚度)S AB 大于C 端的劲度系数(转 动刚度) S CD .( √ ) 20. 力矩分配法计算荷载作用问题时,结点最初的不平衡力矩(约束力矩)仅是交于结点各杆 端固端弯矩的代数和.( × ) 21. 若使图示刚架结点A 处三杆具有相同的力矩分配系数,应使三杆A 端的劲度系数(转动刚 度)之比为:1:1:1.( √ ) 22. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行力分析.( × ) 23. 计算有侧移刚架时,在一定条件下也可采用力矩分配法.( √ ) 24. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行力分析.( × ) 二 选 择 题 1. 图示结构汇交于A 的各杆件抗弯劲度系数之和为 ∑A S ,则AB 杆A 端的分配系数为: ( B ) A.∑=S A AB AB i /4μ B. ∑=S A AB AB i /3μ C. ∑=S A AB AB i /2μ
§7-6 用位移法计算有侧移刚架 例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。 解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。 （2）位移法方程为 01111=+P R Z r （3）求系数和自由项 2211123l i l i r ==∑ ql R P 4 31-= （4）代入方程求未知量 i ql Z 163 1= （5）绘制弯矩图 例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线 位移Z 2。在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆， 便得到图(b)所示的基本结构。 （2）建立位移法方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-== 16 15434122222i i i r =+= 01=P R kN ql R P 60308 32-=--= （4）求未知量 i Z 87.201=，i Z 39.972= （5）绘制弯矩图
例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。 解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。 （2）求各杆杆端弯矩的表达式 3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD = 25.0Z M BD -= （3）建立位移法方程 有侧移刚架的位移法方程，有下述两种： Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。 ∑=0C M ， 037021=+-?=+Z Z M M CD CA Ⅱ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。 ∑=0x F ， 0=+DC CA Q Q 取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 33 1216262121-+-=---=Z Z ql Z Z Q CA 同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212165.0Z Z Q DB =-- = 代入截面平衡方程得0312 5012133121221=-+-?=+-+-Z Z Z Z Z （4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37 （5）求杆端弯矩绘制弯矩图 将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。 例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。 解：解法（一）——用典型方程求解 （1）确定基本未知量。变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b) 所示。其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。 （2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 128411=+=， l i l i l i r r 66122112-=+-== 22222361224l i l i l i r =+= , 01=P R , ql R P -=2
第六章 力矩分配法 一 判 断 题 1. 传递系数C 与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √ ) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √ ) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( × ) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数和.( √ ) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分配系数的计算绝对无错误.( × ) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相同.( × ) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精确解.( √ ) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( × ) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( × ) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16/2 ql ( × ) 题10图 题11图 题12图 11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2.( × ) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √ ) 13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数 29/18=AC μ.(√ )
力矩分配法的基本概念 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合手算。 理论基础：位移法； 计算结果：杆端弯矩； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 一、正负号规定 在力矩分配法中，杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。 作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。 二、转动刚度S 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度S AB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下： 三、传递系数C 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即： 远端弯矩可表达为：M BA=C AB M AB
等截面直杆的传递系数与远端的支撑情况有关： 远端固定： C=1/2 远端铰支： C=0 远端滑动： C=-1 四、多结点无侧移结构的计算 注意： ①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点i的不平衡力矩M i等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。 例题；用力矩分配法画连续梁的M图，EI为常数。