函数(1)—— 函数的概念 改编：蒋星伟
[目标要求]
1、 理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依靠关系的一种数学模型；
2、 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．
[重点难点]
重点：函数的概念；
难点：对抽象符号()y f x =的理解．
[典例剖析]
例1：某班级学号为1～6的同学参与数学测试的成果如下表所示, 试将学号和成果的对应关系用“箭头图”表示在下图中．这种对应关系是函数关系吗？
① ② ③ ④
(2)在下列各组函数中, ()f x 与()g x 表示同一函数的是______(填出全部满足条件的序号) ①()1f x x
x =
+, ()g x = ②2()f x x =, ()2
()1g x x =+
③2()2x f x =，3
()2x g x x = ④()f x x =||, (0)()(0)x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩
．
例3：(1) 设函数f (x )＝4
1－x
，若f (α)＝2，则实数α＝________．
(2)已知函数31(0)()5(0)
x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩ 求2
()f a 及(1)f f []的值．
例4：求下列函数的定义域： (1) 1()2f x x =-； (2)1()f x x
=．
例5：某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远处的B 地, 在B 地停留1.5小时后, 再以65千米/小时的速度返回A 地． 试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示为时间t 的函数．
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 运用一 解一元二次不等式（无参数） 【例1】解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）2 120x x --≤； （3）2340x x +->； （4）2 1680x x -+≤． （5）12 - x 2 ＋3x －5＞0 （6）－2x 2＋3x －2＜0； （7）－2＜x 2－3x ≤10． 【答案】（1）{|1x x <-或4}3 x >；（2）{|34}x x -≤≤；（3）{|4x x <-或1}x >； （4）{|4}x x =.(5)?(6)R(7)[－2，1)∪(2，5] 【解析】（1）由题意，不等式234(1)(34)0x x x x --=+->，则不等式的解集为{|1x x <-或4 }3 x >； （2）由题意，不等式2 12(4)(3)0x x x x --=-+≤，则不等式的解集为{|34}x x -≤≤；
（3）由题意，不等式2 34(4)(1)0x x x x +-=+->，则不等式的解集为{|4x x <-或1}x >； （4）由题意，不等式2 2 (468) 10x x x =--+≤，则不等式的解集为{|4}x x =； （5）原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为? （6）原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R （7）原不等式等价于2232310x x x x ?->-??-≤??① ② ，①可化为x 2－3x ＋2＞0，解得x ＞2或x ＜1 ②可化为x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5] 【触类旁通】 1. 解关于x 的不等式 (1)2690x x -+≤．2 (2)3840x x -+->(3)x 2－2x ＋1<0(4)(4)4x 2－4x ＋1≤6； 【答案】(1){|3}x x =(2)2 {|2}3 x x <<(3)?(4){x |x ＝12}． 【解析】(1)∵函数269y x x =-+的图象开口向上，且与x 轴有唯一的公共点（3，0），∴原不等式的解集为 {|3}x x =． (3)∵23840x x -+->，∴(2)(32)0x x -+->，∵函数2384y x x =-+-的图象开口向下，且与x 轴的交点为（2，0），（ 23，0），∴原不等式的解集为2 {|2}3 x x <<． (3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个不同的解x 1＝x 2＝1. 根据y ＝x 2－2x ＋1的图象(如图(3)所示)，可得不等式x 2－2x ＋1<0的解集为?.
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解 4 函数的基本性质 一、典型例型解题思维（名师点拨） 知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性 知识点2 二次函数区间求最值 知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练 一、典型例型解题思维（名师点拨） 知识点1 ()(0)a f x x a x =+>的单调性 例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x =+. （1）判断()f x 的奇偶性； （2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】 （1）函数()f x 为奇函数； （2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x =+， 则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，
又4 4()()()f x x x f x x x -=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数. （2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有121212 44()()()()f x f x x x x x -=+ -+ 121244 ()( )x x x x =-+-121212 (4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴, 12 1212 (4)0x x x x x x -∴ -<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数. 名师点评：对于函数()(0)a f x x a x =+>主要性质如下： ①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数； ③单调性：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 在 上单调递减；在)+∞的单调增； ④值域与最值：当0x >时；()(0)a f x x a x =+> 值域为)+∞ ，当x = 小值
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数 学试卷 一、选择题（共8小题）. 1．i是虚数，复数＝（） A．﹣1+3i B．C．1+3i D． 2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（） A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线． A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝1 4．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D． 5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（） A．2﹣i B．﹣4C．2D．4 6．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（） A．B．C．D． 7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（） A．B．C．3D． 8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（） A．B．复数z的共轭复数为2﹣i C．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i 10．下列说法中正确的为（）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为30° 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin B B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（） A．△ABC是等边三角形 B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最大值为+3 D．四边形ABCD面积最小值为﹣3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知i为虚数单位，则的虚部是． 14．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的外接圆半径长为．15．如图，正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为．
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一平行班上学期期 末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合{}1M x x =>-，集合{}21N x x =-<<，则M N =（ ） A ．()2,1-- B ．()1,1- C ．()1,-+∞ D ．()2,-+∞ 2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于 A ． 35 B ．35 C ．45 D ．45 - 3．sin17cos13sin 73cos77︒︒︒︒+=（ ）．A B ． 12 C ． D ．12 - 4．设实数x 满足1x >-，则函数4 1 y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．若 21sin 2712sin α α +=-，则tan α=（ ） A ．43- B ．34 - C ．34 D ．43 6．已知函数()()47,2,2x a x x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩ 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 （ ） A ．()0,1 B ．(]1,3 C ．()1,4 D ．[)3,4 7．四个函数：①sin y x x =；①cos y x x =；①cos y x x =；①2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①①①① B ．①①①① C ．①①①① D ．①①①① 8．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成
过关练05 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足41a b +=，则11 a b +的（ ） A ．最大值为9 B ．最小值为9 C ．最大值为8 D ．最小值为8 【解析】因为正实数,a b 满足41a b +=， 所以 ()11114552944a a a b a b a b b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ ， 当且仅当4b a a b =，即123 a b ==取等号， 所以 11 a b +的最小值为9，无最大值. 故选：B 2．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则 41 11 m n + ++的最小值为（ ） A ． 134 B ．94 C ．74 D ．95 【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即 11 144 m ++=， ∴4111m n +++4 1141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝ ++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()1152 1414n m m n ++≥⋅++9 4 =，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 5 3 m =，13n =时等号成立. 故选：B . 3．（2022·云南红河·高一期末）函数()()21 0x x f x x x ++=>的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】当0x >时，()2111 1213x x f x x x x x x ++= =++≥⋅=， 当且仅当1x =时，等号成立，故()f x 的最小值为3. 故选：B.
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期 期中数学试卷（强化班） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（） A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（） ①y＝x﹣（x﹣3）； ②； ③； ④． A．4个B．3个C．2个D．1个 3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（） A．若a＞b＞0，则 B．若a，b∈R，则 C．若a＞b＞0且c＞0，则 D．若a＜b，则ac2＜bc2 4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6 5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）
A．B． C．D． 6．函数的递减区间是（） A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1） C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞） 7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（） A．B．C．D． 8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列叙述中正确的是（） A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0 B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件 C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“a＞1”是“”的充分不必要条件 10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）
03导数的运算（1） 编者：吴利华 【目标要求】 1．会利用导数的定义求一些常见函数的导数； 2．能利用一些导数公式解决一些问题． 【典例剖析】 1．求下列函数的导数： （1）415x y =； （2） 31y x = ； （3）y ； （4）y = 2． （1） 一质点运动方程为41s t =，求质点在t=2时的瞬时速度； （2）求曲线ln y x =在点M （1， 0）处的切线方程． 3．求过曲线cos y x =上点P （ 1,)32π且与这点处的切线垂直的直线方程． 4．若存在过（1,0）的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+ -都相切，求a 的值．
练习： 1．1y x =在点1(2,)2 处的切线方程为______________ 2．曲线3()f x x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴，直线x a =围成的三角形的面积为 16 ，则a=_______. 3．已知命题p ：函数f(x)=2x ；命题q ：f ’(x)=2，则命题p 是命题q 的_________条件 4．若()f x = '(1)f -等于_____________ 【学后反思】 1、 常见求导公式有：(1)()'______a x a =（为常数）；(2)()'______(0,1)x a a a =>≠ (3)(log )'_____(0,1)a x a a =>≠；(4)()'_____x e =；(5)(ln )'_____x =； (6)(sin )'______x =；(7)(cos )'_______x = 2、 若()(f x c c =为常数），则'()___f x =，其几何意义是_________________ 【作业反馈】 班级________姓名____________ 1．曲线212y x =在点1(1,)2 处的切线的倾斜角等于___________． 2．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =____________． 3．曲线y =(16,8)Q 处切线的斜率为_________________．
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解. 【详解】因为，是平面内一组基底，且， 由平面向量基本定理可得：， 所以，所以D不正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题。 2. 已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是( ) A．ln3 B．ln8 C. ln3 D．－3ln2 参考答案： C 3. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?，则M∪N=（） A．M B．N C．I D．?参考答案： A 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】图表型． 【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（?I M）=?，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项． 【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?的集合． 由图可得： M∪N=M． 故选A． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单． 4. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（）[ 来源:学科网ZXXK] ①与平行．②与是异面直线． ③与成角．④与垂直． A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④ 参考答案： B 略
江苏省天一中学2010-2021学年秋学期期末考试 高一数学（强化班） 命题人：蒋星伟审阅人：陈俊蜂 注意事项及答题要求： 1．本次考试时间为120分钟，满分为150分． 2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、学号用黑色笔写在答题纸上密封线内﹒的相应位置． 3．答题时请用黑色笔在答题纸上作答．．．．．．． ，在试卷或草稿纸上作答一律无效． 一、单项选择题：（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的．） 1．函数() f x =的定义域为（ ） A ．(]3,0- B ．(] 3,1- C ．() (],33,0-∞-- D ．() (],33,1-∞-- 2．设x ∈R ，则“2,6 x k k π π=+∈Z ”是“1 sin 2 x = ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必娶条件 3．已知某扇形的孤长为 32π，圆心角为2 π ，则该扇形的面积为（ ） A ． 4 π B ．93π C ．6 π D ． 2 π 4函数()213 ()log 6f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫ - +∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,2 ⎛⎤-∞- ⎥⎝ ⎦ C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1,22⎡⎫ - ⎪⎢⎣⎭ 5．已知非零向量a ，b 满足4a b =，且() 2a b b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 6．已知函数1()lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝ ⎭ ，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）
为了提高学生的数学竞赛水平，江苏省天一中学特设立了数学竞赛班。在这个班级中，学生们将接受专门的数学竞赛辅导和培训，以更好地参加 各类数学竞赛。 2024年，全国高中数学联赛江苏赛区进行了一场预赛模拟训练，为 学生们提供了宝贵的实战经验。下面是对这次模拟训练的详细描述。 这次预赛模拟训练分为两个部分，第一部分是选择题，第二部分是解 答题。 第一部分选择题共有30道题目，每道题目4分，满分120分。这部 分的题目主要考察了学生对数学基础知识的理解和应用能力。题目涵盖了 代数、几何、数论、概率和统计等不同的数学领域。学生们需要根据题目 的要求，仔细分析并选择正确的答案。 第二部分解答题共有5道大题，每道题目20分，满分100分。这部 分的题目要求学生进行深入的思考和分析，并给出详细的解题过程和解答。题目涵盖了数列、立体几何、函数与方程、概率论等多个数学领域。学生 们需要应用所学的知识和方法，独立解决问题，并写出清晰、准确的解答。 此次模拟训练的目的是帮助学生们熟悉竞赛题型和要求，提高他们的 解题能力和答题速度。通过这次训练，学生们能够了解自己在数学竞赛中 的强项和不足，并在老师的指导下进行进一步的学习和提高。 该模拟训练的结果也被用于评选数学竞赛班的入学资格和确定学生的 数学竞赛水平。只有在这次模拟训练中表现优异的学生才有机会进入数学 竞赛班，接受更高水平的数学教育和培训。 江苏省天一中学的数学竞赛班致力于培养学生的数学思维、创造力和 解决问题的能力。通过系统的数学竞赛培训，学生们能够更好地掌握数学
知识和方法，提高他们的分析思考能力和解题能力。这对于学生们提高数学成绩、参加各类数学竞赛以及进入理工类高校都有很大的帮助。 在数学竞赛班的学习过程中，学生们将不断接触到各类数学问题和挑战。通过解决这些问题，他们能够提升自己的数学水平，并培养对数学的兴趣和热爱。同时，数学竞赛班也会组织学生们参加各类数学竞赛，锻炼他们的竞赛技巧和应变能力。 总之，江苏省天一中学的数学竞赛班为学生们提供了一个很好的学习和竞赛平台。通过专业的数学竞赛辅导和培训，学生们能够充分发挥自己的潜力，提高数学竞赛成绩，为自己的未来奠定良好的数学基础。
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学 试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，复数z =2+i 2−i ，则复数z 的模为（ ） A ．2 B ．√5 C ．1 D ．√2 2．已知向量a → ，b → 的夹角为30°，|a → |=2，|b → |=√3，则|2a → +b → |=（ ） A ．√3 B ．3 C ．√31 D ．12 3．如图，正方形A 'B 'C 'D '的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为（ ） A ．4√2 B ．2√2 C ．√2 D ． √22 4．已知不重合的直线m ，n ，l 和平面α，下列命题中真命题是（ ） A ．如果l 不平行于α，则α内的所有直线均与l 异面 B ．如果m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 C ．如果m ⊂α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n D ．如果l 上有两个不同的点到α的距离相等，则l ∥α 5．在△ABC 中，B =π 4，BC 边上的高等于13 BC ，则cos A 等于（ ） A ．3√1010 B ． √10 10 C ．−√10 10 D ．−3√10 10 6．已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为3，D 为侧棱CC 1的中点，M 为侧棱AA 1上一点，且A 1M ＝1，N 为B 1C 1上一点，且MN ∥平面ABD ，则NB 1的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 2 D ．1 2
高三物理期中复习二——相互作用 一、学问总结 二、典型例题 1．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态．则( ) A．水平面对C的支持力等于B、C的总重力 B．B肯定受到C的摩擦力 C．C肯定受到水平面的摩擦力 D．若将细绳剪断，物体B开头沿斜面对下滑动，则水平面对C的摩擦力可能为零 2．如图所示，用一轻绳将光滑小球P系于竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，P、Q均处于静止状态，现有一铅笔紧贴墙壁从O点开头缓慢下移，则在铅笔缓慢下移的过程中( ) A．细绳的拉力渐渐变小 B．Q受到墙壁的弹力渐渐变大 C．Q受到墙壁的摩擦力渐渐变大 D．Q将从墙壁和小球之间滑落 3．(多选)如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开头时OB绳水平．现保持O点位置不变，转变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为F OA、F OB，则下列说法正确的是( ) A．F OA始终减小 B．F OA始终增大 C．F OB始终减小 D．F OB先减小后增大4．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图9所示．用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为( ) A. 3 3 mg B ．mg C. 3 2 mg D. 1 2 mg 5．如图所示，一根绳子一端固定于竖直墙上的A点，另一端绕过动滑轮P悬挂一重物B，其中绳子的PA段处于水平状态，另一根绳子一端与动滑轮P的轴相连，绕过光滑的定滑轮Q后在其端点O施加一水平向左的外力F，使整个系统处于平衡状态，滑轮均为光滑、轻质，且均可看做质点，现拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动一小段距离后达到新的平衡状态，则该平衡状态与原平衡状态相比较( ) A．拉力F增大B．拉力F减小 C．角θ不变D．角θ减小 6．如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图．一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处，起吊重物前，重物处于静止状态．起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢地移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最终把重物卸在某一个位置．则关于轻绳上的拉力大小变化状况，下列说法正确的是( ) A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变 B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小 C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大 D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变 7．如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上．现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧．则平衡时两球的可能位置是下列选项中的( )
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一（上） 期中物理试题（强化班） 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题 1. 关于质点，下列说法正确的是（） A．只有体积很小的物体才可以看作质点 B．计算火车通过大桥的时间时可把火车看成质点 C．物体抽象成质点后，物体的形状、大小和质量都可以忽略 D．地球绕太阳运行时，可忽略地球形状，看作质点运动 2. 1916年，爱因斯坦基于广义相对论预言了宇宙中存在引力波，他根据麦克斯韦的观点“电荷周围有电场，当电荷加速运动时，会产生电磁波”，提出了“当物体加速运动时，会辐射出引力波”的观点，这个研究过程采用了类比法。以下关于所用物理学的研究方法叙述不正确的是（） A．合力、分力概念的建立体现了等效替代的思想 B．牛顿第一定律是利用逻辑思维对事实进行分析的结果，能用实验直接验证C．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫理想模型法 D．研究变速运动时，把变速运动看成很多小段匀速直线运动的累加，采用了微元法 3. 下列关于加速度的描述中,正确的是( ??) A．速度方向为正时,加速度方向一定为负 B．当加速度与速度方向相同且又减小时,物体做减速运动 C．加速度在数值上等于单位时间内速度的变化 D．速度变化越来越快时,加速度越来越小 4. 下列各组物理量中，全部是矢量的是（） A．路程、位移、平均速度、速率 B．位移、瞬时速度、加速度、速度变化量 C．位移，速率、平均速率、加速度 D．质量、时间、速度、加速度
5. 在谷物的收割和脱粒过程中，小石子、草屑等杂物很容易和谷物混在一起。另外，谷有瘪粒，为了将它们分离，农民常用一种叫作“风谷”的农具分选，如图所示，它的分选原理是（） A．小石子质量小，飞得最远 B．草屑和瘪粒质量小，飞得最远 C．草屑和瘪粒的惯性最大，飞得最近 D．空气阻力作用使它们速度变化快慢不同 6. 关于重力及弹力的说法，正确的是（） A．压力和支持力的方向都垂直于物体的接触面，绳的拉力沿绳且指向绳收缩的方向 B．由胡克定律可知弹簧的劲度系数与弹力成正比，与形变量成反比 C．物体的重心位置跟物体的质量分布情况有关，与物体的形状无关 D．同一个物体在地球上各点，其所受重力大小一定相等 7. 在湖面上方竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中。不计空气阻力，认为小铁球在水中与在淤泥中受到阻力 分别为F 阻1、F 阻2 ，且F 阻1 、F 阻2 恒定，取向上为正方向，则下列图中最能反映 小铁球可能的运动情况的是（） A．B．C．
2022年高考数学三轮冲刺过关 查补易混易错01 函数与导数 1．函数概念与性质 （1）函数概念 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （2）函数性质 ①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。 ②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 ③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 2．幂函数、指数函数、对数函数 （1）幂函数 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 （2）指数函数 ①通过对有理指数幂(0,1,,0)m n a a a m n n >>≠且为整数，且、实数指数幂x a （a >0,且，a ≠1，x ∈R ）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 ②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 ③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 （3)对数函数 ①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 ②通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 ③知道对数函数log a y x =与指数函数x y a = 互为反函数（a ＞0，且a ≠1）。 3.一元函数导数及其应用 （1）导数概念及其意义 ①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。 STEP01 课标解读
专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类 【命题规律】 1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． 2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【核心考点目录】 核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 核心考点二：函数嵌套问题 核心考点三：函数整数解问题 核心考点四：唯一零点求值问题 核心考点五：等高线问题 核心考点六：分段函数零点问题 核心考点七：函数对称问题 核心考点八：零点嵌套问题 核心考点九：函数零点问题之三变量问题 核心考点十：倍值函数 核心考点十一：函数不动点问题 核心考点十二：函数的旋转问题 核心考点十三：构造函数解不等式 核心考点十四：导数中的距离问题 核心考点十五：导数的同构思想 核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 核心考点十七：三次函数问题 核心考点十八：切线问题 核心考点十九：任意存在性问题 核心考点二十：双参数最值问题 核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．1 2 - C ．1 2 D ．1 2．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ） A ．ππ22 -， B ．3ππ22- ， C ．ππ222 -+， D ．3ππ222 - +， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点 C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心 D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){} 2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至 少有3个零点，则实数a 的取值范围为______. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1, 11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪ =⎨+->⎪⎩则 12f f ⎛⎫ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()2 1,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【方法技巧与总结】 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高一强化班上学期期 末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}2log 2A x R x =∈<，{} 12B x R x =∈-<，则A B =（ ） A ．()0,3 B ．()1,3- C ．()0,4 D ．(),3-∞ 【答案】A 【解析】解不等式确定集合,A B 后，由交集定义计算． 【详解】由题意得：{}04A x R x =∈<<，{}13B x R x =∈-<<，即{}03A B x x ⋂=<<， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键． 2．“1n =”是“幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条 件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不 必要 【答案】A 【分析】由幂函数()() 22 333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得22331 30n n n n ⎧-+=⎨-<⎩ ， 由充分、必要条件的定义分析即得解 【详解】由题意，当1n =时，()2 f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立； 若幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数， 则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n = 故必要性不成立 因此“1n =”是“幂函数()() 2 2333n n f x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必 要条件 故选：A 3．已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝ ⎭，则sin 12πα⎛ ⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A B C ．D ． 【答案】C