【不定积分的第一类换元法】
已知 f(u)du F(u) C
【求不定积分
g (x)dx 的第一换元法的具体步骤如下：】
(1) 变换被积函数的积分形式： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx
(2)
凑微分： g(x)dx f( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x)
(3) 作变量代换 u (x)得： g(x)dx f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d (x) f (u)du (4)
利用基本积分公式 f(u)du F(u) C 求出原函数：
g(x)dx
f ( (x))
'(x)dx
f( (x))d
(x)
f (u)du
F(u) C
(5) 将u (x)代入上面的结果，回到原来的积分变量 x 得：
g(x)dx
f ( (x)) '(x)dx f ( (x))d
(x) f (u)du F(u) C F ( (x)) C
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量
u
(x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
, , sin x , sin xdx d cosx
3(1) tan xdx ------------- dx ------------- --------------
(5x 7)9d (5x 7)
1 1 (5x
5 10
7)10
C — (5x 7)10
50
【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, dx 1 gd(5x 7)
2、 ln x , —dx x
In x d In x .1 .. ln x — dx ln x x 1 2 2 (ln x)
d In x 1 2 - ^(lnx) C 1 【汪】(lnx)'- x
d(ln x) 1dx, x
1dx x d(ln x)
cosx cosx cosx
cosx
求 g(x)dx
f( (x)) '(x)dx f( (x))d (x) f (u)du F(u)
F( (x)) C
【凑微分】
C 【做变换，令u
【变量还原，u
(x),再积分】 (x)】
d cosx
【注】 3 (2)
d cosx cosx
(cosx)' cot xdx d sin x sin x
(sin x)' In |cosx | C In |cosx | C
sin x, d (cos x) cosx , dx sin x cosxdx sin x sin xdx, sin xdx d (cos x) In |sin x | C In |sin x | d sin x sin x
cosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x) 4 (1) a
—dx x —dx a x
1 a x
d(a x)
a
—d(a x x) ln |a x| C ln |a x| | C
【注】 (a
x)' 1,
d (a x)
dx,
dx d (a x)
4 (2) x —dx a —dx x a
1 x a
d(x a)
x
—d(x a a) ln |x
a| C ln| x a |
C
【注】 (x
a)' 1,
d (x a)
dx,
dx d (x
a)
【注】 …、 1」
4 ( 3) ———dx x a
1
2dx a
2a
dx
a
2a
1
dx a
1
dx a
1 , ——In | x a | In | x a | 2a ——
In 2a
/ ， 、 2 ，
5(1)
secx d x secx(secx tanx)d x sec x secxtanx d x secx tanx secx tanx d(tanx secx) d(tanx secx) ln | secx tanx| C secx tanx secx tanx
1 , cosx . cosx dx dsinx secxdx dx
2 dx 2 』
? 2
cosx cos x cos x 1 sin x 5 (2) d sin x 1 1 sin 2x 2
1 sin x 1
1 sin x 1 C 1 , 1 sin x
-ln -------------
2 1 sin x
(1)
csc xdx
cscx(cscx cot x), dx
cscx cotx
____2
___
一
csc x cscx cot x , dx
cscx cotx
d( cotx cscx) d(cscx cot x)
ln |cscx cotx| C
(2)
2 , cscx d x cscx(cscx cotx)d x csc x cscx cot x d x
cscx cot x cscx cotx
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
10 (1) 10 (2)
11
d( cotx cscx)
cscx cot x
d (cscx cot x)
cscx cot x
In |cscx cotx|
1
、1 x2
dx
arcsin x C
?.,a
2
2dx
1 x
_? 3
sin
—dx
x
5
xcos
x arcsin
— C
a
dx
2 x
xdx
dx
2 x
_? 2
sin 5
xcos x
dx
sin
xdx
_? 2
sin 5
xcos d cosx
5
(1 cos x) cos
3 ____ 5
sin xcos xdx
3 2 2
sin x(1 sin x)
dx
xln x
dx
xln2 x
7 5
x d cosx (cos x cos x) d cosx
8
cos x
8
6
cos
_? 3
sin
d sin
1 dx
ln x x
1
ln
4 3 4
xcos x cosxdx sin xcos dsinx
dx
/ ? 3 5
(sin x 2sin x
1 ..
——d ln x
ln x
_1
ln2 d ln
x
? 7
、
sin x)
d sin x
2 xdx
-4 -~2 -
x 2x 2
2 xdx
-4 c 2 ~
x 2x 2
xdx
x 2x 5
1 2 xdx
2 x42x25
1 -arctan-
a 0)
6x C
.■- 4 sin
x
4
一?一6
sin
x
3
1
ln
d In
x
1
ln2
In In x
d ln x —C ln
x
dx2 2x2
2
d(x2
2
1) , , 2 八
—2 arctan(x 1)
(x」1)
dx2
x42x25
1 d(x21)
2 4 (x21)2
12、 13、 14、 18、 19、
d(x 2 1)
2 4 2 1 —
sin x -
------- dx sin 、x x 2 1
-arctan(^— 4 2
1) C dx
sin 、x ------ dx 2 x 2 sin 一 x d x
2 sin x d x 2cos x C e 2x dx 1 e 2x d2x 1 2
e 2x d2x
2cos 、x C
3 ___ .
sin x cosxdx
(2x 5)100
, (2x 5)100 xsin i x 2dx ln x x 、1 ln x
J
lnx c
15、 1 2
16、 dx 17、
x
dx d(2x ? 3 sin (2x 5) x cosxdx 100 5) dx I 0I
(2X
sin x 2 xdx 1 . si n 2
.1 ln x x
1 --- 1
ln x ____ d ln x .1 ln x
1 In x d(1 In x)
3
ln x)2
arctan x
〉x
_1_ 2 1 x 2
?3
sin x d sin x
?3
sin x d si n x
(2x 5)100 5)101 C 1 dx
ln x
「ln x
1
--------d(1 ln x) 、1 lnx
1
2(1 ln x)2 C
arctanx
e
arctanx
e
1 Tx
7 xdx
_1_ 2、1 x 2 d(1 x 2
)
.1 x 2 C
1 1
2d(2x 5) 2 (2x —(2x 5)101 C 202
sin x 2
d In x
d arctan x dx 2
5)100 d(2x 5)
dx 2
1
cosx 2
(1 ln x)
— 1 dln ln x
arctan x
e
_1_ 2.1 x 2 d arctan x
arctan x
e C
2
d(1 x )
21、
22、23
、24、
25
、
sin x ,
dx
cos3x
dx
1 2x x
dx
x2 x 2
--------- sin xdx
cos3x
ln
d(x 1)
—e x dx
e
x 1dx
x
dx
.2 (1 x)2
dx
(x
/ 1、2 / 7 2
(x 2) (2)
2 arctan
sin xcosx
―「a2sin 3 2
cos
x
dx,
【分析】因为:
2 2
(a sin x
所以:
2 2
d(a sin x
.cos3x
y de x !
1
2
In x ln2x
d(1 x)
1
1
2 e
d In x
2 (1
d
ln2x
x)2
e x d(2
d(x ；)
(1 \2
(x 2)
1
x
---- 2 C
7 C
2 2
b cos x)'
d cosx
3 1
cos 2 xd cosx 2cos 2 x C
e x) ln( 2
d(1 x)
sin x cosxdx
sinxcosx
2
"7
b2
2。-
a 2sin
2 2
cos x)
__
1
2(a2
2 . 2 7~2dx
■- a sin x b cos x
2(a2
.(2)2 (1 x)2
d(x 1)
(x 1)2 (27)2
arctan2? C
■ 2
xcosx b 2cos x( sin x)
■ 2、
b )sin xcosxdx
2 ■ 2 2
丁d (a sin x b cos b )
sin xcosxdx
_2 . 2~ ■- a
sin x 2 2
b cos x
x)
1
"~2T2
a b
d(a2sin2x b2 cos x) 1
a2 b2 2 a2 sin2 x b2 cos x
.1 x _ arcsin C
一2
2(a2.2.. b )sin xcosx
.2 2 、
x_b cos x)
2、a2 sin2 x b2 cos2 x
d(a2 sin2
、a2sin2x b2 cos2 x C
1
令' xt
1 o 1
—dx 2 厂^ dt 厂^ 2tdt
变量还原
2 t ln|1 t| C 2 、x ln|1 、,x|
t x
1
d(t 1)
2
1
2(t 1)dt 2 "dt
2 1 1 dt t
t t t
变量还原
_
_
2 t ln|t| C 2 1 >x ln|1 ，x| C t 1 x
【不定积分的第二类换元法】 求 g(x)dx g( (t))d (t) g( (t)) '(t)dt 【做变换，
令 (t),再求微分】
【第二换元法例题】 f(t)dt F(t)
_
1 -
F( (x)) C
【求积分】
【变量还原,
1 _
(x)】
x t
2
平
dt 2
sint
2tdt 2sintdt
变量还原
2cost C
2cos x C
1)
4
t
1 2 dt 2 1 dt
1 t
1 t
C
1 令1+j x t
dx 2 2
1 V x
x (t 1f
1
t 4(t31)3 3t2dt (t3 1)2
4、 5、 12 (t 6 t 3
)dt 12
1 d x x(1 x)
2arctant
1 7 dx 1 e x
x t 2
变量还原
令e x
Int
In |t| In |1 t| t 7 t 4
1
2~- t(1 t)
dt
变量还原
t(1 t 2
)
2arctan 、x C
1
——d lnt 1 t
In
1 dt t
变量还原
e x
In
dx (1 ：x)；
x 令6x t
x t 6
1 (1 t 2)t 3
dt 6
6(t arctan t) 变量还原
C t 6
x 6( x
【注】被积函数中出现了两个根式 dx 7(1)
1 &
2 x t 3
2
123
顽
2tdt
-------- dt t(1 t)
x e
x
1 e
1 5
——6t 5dt (1 t 2)t 3
arctan V x) C
m .— n —
k :—
*, 时，可令Vx
，t
t 2
t ln|1 j 2
1 t|
dt
-y dt t 2
dt
k 为m, n 的最小公倍
数。
变量还原
6 3
6
t x
3
(x 2)2
t 2
ln|1 2|
t 1x
x
2t 2ln|t
ln| —
x
1
|
ln|t 2 1| C
【注】被积函数中含有简单根式气
ax
n ax b 或
\ cx 时，可令这个简单根式为
t,即可消去根式。
8(1) 8 (2)
dx
x8(1
t7t5
x2)
t3
1 in x
(x in x)2
变量还原
令
1
t x
d
1
t
1 x -
1
t
arctan
t
令
1
t
x
dx
变量还原
C
2
tint
(1
Jdt
1 1
in -
t
ln
lnt)dt
x in x
【注】当被积函数中分母的次数较高时,
9、
1 sinx ,
dx
cosx)
sinx(1
1
2 - dt
t
2 5 变量还原tan
-
令tan
x
t
2
x 2arctant
t2
1
7x7
tan
言
1
t2
5x5
Mdt 1
t2t6 t4 t2
1
3x3
2
1 tint
可以试一试倒变
换。
1 -2L
2
1 t2
H)
1 t2
1 2i n|t l
1 x
Tn |tan—
|
2 2
in1
t
1八arctan
— C
x
2
in1
t
/2dt ft tint
d(1 tint)
1 tint
d2arctan t
2
1 t2
- 2
皂(1 1A) 1 t
1 t2
2dt
1 t2
【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。
令x asint, |t| —
10 (1) va2dx va2a2sin2t dasint a2 cos2tdt
. —? x
t arcsin-
a
dx
令 x asint, |t|
2
dasint . .x
t arcsin
a
2
. 2.
a sin t
dt
变量还原
C
t
一 -x arcsin
a
? x c arcsin
C a
1 cos2t , ---------- dt
2
2
(1 cos2t)dt sin2t
变量还原
+
. x
t arcsn
a
2
a… —arcsin — 2
2xa
10 (2)-=
,孑
dx 变量还原 . .x t arctan
a
因为: 所以:
即:
令 x atant,|t| —
2
datant .x arctan
a
a 2
~a 2
tan t
seddt ln|sed tant|
x ln|- a —
2 a x
--------- | C ln|x ,a 2 x 21
(x . a 2 x 2
)' 2 a 2 x 2
(x 、a 2 x 2)'dx 2、a 2 x 2dx
2
a
dx
、a 2 x 2
x 2dx (x a 2 x 2
)'dx
—dx 2 x
ln |x
x 2 | C
/、 dx 10 (3)
.x 2
aseC,0 t —
2
变量还原 x a sect
因为:
所以:
即:
x ln |
- a a 〉se (2t
sectd t In |sect tant |
2 2
■- x a
--------- 1 C ln|x a
(x x 2 a 2)' 2、x 2 a 2
(x . x 2 a 2)'dx 2 . x 2 x 2 a 2dx -
2
2
a
x 2
a 2dx
2
a
—
2一 x =dx 2 a
(x x 2 a 2)'dx a 2
：—^~~^ ,x a 2
dx
【注】当被积函数中出现..a 2 x 2,... a 2 x 2,?.x 2 a 2因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。
【附加】【应用题】
已知生产x 单位的某种产品，边际单位成本是C'(x) (C 也)' 100
，产量为1个单位时，成本为102,
x x
又知边际收益为 R'(x) 12 0.1x ，且R(0) 0, 求：(1)利润函数L(x)；
(2) 利润最大时的产量； (3) 利润最大时的平均价格。 【解答】
(1) 因为：C'(x)(耍)’哗
x x
- 二，、100 100 - -
所以：C(x)——C 1 ,由 C 1(1) 102 得：C 1 2, C(x)——2, C(x) 100 2x
2
又已知：R'(x) 12 0.1x, R(0) 0 , R(x) 12x 0.05x 于是：L(x) R(x) C(x) 10x 0.05x 2 100
(2) 令 L'(x) 10 0.1x 0得：x 100
因为：L'(100) 0, L"(100) 0,所以当 x 100时利润最大，L m ax (100) 400
i r~2
2
-xvx a 2
2
_________
奏
n|x C
(3)利润最大时的平均价格为：P 皿)迎7 100
100
【第一换元法例题】
1、(5x 7)9dx (5x 7)9 dx (5x 7)9 1d(5x 7) * 1 (5x 7)9 d(5x 7)
、/ 、/ 、/ \ Z \ Z \ Z
5 5
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则 根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据 复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的 微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它 内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
§ 换元积分法 Ⅰ 授课题目 § 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积 表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则
【不定积分的第一类换元法】 已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）