一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1 万有引力作功
如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为
)11(A B r r m m G W -'= （3-10）
上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了
的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功
设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为
r 2e F r m m G '-=
r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为
r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W
从图可以看出
r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e
于是，上式为
r r m m G W d d 2'-=
所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为
??'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d
即
2 重力作功
如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用
下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的
高度分别为21 y y 和，计算重力作功为
()12mgy mgy W --= （3-11）
上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置
有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个
重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功
因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为
r P d d ?=W
若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有
j i r y x d d d +=
且j P mg -=。于是，前式为
y mg y x mg W d )d d ( d -=+?-=j i j
质点由点A 移至点B 的过程中，重力作的总功为
)(d 12 21y y mg y mg W y y --=-=?
即
)(12mgy mgy W --=
3 弹性力作功
下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m 的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点O （即位于0
=x
处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置O 为坐标原点，向右为Ox 轴正向。弹簧伸长量由1x 变到2x 时，计算弹性力对物体的作的功为
)2121(2122kx kx W --= （3-12）
式中k 为弹簧的劲度系数。
从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（1x 和2x ）决定，而与弹性形变的过程无关。
扩充内容： 计算弹性力对物体所作的功
若物体受到沿Ox 轴正向的外力F '作用，弹簧将沿Ox 轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x 。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F 与弹簧的伸长量x 之间的关系为
i F kx -=
式中k 称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为x d 时的弹性力F 可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为x d 时，弹性力作的元功为
i i i i x F ?-=?-=?=x kx x kx W d d d d
有
x kx W d d -=
这样，弹簧的伸长量由21 x x 变到时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得
??-==21 d d x x x x k W W
二、 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力（参阅第6-1节和第7-5节）。
保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即
?=?=0d r F W （3-13）
式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。
然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。
三、势能
1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号P E 表示。于是，三种势能分别为
重力势能 mgy E =P
引力势能 r m m G
E '-=P （3-14） 弹性势能 2P 21kx E =
式（3-10）、式（3-11）、和式（3-12）可统一写成
P P1P2)(E E E W ?-=--= （3-15）
上式表明，保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
2 对势能概念的进一步讨论
讨论：
1重力势能 （通常把质点在地球表面附近的引力势能叫做重力势能）
设地球半径为E R ，质量为E m 。质点m 处在地球表面h 处，与处在地球表面处的引力势能之差为
)11(
)()(E E E E P E P R h R Gmm R E h R E -+-=-+
)(E E E h R R h Gmm +=
由于质点m 放在地球表面附近，故2E E E )(R h R R ≈+，上式可近似写成
h R mm G R E h R E 2E E
E P E P )()(≈-+
由于地球表面附近重力加速度的值2E E /R Gm g =，且取地球表面作为重力势能零点，即
0)(E P =R E ，那么从上式可得质点在地球表面h 处的引力势能即重力势能为
mgh h R E =+)(E P
可见，改变引力势能零点，引力势能的表述式也改变了。
2势能的进一步讨论
(1)势能是状态的函数。在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径是无关的。所以说，势能是坐标函数，亦即是状态的函数，
即),,(P P z y x E E =。前面还说过，动能亦是状态的函数，),,(z y x k k v v v E E =。
(2)势能的相对性。势能的值与势能零点的选取有关。一般选地面的重力势能为零，引力势能的零点取在无限远处，而水平放置的弹簧处于平衡位置时，其弹性势能为零。当然，势能零点也可以任意选取，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。所以，通常说势能具有相对意义。但也应当注意，任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。
(3)势能是属于系统的。势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。如果没有地球对物体的作用，也就谈不上重力作功和重力势能问题，离开了地球作用范围的宇宙飞船，也就无所谓重力势能。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。应当注意，在平常叙述时，常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的，这只是为了叙述上的简便，其实它是属于地球和物体系统的。至于物体的引力势能和弹性势能，也都是这样。
四、思考题
1.保守力作的功总是负的，对吗？举例说明。
2、把物体抛向空中，有哪些力对它作功，这些力是否都是保守力？
保守力及其性质 曹瑞廷 随着“应试教育”向素质教育模式的转轨，高考也由知识立意向能力立意转化，中学物理教学的要求已经变得越来越高了。中学物理的教学过程中，让学生掌握获取知识的方法、拓宽思维的深度和广度，是教学中的一个重要任务。特别是高三复习中，教师应对每个知识点的来龙去脉，对每个知识点的发生、发展过程，预以足够的重视，做到以新型的行为交往模式，使学生摆脱机械的知识接受器的学习模式，开启思维的通道，把前后知识联系起来，找到某些知识点的共同点，达到复习、巩固、提高能力的目的。 在中学物理中，力可以按效果或性质来分类，在高三复习中，我们可以引导学生研究重力、电场力、万有引力、分子力、弹簧的弹力、核力等，从中可以发现这些力有一个共同的特点，即力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。我们把具有这种性质的力称为保守力。而像摩擦力等则不具有上述特点，称为非保守力。 一、保守力做功与路径无关，只跟起点和终点的位置有关的证明 1、重力的功 h1的A点自由下落到高度为h2的B点， 再水平移到C点。物体在水平移动过程中， 重力对物体并不做功，所以在整个过程 中，重力对物体所做的功，就等于物体由A点自由下落到B点的过程中重力所做的功。 W G=mgh1-mgh2 如果让这个物体沿着斜面AC滑下，从原来高度为h1的A点滑到高度为h2的C点，物体沿斜面滑下的距离是S，重力所做的功是： W G=mgsinθS=mg△h=mgh1-mgh2
我们看到，物体由起点A到终点C，不论沿折线ABC，还是沿着斜面 AC，重力所做的功仍然是： W G=mgh1-mgh2 这就是说，重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体 运动的路径无关。 2、静电场力的功 B、C三点，其中A的电势为U A，B、 C两点的电势分别为U B、U C且U B=U C。 设将电量为q的正电荷从A点移 到B点，再移到C点，在整个过程中 电场力做功为： W=W AB+W BC=qEd+0=q(U A-U B)=qU A-qU B=qU A-qU C 如果让这个电荷沿斜线AC移动，电场力做功为 W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C 可以证明，不论电荷q是正是负，不论沿斜线AC移动，还是沿着折线 ABC移动，电场力做的功总是相等的。 可以证明，这个电荷沿任一路径从A移到C，电场力做的功总为： W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C 同样可以证明，在非匀强电场中上述关系也是成立的。 这就是说，电场力对移动电荷所做的功只跟起点和终点的位置有关，与 移动的路径无关。 3、可以证明万有引力、分子力、弹簧的弹力与重力、电场力一样， 都具有共同的特点，即：保守力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置， 与质点经过的路径无关。 二、保守力总是与一定形式的势能相对应
保守力与非保守力 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。 ⑴定义： 做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。 ⑵说明 ①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。重力、弹力等属于保守力。耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。摩擦力、粘滞力等属于耗散力 ②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。 ③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。而且相对两个位置之
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。 ⑴定义： 做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。 ⑵说明 ①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。重力、弹力等属于保守力。耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。摩擦力、粘滞力等属于耗散力 ②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。 ③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。耗散力不象保守力，对于两个位置之间，
一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1 万有引力作功 如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为 )11(A B r r m m G W -'= （3-10） 上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了 的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 扩充内容：计算万有引力作的功 设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为 r 2e F r m m G '-= r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为 r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W
从图可以看出 r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e 于是，上式为 r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为 ??'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即 2 重力作功 如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用 下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的 高度分别为21 y y 和，计算重力作功为 ()12mgy mgy W --= （3-11） 上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置 有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个 重要特点。 扩充内容： 计算重力作的功
惯性系:牛顿运动定律成立的参考系一般，地球和相对地球静止或匀速直线运动的物体，都可以视为惯性系。非惯性系:牛顿运动定律不成立的参考系如有加速度的物体 动力学中的基本定律，即任何物体系统如无外力作功或外力作功之和为零，系统内又只有保守力（见势能）做功时，则系统的机械能（动能与势能之和）保持不变。外力做功为零，表明没有从外界输入机械功；只有保守力做功，即只有动能和势能的转化，而无机械能转化为其他能，符合这两条件的机械能守恒对一切惯性参考系都成立。这个定律的简化说法为：质点（或质点系）在势场中运动时，其功能和势能的和保持不变；或称物体在重力场中运动时动能和势能之和不变。这一说法隐含可以忽略不计产生势力场的物体（如地球）的动能的变化。这只能在一些特殊的惯性参考系如地球参考系中才成立。 如果一个系统内只有保守力作功，而其他内力和外力都不作功，则运动过程中系统内质点间动能和势能可以相互转换，但他们的总和（即总机械能）保持不变，这就是质点系的机械能守恒定律。 保守力有分内力和外力的。保守力是这样的力，它做功与具体路径无关，只与初始位置有关。一般的场力都具有这个特点。接着看它是外力还是内力就可以了。内力则为保守内力 保守力 定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。 非保守力 定义：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。 保守力与非保守力 1. 保守力 定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。 即：保守力沿闭和路径所做的功为零。
2. 非保守力 定义：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。 例如：摩擦力。 力学中常见的保守力 a.重力：
保守力 名词简介 在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。 做功 保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当然也与保守力场的性质有关。 由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0 .因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能(位能[1]).势能大小仅由保守力的大小(F)和具有保守力作用的二物体间的相互位置(距离s)决定。换句话说，势能仅与保守力场的位置有关。例如：重力势能的大小仅由重力的大小和重物与地球的相对位置即重物与地球构距离决定。换句话说，势能的大小仅与重力势场中的位置，即重物距地球表面的高度有关。弹性势能、引力势能和静电势能等都有与重力势能同样的性质。 两个概念 引入势能以后为我们处理有关的物理问题带来了很多方便，这是我们将物体间的相互作用分为保守力和非保守力的一个重要的原因。 由于在保守力作用的情况下可以定义势能，而势能的大小与具有保守力相互作用的二物体间的相互位置有关。因此，我们可以定义势能U是二物体间距离x的函数，从而得到势能函数U(x)，并画出势能曲线U～x。而保守力的大小可由下式给出： 即势能函数U(x)对x的微商的负值为保守力的大小。例如：重力势能，保守力(重力) 。 保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔEp = －W保） 可以证明，遵从F∝1/s^n（n是整数）关系的力都是保守力。 判断方法 充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称为无旋场，例如静电场就是无旋场，因此是保守场。 1、对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的单值函数，故它是保守力。 2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg，是保守力。 3、若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点 1 万有引力作功 如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为 )11(A B r r m m G W -'= （3-10） 上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了 的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 扩充内容：计算万有引力作的功 设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为 r 2 e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W
从图可以看出 r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e 于是，上式为 r r m m G W d d 2 '-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为 ??'-==B A r r B A r r m m G W W 2 d 1d 即 2 重力作功 如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作 用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地 面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为 ()12mgy mgy W --= （3-11） 上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位 置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的 一个重要特点。 扩充内容： 计算重力作的功
第二章 机械能守恒定律 §2-1 功和功率 一、功 定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功 恒力：力的大小和方向均不变。 如图2-1，功为 S F S F W ?==αcos 即 S F W ?= 说明：⑴W 为标量 ????????? ==<≤<><≤力对物体不做功力对物体做负功力对物体做正功,0,2,0,2 ,0,20W W W παπαπ παα ⑵功是过程量 ⑶功是相对量 ⑷功是力对空间的积累效应 ⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。 2、变力的功 设质点做曲线运动，如图2-2。F 为变力，在第i 个位移元i S ?中，i F 看作恒力，i F 对 物体做功为 i i i i i S F S F W ??=?=?αcos 质点从b a →过程中，F 对质点做的功为 ∑∑??≈?=i i i i i S F W W 功的精确数值为 ??∑?=?=??=→?b a b a i i i S r d F S d F S F W lim {}[]max i S S ?=? 即： ? ?=b a S d F W 讨论：⑴恒力功 S F S d F S d F W b a b a ?=?=?=?? ⑵直线运动 设i x F x F )()(=，如图3-10，质点在b a →中，功为
曲线下面积代数和 ==?=?=??? b a b a b a Fdx i dx i F x d F W ⑶合力功 设质点受n 个力，1F ，2F ，…，n F ，合力功为 ???+???++=?=b a n b a r d F F F r d F W )(21 n b a n b a b a W W W r d F r d F r d F +???++=?+???+?+?=??? 2121 各分力功代数和= 二、功率 定义：力在t t t ?+-内对物体做功为W ?，下式 t W P ??= 称为在t t t ?+-时间间隔内的平均功率。下式 V F dt r d F dt dW t W lim P lim P 0t t ?=?==??==→?→? 称为瞬时功率，即 V F P ?= §2-2 动能和动能定理 一、动能 定义： 221mv E k = 式中，m 、v 分别为物体质量和速率。称k E 为质点的动能。 说明：(1)k E 为标量； (2)k E 为瞬时量； (3) k E 为相对量。 质点的动能定理 恒力，直线运动 ) v v (m cos FS S F A 212221 -==?=α