复数代数形式的四则运算-知识讲解

复数代数形式的四则运算

【要点梳理】

要点一、复数的加减运算

1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：

12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++

21()()z z c a d b i -=-+-

要点诠释：

（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，

两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．

（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。

2.复数的加法运算律:

交换律：z 1+z 2=z 2+z 1

结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

要点二、复数的加减运算的几何意义

1. 复数的表示形式：

代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）

几何表示：

①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.

要点诠释：

复数z a bi =+←???

→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义： 如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP u u u r 、2OP

u u u r ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS u u u r 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P u u u u r 就是两个复数的差12

z z -所对应的向量.

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、

2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边

形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，

由于OZ =

1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i

对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -u u u u r 2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，

b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －

c )+(b －

d )i 对应的向量

要点诠释：

要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：

（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理

（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。

要点三、复数的乘除运算

1．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

通常记复数z 的共轭复数为z 。

2．乘法运算法则：

设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：

12()()()()z z a bi c di ac bd bc ad i ?=++=-++

122222()()()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i z c di c di c di c d c d

++-+-====+++-++

要点诠释：

1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。

3．乘法运算律：

(1)交换律：z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3

(2)结合律：z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

(3)分配律：z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

要点四、复数运算的一些技巧：

1. i 的周期性：如果n ∈N ，则有：

41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）

2. 2

(1)2i i ±=±

3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z 、z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方， 即22z z x y ?=+，其中z=x+yi （x ，y ∈R ）． 【典型例题】

类型一、复数的加减运算

例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

（2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)

【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

（2） 解法一：

原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i 。

解法二：

(1―2i)―(2―3i)=―1+i ，

(3―4i)―(4―5i)=―1+i ，

……

(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i 。

将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i 。

【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。 举一反三：

【变式】 (1)设z 1=3+4i ，z 2=―2―i ，求12z z +,

(2) 已知z 1=(3x+y)+(y―4x)i ，z 2=(4y―2x)―(5x+3y)i （x ，y ∈R ），求z 1―z 2，

【答案】

(1) z 1+z 2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i

(2) z 1－z 1=(3x+y)+(y －4x)i －[(4y －2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y －2x)]+[(y －4x)+(5x+3y)]i =

(5x －3y)+(x+4y)i ，

类型二、复数的乘除运算

例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．

【思路点拨】

第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．

(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i －i ＋i 2＝－2i ；

解法二：(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.

(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i －6i －8i 2)(1＋2i)

＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i ＝15＋20i ；

解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.

【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中

(－2i)·4i ＝8，而不是－8.

举一反三：

【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i 2=－2+i ，∴复数z 所对应的点为（－2，1），故选B ．

【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题1】

【变式2】计算：（1）()n i n N +∈；（2）23100i i i i +++L ；（3）23100i i i i ????L

【答案】（1）*4314241

14n i n k n k i k N i n k n k =-??-=-?=∈?-=-??=?其中；

（2）4414243423(1)0k k k k k i i i i i i i i ++++++=+++=，

（3）100(1001)

23100505021i i i i i i +????===-L

【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题2】

【变式3】计算：（1)8

(1)i + （2）33

22(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- . 【答案】(1)8(1)i +24444

[(1)](2)216i i i =+=== （2）3322(1)(1)2(1)2(1)1(1)(1)22i i i i i i i i i i

+--++-==+--+. 例3.计算(12)(34)i i +÷-

【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意21i =-，不能出错。

【解析】(12)(34)i i +÷-1234i i

+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555

i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 【总结升华】1 先写成分式形式

2 然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)

3 化简成代数形式就得结果

举一反三：

【变式1】复数3i 1i

--等于（ ）． A ．1+2i B ．1－2i C ．2+i D ．2－i

【解析】 23i (3i)(1i)32i i 42i 2i 1i (1i)(1i)1i22

--++-+====+--+-，故选C ．

【变式2】 计算：（1）31()i

i -（2 【答案】（1）33331

1()()(2)88i i i i i i i

--=+===-.

（21-i i

===， 类型三. 复数代数形式的四则运算

例4. 计算下列各式：

（1）(14i)(1i)24i 34i

-++++；（2）(i 2)(i 1)(1i)(i 1)i --+-+。 【解析】

（1）(14i)(1i)24i 34i -++++(14)(41)i 24i 34i

++-+++=+7i (7i)(34i)34i (34i)(34i)++-==++- (214)(328)i 2525i 1i 2525

++--===-。 （2）(i 2)(i 1)(21)(12)i (1i)(i 1)i (11)(11)i i ---+--=+-+--+-++13i (13i)(2i)2i (2i)(2i)

----==-+-+-- (23)(61)i 55i 1i 55

--+--+===-+。 【总结升华】 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算

乘除，最后算加减．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）(12)(34)(2)i i i +--

（2）23100i i i i ????L

（3）33

22(1)(1)(1)(1)

i i i i +--+-- ； 【答案】（1）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-

（2）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++????===?==-L L

（3）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+?+---++-==+----2214i i

?==

【变式2】计算：61i 1i +?? ?-??

； 【答案】方法一：

原式626(1i)i 1i 2??+==+=-+????

。 方法二（技巧解法）：

原式6

26(1i)1i

2i ??+=+=-+????。 考点4 共轭复数的有关计算

【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】

例5.,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y.

【思路点拨】先将(2)18y i -+的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之

即可求结果， 【解析】(2)1818(2)y i y i -+=+- 3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==??∴=++????==??

【总结升华】以z 、z 的概念与性质为基础，结合复数代数形式的四则运算，解决有关应用问题． 举一反三：

【变式1】 设复数Z 满足：4233z z i +=+

【答案】

【变式2】设z 的共轭复数是z ，4z z +=,8z z ?=，则z

z ＝ .

【答案】设z a bi =+（,a b R ∈），则z a bi =-，

∵24z z a +==，且228z z a b ?=+=，

∴2a =，2b =±，

当2a =，2b =-时，2222z

i

i z i +==-；

当2a =，2b =时，2222z

i

i z i -==-+.

故z

i z =±.

类型四. 复数的几何意义

例6. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD 的三个顶点A （1，2），B （―2，1），

C （―1，―2），求

D 点对应的复数。

【思路点拨】根据点D 的位置，利用解析几何的方法确定D 对应的复数的实部与虚部。

【解析】

解法一：设D （x ，y ），则(,)(1,2)(1,2)AD OD OA x y x y =-=-=--u u u r u u u r u u u r 。

(1,2)(2,1)(1,3)BC OC OB =-=----=-u u u r u u u r u u u r 。

因为AD BC =u u u r u u u r ，

∴（x ―1，y ―2）=（1，―3），得21x y =??=-?

。 ∴D 点对应的复数为2―i 。

解法二：∵A ，C 关于原点对称，∴O 为正方形ABCD 的中心。

设D （x ，y ），则B ，D 关于O 点对称，即2010

x y -+=??+=?，得21x y =??=-?。

∴D 点对应的复数为2―i 。

【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题．

举一反三：

【变式1】若在复平面上的Y ABCD 中，AC u u u r 对应的复数为6+8i ，BD u u u r 对应的复数为―4+6i ，则DA u u u r 对应的

复数是____。

【答案】 由复数加减法的几何意义可得1()2DA CA BD =-u u u r u u u r u u u r ，其对应的复数为1(68i 46i)2

--+- 17i =--。 【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题4】

【变式2】 已知

1

z z -为纯虚数，则复数z 在复平面中对应的点Z 组成什么图形？ 【答案】设z x yi =+， 则22222

()(1)(1)11(1)(1)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x y x y ++---+-===--+-+-+ 所以2(1)0x x y -+=即221

1()24

x y -+=（0y ≠）. 以1,02??

???为圆心，12为半径的圆去掉原点和(1,0)后剩下的部分.

复数的四则运算(含答案解析)

复数的四则运算 1.复数z=的虚部为（） A.-1 B.-3 C.1 D.2 2.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（） A.i B.1 C.-i D.-1 3.已知a∈R，i为虚数单位，若（1-i）（a+i）为纯虚数，则a的值为（） A.2 B.1 C.-2 D.-1 4.已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（） A.0 B.1 C.-1 D.2 5.计算=（） A.-1 B.i C.-i D.1 6.已知i是虚数单位，，则|z|=（） A. B.2 C. D.4 7.复数z满足z（2-i）=2+i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.若a=i+i2+…+i2013（i是虚数单位），则的值为（） A.i B.1-i C.-1+i D.-1-i 9.设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（） A. B. C.3 D.-3

10.复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（） A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i 11.已知复数z的实部为a（a＜0），虚部为1，模长为2，是z的共轭复数，则的值为（）A. B.--i C.-+i D.- 12.设x，m均为复数，若x2=m，则称复数x是复数m的平方根，那么复数3-4i（i是虚数单位）的平方根为（） A.2-i或-2+i B.2+i或-2-i C.2-i或2+i D.-2-i或-2+i 13.设i为虚数单位，则（）2014等于（） A.21007i B.-21007i C.22014 D.-2201414.已知复数z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正实数，则复数z2= ______ ． 15.复数z=，i是虚数单位，则z2015= ______ ． 复数的四则运算答案和解析 1. B解：∵z== ，∴复数z=的虚部为-3． 2. A 解：∵m+（m2-4）i＞0，∴，解得：m=2．则=． 3. D 解：∵（1-i）（a+i）=1+a+（1-a）i为纯虚数，∴，解得：a=-1． 4. B解：∵= ，∴，解得，

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)

新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案

高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能：掌握复数的四则运算; 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课： 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课： 建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定： 1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律： 交换律：Z1+Z2=Z2+Z1 结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)

课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教学过程： 学生探究过程： 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课： 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：。 例1.计算(1) (2) (3) (4)

高三数学复习复数的概念与四则运算2018高考题汇总

复数的概念与四则运算 【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 【答案】B 【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解： ，∴共轭复数为 ，选B. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为、模为 、对应点为 、共轭复数为 . 【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2 i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________. 【答案】 5 2 【解析】由题意可得2 2 234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1 a b ==，则225,2a b ab +==． 【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉 复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、 共轭为a bi -等． 【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多． 【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部. 第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】 1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运

【单位】32复数的四则运算同步检测1

【关键字】单位 3.2《复数的四则运算》同步检测(1) 一、基础过关 1．如果一个单数与它的模的和为5＋i，那么这个单数是__________． 2．(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…－(2 008－2 009i)＋(2 009－2 010i)－(2 010－2 011)i ＋(2 011－2 012i)＝______________. 3．的值等于__________． 4．8＋6i的平方根是________． 5．已知单数z1＝2＋i，z2＝1－i，则单数z1·z2的虚部是________． 二、能力提升 6．单数z1＝，z2＝2－3i (i为虚数单位)，z3＝，则|z3|＝________. 7．若单数＋b (b∈R)的实部与虚部相等，则实数b的值为________． 8．若单数z满足z(1＋i)＝1－i (i是虚数单位)，则其共轭单数＝________. 9．设m∈R，单数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围． 10．计算：＋. 11．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．

三、探究与拓展 12．已知单数z ，满足z2＝5－12i ，求. 答案 1.＋i 2．1 006－1 007i 3．2＋3i 4．±(3＋i) 5．－1 7．2 8．i 9．解 ∵z1＝＋(m －15)i ，z2＝－2＋m(m －3)i ， ∴z1＋z2＝＋[(m －15)＋m(m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2 ＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 10．解 原式＝212(1＋i )1229·??? ?－12＋32i 9＋(i －23)100 [－i (i －23)]100 ＝212·(2i )6 29·??? ?(－12＋32i )33＋(i －23)100(－i )100(i －23)100 ＝23·26·i 613＋1i 100＝－29＋1＝－511. 11．解 ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝2i ， ∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋a i ＋b 2i －1－i ＋1

3.2复数的四则运算教案2

3.2《复数的四则运算》教案（2） 教学目标 1、理解复数代数形式的四则运算法则。 2、能运用运算律进行复数的四则运算。 教学重难点 复数的除法运算 教学过程： 一、复习巩固： 1、复数加减法的运算法则： (1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 (2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2、复数的乘法： (1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算律： 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3、共轭复数的概念、性质： 定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。 复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即 设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律： 4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i - 【巩固练习】 1．计算:(1+2 i )2 _____=i 34-+ 2．计算i 3 (1)+_____=-2+2i

典型例题：复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算 例1．计算： i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解：提示：利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式＝0 变式训练1： 2 = （A）1 -（B） 1 22 +（C） 1 22 -+（D）1 解：21 2 ===-+故选C； 例2. 若0 1 2= + +z z，求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解：提示：利用z z z= =4 3,1 原式＝2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ． 解：2 例3. 已知4, a a R >∈，问是否存在复数z，使其满足ai z i z z+ = + ?3 2（a∈R），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由 解：提示：设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3：若 (2) a i i b i -=+，其中i R b a, ,∈是虚数单位，则a＋b＝ __________

解：3 例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为 2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设 yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=- 221(1)223(2)x y x y ?+=?∴?+=?? 将（2）代入（1） ，整理得281250. x x -+=160,()f x ?=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围. 解：由题意得 z 1＝151i i -++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+1z =13. 13，得a 2－8a ＋7<0，1

复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算（教学设计）（1） §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能目标： 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义 过程与方法目标： 培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标： 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。 教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点：复数加减法运算的几何意义。 教学过程： 一、复习回顾： 1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 二、师生互动、新课讲解： 1、复数代数形式的加减运算 （1）复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . （2）复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . （3）复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. （4）复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i ) =［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i . z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］

高一数学复数的四则运算知识点分析

高一数学复数的四则运算知识点分析 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复 数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫 做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原 点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合 是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距 离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时， z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 复数集与其它数集之间的关系： 复数的运算： 1、复数z1与z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b- d)i; 3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中 把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。 4、复数的除法运算规则： 。 复数加法的几何意义： 设 为邻边画平行四边形

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 预习课本P107～108，思考并完成下列问题 (1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？ (2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？ 1．复数的加、减法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．复数加法运算律 设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 3．复数加、减法的几何意义 设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→ 为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数． [点睛] 对复数加、减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处

理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( ) (3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i 答案：B 3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 答案：D 4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ――→和OB ――→ ，其中O 为坐标原点，则|AB ――→ |等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4 答案：B [典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________. [解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i. (2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ， 所以????? 5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3， 解得x ＝1，y ＝0， 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，

复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)

复数的四则运算同步练习题 一、选择题 1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋I C ．3 D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i 6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1 i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 9． 在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34 11． 若z ＝1＋2i i ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i 12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 21 21- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1) 21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2 14. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i 15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 16.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝1 17.在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 18.设i 是虚数单位，_ z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A ) （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D ) (A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45 20.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ） （A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 21.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )

复数的四则运算教学设计

《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，

复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计

复数代数形式的加减运算及其几何意义 【教学目标】 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部） 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 【教学重难点】 重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。 难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 。 【教学设想】 复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z =a +bi （a 、b ∈R ）与有序实数对（a ，b ）是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi （a 、b ∈R ），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a ，b ）惟一确定。 【教学过程】 一、复习回顾： 1．复数的定义： 2．复数的代数形式： 3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当 时，复数a +bi （a 、b ∈R ）是实数a ；当 时，复数z =a +bi 叫做虚数；当 时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当 时，z 就是实数0.

4．复数集与其它数集之间的关系： 。 5．两个复数相等的定义： 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　6．复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi （a 、b ∈R ）可 用点Z （a ，b ）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0）， 它所确定的复数是z =0+0i =0复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z a bi =+←??? →一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 二、讲解新课： 复数代数形式的加减运算 1．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=（a +bi ）+（c +di ）= 2．复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=（a +bi ）-（c +di ）= 3．复数的加法运算满足交换律： z 1+z 2=z 2+z 1． 证明： 4．复数的加法运算满足结合律： （z 1+z 2）+z 3=z 1+（z 2+z 3） 证明：设z 1=a 1+b 1i 。z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i （a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ）。

复数的四则运算

5．3 复数的四则运算 1．若z－3－2i＝4＋i，则z等于 () A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1－3i 答案 B 解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i. 2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝ () A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i 答案 A 解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A. 3．5－(3＋2i)＝________. 答案2－2i 4．复数1 1－i 的虚部是________． 答案1 2 解析∵1 1－i ＝ 1＋i (1－i)(1＋i) ＝ 1＋i 2＝ 1 2＋ 1 2i.∴虚部为 1 2. 1．复数代数形式的加、减法运算法则 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.

即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)． 2．复数代数形式的乘法运算法则 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部、虚部分别合并． (2)复数乘法的运算律 对于任意的z 1，z 2，z 3∈C ，有 z 1·z 2＝z 2·z 1(交换律)， (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)(结合律)， z 1·(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3(乘法对加法的分配律)． 3．复数代数形式的除法运算法则 在无理式的除法中，利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地，在复数的除法运算中，也存在所谓“分母实数化”问题．将商a ＋b i c ＋ d i 的分子、 分母同乘以c －d i ，最后结果写成实部、虚部分开的形式：a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) ＝(ac ＋bd )＋(－ad ＋bc )i c 2＋ d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋－ad ＋bc c 2＋d 2i 即可.

复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 文

第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算 1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 知识梳理 一、复数的有关概念 1．复数的概念． 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数． 2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?________(a ，b ，c ，d ∈R ). 3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面． 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________． 5．复数的模． 向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________. 6．复数的几何意义． (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 二、复数代数形式的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

高中数学复数的四则运算

复数的四则运算同步练习 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=() A. 1 2B. √2 2 C. √2 D. 2 2.若z=1+2i，则4i z?z??1 =() A. 1 B. ?1 C. i D. ?i 3.复数z=(i?1)2+4 i+1 的虚部为() A. ?1 B. ?3 C. 1 D. 2 4.若z=4+3i，则z |z| =() A. 1 B. ?1 C. 4 5+3 5 i D. 4 5 ?3 5 i 5.已知i是虚数单位，复数z满足z(3+4i)=1+i，则复平面内表示z的共轭复数的 点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.设有下面四个命题： p1：若复数z满足1 z ∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2?； p4：若复数z∈R，则z?∈R． 其中的真命题为() A. p1，p3 B. p1，p4 C. p2，p3 D. p2，p4 7.i为虚数单位，则(1+i 1?i )2016=() A. ?i B. ?1 C. i D. 1 8.若为a实数，且2+ai 1+i =3+i，则a=() A. ?4 B. ?3 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知复数z满足z+3 z =0，则|z|=______ ． 10.已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1+i)(1?bi)=a，则a b 的值为______． 11.已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是______． 12.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=______ ． 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 13.设z1=2x+1+(x2?3x+2)i，z2=x2?2+(x2+x?6)i(x∈R)． (1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围； (2)若z1>z2，求实数x的取值范围．

复数的概念与运算

复数的概念与运算 【知识点精讲】 1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）. 2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类： ()?? ??????+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),( NZQRC 3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ?a=c,b=d ；a+bi=0?a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）； 5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )= 2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）. 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）i i 3232-+. 解：（1）i 5 452+- ；（2）i 56251+-. 例2 已知z 是复数，z+2i 、 i z -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1，解答略。