一元一次方程及其解法
一、等式和方程的概念
1．等式：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．
【例】1+2=3，x +1=5，a b c mxy n ++=+，s ab =都是等式．
2．等式的分类：
（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母都能成立的等式； （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母才能成立的等式； （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母都不成立的等式． 【例】①x x x 2=3+，3=3都是恒等式；
②x +5=6是条件等式；
③3=2，1+2=5，x x +1=-1都是矛盾等式． 3．等式的性质：
（1）若a b =，则a c b c ±=±．
等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．
（2）若a b =，则ac bc =；若a b =且0c ≠，则a b
c c
=．
等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式． （3）对称性：若a b =，则b a =．
（4）传递性：若a b =，b c =，则a c =． 4．方程：含有未知数的等式，叫做方程． 注意：①方程中必须含有未知数；
②方程是等式，但等式不一定是方程，例如1+2=3是等式而不是方程．
【例】①x 2+1=3、x 2=9、x
1
=6都是方程；
②x +1>2、1+2=3、y ≠6不是方程． 5．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【例】x =4是x +1=5的解． 6．解方程：求方程的解的过程．
【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．
二、一元一次方程的概念和解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．
2．一元一次方程的判断：
Step1：不化简，看是否是整式方程；
Step2：化简，看是否满足()ax b a +=0≠0．
【例】x 2+3=5，x =3，x x 3+2=5-1，x x x 22+2+1=-6都是一元一次方程；
x +1>2、x 2+1=9、x x
1
+=1、x x 2+1=2+2都不是一元一次方程．
3．一元一次方程的两种形式：
最简形式：方程()ax b a =≠0的形式叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程()
ax b a
+=0≠0的形式叫一元一次方程的标准形式．【例】x3=5，x
2=7是一元一次方程的最简形式；
x2+1=0，x-4=0是一元一次方程的标准形式．
4．解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1.
【例】解方程()
x
x
+1-=2
2
解：去分母，得：()
x x
+21-=4
去括号，得：x x
+2-2=4
移项，得：x x
-2=4-2
合并同类项，得：x
-=2
系数化为1，得：x=-2．
下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．
①x
4-3；②1+5+7=13；③y
1
-7=2
2
；④x x
2=3+1；⑤.
≈314
π；
⑥x y
+=5；⑦a b
2+>0；⑧x x
7+1=7-1；⑨y
6-4；⑩x x
22
=．
【解析】等式有：②③④⑥⑧⑩；恒等式有：②⑩；
条件等式有：③④⑥；矛盾等式有：⑧．
（1）若ma mb
=，那么下列等式不一定成立的是（）.
A．ma mb
-6=-6B．a b
=C．ma mb
11
-=-
22
D．ma mb
+8=+8
（2）下列判断错误的是（）
A．若a b
=，则ac bc
-3=-3B．若a b
=，则
a b
c c
22
=
+1+1
C．若x=2，则x x
2=2D．若x x
2=2，则x=2
（3）给出下列等式：①若a b
=，则ac bc
=；②若ac bc
=，则a b
=；③若a b
=，则
a b
x x
22
=
+1+1
，④如果a b
3=2+5，那么a b
25
=+
33
．其中正确的有________．
【解析】（1）B；（2）D；（3）①③④．
模块一等式和方程的概念
例题1
例题2
下列式子：①x x 3+2=5-1；②2
13
??-+=1 ?24??；③x 2+35≤；④y y 2-1=2；⑤x y 2+7=365，
其中是方程的是___________．（填序号）
【解析】①④⑤．
（1）下列等式：①x x +4=4+；②
x
1
=2；③x x -4=4-；④()x x x x 2+=+2+3；⑤||x 2=3．其中是一元一次方程的有________．
（2）若k kx k 3-2+2=3是关于x 的一元一次方程，则k =_______．
（3）若方程||()a a x -1-2+3=0是关于x 的一元一次方程，则a =__________．
（4）若方程()m x mx x 22-1-+8=是关于x 的一元一次方程，则代数式||m m 2006--1的值为（ ）
A ．1或-1
B ．1
C ．-1
D ．2
【解析】（1）③④；（2）1；（3）-2；（4）B ．
（1）若x =2是方程x x a 3-4=
-2的解，则a a
201120111
+的值是_________．
（2）如果关于x 的一元一次方程()||m x m +2-4+8=0的解是x =0，则m 的值______．
（3）如果方程||()m m x m n -1=+2是关于x 的一元一次方程，且x n =是它的解，则n m -=______．
【解析】（1）根据题意可得a 2
3?2-4=
-2
，即a =-1，则a a 201120111+的值为-2；
（2）2；（3）
5
4
．
例题3
模块二
一元一次方程的概念和解法
例题4
例题5
解方程：（1）()()
x x x
3-2+1=-2-1（2）()()
x x x
3-7-1=3-2+3（3）
x x
2+15-1
-=1
36
（4）
x x
1-4-1
=-1
23
（5）
225
3
53
x x
x
--
-=-（6）()()
x x x
112
??
+1-=+1
??
233
??
【解析】（1）去括号，得：x x x
3-6+1=-2+1
移项，得：x x x
3-+2=1+6-1
合并同类项，得：x
4=6
系数化为1，得：x
3
=
2
则原方程的解为：x
3
=
2
（2）去括号，得：x x x
3-7+7=3-2-6
移项，得：x x x
3-7+2=3-6-7
合并同类项，得：x
-2=-10
系数化为1，得：x=5
则原方程的解为：5
x=
（3）去分母，得：()()
x x
22+1-5-1=6
去括号，得：x x
4+2-5+1=6
移项，得：x x
4-5=6-1-2
合并同类项，得：x
-=3
系数化为1，得：x=-3
则原方程的解为：3
x=-
（4）去分母，得：()()
x x
31-=24-1-6
去括号，得：x x
3-3=8-2-6
移项，得：x x
-3-8=-2-6-3
合并同类项，得：x
-11=-11
系数化为1，得：x=1
则原方程的解为：1
x=
（5）去分母，得：()()
x x x
15-3-2=52-5-45
去括号，得：x x x
15-3+6=10-25-45
移项，得：x x x
15-3-10=-25-45-6
合并同类项，得：x
2=-76
系数化为1，得：x=-38
则原方程的解为：38
x=-
（6）由题意得：()()
x x x
112
+1-=+1
263
去分母，得：()()
x x x
3+1-=4+1
去括号，得：x x x
3+1-=4+4
例题6
移项，得：x x x
3--4=4-1合并同类项，得：x
-2=3
系数化为1，得：x
3 =-
2
则原方程的解为：
3
2
x=-．
【提示】练习书写格式．
解方程：（1）
.
.
x
x
4-15
-2=3 05
（2）
....
..
x x x 04+09003+002-5
-=
050032
（3）
..
..
x x
2-03+04
-=1 0503
【解析】（1）原方程可化为：x x
8-3-2=3
移项，得：x x
8-2=3+3
合并同类项，得：x
6=6
系数化为1，得：x=1
则原方程的解为：x=1
（2）原方程可化为：
x x x
4+93+2-5
-=
532
去分母，得：()()()
x x x
64+9-103+2=15-5去括号，得：x x x
24+54-30-20=15-75移项，得：x x x
24-20-15=-75+30-54
合并同类项，得：x
-11=-99
系数化为1，得：x=9
则原方程的解为：x=9
（3）原方程可化为：
x x
20-310+4
-=1 53
去分母，得：()()
x x
320-3-510+4=15去括号，得：x x
60-9-50-20=15
移项，得：x x
60-50=15+9+20
合并同类项，得：x
10=44
系数化为1，得：x
22 =
5
则原方程的解为：x
22 =
5
【提示】考查分子分母含小数的一元一次方程的解法．例题7
y
??
11?11?
??
-3-3-3=1
??
?
??
2222
??
??
??
【解析】（法1）：从内向外去括号．
去小括号，得：y
1?113?
??
--3-3=1
?
??
2242
??
??
，
再去小括号，得：y
1133
??
---3=1
?
2842
??
，
再去小括号，得：y
1333
---=1
16842
，
移项、合并同类项，得：y
129
=
168
．
系数化为1，得：y=58．
则原方程的解为：58
y=．
（法2）：从外向内去括号，
去大括号，得：y
1?11?3
??
-3-3-=1
?
??
4222
??
??
，
去中括号，得：y
1133
??
-3--=1
?
8242
??
，
去小括号，得：y
1333
---=1
16842
，
移项、合并同类项，得：y
129
=
168
．
系数化为1，得：y=58．
则原方程的解为：58
y=．
（法3）：多次去分母，
两边同乘以2，得：y
1?11?
??
-3-3-3=2
?
??
222
??
??
，
两边同乘以2，得：y
11
??
-3-3-6=4
?
22
??
，
两边同乘以2，得：y
1
-3-6-12=8
2
，
移项合并同类项，得：y
1
=29
2
．
系数化为1，得：y=58．
则原方程的解为：58
y=．
【提示】观察题目特点选择合理的途径．
模块三一元一次方程的巧解
例题8
解方程：（1）
x x x x 1111
+++=+++23452345 （2）x x x x ++++=200826122008?2009
（3）x x x x x -20-18-16-14-12++++=5357911
（4）x x x +667+1338669+=-
200720102013
【解析】（1）x 11111111??
+++=+++ ?23452345??
，所以x =1；
（2）∵x x x =-22，x x x =-623，x x x =-1234，，x x x
=-
2008?200920082009， ∴x x x x ++++26122008?2009
x x x x x x x x ????????=-+-+-++- ? ? ? ?
2233420082009????????x x x 2008=-=20092009， ∴x 2008=20082009
，解得x =2009．
（3）由题，x x x x x -20-18-16-14-12
++++-5=0357911
∴x x x x x -20-18-16-14-12??????????
-1+-1+-1+-1+-1=0
? ? ? ? ?357911?????????? ∴x x x x x -23-23-23-23-23++++=0357911
∴()x 11111??
++++-23=0 ?357911??
，因为11111++++≠0357911，故x =23．
（3）方法一：()()()
x x x -2+669-2+1340671+-2=-
200720102013
()()()
x x x -2669-21340671-2+=+--
200720072010201020132013 ()()()
x x x -21-221-2+=+--
200732010332013
∵111??-+≠0 ?200720102013??，∴x -2=0，∴x =2． 方法二：x x x
+667+1338669+=-
669670671
()()()
x x x -2+669-2+1340671+-2=-
669670671
()x 111??-+-2=0 ?669670671??
，x =2． 【提示】先观察后计算．第（1）个小题，左右对称；第（2）个小题，裂项；第（3）个
小题，左边是5项，右边是5；第（4）个，分母可以约掉3．
例题9
（1）下列变形后的等式不一定成立的是（）
A．若x y
=，则x y
+5=+5B．若x y
=，则()
x y
a
a a
=≠0
C．若x y
-3=-3，则x y
=D．若mx my
=，则x y
=
（2）已知等式a b
3=2+5，则下列等式中不一定成立的是（）
A．a b
3+1=2+6B．a b
3-5=2
C．
b
a a
25
3=+D．a b
25
=+
33
【解析】（1）D；（2）C．
（1）下列方程中是一元一次方程的是（）
A．
x
1
=2B．x y
+3=+2C．x x
-1=2D．x2-1=0（2）若()m
m x2-3
-2=5是关于x的一元一次方程，则m的值是________．
（3）若关于x的方程|
()k
k x k
-1
-2+5=0
｜是一元一次方程，则k=________．
【解析】（1）C；（2）-2；（3）0．
（1）若x=1是关于x的方程
a x
a x
-1
=-+2
22
的解，则a=________．
（2）已知方程()()
x x
2+1=3-1的解为x a
=+2，则方程[()()]
y y a a
22+3-3-=3的解为______________．
【解析】（1）2；（2）y=2．
复习巩固
演练1
演练2
演练3
解方程：（1）()()x x 32-1=2-2+1
（2）x x 1-2+2
=1-
36
（3）x x
2-12-31-
=
63
（4）.....x x 01001-0011-=020063
（5）()
..x x x 1
+4+33
+=5+19050125
【解析】（1）去括号，得：x x 6-3=2-2-1
移项，得：x x 6+2=2-1+3 合并同类项，得：x 8=4
系数化为1，得：x 1
=2
则原方程的解为：1
2
x =
（2）去分母，得：()()x x 21-2=6-+2
去括号，得：x x 2-4=6--2 移项，得：x x -4=6-2-2 合并同类项，得：x -3=2
系数化为1，得：x 2
=-3
则原方程的解为：2
3
x =-
（3）去分母，得：()()x x 6-2-1=22-3 去括号，得：x x 6-2+1=4-6 移项，得：x x 6-2=4-1-6 合并同类项，得：x 4=-3
系数化为1，得：x 3
=-4
则原方程的解为：3
4
x =-
（4）原方程变形可得：x x -11
-=263
去分母，得：()x x 3--1=2
去括号，得：x x 3-+1=2 移项，得：x x 3-=2-1 合并同类项，得：x 2=1
系数化为1，得：x 1
=2
则原方程的解为：1
2
x =
演练4
（5）原方程可化为：()
x
x x
8+32
2+6+=5+19
3
去分母，得：()()
x x x
32+6+8+32=35+19
去括号，得：x x x
6+18+8+32=15+57
移项，得：x x x
6+8-15=57-18-32
合并同类项，得：x
-=7
系数化为1，得：x=-7
则原方程的解为：7
x=-
解方程：（1）()()()()
x x x x
1111
+1+2+++3=4-+4
3456
（2）
x x x
-2010-13-
++=0
9720092007
【解析】（1）()()()()
x x x x
1111
+1-1++2-1++3-1++4-1=0
3456
∴()()()()
x x x x
1111
+1-3++2-4++3-5++4-6=0 3456
∴()()()()
x x x x
1111
-2+-2+-2+-2=0
3456
∴x-2=0，解得，x=2
（2）
x x x
-2010-13-
????
+-1++1=0
? ?
9720092007
????
∴
x x x
-2010-20102010-
++=0
9720092007
∴()
x
111
??
+--2010=0
?
9720092007
??
解得，x=2010．
演练5
第三章 一元一次方程 学习要求 了解从算式到方程是数学的进步．理解方程、方程的解和解方程的概念，会判断一个数是否为方程的解．理解一元一次方程的概念，能根据问题，设未知数并列出方程．初步掌握等式的性质1、性质2． 一、填空题 1．表示_______关系的式子叫做等式；含有未知数的_______叫做方程． 2．使方程左、右两边的值相等的_______叫做方程的解．求_______的过程叫做解方程． 3．只含有_______未知数，并且未知数的_______的_______叫做一元一次方程． 例题1．已知：y 1＝4x －3，y 2＝12－x ，当x 为何值时，(1)y 1＝y 2；(2)y 1与y 2互为相反数；(3)y 1比y 2小4． 一、选择题 1．下列方程变形中，正确的是( )． (A)由4x ＋2＝3x －1，得4x ＋3x ＝2－1 (B)由7x ＝5，得7 5=x (C)由 ,02 =y 得y ＝2 (D)由 ,115 =-x 得x －5＝1 2．下列方程中，解是x ＝4的是( )． (A)2x ＋4＝9 (B) 4322 3 -=+x x (C)－3x －7＝5 (D)5－3x ＝2(1－x ) 3．已知关于y 的方程y ＋3m ＝24与y ＋4＝1的解相同，则m 的值是( )． (A)9 (B)－9 (C)7 (D)－8 4．求方程的解： (1) ；‘)5,15(1853-===-x x x (2)).6 1 ,41(14126110312==-+=+--x x x x x 5．已知(m 2－1)x 2－(m －1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，它的解为n ． (1)求代数式200(m ＋n )(n －2m )－3m ＋5的值； (2)求关于y 的方程m ｜y ｜＝n 的解． 二、解答题 1．k 为何值时，多项式x 2－2kxy －3y 2＋3xy －x －y 中，不含x ，y 的乘积项．
1．（2015?广州）解方程：5x=3（x ﹣4） 【答案与解析】 解：方程去括号得：5x=3x ﹣12， 移项合并得：2x=﹣12， 解得：x=﹣6． 【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤： (1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边． (2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式． (3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a =． 举一反三： 【变式】下列方程变形正确的是( )． A ．由2x -3＝-x -4，得2x+x ＝-4-3 B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5 C ．由2332 x -=，得x ＝-1 D ．由3＝x -2，得-x ＝-2-3 【答案】D 类型二、去括号解一元一次方程 2．解方程： 【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+ 移项合并得：65x -= 解得：56 x =- （2）去括号得：32226x x --=- 移项合并得：47x -=- 解得：74 x = 【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号． 举一反三： 【变式】解方程： 5(x -5)+2x ＝-4． 【答案】解： 去括号得：5x -25+2x ＝-4． 移项合并得： 7x ＝21． 解得： x ＝3． 类型三、解含分母的一元一次方程 ()()1221107x x +=+()()() 232123x x -+=-
一元一次方程解法练习 1.若ax +b=0为一元一次方程，则__________. 2.当=m 时,关于字母x 的方程0112=--m x 是一元一次方程. 3.若9a x b 7 与 – 7a 3x –4 b 7是同类项，则x= . 4.如果()01122=+++-y x x ，则2 1x y -的值是 . 5.当=x ＿＿＿时，代数式24+x 与93-x 的值互为相反数. 6.已知08)1()1(2 2=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，则m= . 7.已知2-=x 是方程042=-+m x 的根,则m 的值是( ) A. 8 B. -8 C. 0 D. 2 8．如果a 、b 互为相反数，（a ≠0）,则ax +b =0的根为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－1或1 D ．任意数 9.下列方程变形中，正确的是（ ） （A ）方程1223+=-x x ，移项，得;2123+-=-x x （B ）方程()1523--=-x x ，去括号，得;1523--=-x x （C ）方程2 332=t ，未知数系数化为1，得;1=x （D ）方程 15.02.01=--x x 化成.63=x 10.方程6 2123x x +=-去分母后可得（ ） A 3x －3 =1＋2x ， B 3x －9 =1＋2x ， C 3x －3 =2＋2x ， D 3x －12=2＋4x ； 11.如果关于x 的方程01231=+m x 是一元一次方程，则m 的值为( ) A ．3 1 B 、 3 C 、 -3 D 、不存在 12．若32,24,A x B x =-=+使A －B=8，x 的值是（ ） A ．6 B ．2 C ．14 D ．18
5.1一元一次方程 姓名学号 A组 1．在下列方程中：①2χ+1=3; ②y2-2y+1=0; ③2a+b=3;④2-6y=1; ⑤2χ2+5=6; ⑥3m＋2＝1－m； ⑦5 12 x－ 1 3 ＝－ 1 4 ；⑧xy＝1.属于一元一次方程的是______ 。（填序号） 2.已知x=2是关于x的方程3x-2m=4的解，则m的值为（） A. 5 B.-5 C.-1 D.1 3.能使等式x+5=5+x成立的x的值为（） A.只能是0 B.不存在 C.只能是1 D.为任何数 4. 已知x的1 4 与-7的和比x的2倍少3,可列出方程：_________ 5. 2004年夏季奥运会上，我国获得32枚金牌。其中跳水队获得6枚金牌，比射击队获得金牌数的2倍少2枚。射击队获得多少枚金牌？如果设射击队获得x枚金牌，那么跳水队获得(2x-2)枚金牌，可得到方程为：_____________________. 6.王超从甲地到乙地，如果每小时走9千米，在规定时间内到达乙地还差4千米；如果每小时走12千米，则比规定时间早到20分钟，求规定的时间和甲、?乙两地的距离：设规定时间为x小时，可列出方程：_________________ 7. 如果x=3是方程kx+k-1=0的解，求k的值． 8. 检验括号中的数是否为方程的解。 (1) 3x-4=8 (x=3, x=4)
（2） 12 y+3=7 （y=8, y=4）． B 组 9. 以x=-3为解的方程是（ ） （A ）3x-7=2 （B ）5x-2=-x （C ）6x+8=-26 （D ）x+7=4x+16 10．根据条件求出m 的值： （1）.方程3x m -2 + 5=0是一元一次方程，则代数式 m=_____。 （2）. x ︱m ︱ +5=0是关于x 的一元一次方程，则m=________。 （3）.（m-1）x ︱m ︱+5=0是关于x 的一元一次方程，则m=_______。（需要写出过程） （4）.方程(m+6)x 2 +3x-8=7是关于x 的一元一次方程，则m= _____。（需要写出过程） 11. 若a 是方程3-x=4的解，求 ∣a ∣+a 2007- a 1的值。 12.已知关于x 的方程32 2+=-x x a 的解满足,04=+x 求a a 22-的值。
学科：数学凤阳县十校合作师生共用教学案 课题：3.1一元一次方程及其解法课型：新授课教学时间：第二课时 年级：七年级主备：黄湾中学程方林审核：武善礼、黄海雷授课人： 教学目标： 1、巩固一元一次方程概念；理解“移相”概念。 2、能够综合应用等式性质及“移相”法解一元一次方程。培养学生的观察及综合能力，提高他们分析问题和解决问题的能力。 3、在经历方程求解的过程中，使学生自己认识到学习方程知识的重要性，感受学习数学的价值，使学生初步养成正确思考问题的良好习惯。 教学重点：一元一次方程的解法。 教学难点：“移相”法解一元一次方程时，被移的相变号的依据 教学过程： 一、课前准备： 1、等式的性质有（1）， （2）。 2、下列各变形分别用了等式的那一条基本性质 （1）由x + 4 = 6，得x = 6 – 4；（） （2）由3 x= 2x + 5，得3 x – 2 x = 5；（） 二、导入新课： 创设问题情境 活动：观察下图，你能得到什么结论？( 表示x) x + 2 = 5 x = 5 – 2
3 x = 2 x + 2 3 x – 2 x = 2 2 x = 6 x = 6 ÷ 2 交流：用天平测量物体的质量时，常将物体放在天平的左盘，在右盘内放上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，就可以测得该物体的质量。 如果我只拿走天平一边的一部分物体会有什么现象呢？ 如果要使天平重新达到平衡，我们可以如何操作？ 讨论：请认真思考并把你的想法写出来。 三、探究导学： （—）独立思考、解决问题 首先各小组集体研讨上面提出的问题，汇总结果，之后展示各小组成果。教师总结 。 （二）师生探究、合作交流 综述：通过上面的试验得出的方法可以用来解决数学问题。本节课内容：用移相法解一元一次方程。 观察：仔细观察下面的解答过程2 x – 4 = 18 2 x = 18 + 4 你发现了什么？ 讨论：各小组认真讨论，体会前后变化在关键项的位置及符号上的变化的特点。你的结论是 。 归纳： 叫做移相。移相的根据是。 应用：解方程： 3 x + 5 = 5 x –7 示范：解移相，得3 x – 5 x = – 7 –5 合并同类项，得–2 x = – 12 两边都除以-2，得x = 6 思考：本题有无其它的变形方法？如果你认为有请你把你的想法或解法写在下面 。 互动：下面的移相对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？ （1）从9 + x = 7，得x = 7 + 9 （2）从5 x = 7 – 4 x，得5 x – 4 x = 7 （3）从2 y – 1 = 3 y + 6，得2 y – 3 y = 6 – 1
一元一次方程的解法 【知识回顾】 1.下列等式的变形是否正确？正确的打“ √ ”，错误的打“ⅹ ” （1）由2=x+3得x=3+2 （ ） （2）由3 2x=-8得x=-12 （ ） （3）由 5y+2=7y+8得7y-5y=8-2 （ ） 2.回答下列问题： （1）由等式a=b ，能不能得到等式a+2=b+2？为什么？ （2）由等式2 2b a ，能不能得到等式a=b ？为什么？ 【学习目标】 1.了解等式的基本性质在解方程中的作用. 2.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中的“转化”的过程和思想. 3.了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确灵活应用. 【学习重点与难点】 重点：会利用等式的性质解方程 难点：正确灵活解方程 学习过程： 一、导入新课： 上节课我们学习了“等式的性质”，这一节课我们来学习如何利用等式的性质来解一元一次方程. 二、新知学习： (一)移项 1.自学要求：请认真看课本本节的内容，并明确两个问题： ①什么是方程的移项？ ②方程的移项与等式的基本性质有什么关系？ 2.自学检测： （1）把方程中的某一项_________后，从方程的一边________另一边，这种变形叫做 移项.
（2）对比下列的变形，并体会其不同之处 对方程3x-4=1求解 运用等式的基本性质： 3x –4+4=1+4 ( ) 3x = 5 ( ) x =35 ( ) 运用移项： 3x=1+4 ( ) 3x=5 ( ) x=3 5 ( ) 3.练习 把下列的方程中的含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边： （1）2=x+3 （2）5y+2=3y+8 （3）4x –3=0 你得到了什么结论：___________________________________________. （二）一元一次方程的解法 1.自学要求：请认真阅读课本每道解答过程，注意每一种方程的解题步骤和方法. 2.对应训练 （1）解方程的最根本目的是____________，也就是把未知数的___________化为1. （2）请说出下列方程的第一步的解题步骤和依据 ① x –3=12 ② -3y=-15 ③ 11x+3=5(2x+1) ④ 13223-=-- x x （3）纵观所有的例题可以看出，本节主要体现了___________的数学思想和方法. （4）解一元一次方程的基本步骤为_______、_______、_______、______、________. 小结：____________________________________________________. 【精练反馈】 基础部分 1. 解方程中，移项的依据是（ ）
常见的三元一次方程组的解法 三元一次方程组的常规解法是：通过代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再把二元一次方程组转化为一元一次方程从而解出方程组.但有时我们也可根据三元一次方程组的结构特点采取非常规的方法来解方程组.常见的方法有： 一、缺项型的解法 例1 解方程组 4917(1) 31518(2) 232(3) x z x y z x y z -= ? ? ++= ? ?++= ? 分析：由于方程(1)缺少未知数y，这方程时只要在方程(2)(3)中消去未知数y即可把三元一次方程组转化为二元一次方程组，从而顺利地解出方程组. (2)2(3) ?-得：52734(4) x z += (1)3(4) ?+得：1785 x=5 x= 把5 x=代入(1)得：20917 z -= 1 3 z= 把5 x=， 1 3 z=代入(3)得：5212 y ++=， 2. y=- ∴方程组的解为： 5 2 1 3 x y z ? ?= ? =-? ? ?= ? 二、标准型的要选择确当的未知 例2 解方程组 34(1) 2312(2) 6(3) x y z x y z x y z -+= ? ? +-= ? ?++= ? 解：要消去三个未知数中的一个，相对而言消未知数z比较方面. (1)+(2)得：5216(4) x y += (3)+(2)得：3418(5) x y += (5)(4)2 -?得：20 x=
把20x =代入(4)得：100216y += 42y =. 把20x =，42y =代入(1)得：60424z -+= 14z =-. ∴方程组的解为：204214x y z =??=??=-? . 三、轮换的特殊解法 例3 解方程组2(1)4(2)6(3)x y y z z x +=??+=??+=? 解：这样轮换缺少未知数的方程可以采用下面特殊方法来解. (1)+(2)+(3)得：22212x y z ++= ∴6(4)x y z ++= (4)-(1)得：4z = (4)-(2)得：2x = (4)-(3)得：0y = ∴方程组的解为：204x y z =??=??=? . 四、有比巧设参数 x ：y=2：1 (1) 例4 解方程组 y ：z=1：3 (2) 23414x y z +-=- (3) 解：由(1)得：设其中的一份为k ，则2x k =，y k =. 把y k =代入(2)得：3z k =. 把2x k =，y k =，3z k =代入(2)得：431214k k k +-=-.
一元一次方程经典应用题知能点1：市场经济、打折销售问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售． 1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ 3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（） A.45%×（1+80%）x-x=50 B. 80%×（1+45%）x - x = 50 C. x-80%×（1+45%）x = 50 D.80%×（1-45%）x - x = 50 4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折． 5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价． 知能点2：方案选择问题 6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，
《第4章 一元一次方程》4.1—4.2期末复习学案（1） 一、基础训练 1、 y 比它的4 3小7，列出方程为______________________；若代数式6x 2-的值与0.5互为倒数，则列出方程为________ ． 2、判断下列哪些是一元一次方程。 （1） 4365=x （ ） （2）7x －5 （ ） （3）x x 367 1=-（ ） （4）3x 2－7x+1=0（ ）（5）2x －y=1（ ） （6）312=-x （ ） 3、 已知4x ax 2=-是关于x 的一元一次方程，则a=________． 其中2、3两题用到的知识点是：一元一次方程的定义：含有 未知数，未知数的次数是 的方程叫一元一次方程。（其中表示未知数的式子还必须是整式。） 4、 写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是1；②方程的解是3；这样的方程是 。 5、 若x=3是方程x 68a 4x 2+=-的解，则=a ________ 。 知识点：什么叫方程的解？ 。 6. 若－9+x ＝63则x ＝______；若－2（x+1）＝13，则x ＝______ ； 2 1323 x 的解为 ；若30％x ＝5则x ＝__ ；。 解方程的基本步骤是 、 、 、 、 ： 去分母时应该注意 ；去括号时应注意 ；移项时应该注意 ；将系数化为1时应注意 。 7. 若1x 2y 1 x y 21+=-=，，且0y 3y 21=-，则x=________，=+21y y ________． 8．若41m 2y x 3-与3n 23y x 2--是同类项，且0)n b 5.0(|m 2a |2=-+-，则b a n m +++的值为________。 二、例题推荐
一元一次方程的概念与解法 【知识要点】 1．一元一次方程的有关概念 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式是： 2．等式的基本性质 （1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：
【典型例题】 例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？ x+2y=9 x 2 －3x=1 11=x x x 312 1 =- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2 +x=1 例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的. (1)如果________;-8x 3,853==+那么x (2)如果-1_x _________3,123=--=那么x x ； (3)如果;__________x ,52 1 ==那么x (4)如果________.3x ,3 2==那么y x 例3．解下列简易方程 1．5223-=+x x 2．4.7-3x=11 3．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x
1． 32243332=+--x x 2．142 3(1)(64)5(3)25 x x x --++=+ 3．21101211364x x x -++-=- 4．223 14615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．8316 1.20.20.55 x x x +-+-=-
第2讲二元一次方程组的解法 搜集整理：百汇教育数学组陈超【知识要点】 1．二元一次方程组的有关概念 （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。例如3x＋4y＝9。 （2）二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解。由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。 （3）二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 2．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。 （2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法。 代入消元法将在《七年级数学（上册·上海科技出版社）》教材中学习到。本次课，我们主要讲解加减消元法。 【典型例题】 用加减消元法解下列方程组： 例1、 x－5y ＝ 0 ① 3x＋5y ＝16 ② 解：由①＋②得：x＋3x＝16 即4x＝16 所以x＝4 把x＝4代入②得：3×4＋5y＝16 解得 y＝0.8 所以原方程组的解为 x＝4 y＝0.8 例2、2x＋2y＝11 ① 2x＋7y＝36 ② 解：由②－①得：7y－2y＝36－11 即5y＝25 所以y＝5 把y＝5代入①得：2x＋2×5＝11 解得 x＝0.5 所以原方程组的解为 x＝0.5 y＝5 { {{ {
一元一次方程的解法（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论： (1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a = ；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程
1．关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）A.10 B.-8 C.-10 D.8 【答案】B． 【解析】 解：由2x﹣4=3m得：x=；由x+2=m得：x=m﹣2 由题意知=m﹣2 解之得：m=﹣8． 【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数． 举一反三： 【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5 解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7．， 系数化为1得 7 10 x=． 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2． 正确解法： 解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得 3 4 x=-． 类型二、去括号解一元一次方程 2. 解方程：112 [(1)](1) 223 x x x --=-． 【答案与解析】 解法1：先去小括号得：11122 [] 22233 x x x -+=-． 再去中括号得： 11122 24433 x x x -+=-．移项，合并得： 511 1212 x -=-． 系数化为1，得： 11 5 x=． 解法2：两边均乘以2，去中括号得： 14 (1)(1) 23 x x x --=-． 去小括号，并移项合并得： 511 66 x -=-，解得： 11 5 x=． 解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223 x x x -+--=-． 去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243 x x x -+--=-．
解一元一次方程与二元一次方程的解法 解一元一次方程练习题 类型一系数化1 ① 3x = - 2 ②– 2x = 5 ③– 4 x = - 3 ④ x＝ - 类型二直接移项 （1）8 x＝2 x－7 （2）6＝8＋2 x （3）a－1＝5＋2a; （4）5x＋2＝7x＋8 （5）x＋2＝7x＋8 （6） 3y－2＝y＋1＋6y. （7）13+8x=8+13x （8） a－1＝5＋2a; （9）2y＋3＝11－6y 类型三去括号 11 x+3=5(2 x－1) 4 x－3(20－ x)=3 3－2(x+1)=2(x－3) 3（x－2）－1＝x－（2 x－1） 2(x－2)－(4x－1)=3(1－x) 类型四分数系数型 x －8=1 x－1－2x＝－1 x－3＝5x＋
1－ x＝x＋ 0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x. 1＋ x＝3－ x 类型五去分母型 2x－13 = x+22 +1 ＝ ＝－1 类型六列简单的一元一次方程 1、当取何值时： （1）与＋3的值相等？（2）比的值大1？ （3）若y1＝2 x＋3，y2＝5 x－，且y1＝6y2，那么x的值是多少？ （4）x为何值时，代数式与互为相反数 （5）已知 x＝是方程 5m＋12 x＝＋x 的解，求关于x的方程m x＋2＝ m（1－2 x）的解。
5.当 取何值时, 的值比 的值大4?、 解二元一次方程组 用适当的方法解下列方程 （1）?? ?=--=-7 441156y x y x （2）?? ?-=+-=-5 3412911y x y x 解： 解： 检验： 检验： （3）?? ?=+-=-q p q p 451332 （4）?? ?=+=-5 24753y x y x 解： 解： 检验： 检验：
三元一次方程组的解法及技巧解析初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。优立方数学为大家提供了三元一次方程组的解法知识点，希望对大家有所帮助。 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如， 等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一
个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. (2)怎样解三元一次方程组? 解三元一次方程组例题 解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解. 解：由(2)，得x=y+1.(4) 将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得 把y=9代入(4)，得x=10. 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：(3)-(1)，得x-2y=-8(4) 由(2)，(4)组成方程组
解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得z=7. 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由(1)+(2)-(3)，得y=9. 把y=9代入(2)，得x=10. 把x=10，y=9代入(1)，得z=7. 因此，方程组的解是 注意： (1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. (2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确
初一数学一元一次方程应用题 知能点1：市场经济、打折销售问题 （1）商品利润＝商品售价－商品进价（2）商品利润率=（售价--进价）/进价×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%。 例题1：商店对某商品调价，按原售价的6折出售，此时商品的利润率是20％，若此商品的原售价是300元，问商品的售价是多少？ 解：设此商品的进价是X元，根据题意，得 300×60％－X＝X×20％得出X=150元 例题2：服装商城同时卖出两套服装，每套卖168元，以成本计算，其中一套赢利20％，另一套亏本20％，则这次出售中商贩（） A 不赚不赔 B赚37.2元 C赚14元 D赔14元 解析：设甲服装原价X元，则X×（1＋20）％＝168 得出X＝140 设乙服装原价Y元，则Y×（1－20）％＝168得出Y=210 甲赚28，乙亏42，总共赔14元，答案D 练习题 1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ 3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（） A.45%×（1+80%）x-x=50 B. 80%×（1+45%）x - x = 50 C. x-80%×（1+45%）x = 50 D.80%×（1-45%）x - x = 50 4．（北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩
一元一次方程的概念及解法 一、知识梳理： 知识点1、一元一次方程的概念： （1）、方程：含有未知数的等式叫方程，能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。 （2）、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式0ax b +=（其中x 是未知数，a b 、是已知数，并且0a ≠） 知识点2、等式及其基本性质 （1）定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫等式。 （2）等式的基本性质： ①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 ②等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 三、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； （2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住：移项要变号）； （4）合并同类项：把方程化为()0ax b a =≠的形式； （5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a =。 解一元一次方程时，可以根据方程的形式灵活地安排解题步骤，不必机械地生搬硬套。 二、典例精讲： 考点一、概念的考查 例1、（2011、鄂州训练题）下列各式是方程的是 ，其中是一元一次方程的是 。 （1）327x -=；（2）4812+=；（3）3x -；（4）230m n -=；（5）23210x x --=； （6）23x +≠；（7）251 x =+ 变式训练： 1、判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？ （1）253-+=；（2）317x -=；（3）0m =；（4）3x >；（5）8x y +=； （6）22510x x ++=；（7）2a b + 2、方程()110m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m = 考点二、方程的解 例2、（2011、宜昌模拟）若关于x 的方程332x a x -= +的解是4x =，求2a a - 的值。 变式训练： 1、已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，求m 的值。 考点三、等式的性质 例3、下列等式变形正确的是（ ） A 、如果,ay ax =那么y x = B 、如果y x =，那么y x -=-55 C 、如果,0=+b ax 那么a b x = D 、如果,2635-=-x x 那么1-=x ★变式赏析：由110.20.3x -=变形为1010123x -=的依据是（ ）
3元一次方程组解法 本周目标： 会解三元一次方程组．通过解三元一次方程组的学习，提高逻辑思维能力.培养抽象概括的数学能力． 重点、难点： 三元一次方程组的解法．解法的技巧． 重点难点分析： 1.三元一次方程的概念 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程. 2.三元一次方程组的概念 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 例如，等都是三元一次方程组. 三元一次方程组的一般形式是： 3.三元一次方程组的解法 （1）解三元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数. （2）怎样解三元一次方程组？ 解三元一次方程组例题 1.解方程组 法一：代入法 分析：仿照前面学过的代入法，将（2）变形后代入（1）、（3）中消元，再求解．
解：由（2），得x=y+1．（4） 将（4）分别代入（1）、（3）得 解这个方程组，得 把y=9代入（4），得x=10． 因此，方程组的解是 法二：加减法 解：（3）-（1），得x-2y=-8 （4） 由（2），（4）组成方程组 解这个方程组，得 把x=10，y=9代入（1）中，得z=7． 因此，方程组的解是 法三：技巧法 分析：发现（1）＋（2）所得的方程中x与z的系数与方程（3）中x与z的系数分别对应相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到关于y的一元一次方程，求出y 值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组 解：由（1）＋（2）-（3），得y=9． 把y=9代入（2），得x=10． 把x=10，y=9代入（1），得z=7． 因此，方程组的解是 注意： （1）解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出. （2）从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确 求解方程组．
一元一次方程应用题分类讲评 湖北省黄石市下陆中学宋毓彬 一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。 事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。 下面就一元一次方程中常见的几类应用题作逐一讲评，供同学们学习时参考。 1.行程问题 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为：①路程=速度×时间；②速 度=；③时间=。 可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。 航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。 例１．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？ 讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。 在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有： 3x－1.5x=450 ∴x=300
一元一次方程的解法专题训练 类型一：一元一次方程的概念 例1：若关于x 的方程02)1(2=+-m x m 是一元一次方程，求m 的值，并求出方程的解。 分析：回到定义，关于x 的方程是一元一次方程的条件是未知数x 的指数是1，而其系数不为0. 练：1、当=m 时，方程03)3(2=-+--m x m m 是一元一次方程，方程的解是。 类型二：一元一次方程的解的概念 例2：若2=x 是方程0132=-+m x 的解，则m 的值为。 练： 2、已知关于x 的方程423=-m x 的解是m x =，则m 的值是。 3、请写出一个解为2=x 的一元一次方程：。 4、已知p ，q 都是质数，且1=x 满足方程113=+q x p ，则q p ＝。 类型三：等式性质 例3：下列变形正确的是（ ） A 、如果bx ax =，那么 b a = B 、如果1)1(+=+a x a ，那么1=x C 、如果y x =，则y x -=-55 D 、如果1)1(2=+x a ，则1 12+=a x 分析：正确理解等式的两个性质，利用等式性质2作等式变形时，应注意字母的取值范围。 练：5、若b a =，则下列等式中，正确的个数有（ ）个 ①33+=+b a ；②b a 43=；③b a 4343-=- ；④1313-=-b a ；⑤1122+=+c b c a 类型四：一元一次方程的解法 例4：依据下列解方程 3122.05.03.0-=+x x 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。 解：原方程可变形为3 12253-=+x x ………… （ ） 去分母，得 )12(2)53(3-=+x x ………………（ ） 去括号，得 24159-=+x x ……………… （ ） （ ），得21549--=-x x ……………… （ ） 合并， 得 175-=x ……………… （ ） （ ），得 5 17-=x ………………… （ ） 分析：当分母中含有小数时，可以用分数的基本性质，把它们化为整数，再按去分母、去括号、移项、合 并同类项、系数化为1的步骤进行解答。
§2.1 一元一次方程、二元一次方程（组）的解法 一、温故互查知识要点 一元一次方程的概念及解法，二元一次方程（组）及其解法，解方程组的基本思想． 二、题组训练一 1．（2012重庆）已知关于x 的方程2x +a -9=0的解是x =2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．(2011枣庄)已知???x =2，y =1是二元一次方程组???ax +by =7，ax -by =1 的解，则a -b = ． 3．（2012连云港）方程组326x y x y +=??-=? 的解为 ． 4．已知：13 2=--+y x y x ，用含x 的代数式表示y ，得 ． 三、题组训练二 1解下列方程（组）： （1）3(x +1)-1=8x ； （2）? ? ?=+=-1732623y x y x ． 2（1）m 为何值时，代数式2m - 5m -13的值比代数式7-m 2 的值大5？ （2）若方程组31331x y a x y a +=+??+=-?的解满足x +y =0，求a 的值． 四、中考连接
1．若???x =1，y =2. 是关于x 、y 的方程ax -3y -1=0的解，则a 的值为______． 2．已知(x-2)2+|x-y-4|=0，则x+y= ． 3．定义运算“*”，其规则是a*b=a-b 2，由这个规则，方程(x+2)*5=0的解为 ． 4．如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点(-4,-2)， 则方程组???y=ax+b ，y=kx 的解是 ． 5．若关于x 、y 的方程组???x+y=5k ，x -y=9k 的解也是方程2x +3y =6 的解，则k 的值为（ ） A ．- 34 B ．34 C ．43 D ．- 43 6．解下列方程（组）： （1）2(x +3)-5(1-x )=3(x -1)； （2）143 2312=- --x x ； （3）（2012南京）31328x y x y +=-??-=? ； （4）???-=+-=+1)(258 y x x y x ．