1、异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
例1.如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F、G分别是AB、CD、BC的中点.
（1）、求证：EG∥平面ACD；
(2)、求线段EF的长；
（3）、求异面直线BC、AD所成角的大小.
例1.证明:（1）∵E、G分别为AB、BC的中点，∴EG∥AC，又∵AC ?平面ACD ，EG ?平面ACD，
∴EG//平面ACD……(6分)
3a，
（2）连CE、DE，在等边△ABC中，EC=DE=
2
∴EF 是等腰△ECD 底边上的高，EF ⊥CD ，
EF=2
2CF EC =
2
2a ……(6分)
（3）方法一：连AG 、DG ，易知BC ⊥AG 、BC ⊥DG ， ∴BC ⊥面AGD ，则BC ⊥AD ，∴BC ，AD 所成角为900
，
方法二：取AC 中点H ，连EH 、FH ， 则θ=∠EHF 是BC 、AD 所成的角 EH ＝2
1BC ＝2
1a, FH=2
1AD=2
1a, 由（1）知EF ＝
2
2 a
∴EH 2+FH 2=EF
2
∴ θ=900
. ……(6分)
2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角
(1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 、AB 、AD 两两互相垂直，BC ∥AD ，且AB=AD=2BC ，E ，F 分别是PB 、PD 的中点。
例2.（Ⅰ）证明：EF ∥平面ABCD ；
（Ⅱ）若PA=AB ，求PC 与平面PAD 所成的角的正弦值.
（Ⅰ）证明：连结BD
∵在ΔPBD 中，E ，F 分别为PB 、PD 中点, ∴EF ∥BD 又EF ?平面ABCD ，BD ?平面ABCD ∴EF ∥平面ABCD
（Ⅱ）解：取AD 中点G ，连接CG 、PG
∵四边行ABCD 中，BC ∥AD ，AD=2BC ∴CG ∥AB
又∵AB ⊥AD ，AB ⊥AP ，AP ∩AD=A ∴AB ⊥平面PAD
∴CG ⊥平面PAD,
∴∠GPC 是PC 与平面PAD 所成的角
设PA=2a ，则AB=CG=2 a ，BC=AG= a,
∴PC=
=3a
在RT ΔPGC 中，sin ∠GPC=2233
CG a PC
a
==
3、二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
（3）二面角大小的常见方法
先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
例3、如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 的底面是等腰直角三角形，
011190=∠B C A ，2,1111=
=AA C A ， 连结AB 1、AC 1，设D 为A 1B 1的中点，
（1）证明：⊥D C 1平面A 1B 1BA ；
（两种方法） （2）求面AC 1B 1与面A 1AB 1所成的二面角正切值.
B 1
B
A
C
C 1 A 1
D
例3、证明：（1）∵A 1A ⊥面A 1B 1C 1，A 1A ?面A 1B 1BA ∴面A 1B 1BA ⊥面A 1B 1C 1。
又∵在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边A 1B 1的中点 ∴C 1D ⊥A 1B 1，而面A 1B 1BA ?面A 1B 1C 1= A 1B 1 ∴⊥D C 1平面A 1B 1BA ；
（2）在面A 1B 1BA 中，过D 作DE ⊥AB 1于E ，连C 1E ∵⊥D C 1平面A 1B 1BA ，
∴⊥D C 1 AB 1 且DE ⊥AB 1，C 1D ?DE=D ∴AB 1⊥平面DEC １ ∴C 1E ⊥AB 1
故∠C 1ED 为二面角C 1-AB 1-A 1的平面角。 在Rt 11B AA ?中，A 1A=2，A 1B 1=2，
故DB 1=2
2，∠A １B １A ＝４５°
∴DE=2
1
，又C 1D=
2
2，所以2tan 11==
∠DE
D
C E
D C 面面垂直性质定理：两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。
面面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。
B 1
B
A
C
C 1 A 1
D
练习：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图４示。墩的上半部分是正四棱锥P EFGH
-，下半部分是长方体ABCD EFGH
-。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（１）求该安全标识墩的体积；
（２）证明：直线BD⊥平面PEG.
解：该安全标识墩的体积为： V ＝V P —EFGH + V ABCD －EFGH
221
406040203200032000640003
=??+?=+= ()2
cm
（２）如图,连结EG ,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH ,
P O H F
∴⊥
又∵EG HF ⊥ E G ∩PO ＝O HF ∴⊥平面PEG
又 B D ∥HF BD ∴⊥平面PEG ；
下图是一个几何体的三视图（单位：cm ），求此几何体的表面积和体积
答案：表面积（８０+１６2） 体积 ６４+32
主视图
左视图
俯视图
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o o 900≤<α； 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 （2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90； ③斜线与平面所成的角：范围o o 900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法； 注意：还可以用射影法：S S ' cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封 闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． EF平面P AD； （1）求证：// （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， EF平面PCD？ 直线 例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a， F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
立体几何——二面角 1、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面,ABCD PD DC =点E 是PC 的中点，点F 在PB 上，且EF PB ⊥. （1）求证：PB ⊥平面DEF ； （2）求二面角C PB D --的大小. 2、在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直， ,//,2,1EC AC EF AC AB EF EC ⊥=== （1）求证：平面BEF ⊥平面DEF ；（2）求二面角A BF E --的大小。 3、在直角梯形PBCD 中，,2,4,2D C BC CD PD A π ∠=∠====为PD 的中点，如下左图。将PAB ?沿AB 折到SAB ?的位置，使SB BC ⊥， 点E 在SD 上，且13 SE SD =，如下右图。 （1）求证：SA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角E AC D --的正切值； （3）在线段BC 上是否存在点F ,使//SF 平面EAC ？若存在，确定F
的位置， 若不存在，请说明理由。 4、如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为83π，120AOP ∠=o ． （1）求证：AG BD ⊥； （2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值． 5、在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,C D C B 的中点，G 为1CC 上任一点，EC 与底面ABCD 所成角的正切值是4. （Ⅰ）求证AG EF ⊥；
立体几何空间角习题 【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 一、选择填空题 1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则 A 1 B 与A C 1所成的角为（ ） （A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200 （2）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ． 1 3 B C D ． 23 （3）Rt ABC ?的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则 BA C '∠的范围是________________。 （4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α?，这时 PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ） A.x y > B.x y = C.x y < D.,x y 的大小关系不确定 （5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的 射影所成的角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° （6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线 段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。 （7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A B A 1 1
立体几何 一、角度问题。 1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】
2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底 面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)
r PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ? -?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2 1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是 AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=. (1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大 小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且 3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以 //PQ 面BDC ; 方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1// 2 PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以A B C D P Q M （第20题图）
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
第26练“空间角”攻略 ［题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成得角,线面角以及二面角,在高考中频繁出现,也就是高考立体几何题目中得难点所在.掌握好本节内容，首先要理解这些角得概念,其次要弄清这些角得范围,最后再求解这些角.在未来得高考中，空间角将就是高考考查得重点,借助向量求空间角,将就是解决这类题目得主要方法． 体验高考 1.(2015·浙江)如图,已知△ABC，D就是AB得中点，沿直线CD将△ACD翻折成△Ａ′CＤ,所成二面角A′—ＣD—B得平面角为α,则（） A.∠A′DB≤α B.∠A′DＢ≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′ＣB≥α ２.（２016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A１B1C1D1得顶点A,α∥平面ＣB1D1，α∩平面ABＣD=m,α∩平面ＡBB１A１=n，则m,n所成角得正弦值为() A、B、＼f(２） 2 C、 3 3D、 3.（20１6·课标全国丙)如图，四棱锥P-ABＣD中，ＰA⊥底面ABCＤ,AD∥BC，AＢ＝AD＝AC＝3，ＰA=BC=4,M为线段ＡＤ上一点，AＭ＝2MD，N为PＣ得中点. (1）证明MN∥平面ＰAB; (2)求直线AN与平面ＰMＮ所成角得正弦值． 高考必会题型 题型一异面直线所成得角 例1在棱长为a得正方体AＢCＤ－Ａ1B1Ｃ1D1中,求异面直线ＢA1与AＣ所成得角． 变式训练1(２０15·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,ＡB＝AC=BD=ＣD＝3,AＤ=BC=2,点Ｍ,N 分别就是ＡD，ＢＣ得中点,则异面直线ＡN,CM所成得角得余弦值就是__＿__＿__. 题型二直线与平面所成得角 例2 如图,已知四棱锥P-AＢCＤ得底面为等腰梯形,AＢ∥ＣＤ,ＡＣ⊥BD,垂足为H，PH就是四棱锥得高，E为AD得中点．(1)证明:PＥ⊥BＣ; （2）若∠APB＝∠ＡDB＝60°,求直线P A与平面PEＨ所成角得正弦值. 变式训练2 如图,平面ABＤE⊥平面ABC,△AＢC就是等腰直角三角形，ＡB=BC=4,四边形ABDE就是直角梯形，BＤ∥AE,BD⊥BA,BＤ＝错误!AE＝２,点O、Ｍ分别为ＣE、AＢ得中点. (１)求证:OD∥平面ＡBC;(2）求直线CD与平面ODＭ所成角得正弦值;
立体几何二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D
立体几何专题复习-----空间角的求法（三） （一）异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a //a,b //b， a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关，把a,b?所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）?为了简便，点0通常取在异面直线的一条上? （1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 （2）异面直线所成的角的范围：（0,—]. 2 （3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直?两条异面直线a,b垂直，记作a_b. （4）求异面直线所成的角的方法： 法1:通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； 法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求+ （二）直线和平面所成的角 1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 2.记作：二；3 、范围：0，】1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角二 2 即直线与平面垂直； 2 当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。 3.求线面角的一般步骤： （1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线 I 面角；（3）解直角三角形。cos^=L，sin日 l l （三）二面角 1.二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则AOB叫做二面角〉-丨- 一：的平面角. （2）一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是〉-丨- 1的平面角* 说明：（1）二面角的平面角范围是[0：,180打； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平
立体几何-空间角求法题型 空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面针对几何法举例说明。 一、异面直线所成的角： 【例】如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =， 12AA =。E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。 解：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。 在Rt △BE 1F 中， 2222115126E F E F BF = += += 。 在Rt △D 1DE 1中， 222221111112 2 2 13214 D E DE DD AE AD DD =+=++=++= 在Rt △D 1DF 中，22 11222222124224 FD FD DD CF CD DD =+=++=++= 在△E 1FD 1中，由余弦定理得：
222111111111cos 2D E FD E F E D F D E FD +-∠==?? ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为 14 。 可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。 一般地，异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为： cos AC BD AC BD β?=?u u u r u u u r u u u r u u u r 。 二、线面角 【例】已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点， 12,BF BC a FB a ===。 （1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A D 、的任意一点，证明：1EF FC ⊥； （2）若113A B a =，求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。 提示：（1）转证线面垂直；证明FC1与面ADF 垂直（2）sin θ=。 三、二面角的求法： 几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图（1）。 ②利用三垂线定理及其逆定理，图（2）最常用。 ③作棱的垂面，图（3）。 A B F C E 1 A 1 B 1 C D
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
五、距离的求法： （1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。 注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。 （2）线线距离： 关于异面直线的距离，常用方法有： ①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段； ②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离； （3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化； 六、常用的结论： （1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=； （2）如何确定点在平面的射影位置： ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角 的平分线上； Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等， 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上； Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。 ②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上 的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)； ③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上(面面垂直的性质定理)； ④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 （3）在四面体ABCD 中： ①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的垂心。
高中立体几何中二面角求法 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。 （一）、二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （ 3、 三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以 平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角 为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形 是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO
、空间的角与距离 1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］； 2 一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（ 在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2 关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线 ；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③ 利用三棱锥的有关性质： a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3.二面角 二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法： ② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积 ，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法 .当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 （1） 点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线 ② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③ 等体积法： （2） 异面直线间的距离常有求法： 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中 （或旁心）; （