课题 第二章 刹车距离与二次函数
执教人：枣庄市实验学校 岳德凤
课型：新授课
授课时间：2013 年 12 月 20 日 星期五 第 1 节课
教学目标：
1．能作出 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象．并研究它们的性质． 2．比较 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象与 y＝x2 的异同．理解 a 与 c 对二次函数图象的影 响． 3．经历探索二次函数 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将 表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 4．通过比较 y＝ax2，y＝ax2＋c 与 y＝x2 的图象和性质的比较，培养学生的比较、鉴别 能力．
教学重点：
y ax2 和 y ax2 c 图象的作法和性质.
教学难点：
能够比较 y ax2 、 y ax2 和 y ax2 c 的图象的异同，理解 a 与 c 对二次函
数图象的影响.
教学方法：
合作探究，对比总结.
教 具准备：课件，多媒体
教学过程:
第一环节 创设情境 师:我们已经学习了二次函数的定义，会画函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象，知道它们的
图象是（
），并且还研究了抛物线的有关性质．如 y＝x2 图象开口（ ），有最（ ）
对称轴是（ ），顶点坐标是（ ）y 随 x 的增大而如何变化（ ）．
生齐答：抛物线，向上，低点，y 轴，原点，在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而减小；
在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而增大．（师注意观察每一个学生回答的情况）（学生的 状态很好，对前面学的知识掌握的不错）（有一个学生举手，师示意他起立）
生：学生状态很好，积极踊跃. 生：老师我想说说函数 y＝－ x 2 的图像和有关性质. 师：你这么积极，你就说吧！ 生：老师你画一个二次函数 y＝-x2 草图，y＝-x2 图象开口向下，有最高点，对称轴是 y 轴，顶点坐标是原点，（我按照学生说的二次函数 y＝-x2 的特点画了草图，学生说 y 随 x 的变化情况更喜欢看着图像来说，因为图像更直观）在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而增 大；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而减小． 师:你说的真好. 师：那么二次函数是否只有 y＝x2 与 y＝－x2 这两种呢？本节课我们继续学习其他形式 的二次函数．引出课题————2.3 刹车距离与二次函数 设计意图：引导学生回忆上节课学的最简单的二次函数，以便引出本节课内容。让学生 的思维很快进入今天的学习内容..
第二环节 新课讲解
师：同学们都有这样的经验，两辆车在行驶时要保持一定距离，大家知道这是为什么 吗?
生：怕发生“追尾”事故． 师：那么汽车刹车时向前滑行的距离与什么因素有关呢？ 生 1：与汽车行驶的速度有关系． 生 2：与地面的光滑程度. 生 3：与汽车轮胎的宽度. 生 4：物理课学的与汽车的质量. 生 5：与驾驶员的反应快慢有关. 生：学生笑. 师：说的很好，如果驾驶员是你的话，你一定反应的很快，是不是？ 生 5：笑说，是的. 师：究竟与什么有关，关系有多大呢？ 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天
在某段公路上行驶时，速度为 v(km／h)的汽车的刹车距离 s(m)可以由公式 s＝ 1 v2 确定； 100
雨天行驶时，这一公式为 s＝ 1 v2． 50
设计意图：用学生身边熟悉的事情切入，以便学生更容易接受，同时渗透二次函数与我
们的生活息息相关.
师：刹车距离 s 与速度 v 之间的关系是二次函数吗？
生：根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数，而且他们的 b,C 都为 0．
师：与上节课中学习的二次函数 y＝x2 和 y＝－x2 有什么不同吗？
生：y＝x2 中的 a 为 1．
s＝ 1 v2 中的 a 为 1 ．
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所以它们的不同之处在于 a 的取值不同．
师：你分析的很好．
师：既然 s＝ 1 v2 和 s＝ 1 v2 与 y＝x2，y＝－x2 它们都是二次函数，且都是只含二
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次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的 a 值的不同．所以它们肯定还有不
同之处．比如在 y＝x2 中自变量 x 可以取正数或负数，在 s＝ 1 v2 中，因为 v 是速度，能 100
否取负值呢？
生：速度 v 不可以取负值．
师：下图是 s＝ 1 v2 的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直 100
角坐标系内作出函数 s＝ 1 v2 的图象． 50
设计意图：可以利用描点法作出 s= 1 v2 的图象，体会二次函数表达式、表格、图象三 50
者之间的联系，也为比较 s= 1 v2 和 s＝ 1 v2 的图象做好准备.
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师：观察上图，讨论图象有什么相同与不同？
生：学生探讨热烈.
师：巡视，听学生的交流，对有困难的学生加以指导.
生 1：相同点：
(1)它们都是抛物线的一部分
(2)二者都位于 s 轴的右侧．
生 2：函数值都随 v 值的增大而增大．
生 3：老师我想说不同点：
s＝ 1 v2 的图象在 s＝ 1 v2 的图象的内侧．
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生 4：s＝ 1 v2 的 s 比 s＝ 1 v2 中的 S 增长速度快．
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师：如果行车速度是 60km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少
米？
生：已知 v＝60km／h．分别代入 s＝ 1 v2 与 s＝ 1 v2 中．相应地求出各自的刹车距
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离，再求它们的差．
生:已经有学生开始动手计算。
生：s1＝ 1 ×602＝72，s2＝ 1 ×602＝36．则
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s1－s2＝72－36＝36(m)．
所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差 36m．
师：在某一个雨天，有一个司机在限速为 30km/h 的路口停了下来，这时过来一个警
察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为 32m,你认为他有没有撒谎？
生：看他有没有撒谎，就是看他的速度是多少，将 s=32m 代入 s＝ 1 v2 中，求出速度 50
就可以了.
生:有学生很快动手计算了.
生：32＝ 1 v2，得 v=40km/h，40km/h＞30km/h，所以他撒谎了. 50
师：可见违规是逃不过警察的法眼的.
设计意图：培养学生看图像的能力，给出自变量的值会求因变量的值，反过来给出因
变量的值会求自变量的值，同时培养学生遵守交通规则的意识. 师：
作二次函数 y＝2x2 的图象． (1)完成下表：
x 2x2 (2)在下图中作出 y＝2x2 的图象．
(3)二次函数 y＝2x2 的图象与二次函数 y＝x2 的图象有什么相同和不同？分别从形状，
开口方向、对称轴和顶点坐标，最值等角度说明
生：学生有了前面的复习及学习，画图已经不是什么问题。很多学生已经开始动手了.
生 1：(1)
x
-3
-2
-1 0
1
2
3
2x2
18
8
20
2
8
18
(2)如上图 生 2：(3)二次函数 y＝2x2 的图象是抛物线． 它与二次函数 y＝x2 的图象的相同点： 开口方向相同，都向上． 对称轴都是 y 轴． 顶点都是原点，坐标为(0，0)． 在 y 轴左侧，都是 y 值随 x 值的增大而减小；在 y 轴右侧，都是 y 值随 x 值的增大而 增大． 生 3：老师我给他补充一点，图像都有最低点，即原点． 函数都有最小值． 生 4：不同点：y＝2x2 的图象在 y＝x2 的图象的内侧．
y＝2x2 中函数值的增长速度较快． 师：
(1)在同一直角坐标系内作出函数 y＝2x2 与 y＝2x2＋1 的图象．并比较它们的性质． (2)在同一直角坐标系内作出函数 y＝3x2 与 y＝3x2－1 的图象，并比较它们的性质． (3)由上可得出什么？ 生：学生积极的动手画图. 师：巡视学生的作图，并对学生加以指导. 师：用实物投影仪展示学生的作品，并让学生加以分析图像的特征. (1)图象如下：
生 1：比较性质如下： 相同点： 1．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． 2．它们都是轴对称图形，且对称轴都是 y 轴． 3．在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而增大． 4．都有最低点，y 都有最小值． 生 2：不同点： 1．它们的顶点不同，y＝2x2 的顶点在原点，坐标为(0，0)；y＝2x2＋1 的顶点在 y 轴 上，坐标为(0，1)． 2．虽然函数 y 都有最小值，但 y＝2x2 的最小值为 0，y＝2x2＋1 的最小值为 1． 联系： 生 3：y＝2x2＋1 的图象可以看成函数 y＝2x2 的图象整体向上平移一个单位． 生：学生中响起了热烈的掌声. 师：同学们的掌声已经说明一切了，说的很好，很全面，看来这个组的同学真是用心 研究了.哪个组的同学展示一下 y＝3x2 与 y＝3x2－1 的图象并比较其性质. 生：同学们积极踊跃.
生 1：y＝3x2 与 y＝3x2－1 的图象如下：（实物投影仪展示学生的作品）
性质比较如下：
相同点：
1．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．
2．它们都是轴对称图形，且对称轴都是 y 轴．
3．都有最低点，函数值都有最小值．
4．在 y 轴左侧，y 都是随 x 的增大而减小，在 y 轴右侧，y 都随 x 的增大而增大．
5．它们的增长速度相同．
生 2：老师我想说不同点，（学生的积极性很高）
1．它们的顶点不同．y＝3x2 的顶点在原点，坐标为(0，0)，y＝3x2－1 的顶点在 y 轴
上，坐标为(0，－1)．
2．y＝3x2 的最小值为 0，y＝3x2－1 的最小值为－1．
生 3：联系：y＝3x2－1 的图象可以看成是 y＝3x2 的图象整体向下平移一个单位．
师： 是的．由上可知，y＝ax2 与 y＝ax2＋c 的图象的异同？
生：形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小
值不同．y＝ax2＋c 的图象可以看成 y＝ax2 的图象整体上下移动得到的，当 c＞0 时，向上
移动|c|个单位，当 c＜0 时，向下移动|c|个单位．
师：总结的非常全面。
设计意图：对二次函数性质的巩固与拓展，有特殊到一般，从图象直观理解
函数之间（ a 相同）的平移关系，培养学生的动态思维能力.
第三环节 课堂练习
1、二次函数 y=5x2 的图像是
，它的开口方向
、对称轴
，顶
点坐标
,最值
，增减性：在对称抽左侧
，在对
称轴右侧
.
2、二次函数 y=-5x2-5 的图像是
，它的开口方向
、对称轴
，
顶点坐标
最值
，增减性：在对称抽左侧
对称轴右侧
.
3.写出一个开口向上，对称轴是 y 轴，最值是 y=-8 的二次函数关系式
，在 .
答案： 1.抛物线，向上，y 轴，（0,0），0，y 随 x 的增大而减小，y 随 x 的增大而增
大.
2. 抛物线，向上，y 轴，（0,-5），-5，y 随 x 的增大而减小，y 随 x 的增大而增
大. 3.y=-3x2-8
设计意图：通过练习引导学生对本节课所学的知识进行简单的应用.
第四环节 课堂小结
师：本节课的学习你都学习了什么？你又有什么收获？你是怎样学习的？那个同学来谈一谈 生 1：学习了刹车距离与二次函数的关系.
生 2： y ax2 和 y ax2 c 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
生 3：y＝ax2+c 的图象可以看成 y=ax2 的图象整体上下平移得到的，当 c>0 时, 向上移动│c│个单位，当 c<0 时，向下移动│c│个单位.
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习，让学生畅所欲言谈谈自己的收获与感想，对
y ax2 和 y ax2 c 等有正确的理解以及图像平移，形成知识网络，提升对数学思想方
法的理性认识，同时培养学生敢于展示自我，自信的品质.
第五环节 作业
1. 若点 P（m，4）是抛物线 y = 12x2 上的一点，则 m =
；
2. 抛物线 y=-3x2+2 可以看成是由抛物线 y=-3x2-4 向
平移
3. 抛物线 y=－4x2－4，当 x=
时，y 有最
值，此时 y=
4. 将函数 y=2x2+4 的图象沿 x 轴对折,得到图象的函数解析式为
个单位得到的. ． .
5. 已知二次函数 y = -ax2，下列说法错误的是（ ）；
A. 当 a > 0，x≠0 时，y 总取负值
B. 当 a < 0，x < 0 时，y 随 x 的增大
而减小 C. 当 a < 0 时，图象有最低点，即 y 有最小值 0 D. 当 x < 0 时，y = -ax2 图象的对称轴
是y轴
第六环节 板书设计
§2．3 刹车距离与二次函数
1．刹车距离与二次函数的关系
2．比较 s＝ 1 v2 与 s＝ 1 v2 的图像
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3．课堂练习.
4．课时小结.
5．作业
第七环节 教学反思
课堂上通过让学生动手画函数图像，再观察、分析图象，而不是只让学生画图像或者只 是简单的画一两个，画完图像后给学生留出时间，避免造成学生对于二次函数性质的理解停 留在表面，利于培养学生自主研究二次函数的能力。所以在教学过程中，一定要留足时间， 让学生一边作图，一边发现，而不是教师给出图象，让学生观察。在归纳二次函数性质的时 候，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳.
不足之处
不足：课堂上学生的参与还不足，学生的积极性还有待于提高，在提问、练习时应该给 学生充分的独立思考的时间.
需要注意的地方
让学生说二次函数性质的时候，学生可以用自己的语言，可能会归纳得比较片面或 者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充 分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力.
刹车距离与二次函数教学设计 学习目标: 1. 经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2+c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验. 2. 会作出y=ax2 和y=ax2+c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响. 3. 能说出y=ax2+c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 4. 体会二次函数是某些实际问题的数学模型. 学习重点: 二次函数y=ax2、y=ax2+c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的基础.我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大( 小值) 、函数的增减性几个方面记忆分析. 学习难点: 由函数图象概括出y=ax2、y=ax2+c的性质.函数图象都由(1) 列表，(2) 描点、连线三步完成. 我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置. 学习方法: 类比学习法。 学习过程: 、复习：二次函数y=x2 与y=-x2 的性质： 抛物线y=x2y=-x2
对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值 二、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? 刹车距离与什么因素有关? 有研究表明: 汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h) 汽车的刹 车距离s(m) 可以由公式： 晴天时：; 雨天时：，请分别画出这两个函数的图像： 三、动手操作、探究： 1. 在同一平面内画出函数y=2x2 与y=2x2+1 的图象。 2. 在同一平面内画出函数y=3x2 与y=3x2-1 的图象。比较它们的性 质，你可以得到什么结论? 四、例题： 【例1】已知抛物线y=(m+1)x开口向下，求m的值. 【例2】k为何值时，y=(k+2)x是关于x的二次函数？ 【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=-3x2，②y=3x2,③y=x2, ④y=-x2的图象，并根据图象回答问题：(1)当x=2时，y=x2比y=3x2 大(或小)多少?(2) 当x=-2 时，y=-x2 比y=-3x2 大(或小)多少? 【例4】已知直线y=-2x+3 与抛物线y=ax2 相交于A、B 两点，
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
2.3刹车距离与二次函数同步练习 一、填空题： 1. 抛物线y=-3x 2+5的开口向________ ，对称轴是 _______ ,顶点坐标是_________ ,顶点是 最_____ 点,所以函数有最 _________ 值是____ . 2. 抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是 ___________ ,与x轴的交点坐标是______ . 3. 把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为 _____________ . 4. 抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_________ 平移 ______ 个单位得到的. 2 .. 5. 抛物线y=ax -1的图像经过(4,-5),则a= _____________ . 二、解答题： 6. 求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式： 1 2 (1) 通过点(-3,2);(2) 与y=-x的开口大小相同，方向相反； 2 (3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4. 7. 一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求 y与x的函数关系式. 8. 已知抛物线y=mf+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n的值. 9. 如图,是一座抛物线形拱桥，水位在AB位置时，水面宽4「6米,水位上升3米达到警戒线 MN位置时，水面宽4 ..3米,某年发洪水，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
10. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ,CD丄AB,BC=x,AD=y,AB=1 求y 与x 间的函数关系
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
2.3 刹车距离与二次函数 一、填空题: 1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________, 顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____. 2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的. 5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 二、解答题: 6.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2); (2)与y=12 x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4. 7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y 万元,求y 与x 的函数关系式. 8.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. 9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB 位置时,水面宽 ,水位上升3米达 到警戒线MN 位置时 ,水面宽 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 10.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y 与x 间的函 B
数关系. D B C A 11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距 离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C 落在边MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN 所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系) 12.图(1)是棱长为a 的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这 样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第n 层,第n 层的小正方体的个数记为s,解答下列问题: (1)按要求填表: (2)写出n=10时,s=________. (3)根据上表中的数据,把s 作为点的纵坐标,n 作为点的横坐标,在平面直角 坐标系中描出相应的点. (4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求s 与n 间的关系. N D M B C A
典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验周前猛 一、选择题 1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案：C ∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7 4 ， 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时，它 在－2≤x≤l的最大值是65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符. 当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或-3. 故选C． 3．已知0≤x≤1 2 ，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C
解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是
初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．
2.3刹车距离与二次函数练习（201 3.12.3） 1. 直线y x =与抛物线2 2y x =-的两个交点的坐标分别是（ ） Ａ．(22)，，(11)， Ｂ．(22)，，(11)--， Ｃ．(22)--，，(11)， Ｄ．(22)--，，(11)--， 2. 把函数2 3y x =-的图像沿x 轴对折，所得图像的函数式为 ． 3. 经过(01)A ，点作一直线与x 轴平行，与抛物线2 4y x =相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为 ． 4. 函数2 ()y =-的图像是一条 ，其顶点坐标为 ，对称轴为 ；图像的 开口向 ；当x = 时，函数有最 值；0x >时y 随x 的增大而 ，0x <时，y 随x 的增大而 ． 5. 把图中图像的号码，填在它的函数式后面： （1）2 3y x =的图像是 ；（2）2 13y x = （3）2y x =-的图像是 ；（4）2 34 y x =-6. 函数2 y ax =与直线1y kx =+相交于两点，其中一点的坐标为(14)，，则另一个点的坐标为 ． 7. 在同一坐标系中，其图像与2 2y x =的图像关于x 轴对称的函数为（ ） Ａ．2 12 y x = Ｂ．2 12 y x =- Ｃ．2 2y x =- Ｄ．2 y x =- 8. 若函数2 y ax =的图像与直线1y x =-有一个公共点为(21)，，则函数2 2y ax =的图像与直线1y x =-交点的个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 9. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（ ） Ａ．2 60(1)y x =- Ｂ．2 60(1)y x =- Ｃ．260y x =- Ｄ．2 60(1)y x =+ 10. 对于2 (0)y ax a =≠的图像，下列叙述正确的是（ ） Ａ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 Ｂ．a 越大开口越小，a 越小开口越大 Ｃ．a 越大开口越小，a 越小开口越大 Ｄ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 11. 二次函数2 4y x =的开口方向 ，对称轴为 ，顶点坐标 ．
二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．
2.3刹车距离与二次函数 知识点一：函数)0(2≠=a ax y 的图像性质 2.函数2 2ax y c ax y =+=与的图象关系 函数2 2 ax y c ax y =+=的图像可由的图象沿Y 轴上下平移得到，当0>c 时，c ax y +=2 的图象由2 ax y =的图象向上平移C 个单位得到；当0 练习： 1.二次函数0,2 3212 >>- =x x x y 当时，则其对应的函数值21,y y 的大小关系为 2.抛物线2 2x y =的图象向上平移2个单位后 是 ，对称轴是 ，开口方向是 它的顶点坐标是 3.已知 的图象过点)23,2(-，则当2-=x ，Y 的值为（ ） A 32- B 23- C 4 D 无法确定 4.我们知道2 x 是非负数，即02 ≥=x y ，当0=x 时，Y 取最小值为0，同理0)2(2 ≥-=x y ， 当=x 时，Y 取最小值为0 5.如图抛物线经过点),3(),,1(),,2(321y C y B y A -三点，则321,,y y y 的大小关系是（ ） A 321y y y >> B 231y y y >> C 123y y y >> D 312y y y << 6.函数 的图象与a 的符号相关的是（ ） A 对称轴和顶点坐标 B 对称轴和开口方向 C 最值和开口方向 D 开口方向和顶点坐标 7.函数2 )1(x a y -=，当a 时，它有最高点，当a 时，它有最低点。 8.已知抛物线4 1 )1(2 - -+=x m x y 的对称轴为Y 轴，则=m 9.将抛物线422--=x y 的图像向上平移4个单位后得到的图像的解析式是 10.若a 是不等于0的实数，对于二次函数2x a y =的图像有如下判断：（1）开口方向向上（2）以Y 轴为对称轴（3）以原点为顶点（4）无论X 为何实数，函数Y 总是非负数，其中判断正确的个数为（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 知识点二：运用抛物线c ax y +=2的图像及性质解决有关的实际问题 方法规律：合理建立直角坐标系，结合图像，根据线段长短写出点的坐标，再由坐标求相应的线段长。 【例1】某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线组成，为牢固起见，每段护栏按间距0.4m 加设不锈钢管做成立柱，如下图为了计算不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的直角坐标系进行计算：（1）求抛物线的函数表达式（2）计算钢管立柱的总长度。 2 ax y = x 2ax y = 刹车距离与车速的关系 摘要 汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成。车速越快，刹车距离越长。在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与车速进行分析，确立其比例关系。对于制动距离，刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离与初速度之间的关系。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，这样就初步建立了刹车距离与车速之间的数学模型，进一步运用matlab进行系数求解和曲线模拟。 一、问题的重述 汽车司机在行驶中发现前方出现突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停止这段时间内汽车行驶的距离称为刹车距离。刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用这段时间内汽车所行驶的距离，反应距离由反映时间和车速决定（对固定汽车和同一类型司机，反应时间可视为常数）。 二、模型的基本假设 （1）刹车时使用最大制动力F基本不变。 （2）F做的功等于汽车动能的改变。 （3）F与车的质量m成正比。 （4）汽车牌子固定，在不变的道路、气候等条件下，由同一司 机驾驶。 （5）人的反应时间为一个常数。 （6）在反应时间内车速不变。 （7）汽车的刹车距离等于反应距离和制动距离之和。 （8）反映距离与车速成正比，比例系数为反应时间。 三、符号说明 F：刹车最大制动力； m:车的质量； S1：反应距离; t：反应时间； S2：制动距离; S：刹车距离; v：汽车的初速度; k1：反应距离与初速度的比例系数; k2：制动距离与初速度的比例系数。 四、问题的分析 在反应时间内，车做匀速运动，对反应距离与初速度成正比关系。对于制动距离，由于刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，根据动能定理，可以分析出制动距离为初速度的二次函数。而反应距离与制动距离之和为刹车距离，由于反应距离与初速度成正比关系, 制动距离为初速度的二次函数，这样就初步确定刹车距离是初速度的二次函数。 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（） A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m． 2．3 刹车距离与二次函数 教学目标：1．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对 二次函数图象的影响． 2．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 知识回顾： 1．比较二次函数2 ax y =与2 ax y -=的性质： 新知探究： 2、下面直角坐标系中，已给出了y ＝2x 2 的图像，请你在同一直角坐标系内作出函数y ＝2x 2 +1 、函 数y ＝2x 2 -1的图象．并比较它们的性质． 3、小结： （2）. y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>0时, 向 平移 个单位，当c<0时，向 移动 个单位。 4、刹车距离与二次函数的关系． 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝ 100 1v 2 确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝ 50 1v 2 ． （1）下图的坐标系中是s ＝100 1v 2 的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=50 1v 2 的图象． （2）、如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？ 课后反馈 一、填空题： 1. 二次函数y = ax 2 的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a<0时，在对称轴 侧，y 随x 的增大而减小； 2、二次函数y=5x 2 的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 , 最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右 侧 。 3、二次函数y=-5x 2-5的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右 侧 。 4. 若点P （m ，4）是抛物线y = 12 x 2 上的一点，则m = ； 5. 抛物线y=-3x 2+2可以看成是由抛物线y=-3x 2 -4向 平移 个单位得到的. 6. 抛物线y=－4x 2－4，当x= 时，y 有最 值，此时y= ． 7. 将函数y=2x 2 +4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为 . 8、写出两个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=-8的二次函数关系式 。 9. 已知二次函数y = -ax 2 ，下列说法错误的是（ ）； A. 当a > 0，x ≠0时，y 总取负值 B. 当a < 0，x < 0时，y 随x 的增大而减小 C. 当a < 0时，图象有最低点，即y 有最小值0 D. 当x < 0时，y = -ax 2 图象的对称轴是y 轴 二、解答题： 10、在同一直角坐标系中，画出二次函数y = -2x 2，y = -2x 2 + 1，y = -2x 2 -1的图象， https://www.doczj.com/doc/ef3413814.html, 刹车距离与二次函数 一、填空题: 1.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最 ________值是_____. 2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的. 5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 二、解答题: 6.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=1 2 x2的开口大小相同,方向相反; (3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4. 7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求y与x的函数关系式. 8.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n 的值. 9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽 ,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽 , 某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y与x间的函数关系. D B C A 11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD, 使矩形顶点B,C落在边MN上,A,D落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系) 刹车距离与二次函数练习 目标导航 1、经历探索二次函数y =ax 2和y =ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 2、会作出y =ax 2和y =ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y =x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响． 3、能说出y =ax 2＋c 与y =ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4、体会二次函数是某些实际问题的数学模型． 基础过关 1．抛物线y =－3x 2 ＋5的开口向________，对称轴是_______，顶点坐标是________，顶点是最_____点，所以函数有最________值是_____． 2．抛物线y =4x 2 －1与y 轴的交点坐标是_________，与x 轴的交点坐标是_____． 3．把抛物线y =x 2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式为_______． 4．抛物线y =4x 2－3是将抛物线y =4x 2，向_____平移______个单位得到的． 5．抛物线y =ax 2－1的图像经过（4，－5），则a =_________． 6．抛物线y =3x 2与直线y =kx ＋3的交点为（2，b ），则k = ，b = ． 7．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ． 8．在同一坐标系中，图象与y =2x 2 的图象关于x 轴对称的是（ ） A ．y =2 1 x 2 B ．y =－ 2 1x 2 C ．y =－2x 2 D ．y =－x 2 9．抛物线，y =4x 2，y =－2x 2 的图象，开口最大的是（ ） A ．y = 4 1x 2 B ．y =4x 2 C ．y =－2x 2 D ．无法确定 10．对于抛物线y =3 1x 2 和y =－ 3 1x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） A ．两条抛物线关于x 轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线关于y 轴对称 D ．两条抛物线的交点为原点 11．二次函数y =ax 2 与一次函数y =ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 12．已知函数y =ax 2 的图象与直线y =－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y =x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ． 2 1 D ． 4 1 13．求符合下列条件的抛物线y =ax 2的表达式： （1）y =ax 2经过（1，2）； （2）y =ax 2 与y = 2 1x 2 的开口大小相等，开口方向相反； （3）y =ax 2与直线y =2 1x ＋3交于点（2，m ）． 一：实验内容矩阵的基本操作矩阵的输入、加、减、乘、除、求逆、求特征值、特征向量、对角化、上三角化、Jordan标准型、合同变换等求解线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组理解左除和右除操作绘制点和函数曲线坐标原点、坐标轴刻度的设定在坐标平面上绘制点在坐标平面上绘制函数曲线表达建模结果(以汽车刹车距离的数学模型为例，教材第 2.4节) 假设已经建立了带有未知参数的数学模型，并有一些实际数据。根据实际数据估算模型中的参数。然后将数学模型表达的曲线和实际数据绘制在同一个坐标平面内，并据此对数学模型做出分析。 二：问题分析 1 刹车距离与车速有关； 2 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。 3 反应距离又反应时间和成酥决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性，对于一般规则可使反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。 4 制动力在一般规则下又可看作是固定的。 三：模型假设 1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和； 2 反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1; 3 刹车时间用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比。 四：模型建立由假设 2 d1=t1v 由假设3 在F作用行驶距离d2作的功Fd2时车速从v变成0，动能的变化为mv^2/2, 如图所示，汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。反应距离有反应时间和车 二次函数中几何图形的最值问题 教情分析： 二次函数中与几何图形的结合题变化多端，关于几何图形的最值问题只是这些变化中的一类，在教学中如何引导学生在复杂的变化中发现解题的路径，关键是训练学生在题目中寻找不变的已知元素，运用“两点间的线段最短”“垂线段最短”“二次函数的最值”“三角形中的三边关系”等知识点，来实现问题的转化与解决。 教学目标： 引导学生掌握处理二次函数中的最值问题，明确解决最值问题的思考方向。 思想方法： 由于这类问题有一定的综合性和探索性，解题中需要运用数形结合、转化和化归、动态思维、特殊与一般等数学思想。 教学过程： 问题：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c的图象 A的坐标为(3，0)，B的坐标为(0，3)， (1)求直线AB和抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上的动点，过E作x 交抛物线于点F，设点E的横坐标为t， 求线段EF的最大值，并求出此时点E 点F的坐标呢？ (3)在直线AB上方的抛物线上有一动点P使得 ?ABP的面积最大？若存在求出点P的坐标及最大面积；若不存在请说明理由解题思路： (1)求出直线AB的解析式; (2)若直线AB上有一动点E的横坐标为t，那么它的纵坐标如何表示? (3)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A和点C，与y轴交于点B，求此抛物线的解析式； (4)若在上题中的抛物线上有一动点P的横坐标为m，那么它的纵坐标如何表示? 已知抛物线y=-x2+2x+3经过A(3，0)、B(0，3)两点； (5)点E是线段AB上的动点，过E作x轴的垂线交抛物线于点F，设点E的横坐标为t，求线段EP的最大值，并求出此时点E的坐标；点P的坐标呢？(6)在直线AB上方的抛物线上有一动点P使得?ABP的面积最大？若存在求出点P的坐标及最大面积；若不存在请说明理由. 小结： 练习：在直线AB上方(6)题中的抛物线上有一动点G，当G到直线AB的距离最大时，求G点的坐标及距离最大值 [数学建模] 刹车距离模型 一：实验内容 矩阵的基本操作 矩阵的输入、加、减、乘、除、求逆、求特征值、特征向量、对角化、上三角化、Jordan标准型、合同变换等 求解线性方程组 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 理解左除和右除操作 绘制点和函数曲线 坐标原点、坐标轴刻度的设定 在坐标平面上绘制点 在坐标平面上绘制函数曲线 表达建模结果(以汽车刹车距离的数学模型为例，教材第2.4节) 假设已经建立了带有未知参数的数学模型，并有一些实际数据。根据实际数据估算模型中的参数。然后将数学模型表达的曲线和实际数据绘制在同一个坐标平面内，并据此对数学模型做出分析。 二：问题分析 1 刹车距离与车速有关； 2 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。 3 反应距离又反应时间和成酥决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性，对于一般规则可使反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。 4 制动力在一般规则下又可看作是固定的。 三：模型假设 1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和； 2 反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1; 3 刹车时间用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比。 四：模型建立 由假设2 d1=t1v 由假设3 在F作用行驶距离d2作的功Fd2时车速从v变成0，动能的变化为mv^2/2, 如图所示，汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。反应距离有反应时间和车速决数学建模 刹车距离与车速
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数最值问题(含答案)
九下2.3 刹车距离与二次函数导学案
刹车距离与二次函数
刹车距离与二次函数练习
数学建模刹车距离所有资料
二次函数中几何图形的最值问题
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