第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1)
思路: 被积函数52
x
-
=,由积分表中的公式(2)可解。
解:
53
2
2
23x dx x C --
==-+?
★(2)
dx
-
?
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
33322
23()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+????
★(3)22
x
x dx +?
()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++?
??()
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+??
★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积
分。
解:4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++??? ★★(6)2
21x dx x +?
思路:注意到
22222
111
1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:22
21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++???
注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。
★(7)x dx x x x
?
34134(
-+-)2 思路:分项积分。 解:34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-
+-)2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★
(8)
23(1dx x -+?
思路:分项积分。 解
:2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?
? ★★
(9)
思路
=?
1117248
8
x
x
++==,直接积分。
解
:
7
15
8
88
.15x dx x C ==+?
?
★★(10)
221
(1)dx x x +?
思路:裂项分项积分。 解:
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21
1
x x
e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11
x x x x x
x
x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)
3x x
e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然33x x x
e e =()。
解:333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+??
()
() ★★(13)
2
cot
xdx ?
思路:应用三角恒等式“2
2
cot csc 1x x =-”。 解:22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+??
★★(14)23523x x x dx ?-??
思路:被积函数
235222533
x x x
x ?-?=-(),积分没困难。
解:2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ?-?=-=-+-??(()) ★★(15)2cos 2x dx ?
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++?? ★★(16)1
1cos 2dx x +?
思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。
解:
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x
dx x x -?
思路:不难,关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解:
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22cos 2cos sin x
dx x x ??
思路:同上题方法,应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”,分项积分。
解:22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-??????
22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??
★★(19)
dx +?
思路:注意到被积函数
==(5)即可。
解:
22arcsin .dx x C ==+?
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x ++?
思路:注意到被积函数
222
2
1cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x
++==++,则积分易得。 解:221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++?
?? ★2、设
()arccos xf x dx x C =+?,求()f x 。
知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:直接利用不定积分的性质1:[()]()d
f x dx f x dx =?
即可。 解:等式两边对x 求导数得:
()()xf x f x =∴=
★3、设
()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体。
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:连续两次求不定积分即可。
解:由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以
()f x 的原函数全体为:112cos sin x C dx x C x C -+=-++?()。
★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx -的原函数
知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:只需验证即可。 解:
2x x e e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d
e e shx e chx e dx dx dx
===1()2
★5、一曲线通过点2
(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积
函数的关系。
思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为()y f x =,由题意可知:
1
[()]d f x dx x
=,()ln ||f x x C ∴=+; 又点2
(,3)e
在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,
所以曲线的方程为
()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是2
3(/)t m s ,问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的
关系。
思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。 解:设物体的位移方程为:()y f t =,
则由速度和位移的关系可得:
23[()]3()f t t f t t C =?=+d
dt
, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1)
3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米;
(2)
令3
360t t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点:练习简单的凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。 解:234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =
-=--=-
2222
111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255
112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+
2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形
式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
★(1)
3t e dt ?
思路:凑微分。 解:33311(3)33
t
t t
e dt e d t e C =
=+?
? ★(2)
3
(35)x dx -?
思路:凑微分。
解:3
3411
(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d
★(3)1
32dx x -?
思路:凑微分。 解:
1111
(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
?
思路:凑微分。
解:12
33
111
(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+??? ★(5)
(sin )x b
ax e
dx -?
思路:凑微分。
解:11
(sin )sin ()()cos x
x
x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =,凑出d 易解。
解:
2C ==+?
★(7)
102tan sec x xdx ?
思路:凑微分。 解:10
210111
tan
sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+?
? ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解:
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)
?
思路:
是什么,是什么呢?就是!这有一定难度!
解:ln |C ==-+?
?
★★(10)
sin cos dx
x x ?
思路:凑微分。 解:
方法一:倍角公式sin 22sin cos x x x =。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx
xd x x x C x x x ===-+???
方法二:将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。
2
2cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????
方法三: 三角公式2
2
sin cos 1x x +=,然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+??????
ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+
★★(11)
x x dx e e -+?
思路:凑微分:222
111()x x x
x x x x
x dx e dx de de e e e e e -===++++。
解:22
arctan 11()
x x
x x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)
2cos()x x dx ?
思路:凑微分。 解:2
22
211cos()cos sin 22
x x dx x dx x C =
=+?
? ★★(13)
思路:
22==凑微分易解。 解
:
1
2222
11(23)(23)66x d x C -=-=---=?
★★(14)
2
cos
()sin()t t dt ωω?
思路:凑微分。
解:2
2
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω
=
=-
?
??
31
cos ().3t C ωω
=-
+ ★★(15)3
431x dx x -?
思路:凑微分。
解:33444
444433431313(1)ln |1|.4444
1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----???? ★(16)
3sin cos x dx x ?
思路:凑微分。 解:
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+?? ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
:
9
10
10
10111010C ===+?
★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。 解
:
=-
2
2
121
4
238
121
94
238
12
arcsin().
23
x
x
x
x
x
C
=-
=+-
=+
??
?)
★★(19)2
21
dx
x-
?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解
:
2
1
212
dx
dx
x
==-
-
??
1)1).C
=
=-+=+?
★(20)2
(45)
xdx
x
-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:
222
1454111
4(45)
(45)5(45)2545(45)
xdx x
dx d x x x x x
--
=-=------
???
()()
2
1141141
(45)(45)ln|45|.
254525252545
(45)
d x d x x C
x x
x
=---=-++ --
-
??
★(21)
2
100
(1)
x dx
x-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:
222
100100100100100
(11)(1)(1)1
(2)
(1)(1)(1)(1)(1)
x dx x dx x x
dx x x x x x
-+--
==++
-----
???
9899100
111
(2)(1)
(1)(1)(1)
d x
x x x
=++-
---
?
979899
111111
.
97(1)49(1)99(1)
C
x x x
=---+
---
★★(22)
81xdx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:
28444444111111
()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? 222224222
2222211111111[()][(1)(1)]42811111
11111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =
--=--+-++-+--=-+++???? ★(23)
3cos xdx ?
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。
解:3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-????
31
sin sin 3
x x C =-+
★★(24)
2
cos
()t dt ω?+?
思路:降幂后分项凑微分。 解:2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()2
24t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω+++=
=+++?
???
11sin 2()24t t C ω?ω
=+++ ★★★(25)
sin 2cos3x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:111
sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =
-=-?
??? 11
cos5cos 102
x x C =-
++ ★★★(26)
sin5sin 7x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:111
sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =
-=-?
??? 11
sin 2sin12.424
x x C =-+ ★★★(27)
3
tan
sec x xdx ?
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。
解:3
2
2
2
tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-??
?
?
231
sec sec sec sec sec 3
xd x d x x x C =-=-+??
★★(28
)
arccos x ?
思路:
(arccos )d x =-。
解
:
arccos arccos arccos 1010
arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+?
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
:
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+?
★★★★(30
)
思路:
==。
解
:
==?
2C =+
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ?
思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2
sec x ,
22
ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x
dx dx xdx d x x x x x x x
=== 21
ln tan (ln tan )((ln tan ))2
xd x d x ==
解:2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x
===???? 21
(ln tan )2
x C =+
★★★★(32)
21ln (ln )x
dx x x +?
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+
解:
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+?? ★★★★(33)
1x dx e -?
解:方法一:
思路:将被积函数的分子分母同时除以 x
e ,则凑微分易得。
11()(1)ln |1|1111
x x x x
x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----???? 方法二:
思路:分项后凑微分
11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---????1(1)1x
x
x d e e =---? ln |1|ln(|1|)x
x
x
x e C x e e C -=--+=--+
(ln ln |1|)x
x
x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+
方法三:
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x
e ,裂项后凑微分。
111ln (1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??
????? ln |1|x
x e C =--+ln |1|x
e
C -=--+
★★★★(34)
6(4)dx
x x +?
解:方法一:
思路:分项后凑积分。
6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??
+-===- ?++++??
???? 66611(4)11
ln ||ln ||ln |4|4244424
d x x x x C x +=-=-+++?
方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =,则2
1
dx dt t =-
。 66626
66
6611(4)1(41)()12424(4)14144
114
ln(14)ln(1).
2424dx t d t d t dt x x t t t t t C C x
+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)
82(1)dx
x x -?
解:方法一:
思路:分项后凑积分。
8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx
dx dx x x x x x x x -+-++==+----???? 2468
1(1)(1)x x x dx
dx x x x +++=+-+?? 8642
211111
()1dx dx x x x x x =++++-?
? 753111111ln 75321x C x x x x x
-=-
----++ 方法二: 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1
x t =
,则21dx dt t
=-。 88642
822222
11()(1)1(1)11
1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t
∴=?-=-=-++++----???? 642642
2753751111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C
t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。
知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。
思路分析:题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等
式起到了重要的作用。
2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=
为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角
范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。
★★★(1
)
思路:令sin ,2
x t t π
=<,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。
解:令sin ,2
x t t π
=<
,则cos dx tdt =。
22cos sec 1cos 1cos 222cos 2
tdt dt dt t t
dt t t d t t t ∴==-=-=-++?????
tan arcsin .2t t C x C =-+=
(或arcsin x C =-
+) (万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t
t t
-==
+,又sin t x =
时,cos t =) ★★★(2
)
思路:令3sec ,(0,)2
x t t π
=∈,三角换元。
解:令3sec ,(0,
)2
x t t π
=∈,则3sec tan dx t tdt =。
223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3
3tan 33arccos .
||t t tdt tdt t dt
t t t C C x ∴===-=-+=+???
(3sec x x =时
,3
cos ,sin tan x x x x
==
=) ★★★(3
)
思路:令tan ,2x t t π
=<,三角换元。
解:令tan ,2
x t t π
=<
,则2
sec dx tdt =。
23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+??? ★★★(4
)
思路:令a tan ,2
x t t π
=<,三角换元。
解:令tan ,2
x a t t π
=<
,则2
a sec dx tdt =。
233222sec 11
cos in sec sec .
a tdt dt tdt s t C
a t a t a a C ∴====+=
+???
★★★★(5
)
2
思路:先令2
u x =,进行第一次换元;然后令tan ,2
u t t π
=<
,进行第二次换元。
解
:222412x x
=+
?,令2u x =得:
212=
,令tan ,2
u t
t π=<,则2
sec du tdt =,
222
11tan 11tan 1sec sec 22tan sec 2tan 111
(csc sec )ln sec tan ln csc cot 222
1111
1
ln ln .22
2
2
t t tdt tdt t t t t t dt t t t t C u C x C u ++∴=
==?=+=++-+=
++=+???
(与课本后答案不同)
★★★(6)
思路:三角换元,关键配方要正确。 解:
22549(2)x x x --=-+
,令23sin ,2
x t t π
+
=<
,则3cos dx tdt =。
21cos 21
9cos 99(sin 2)224
92arcsin .23t t tdt dt t C x C +∴===+++
=??
★★4、求一个函数
()f x ,满足'
()f x =
,且
(0)1f =。
思路:(0)1f =确定出常数C 的值即可。
解
:
(1).
1x C x
=+=++?
令(
)f x C =+,又(0)1f =,可知1C =-,
() 1.f x ∴=
★★★5、设tan ,n n
I xdx =?,求证:1-21
tan 1
n n n I x I n -=
--,并求5tan xdx ?。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n
x 分开成2
2tan tan n x x -,进而写成:
22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-,分项积分即可。
证明:222222tan (tan sec tan )tan sec tan n n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-????
2122544253142421
tan tan tan .1111
5tan tan tan tan 442
1111
tan tan tan tan tan ln cos .4242
n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=
--===-=-+=-+=--+???时,
习题4-3
1、 求下列不定积分:
知识点:基本的分部积分法的练习。 思路分析:严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
★(1)
arcsin xdx ?
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0
x 优先纳入到微分
号下,凑微分后仍为dx 。
解:2
1arcsin arcsin arcsin (1)2
xdx x x x x x =-=+
-??
arcsin .x x C =
★★(2)
2
ln(1)x dx +?
思路:同上题。
解:22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x
dx x x dx x x +=+-=+-++???
22
2
2
222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .
x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++??? ★(3)
arctan xdx ?
思路:同上题。
解:222
(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++???1 21
arctan ln(1)2x x x C =-++
★★(4)2sin 2
x
x e dx -? 思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:
22221111sin sin ()sin cos 22222222
x
x x x x x x x e dx d e e e dx ----=-=-+??? 2222222222111
sin cos ()
224221111sin (cos sin )
2242242
111sin cos sin 2282162
2sin (4sin cos ).
21722
x x x x x x x x x x
x x e d e x x x e e e dx x x x e e e dx
x e x x e dx C ----------=-+-=-+--=---∴=-++????
★★(5)
2
arctan x
xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:32
332111
arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x
dx x ==-+??? 33211arctan 331x x x x x dx x +-=-+?3211arctan ()331x x x x dx x
=--+? 3322
223221111111arctan arctan (1)33313661111
arctan ln(1).366
x x x xdx dx x x x d x x x
x x x x C =-+=-++++=-+++???
★(6)
cos 2
x x dx ? 思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:cos 2sin
2sin 2sin 2sin 4sin 2
222222
x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-?
?
?? 2sin
4cos .22
x x
x C =++ ★★(7)
2
tan x xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:2222tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =-=-=-?????
d
2211
(tan )tan tan tan ln cos .22
xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+???
★★(8)
2
ln xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:22
2
2
1
1ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x
x
=-??=-=-+??
?
?
?
22ln 2ln 2ln 2ln 2.x x x x dx x x x x x C =-+=-++?
★★(9)
ln(1)x x dx -?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:22
211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d
x x dx x -=-=---??? 221111ln(1)221x x x dx x -+=---?2111ln(1)(1)221
x x x dx x =--++-?
221111
ln(1)ln(1)2422
x x x x x C =
-----+ ★★(10)22ln x dx x ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:22
2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x
=-=-+?=-+????
222211121122
ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C x x x x x x x x =-+-=--+=---+??
2
(ln ln 2)x x C x
=-+++1
★★(11)
cosln xdx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:
1
cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x
=+?=+??? 1
cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).
2
x x x x x x dx x x x x xdx
x
x
xdx x x C =+-?=+-∴=++???
★★(12)
2ln x dx x ?
思路:详见第(10) 小题解答中间,解答略。
★★(13)
ln (1)n x xdx
n ≠-?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:111111
ln ln ln 111n n
n n x x xdx xd
x x x dx n n n x
+++==-?+++??? 111ln 11n n x x x dx n n +=
-++?111ln .1(1)n x x C n n +??
=-+ ?++?
? ★★(14)
2x
x e
dx -?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解:222222x x x x x x x e dx x e e xdx x e xe e dx ------=-+=--+???
2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++
★★(15)
32
(ln )
x x dx ?
思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解:3
2
24
4241
111(ln )(ln )()(ln )2ln 4
44x x dx x d x x x x x dx x
==
-????
? 423424424442434244421111
(ln )ln (ln )ln 42481111111
(ln )ln (ln )ln 48848811111
(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =
-=-=-+?=-+=-++=-++???? ★★(16)
ln ln x dx x ?
思路: 将积分表达式
ln ln x
dx x
写成ln ln (ln )xd x ,将ln x 看作一个整体变量积分即可。 解:ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x
==-??=-????
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?