保守力
名词简介
在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。
做功
保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当然也与保守力场的性质有关。
由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0 .因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能(位能[1]).势能大小仅由保守力的大小(F)和具有保守力作用的二物体间的相互位置(距离s)决定。换句话说，势能仅与保守力场的位置有关。例如：重力势能的大小仅由重力的大小和重物与地球的相对位置即重物与地球构距离决定。换句话说，势能的大小仅与重力势场中的位置，即重物距地球表面的高度有关。弹性势能、引力势能和静电势能等都有与重力势能同样的性质。
两个概念
引入势能以后为我们处理有关的物理问题带来了很多方便，这是我们将物体间的相互作用分为保守力和非保守力的一个重要的原因。
由于在保守力作用的情况下可以定义势能，而势能的大小与具有保守力相互作用的二物体间的相互位置有关。因此，我们可以定义势能U是二物体间距离x的函数，从而得到势能函数U(x)，并画出势能曲线U～x。而保守力的大小可由下式给出：
即势能函数U(x)对x的微商的负值为保守力的大小。例如：重力势能，保守力(重力) 。
保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔEp = －W保）
可以证明，遵从F∝1/s^n（n是整数）关系的力都是保守力。
判断方法
充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称为无旋场，例如静电场就是无旋场，因此是保守场。
1、对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的单值函数，故它是保守力。
2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg，是保守力。
3、若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力
保守力与位能
保守力有一种力，当此种力作用于质点上时，只和质点的位置有关，和质点的速度与加速度无关。更进一步，若此力作用于质点上，使质点自一点移至另一点，此力所作之功和质点运动的路径无关，此种力称为保守力(conservative force)。在力学中，质点重量与弹簧力，是两个常见的保守力之例子。
重量质点重量所作之功，和路径无关；然而却仅和质点垂直位移有关。若此位移为D y (向上为正)，由U1-2 = W D y
U = -W(D y)
弹簧作用于质点之弹簧力所作之功，和质点路径无关，仅和弹簧伸长或压缩量s有关。若弹簧自位置s1，被伸拉或压缩至位置s2，由
摩擦和保守力相反，考虑由固定面作用于运动物上之摩擦力。摩擦力所作之功，和路径有关，路径越长，作功越多。因此，摩擦力为非保守力(nonconservative)。此功经由物体扩散成热。
位能能量可定义成：可用以作功之容量。当能量来自质点运动，即动能；当能量来自质点位置，此位置是从一个基准面量起，则称位能(potentialenergy)。所以，从一已知位置移动至基准面，位能是保守力作功的一个量测准则。力学中，因重力 (重量) 与弹簧力所涉及的位能问题，是一重要课题。
重力位能若质点在选定基准面上，高度距离y之位置，如下图，质点重量W具有正值之重力位能，V g，因为当质点返回基准面时，W具作正功之能力。同样地，若质点在基准面下之位置y，V g为负，因为当质点向上返回基准面时，重量作负功。恰在基准面时V g = 0。
一般而言，若向上为正，质点重量W的重力位能为
V
= Wy
g
弹性位能若弹簧自未受力状态，伸拉或压缩一距离s弹簧所呈现之弹簧能V g，可写成
在此，V e始终为正值，因为在变形的范围内，当弹簧欲返回未受力位置，弹簧力始终其有对质点作正功的能力。
位能函数一般情况而言，若质点受重力与弹簧力影响，质点的位能可用位能函数(potential function)表达，其为一代数和
V = V
g +V
e
根据V g = Wy及所选定的基准面，决定质点位置以量测V。
若质点在空间中任一位置 (x, y, z)，则其位能函数V = V(x, y, z)。质点自(x1, y1, z1)移动至(x2, y2, z2)，保守力所做之功，可以其函数差量测，即
U
1-2 = V
1
- V
2
例如，重W之质点，悬挂于弹簧上，其位能函数可用位置s表达，此位置是从弹簧未受力之
基准面量起，如下图于是
若弹簧自s1移至较低位置s2，使用U1-2 = V1 - V2，可见W与F s所作之功为
沿路径之位移为有限微量时，即自点 (x, y, z) 移至 (x+dx, y+dy, z+dz)，U1-2 = V1 - V2 变成
dU = V(x, y, z) - V(x+dx, y+dy, z+dz) = -dV(x, y, z)
假设力与位移皆使用直角坐标系统，功则可表示
dU = F×d r = (F
i + F y j + F z k)×(dx i + dy j + dz k) = F x dx + F y dy + F z dz
x
将此结果代入，并将微分dV(x, y, z)表成部份微分式
因为x,y及z之变量，彼此间毫无关联，上方程序满足假设
因此
或
F = -?V
其中 (del) 表示向量操作? = 。
上式表达了力F与位能函数之关系，因此提供了保守力F之数学准据。例如，位于基准面以上y距离之质点，其重力位能函数为V g = Wy，如V g = Wy。为证明W为保守力，必须验证
是否合乎上式 (或)，在此情況
号表示W作用向下，和y方向相反，y方向是以向上为正。
保守力场
定义
力对物体所做的功与物体运动路径无关，只与起点和终点的位置有关。这样的力叫做保守力，其力场叫保守力场。例如重力场、静电场等就是保守力场。
保守力场与功
由式(5.4-24)与(5.4-25)可得势函数的全微分为
(5.4-27)
当一质点在势力场中沿路径l运动，考虑到上式，由式(5.4-7)，力场对其所作的功可表为
(5.4-28)
其中U0与U和V0与V分别为路径l的起点与终点的势函数和势能值。由此式表明，质点在势力场中运动势力的功仅与路径的起始与终点的位置有关而与路径无关。考虑到势力场的功为两位置势函数(或势能)值的差，因此势力场的绝对大小已不太重要。如果在力场中的某点r0
定义其势函数(或势能)值为零，即令
图5-14 等势面
则由式(5.4-28)，有
(5.4-29)
此式表明，质点在势力场某位置的势能为质点由零势能位置移动到该位置势力所作的功的负值。
在势力场中，势函数(或势能)为常值c的点构成了一曲面(见图5-14)，即
这些曲面称为等势面。c为零的曲面称为零势面。根据势力与势函数的关系式(5.4-25)可见，势力的方向沿等势面的法向。质点在等势面上移动，势力不作功。
保守矢量场
如果一个矢量场是某个标量势的梯度，那么便称为保守矢量场。有两个密切相关的概念：路径无关和无旋矢量场。任何一个保守矢量场的旋度都是零（因此是无旋的），也具有路径无关的性质。
定义
一个矢量场称为保守的，如果存在一个标量场，使得：
在这里，表示的梯度。当以上的等式成立时，就称为的一个标量势。
矢量分析基本定理表明，任何一个矢量场都可以表示为一个保守矢量场和一个螺线矢量场的和。
路径无关
保守矢量场的一个重要性质是它沿着一条路径的积分只与起点和终点有关，与路径无关。假设是三维空间内的一个区域，是内的一个可求长路径，其起点为，终点为。
如果是保守矢量场，那么：
这是复合函数求导法则和微积分基本定理的结果。
一个等价的表述是，对于内的所有闭合路径，都有：
以上的逆命题也是成立的，只要是连通区域。也就是说，如果沿着内的所有闭合路径的环量都是零，那么就是保守矢量场。
无旋矢量场
矢量场是无旋的，如果它的旋度是零，也就是说：
由于这个原因，这种矢量场有时称为无旋矢量场。
对于任何标量场，都有：
因此保守矢量场都是无旋矢量场。
只要是单连通区域，它的逆命题也是成立的：每一个无旋矢量场也都是保守矢量场。
如果不是单连通的，则逆命题不成立。设为去掉轴的三维空间，也就是
。现在，我们定义以下的矢量场：
则存在，且在内的每一个点旋度都是零；因此是无旋的。但是，沿着平面内的
单位圆的环量等于。因此不具有路径无关的性质，所以不是保守的。
在单连通空间内，无旋矢量场具有路径无关的性质。这是因为无旋矢量场是保守的，而保守矢量场又是路径无关的。这个结果也可以从斯托克斯定理直接推出。在连通区域内，任何一个路径无关的矢量场都一定是无旋的。
更加抽象地，保守矢量场是恰当1-形式。也就是说，它是一个1-形式，等于某个0-形式
（标量场）的外导数。一个无旋矢量场是闭合1-形式。由于d2 = 0，任何正合形式都是闭
合的，因此任何保守矢量场都是无旋的。定义域是单连通的，当且仅当它的第一个同调群为零，或第一个上同调群为零。第一个德拉姆上同调群是零，当且仅当所有闭合1-形式都是恰当的。
无旋流动
流体的流速是矢量场，它的涡度通常由以下公式定义：
如果是无旋的，那么这个流动就称为无旋流动。无旋流动的涡度是零。
对于二维流动，涡度是流体元素的局部旋转的一种衡量。注意涡度并不能说明流体的整体表现。做直线运动而具有涡度的流体是有可能的，做圆周运动而是无旋的流体也是有可能的。关于更多信息，请参见旋涡。
保守力
如果力的矢量场是保守的，则这个力称为保守力。
最明显的例子是万有引力。根据牛顿万有引力定律，两个质点和之间的引力等
于：
其中是引力常数，是单位矢量，从指向。万有引力是保守的，这是因为，其中
是引力势。
对于保守力，路径无关可以解释为从点到点所做的功是与路径无关的，沿着闭合路径所做的功是零：
保守力及其性质 曹瑞廷 随着“应试教育”向素质教育模式的转轨，高考也由知识立意向能力立意转化，中学物理教学的要求已经变得越来越高了。中学物理的教学过程中，让学生掌握获取知识的方法、拓宽思维的深度和广度，是教学中的一个重要任务。特别是高三复习中，教师应对每个知识点的来龙去脉，对每个知识点的发生、发展过程，预以足够的重视，做到以新型的行为交往模式，使学生摆脱机械的知识接受器的学习模式，开启思维的通道，把前后知识联系起来，找到某些知识点的共同点，达到复习、巩固、提高能力的目的。 在中学物理中，力可以按效果或性质来分类，在高三复习中，我们可以引导学生研究重力、电场力、万有引力、分子力、弹簧的弹力、核力等，从中可以发现这些力有一个共同的特点，即力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。我们把具有这种性质的力称为保守力。而像摩擦力等则不具有上述特点，称为非保守力。 一、保守力做功与路径无关，只跟起点和终点的位置有关的证明 1、重力的功 h1的A点自由下落到高度为h2的B点， 再水平移到C点。物体在水平移动过程中， 重力对物体并不做功，所以在整个过程 中，重力对物体所做的功，就等于物体由A点自由下落到B点的过程中重力所做的功。 W G=mgh1-mgh2 如果让这个物体沿着斜面AC滑下，从原来高度为h1的A点滑到高度为h2的C点，物体沿斜面滑下的距离是S，重力所做的功是： W G=mgsinθS=mg△h=mgh1-mgh2
我们看到，物体由起点A到终点C，不论沿折线ABC，还是沿着斜面 AC，重力所做的功仍然是： W G=mgh1-mgh2 这就是说，重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体 运动的路径无关。 2、静电场力的功 B、C三点，其中A的电势为U A，B、 C两点的电势分别为U B、U C且U B=U C。 设将电量为q的正电荷从A点移 到B点，再移到C点，在整个过程中 电场力做功为： W=W AB+W BC=qEd+0=q(U A-U B)=qU A-qU B=qU A-qU C 如果让这个电荷沿斜线AC移动，电场力做功为 W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C 可以证明，不论电荷q是正是负，不论沿斜线AC移动，还是沿着折线 ABC移动，电场力做的功总是相等的。 可以证明，这个电荷沿任一路径从A移到C，电场力做的功总为： W=qEScosθ=qEd=qU A-qU C 同样可以证明，在非匀强电场中上述关系也是成立的。 这就是说，电场力对移动电荷所做的功只跟起点和终点的位置有关，与 移动的路径无关。 3、可以证明万有引力、分子力、弹簧的弹力与重力、电场力一样， 都具有共同的特点，即：保守力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置， 与质点经过的路径无关。 二、保守力总是与一定形式的势能相对应
6.（本题4分）（5167） 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示．设Array无穷远处为电势零点，则圆心O 点处的电势U＝_____________， 若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场 力做功A＝_________ 7.（本题3分）（1241） 一质量为m、电荷为q的小球，在电场力作用下，从电势为U的a点，移动到电势为零的b点．若已知小球在b点的速率为v b，则小球在a点的速率v a = ______________________． 9. （本题3分）（1050）图示BCD是以O 点为圆心，以R为半径的半圆弧，在A点有一电荷为+q的点电荷，O点有一电荷为－ BA ．现将一单位正电q的点电荷．线段R 荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则 电
场力所作的功为 __________ 8（1505） 如图所示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷＋q ，M 点有负电荷-q ．今将一试验电荷＋q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功 (A) A ＜0 , 且为有限常量． (B) A ＞0 ,且为有限常量． (C) A ＝∞． (D) A ＝0． 4.（本题10分）（1866） C -
两个同心的导体球壳，半径分别为R 1 ＝0.145 m 和R 2＝0.207 m ，内球壳上带有负 电荷q ＝-6.0×10-8 C ．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率．(电 子电荷ｅ＝-1.6×10-19 C ，电子质量m e ＝ 9.1×10-31 kg ，ε0＝8.85×10-12 C 2 / N ·m 2 ） 解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 ()212 0R 4R r r q E <<π= ε 2分 方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为 42 0r eq eE F επ== 2分 方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为
需要强调的关于保守力（对）做功特点、势能的特征 摘要：本文从大学物理力学教程中关于保守力做功以及势能的内容出发，进一步强调说明势能的重要特征：势能属于相互作用的两物体；势能实质反映两相互作用保守力做功能力的总和。为方便阐述这两特点及其关联性提出不同的教学思路。 关键词：保守力；内力；势能 中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）15-0189-02 在大学物理课程中，保守力做功以及势能的引入在力学章节中是重要而基础的一部分内容。而在大部分现用新教材中，相关内容介绍往往是这样的：第一步先讲保守力的特点是只与过程的初末位置有关，与中间路径无关，并举例说明重力、万有引力、弹簧力等做功符合这一特点，是保守力；第二步引入势能函数来表示保守力做功，同时强调该势能属于相互作用物体所共有的；第三步，之后对质点系运用质点的动能定理A外+A内=■■m■v■■■-■■m■v■■■=E■-E■（1），其中A外表示所有外力对系统做功，A内表示系统所有内力做功。两者之和为系统动能增加。内力做功分为保守力和非保守力做功两项，其中保守力做功可用势能变化表示，即A内=A非+A保守=A非+（Ep0-Ep）（2），将（2）式代入（1）得质点系的动能定理与功能原理A外+A非=Ek+Ep-Ek0-Ep0=E-E0（3）。 学生会遇到两个不甚明了的问题：其一，为什么在引入保守力势能时
必须说明势能是属于两相互作用的物体的。其二，保守力为什么必须是内力而不能是外力。针对第一个问题有一种显而易见、权宜的解释，如文献说明：“势能是由于系统内各物体间有保守力作用而产生的，因此属于系统，单独谈哪个物体的势能没有意义。”我们认为这种说法并不全面。一般物理学研究系统的方法不排斥外部条件，并视之为环境或者外界。其实这两个问题是相互关联的，根据定义保守力就属于质点系的内力，外力不存在此说法。势能所要刻化的是质点系中一对相互作用保守力做功潜力。任意一对相互作用力做功与否取决于两物体是否有相对运动，与选取的惯性系无关。所以系统的两物体相互作用内力（对）是否做功也仅取决于系统内物体是否有相对运动。如从固定在其中一个物体上的惯性参照系中讨论相互作用力做功之和，则刚好等于该物体对另一物体的做功，因为另一反作用力不做功。如果做功仅仅与另一物体相对该物体的初末位置有关，这对相互作用力就属于保守力，引入的势能函数的变化反映这一对保守力做功之和，该势能属于两相互作用物体所共有，这样理解就很自然了。一般教材里，讨论重力、万有引力、弹簧力做功特点时，均用了相对参照系，如不加说明初学者很容易忽视一般情况下其反作用力做功部分，将其中一物体视为外界。因此分析某个力是否是保守力，首先要看施力物体是否属于系统，其次看它是否重力、万有引力、弹簧力等。 例题：一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂（如图）。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。
保守力与非保守力 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。 ⑴定义： 做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。 ⑵说明 ①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。重力、弹力等属于保守力。耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。摩擦力、粘滞力等属于耗散力 ②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。 ③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。而且相对两个位置之
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。非保守力包括耗散力和非耗散力两类。在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。 ⑴定义： 做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。 ⑵说明 ①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。重力、弹力等属于保守力。耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。摩擦力、粘滞力等属于耗散力 ②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。 ③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。耗散力不象保守力，对于两个位置之间，
一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1 万有引力作功 如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为 )11(A B r r m m G W -'= （3-10） 上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了 的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 扩充内容：计算万有引力作的功 设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为 r 2e F r m m G '-= r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为 r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W
从图可以看出 r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e 于是，上式为 r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为 ??'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即 2 重力作功 如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用 下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的 高度分别为21 y y 和，计算重力作功为 ()12mgy mgy W --= （3-11） 上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置 有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个 重要特点。 扩充内容： 计算重力作的功
保守力 势能 一，力学中常见力的功 1， 万有引力的功 ??? ??????? ??--???? ??--==-=?=?=?? ?a b r r r r r r b a r Mm G r Mm G r Mm G dr r Mm G d r r Mm G -d A b a b a b a 2 2)(r r r F 引力做功与路径无关。 2， 重力的功 ) ())((a b h h h h y b a y x b a m gh m gh m gdy dy F dy dx F F d A b a b a --=-== ++= ?=?? ??j i j i s F 重力做功与路径无关。 3， 弹性力的功 ? ? ? ??--=-=?-= ?=? ?222 21212 1 a b x x x x b a kx kx kx dx kx dr F A b a b a i i 弹性力做功与路径无关。 a b
【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：?=?L d 0r F 证：0=?-?=?+?=??????b a b a a b L b a d d d d d r F r F r F r F r F 二，保守力 由上可见，万有引力、重力、弹性力作功的特点都是与路径无关； 人们将做功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关的这类力叫做保守力。所以万有引力、重力、弹性力均是常见的保守力。它们都满足关系 0=??L d r F 保 三，势能 由保守力做功的表达式可以看出： 保守力做功＝某个只与质点位置有关的状态量的改变（负号表示“减少”）。 人们将这个只与位置有关的状态量叫“势能”。通常用E P 表示。所以 “保守力做功＝势能的减少”可表示为： )(Pa Pb P E E E A --=?-＝保 说明：（1）势能是质点系中相互作用的物体所共有的。单个质点无势能可言。 （2）只有当保守力作为系统内力并做功时系统方可能有势能。 （3）势能差是绝对的，但势能却是相对的，它依赖于势能零点的选择。 ()()[]C E C E E E A Pa Pb Pa Pb +-+-=--)(＝保 其中C 为任意常数，选择得当，可以使E P 的表达式获得最简形式。 一般??? ? ??? ====-=∞=2 21)()0)()0()()(kx x E x m gy y E y r Mm G r E r P P P 长处（弹性势能零点取弹簧原重力势能零点取地面处 处引力势能零点取无穷远 综上所述保守力场中任意一点的势能可表示为： ——物体在保守力场中任意一点的势能等于保守力将它从该点移到零势点所做的功。
惯性系:牛顿运动定律成立的参考系一般，地球和相对地球静止或匀速直线运动的物体，都可以视为惯性系。非惯性系:牛顿运动定律不成立的参考系如有加速度的物体 动力学中的基本定律，即任何物体系统如无外力作功或外力作功之和为零，系统内又只有保守力（见势能）做功时，则系统的机械能（动能与势能之和）保持不变。外力做功为零，表明没有从外界输入机械功；只有保守力做功，即只有动能和势能的转化，而无机械能转化为其他能，符合这两条件的机械能守恒对一切惯性参考系都成立。这个定律的简化说法为：质点（或质点系）在势场中运动时，其功能和势能的和保持不变；或称物体在重力场中运动时动能和势能之和不变。这一说法隐含可以忽略不计产生势力场的物体（如地球）的动能的变化。这只能在一些特殊的惯性参考系如地球参考系中才成立。 如果一个系统内只有保守力作功，而其他内力和外力都不作功，则运动过程中系统内质点间动能和势能可以相互转换，但他们的总和（即总机械能）保持不变，这就是质点系的机械能守恒定律。 保守力有分内力和外力的。保守力是这样的力，它做功与具体路径无关，只与初始位置有关。一般的场力都具有这个特点。接着看它是外力还是内力就可以了。内力则为保守内力 保守力 定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。 非保守力 定义：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。 保守力与非保守力 1. 保守力 定义：力所作的功与路径无关，仅由质点的始末位置决定。 即：保守力沿闭和路径所做的功为零。
2. 非保守力 定义：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关；或：力沿闭和路径所做的功不等于零。 例如：摩擦力。 力学中常见的保守力 a.重力：
保守力 名词简介 在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力(Conservative Force)。假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。 做功 保守力的功与物体运动所经过的路径无关，只与运动物体的起点和终点的位置有关，当然也与保守力场的性质有关。 由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0 .因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能(位能[1]).势能大小仅由保守力的大小(F)和具有保守力作用的二物体间的相互位置(距离s)决定。换句话说，势能仅与保守力场的位置有关。例如：重力势能的大小仅由重力的大小和重物与地球的相对位置即重物与地球构距离决定。换句话说，势能的大小仅与重力势场中的位置，即重物距地球表面的高度有关。弹性势能、引力势能和静电势能等都有与重力势能同样的性质。 两个概念 引入势能以后为我们处理有关的物理问题带来了很多方便，这是我们将物体间的相互作用分为保守力和非保守力的一个重要的原因。 由于在保守力作用的情况下可以定义势能，而势能的大小与具有保守力相互作用的二物体间的相互位置有关。因此，我们可以定义势能U是二物体间距离x的函数，从而得到势能函数U(x)，并画出势能曲线U～x。而保守力的大小可由下式给出： 即势能函数U(x)对x的微商的负值为保守力的大小。例如：重力势能，保守力(重力) 。 保守力与耗散力（非保守力）→势能（定义：ΔEp = －W保） 可以证明，遵从F∝1/s^n（n是整数）关系的力都是保守力。 判断方法 充要条件就是场矢量的旋度为零，我们也称为无旋场，例如静电场就是无旋场，因此是保守场。 1、对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力。例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的单值函数，故它是保守力。 2、对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg，是保守力。 3、若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点 1 万有引力作功 如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为 )11(A B r r m m G W -'= （3-10） 上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了 的位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。 扩充内容：计算万有引力作的功 设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为 r 2 e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W
从图可以看出 r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e 于是，上式为 r r m m G W d d 2 '-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为 ??'-==B A r r B A r r m m G W W 2 d 1d 即 2 重力作功 如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作 用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地 面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为 ()12mgy mgy W --= （3-11） 上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位 置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的 一个重要特点。 扩充内容： 计算重力作的功
第二章 机械能守恒定律 §2-1 功和功率 一、功 定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功 恒力：力的大小和方向均不变。 如图2-1，功为 S F S F W ?==αcos 即 S F W ?= 说明：⑴W 为标量 ????????? ==<≤<><≤力对物体不做功力对物体做负功力对物体做正功,0,2,0,2 ,0,20W W W παπαπ παα ⑵功是过程量 ⑶功是相对量 ⑷功是力对空间的积累效应 ⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。 2、变力的功 设质点做曲线运动，如图2-2。F 为变力，在第i 个位移元i S ?中，i F 看作恒力，i F 对 物体做功为 i i i i i S F S F W ??=?=?αcos 质点从b a →过程中，F 对质点做的功为 ∑∑??≈?=i i i i i S F W W 功的精确数值为 ??∑?=?=??=→?b a b a i i i S r d F S d F S F W lim {}[]max i S S ?=? 即： ? ?=b a S d F W 讨论：⑴恒力功 S F S d F S d F W b a b a ?=?=?=?? ⑵直线运动 设i x F x F )()(=，如图3-10，质点在b a →中，功为
曲线下面积代数和 ==?=?=??? b a b a b a Fdx i dx i F x d F W ⑶合力功 设质点受n 个力，1F ，2F ，…，n F ，合力功为 ???+???++=?=b a n b a r d F F F r d F W )(21 n b a n b a b a W W W r d F r d F r d F +???++=?+???+?+?=??? 2121 各分力功代数和= 二、功率 定义：力在t t t ?+-内对物体做功为W ?，下式 t W P ??= 称为在t t t ?+-时间间隔内的平均功率。下式 V F dt r d F dt dW t W lim P lim P 0t t ?=?==??==→?→? 称为瞬时功率，即 V F P ?= §2-2 动能和动能定理 一、动能 定义： 221mv E k = 式中，m 、v 分别为物体质量和速率。称k E 为质点的动能。 说明：(1)k E 为标量； (2)k E 为瞬时量； (3) k E 为相对量。 质点的动能定理 恒力，直线运动 ) v v (m cos FS S F A 212221 -==?=α