班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1．【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等
于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】C. 【解析】
试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++
=.
2．【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则
1012
2log (222)a a a ⋅= （ ）
A.10
B.20
C.40
D.22log 5+ 【答案】B 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
101210
56125()54
222222a a a a a a a a ++
++⨯⋅⋅⋅===，所以
10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B.
3． 数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）
A ．
21
2
B ．21
C ．42
D ．84 【答案】B 【解析】
4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） （A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】
试题分析：因为112124912()
6()722
a a S a a +=
=+≥=，当且仅当496a a ==时取
等号，所以12S 的最小值为72，选D.
5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则
=-n
n
n S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 3
1 【答案】D
【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+=
-+，)(23313n n a a n
S +=，所以3
132=-n n n S S S .
6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）
A. 3
B.4
C.5
D.6 【答案】B
【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得
d k k ka d a 2
)
1(2)17(7711-+=-⨯+
，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B.
7．【2019新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）
A ．41n -
B ．21n +
C ．3n
D ．2n +
【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用． 【答案】A
8．【2019新课标II 学易大联考一】《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15
【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，是基础题. 【答案】D
【解析】由题知该女每天所织尺数等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则
7S =
177()
2
a a +=47a =21，所以4a =3，因为258a a a ++=53a =15，所以5a =5，所以公差54d a a =-=2，所以10a =55a d +=15，故选D.
9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()
n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A
【解析】设该设备第()
n n N *∈的营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()
n n N *∈年的营运费用总和为
12242n a a a n +++=++
+=
()
2222
n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为n
S 万元，则()
22119109n S n n n n n =-+-=-+-
()2
516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.
10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．1
2
-
C ．32-
D ．32
【答案】B
11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中
4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）
A ．第9项
B ．第10项
C ．第19项
D ．第20项 【答案】D ．
【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为
444567765
51555123
C C C ⨯⨯++=++
=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．
12．【2019浙江理6】如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且
1n n A A +=12n n A A ++，2n n A A +≠，n ∈*N ，112n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，n ∈*N （P Q
≠表示点P 与点Q 不重合）.若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.
S n
B 1
B 2
B n
B 3
B n+1A n+1
A 3
A n
S 1S 2
A 2
A 1
•••
•••
•••••••••
•••
A. {}n S 是等差数列
B.2
{}n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.2{}n d 是等差数列
【答案】A ．
【解析】设点n A 到对面直线的距离为n h ，则11
2
n n n n+S h B B =
. 由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，则121
2
n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直得到初始距离1h ，
那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，
那么11121
(tan )2
n n S h A A B B θ=
+⋅.由题目中条件知112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.
所以()112121
1tan 2n S h n A A B B θ=
⎡+-⋅⎤⎣
⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）
13．【2019江苏8】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2
123a a +=-，510S =，则
9a 的值是 ．
【答案】20
【解析】设公差为d ，则由题意可得()2
11
1351010
a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得14
3
a d =-⎧⎨
=⎩，则948320a =-+⨯=．
14.【2019北京理12】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则
6S =__________.
【答案】
6
15．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．
（1） 试问第n 层()
2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．
【答案】(1)
()61n -；(2)8.
16．【2019届江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列
{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则
1
B C A
+-的最小值为 ．
【答案】【解析】
试题分析：令1(1)n a a n d =+-，则1(1)
2
n n n S na d -=+， 又2n n a S An Bn C +=++ 所以2211(1)22
d d
a n d na n n An Bn C +-++-=++ 即得2d A =
，12d
B a =+，1
C a d =- 所以11122322
d d B C a a d A d d +-=++-+=+
因为0A >，所以0d >
23
2d d +≥=232
d d =即d =
所以
1
B C A
+-的最小值为
故答案为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2019届广东省惠州市高三第一次调研考试】（本题10分）已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，
2412a a +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k = 【解析】
1
8．【2019届宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比2
2
S q b = （1）求n a 与n b ；
（2）求
n
S S S 1
1121+
++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)
n n
S n =
+
【解析】
19．【2019全国甲理17】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （1）求1b ，11b ，101b ；
（2）求数列{}n b 的前1000项和． 【答案】（1）0,1,2；（2）1893． 【解析】
20．【江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设函数2
1
()1+f x px qx
=
+（其中220p q +≠），且存在无穷数列
{}
n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为
212()1n n f x a x a x a x =+++++
．
（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12
n n n n a b a a ++=
，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3
2n S <；
（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+． 【解析】
试题分析：（1） 由2
1()1+f x px qx
=
+，得22
12(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++
=，
可利用展开式含未知量的系数为0，求得2a ；
（2）由已知求出数列前两项，再由(3)n
x n ≥的系数为0得到数列的递推式，代入1
2
n n n n a b a a ++=后利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，放大后证得32
n S <
； （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a 的通项公式．
2
1.【2019年山西高三四校联考】（本小题满分12分）
在等差数列}{n a 中，11,552==a a ，数列}{n b 的前n 项和n n a n S +=2. （Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫+11n n b b 的前n 项和n T ．
【答案】（I ）12+=n a n ，⎩⎨
⎧≥+==)
2(,12)
1(,4n n n b n ；（II ）)32(2016+-=n n T n ．
（2）n=1时，20
11211==b b T ， n ≥2时，
)3
21121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n b b n n ， 所以 )
32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=
n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)
32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分） 22.【2019年江西师大附中高三二模】（本小题满分12分）
在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是.
（Ⅰ）求1a 的值；
（Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像
上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值
.
【答案】（I ）
；（II
）32-+．
【解析】 （Ⅱ）∵点
在函数的图像上，
∴，又∵
，∴ -------------7分 如图，连接MN ，在中，由余弦定理得
1a ()11,M a -1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭φπ<34φπ=MPN ∆
§6.2等差数列及其前n项和 【考点集训】 考点一等差数列的定义及通项公式 1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?() A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案C 2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是. 答案-1 3.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=. (1)求证:数列是等差数列; (2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n. 解析(1)证明:∵a =,∴=, n+1 ∴-=. ∴数列是以2为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)知a n=,∴b n==4-, ∴S n=4--…- =4-=. 考点二等差数列的性质 (2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a }满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=() n A.-3 B.3 C.- D. 答案A 考点三等差数列的前n项和 1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=() A.12 B.4 C.3 D.6 答案D 2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=() A.6 B.7 C.10 D.9 答案B 3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()
2021年高考数学专题复习导练测第六章第2讲等差数列及其前n 项和理新人教A版 一、选择题 1． {a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20 C．22 D．24 解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n 等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当S n取得最小值时，n＝6. 答案A 3．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )．A．－1 B．1 C．3 D．7 解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案B 4．在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为 ( )．
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析 依题意得S 15＝15a 1＋a 152 ＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝ 16 a 1＋a 16 2 ＝8(a 1＋a 16) ＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为 整数的正整数的个数是 ( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19 n ＋1 ＝ 7＋ 12 n ＋1 为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题 7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1．【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等 于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】 试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++ =. 2．【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则 1012 2log (222)a a a ⋅= （ ） A.10 B.20 C.40 D.22log 5+ 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 101210 56125()54 222222a a a a a a a a ++ ++⨯⋅⋅⋅===，所以 10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B. 3． 数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ） A ． 21 2 B ．21 C ．42 D ．84 【答案】B 【解析】
4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） （A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】 试题分析：因为112124912() 6()722 a a S a a += =+≥=，当且仅当496a a ==时取 等号，所以12S 的最小值为72，选D. 5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则 =-n n n S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 3 1 【答案】D 【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+= -+，)(23313n n a a n S +=，所以3 132=-n n n S S S . 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ） A. 3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得 d k k ka d a 2 ) 1(2)17(7711-+=-⨯+ ，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B. 7．【2019新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足 21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ） A ．41n - B ．21n + C ．3n D ．2n + 【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用． 【答案】A
第二讲 等差数列及其前n 项和 A 组基础巩固 一、单选题 1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 [解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－2 3－2＝2. 所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D. 2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 [解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5 ＝15，a 5＝5，所以S 9＝ a 1＋a 9 2×9＝2a 5 2 ×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D. 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 [解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 2 2＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3 ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10. 4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C ) A ．d ＝3 B ．a 10＝12 C ．S 20＝280 D ．a 1＝－4 [解析] 依题意，得S 10＝ a 1＋a 10·10 2 ＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2， 则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C. 5．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取 值范围是( D ) A ．d >875 B ．d <325
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练 34.等差数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27 2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100 D ．10 3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 4．(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩ ⎪⎨⎪ ⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的 前10项和为( ) A.11 12 B ．1011 C.910 D ．89
2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝ a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 3．(2019·南宁名校联考)等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18 D ．－27 4．(2019·中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫S n n 的前 11项和为 ( ) A ．－45 B ．－50 C ．－55 D ．－66 5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.47 44 升 D ．3733 升 6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30 7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2， 则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036 D ．－4 036 8．(2019·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N * )，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n <2T n B ．b 4＝0 C ．T 7>b 7 D ．T 5＝T 6
Earlybird 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级基础夯实练 1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3 ＝3，a5＝5，则S7 的值是() A．30B．29 C．28 D．27 a5－a3 解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1， 5－3 7a1＋a77 ×2a4 故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C. 2 2 2．(2018·唐山统考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8 等于() A．18 B．12 C．9 D．6 11a1＋a11112a1＋10d 解析：选D.由题意得S11＝＝＝22，即a1 2 2 ＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D. S12 3．在等差数列{a n}中，a1＝－2 017，其前n项和为S n，若－ 12 S10 ＝2，则S2 020＝() 10 A．2 020 B．－2 020 C．4 040 D．－4 040 S n
解析：选C.设等差数列{a n}的前n项和为S n＝An2＋Bn，则＝ n
Earlybird S n S12 S10 S n An＋B，∴{是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，n}10 {n} 12 S1 a1 S n 又＝＝－2 017，∴是以－2 017 为首项，1 为公差的等差数1 1 {n} S2 020 列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C. 2 020 4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)(n ∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{b n}满足b n＋b n＋1＝a n(n ∈N*)，其前n项和为T n，则下列结论正确的是() A．S n＜2T n B．b4＝0 C．T7＞b7 D．T5＝T6 解析：选D.因为点(n，S n)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以S n＝n2－10n，所以a n＝2n－11，又b n＋b n＋1＝a n(n∈N*)，数列{b n}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以b n＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D. 5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一 根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为() 67 A．1 升B．升 66 47 37 C. 升D．升 44 33 解析：选B.设该等差数列为{a n}，公差为d， 由题意得Error!即Error!
第2讲 等差数列及其前n 项和 配套课时作业 1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×2 2d ＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C. 2．(2019·宁德模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C 解析 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B 解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9 ＝54－9＝45.故选B. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( ) A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝ 10 a 1＋a 10 2 ＝ 10a 5＋a 6 2 ＝45.故选B. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9 ＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．36 答案 C 解析 由等差数列的通项公式及性质，可得 S 9＝ 9 a 1＋a 9 2 ＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45
1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，72 C.⎣⎡⎭⎫3，72 D.⎝⎛⎦ ⎤3，72 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 50－S 47＝12，则S 97等于( ) A ．198 B ．388 C ．776 D ．2 023 3．已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( ) A ．28 B ．29 C ．30 D ．31 4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为( ) A ．己丑年 B ．己酉年 C ．丙寅年 D ．甲寅年 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3a 5＝7a 11，且a 1>0.则使S n <0的n 的最小值为( ) A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 6．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( ) A ．a ，b ，c 依次成等差数列 B.a ，b ，c 依次成等差数列 C ．a 2，b 2，c 2依次成等差数列 D ．a 3，b 3，c 3依次成等差数列 7．(2022·全国乙卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3＝3S 2＋6，则公差d ＝________.
第六章 数 列 第二节 等差数列及其前n 项和 A 级·基础过关 |固根基| 1.(2019届南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2，故选B ． 2．(2019届合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N * )，a 5＋a 7－a 2 6＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 解析：选D 解法一：设等差数列的公差为d(d>0)，由题意得(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2 ＝0，即(a 1＋5d)·(2－a 1－5d)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2.又{a n }为正项等差数列，所以a 1＋5d>0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×10 2 d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22，故选D ． 解法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 2 6＝0，得2a 6－a 2 6＝0，所以a 6＝2，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 6 2 ＝11a 6＝22，故选D ． 3．(2019届贵阳市质量检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 9＝8，则(a 2＋a 8)2 －a 5＝( ) A ．60 B ．56 C ．12 D ．4 解析：选A 因为在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝2a 5＝8，所以(a 2＋a 8)2－a 5＝64－4＝60，故选A ． 4．(2019届广东七校第二次联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选D 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6， a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得 ⎩ ⎪⎨⎪⎧a 1＝15， d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＝－2×8＋17＝1>0，a 9＝－2×9＋17＝－1<0，所以S n 取得最大值时
专题6.2 等差数列及其前n 项和 1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 【答案】C 【解析】 5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a = ()177477142 a a S a +∴= ==，本题选C 。 2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则3111 9a a a ++=（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a = 311191139a a a a ∴++== 本题选B 。 3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6- C ．2- D ．4 【答案】A 【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2， ∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。 4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则
5a =（ ） A ．2 B ．2或32 C ．2或-32 D ．-1 【答案】B 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠）， 1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或， 451a =a q ∴，5a =232或， 故选B. 5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠， 由111a b ==，53a b =，可得2 14d q +=， 则22 91812(1)211a d q q =+=+-=->-， 可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。 6．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、 4a 成等比数列，则 114 3 a a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】设等差数列{}n a 公差为d 1a 、2a 、4a 成等比数列 2 214 a a a ∴=
等差数列 (1)理解等差数列的概念． (2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． (4)了解等差数列与一次函数的关系． 知识点一 等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． 2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫作a ，b 的等差中项． 易误提醒 1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [自测练习] 1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2. 答案：B 2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝7 4 ，
第3讲 等比数列及其前n 项和 一、知识梳理 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即： G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1 ． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N + (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2 r ． (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列． (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公
比q ≠－1)． 常用结论 1．正确理解等比数列的单调性 当q >1，a 1>0或01，a 1<0或0
0时 ，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列； 当q ＝－1时，{a n }是摆动数列． 2．记住等比数列的几个常用结论 (1)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2 n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 仍是等比数列． (2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (3)一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 次幂． (4){a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n ，… 成等比数列． (5)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n (k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 1 1－q . (6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
第02节 等差数列及其前n 项和 【考纲解读】 【知识清单】 一．等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥. 2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2 a b A += . a ，A ，b 成等差数列⇔2 a b A += . 4.等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 对点练习： 【2017届某某省某某市二模】在等差数列中，若 ，则 _______. 【答案】 二、等差数列的前n 项和 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-==+. 对点练习： 【2018届某某省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14k S -=， 9k S =，则k a =__________，1a 的最大值为__________． 【答案】 54. 【解析】15k k k a S S -=-=，因为()1592 k k a S +==，又k 的最小值为2，可知1a 的最大值为4. 三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ， 8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ， q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．
2020届高考数学（理）大一轮复习增分练： 等差数列及其前n 项和 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝1 2 n 2－2n 解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为⎩⎨⎧S 4＝0， a 5 ＝5，所以⎩⎨⎧4a 1 ＋4×32d ＝0，a 1 ＋4d ＝5， 解得⎩⎨⎧a 1 ＝－3， d ＝2， 所以a n ＝a 1 ＋(n －1)d ＝－ 3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋ n （n －1） 2 d ＝n 2－4n .故选A. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为⎩⎨⎧S 4＝0， a 5 ＝5，所以⎩⎨⎧4a 1 ＋4×32d ＝0，a 1 ＋4d ＝5， 解得⎩⎨⎧a 1 ＝－3， d ＝2. 选项A ，a 1＝2×1－5＝－3； 选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－3 2 ，排除D.故选A. 2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B ．11 C ．50 D ．60 解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋ 11×10 2 d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.
6.2 等差数列及其前n 项和 必备知识预案自诊 知识梳理 1。等差数列 （1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。 (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 . (3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d. （4)等差数列的前n 项和公式:S n =n ( n 1+n n ) 2 =na 1+n (n -1)2 d. 2。等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。 （2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。 1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和. (1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q
时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。 （2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。 (3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列. (5)若项数为偶数2n,则S2n=n （a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇 =nd;S奇 S 偶=a n a n+1 。 (6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1= （2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇 S 偶=n n-1 。 2.若数列｛a n}与｛b n}均为等差数列， 且前n项和分别是S n和T n，则S2m-1 T2m-1=a m b m 。 考点自诊 1。判断下列结论是否正确,正确的画“√”，错误的画“×”. （1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（) (2）已知数列｛a n}的通项公式是a n=pn+q(其中p，q为常数）,则数列{a n｝一定是等差数列.() (3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n 的一次函数.（)
§6.2 等差数列及其前n 项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系. 主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查．难度为中低档. 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． (7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .
高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答 案 学案30等比数列及其前n项和 导学目标：1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式3了解等比数列与指数函数的关系4能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________ 3．等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝a•________ (n，∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且＋l＝＋n (，l，，n∈N*)，则__________________________． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列． (4)单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列． ．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn ＝na1； 当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n －S2n仍成等比数列，其公比为______． 自我检测 1．“b＝a”是“a、b、成等比数列”的() A．充分不必要条 B．必要不充分条 ．充要条 D．既不充分也不必要条