第一章 信号与系统
一．连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号：
连续时间信号和离散时间信号。在前一种情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而后者是仅仅定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。为了区分，我们用t 表示连续时间变量。而用n 表示离散时间变量，连续时间变量用圆括号()?把自变量括在里面，而离散时间信号则用方括号[]?来表示。 2.信号能量与功率
连续时间信号在[]21t t ，区间的能量定义为：E=dt t x t t 2
2
1)(?
连续时间信号在[]21,t t 区间的平均功率定义为：P=dt t x t t t t 2
122
1
)(1?- 离散时间信号在[]21,n n 区间的能量定义为：E=∑=2
1
2
][n n n n x
离散时间信号在[]21,n n 区间的平均功率定义为：P=∑=+-2
1
2
12)(11n n n t x n n 在无限区间上也可以定义信号的总能量： 连续时间情况下：??+∞
∞
--∞→?
∞==dt t x E T
T
T 2
2
x(t)dt )(lim
离散时间情况下：∑∑+∞
-∞
=+-=∞
→?
=
=n N
N
n N n x n x E 2
2
][][lim
在无限区间内的平均功率可定义为：
?
-∞→?
∞=T
T
T dt t x T
P 2
)(21
lim
∑+-=∞→?∞+=N
N
n N n x N P 2
][121lim 二．自变量的变换
1.时移变换
x(t)→x(t-0t ) 当0t >0时，信号向右平移0t ；当0t <0时，信号向左平移0t
x[n]→x[n-0n ] 当0n >0时，信号向右平移0n ；当0n <0时，信号向左平移0n 2.反转变换
x(t)→x(-t) 信号以t=0为轴呈镜像对称 x[n]→x[-n] 与连续时间的情况相同 3.尺度变换
x(t)→x(at) a>1时，x(at) 是将x(t)在时间上压缩a 倍 0 由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换只对连续时间信号而言。 4.周期信号 周期信号：x(t)=x(t+T) x[n]=x[n+N] 满足此关系的正实数（正整数）中最小的一个，称为信号的基波周期()00N T x(t)=c 可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。 x[n]=c 可以视为周期信号，其基波周期10=N 5.偶信号与奇信号 如果有x(-t)=-x(t)或x[-n]=-x[n], 则称该信号为奇信号 如果有x(-t)=x(t)或x[-n]=x[n], 则称该信号为偶信号 任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。 对实信号有： 其中 其中 ()()() e o x t x t x t =+1()[()()] 2 e x t x t x t =+-1 ()[()()] 2 o x t x t x t =- - 三．指数信号与正弦信号 1.连续时间复指数信号与正弦信号 连续时间复指数信号具有如下形式：x(t)=C at e C 和a 一般为复数，根据这些参数值的不同，复指数信号可有几种不同的特征。 ①实指数信号： C 和a 都为实数，若a 是正实数，那么x(t)随t 的增加而指数增长，若a 是负实数，那么x(t)随t 的增加而指数衰减，对于a=0，x(t)为一常数。 ②周期复指数信号： a 为纯虚数， x(t)是周期的，其基波周期为：0 02ωπ =T ③正弦信号： 其基波周期为0 02ωπ =T , 基波频率为0ω ④一般复指数信号 )sin()cos(00θωθω+++=t e C j t e C Ce rt rt at 当r>0时，是指数增长的正弦振荡。 r<0时，是指数衰减的正弦振荡。 r=0 时，是等幅的正弦振荡。 000()cos sin j t x t e t j t ωωω==+0()cos() x t A t ωφ=+0022 j t j t j j A A e e e e ωωφφ--= + 2. 离散时间复指数信号与正弦信号 x[n]=C n α C 和α一般均为复数 ①实指数信号 C 和α均为实数 当α>1时，呈单调指数增长 0<α<1时，呈单调指数衰减 -1<α<0时，呈摆动指数衰减 α<-1时，呈摆动指数增长 ②正弦信号 注：离散时间正弦信号不一定是周期的 ③一般复指数信号 )s i n ()c o s (00θωαθω αα+++=n C j n C C n n n 对α=1，复指数序列的实部和虚部都是正弦序列，对α<1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个按指数衰减的序列，对α>1，则乘以一个按指数增长的序列。 3.离散时间复指数序列的周期性质 ① 离散时间复指数序列x[n]=n j e 0ω 不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。 只有在2π与0ω的比值是一个有理数时，n j e 0ω才具有周期性。 在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得： )cos( ][0φω+=n A n x n j n e n j 00sin cos 0ωω ω+=()() φωφωφω+-++=+n j n j e A e A n A 002 2)cos(0n j j n j j e e A e e A 00)2()2(ωφωφ--+= （m 与N 无公因子） 此时m N 0 2ωπ =即为该信号的周期, 也称为基波周期, 因此该信号的基波频率为: ②离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。 该信号集中的每一个信号都是以N 为周期的, N 是它们的基波周期。 k=0称为直流分量，k=1称为基波分量，k=2称为二次谐波分量等等 注：该信号集中只有N 个信号是独立的。即当k 取相连的N 个整数时所对应的各个谐波是彼此独立的。 ③信号t j 0e ω和n j e 0ω的比较 四．单位冲激与单位阶跃函数 1.离散时间单位脉冲和单位阶跃序列 ①单位脉冲序列 02m N ωπ=02N m ωπ ω==2()j kn N k n e π φ??=?? ?? 0,1,2k =±±?????? 0ω不同，信号不同 对任何 0ω信号都是周 期的 基波频率;=0ω0 2T π 基波周期：0T 频差π 2的整数倍时，信号 相同 仅当m 20 ωπ=N 时，信号是 周期的 基波频率;m 20 N π ω= 基波周期： N ②单位阶跃序列 离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，离散时间阶跃是单位样本的求和函数。 ③单位脉冲的采样性 2.连续时间单位阶跃和单位冲激函数 ①单位阶跃函数 ②单位冲激函数 连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数 连续时间单位冲激可看作连续时间单位阶跃的一次差分 ③δ(t)函数性质 a.δ(t) 是偶函数，δ(-t)=δ(t) b.比例变换特性，δ(at)=a 1 δ(t) c. d.采样性， 五． 连续时间与离散时间系统 1.系统的互联 { ()u t =1 ， ， 0t >0 t <()()du t t dt δ= ()()t u t d δττ -∞ =?()1 t dt δ∞ -∞ =? ()()(0)() x t t x t δδ=000()()()() x t t t x t t t δδ-=- ①级联 ②并联 ③级联/并联联接 ④反馈联结 六．基本系统性质 1.记忆系统与无记忆系统 如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，则称该系统是无记忆系统，否则就是记忆系统。 恒等系统是一种特别简单的无记忆系统，离散时间记忆系统的一个例子就是累加器或相加器。 2.可逆性与可逆系统 一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，就称该系统是可逆的。 如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统。 3.因果性 如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，就称该系统为因果系统。这样的系统往往称之为不可预测的系统，因为系统的输出无法预测未来的输入值。 所有的无记忆系统都是因果的。 4.稳定性 如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统。否则，就是不稳定系统。 5.时不变性 如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的，否则就是时变的。 检验一个系统时不变性的步骤: ①令输入为）（t x 1 ，根据系统的描述，确定此时的输出()t y 1 ②将输入信号变为()t x 2，再根据系统的描述确定输出()t y 2 ③令()t x 2=()01x t t -，根据自变量变换，检验()01t t y -是否等于()t y 2 6.线性 线性系统具有一个很重要的性质就是叠加性质，即：如果某一个输入是由几个信号的加权组合的话，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。 连续时间：()()()()t by t ay t bx t ax 2121+→+ 离散时间：[][][][]n by n ay n bx n ax 2121+→+ 对于线性系统来说，叠加性质的一个直接结果就是：在全部时间为零的输入，其输出也恒为零，即零输入产生零输出。 ? 增量线性系统 在连续或离散时间系统中，其中输出由一个线性系统的响应与一个零输入响应叠加组成；其响应对输入中的变化是线性的；对增量线性系统而言，对任意两个输入的响应的差是两个输入的差的线性函数（即可加的且齐次的）。 第一章 信号与系统 一．连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号： 连续时间信号和离散时间信号。在前一种情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义；而后者是仅仅定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。为了区分，我们用t 表示连续时间变量。而用n 表示离散时间变量，连续时间变量用圆括号()?把自变量括在里面，而离散时间信号则用方括号[]?来表示。 2.信号能量与功率 连续时间信号在[]21t t ，区间的能量定义为：E=dt t x t t 2 2 1 )(? 连续时间信号在[]21,t t 区间的平均功率定义为：P=dt t x t t t t 21 221)(1 ?- 离散时间信号在[]21,n n 区间的能量定义为：E=∑=2 1 2 ][n n n n x 离散时间信号在[]21,n n 区间的平均功率定义为：P=∑=+-2 1 2 12)(11n n n t x n n 在无限区间上也可以定义信号的总能量： 连续时间情况下：??+∞ ∞ --∞→? ∞==dt t x E T T T 2 2 x(t)dt )(lim 离散时间情况下：∑ ∑ +∞ -∞ =+-=∞ →? = =n N N n N n x n x E 2 2 ][][lim 在无限区间内的平均功率可定义为： ? -∞→?∞=T T T dt t x T P 2 )(21lim ∑+-=∞→? ∞+=N N n N n x N P 2 ][121lim 二．自变量的变换 1.时移变换 x(t)→x(t-0t ) 当0t >0时，信号向右平移0t ；当0t <0时，信号向左平移0t 信号与系统重点概念公式 总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为 复数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式： wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11 ==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121 **==?≠=??? 其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞< 第一章 1.什么是信号？ 是信息的载体，即信息的表现形式。通过信号传递和处理信息，传达某种物理现象（事件）特性的一个函数。 2.什么是系统？ 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。3.信号作用于系统产生什么反应？ 系统依赖于信号来表现，而系统对信号有选择做出的反应。 4.通常把信号分为五种： ?连续信号与离散信号 ?偶信号和奇信号 ?周期信号与非周期信号 ?确定信号与随机信号 ?能量信号与功率信号 5.连续信号：在所有的时刻或位置都有定义的信号。 6.离散信号：只在某些离散的时刻或位置才有定义的信号。 通常考虑自变量取等间隔的离散值的情况。 7.确定信号：任何时候都有确定值的信号 。 8.随机信号：出现之前具有不确定性的信号。 可以看作若干信号的集合，信号集中每一个信号 出现的可能性（概率）是相对确定的，但何时出 现及出现的状态是不确定的。 9.能量信号的平均功率为零，功率信号的能量为无穷大。 因此信号只能在能量信号与功率信号间取其一。 10.自变量线性变换的顺序：先时间平移，后时间变换做缩放. 注意：对离散信号做自变量线性变换会产生信息的丢失！ 11.系统对阶跃输入信号的响应反映了系统对突然变化的输入信号的快速响应能 力。（开关效应） 12.单位冲激信号的物理图景： 持续时间极短、幅度极大的实际信号的数学近似。 对于储能状态为零的系统，系统在单位冲激信号作 用下产生的零状态响应，可揭示系统的有关特性。 例：测试电路的瞬态响应。 13.冲激偶：即单位冲激信号的一阶导数，包含一对冲激信号， 一个位于t=0-处，强度正无穷大； 另一个位于t=0+处，强度负无穷大。 要求：冲激偶作为对时间积分的被积函数中一个因子， 其他因子在冲激偶出现处存在时间的连续导数. 14.斜升信号： 单位阶跃信号对时间的积分即为单位斜率的斜升信号。 15.系统具有六个方面的特性： 1、稳定性 2、记忆性 3、因果性 4、可逆性 5、时变性与非时变性 6、线性性 16.对于任意有界的输入都只产生有界的输出的系统，称为有界输入有界输出（BIBO ）意义下的稳定系统。 17.记忆系统：系统的输出取决于过去或将来的输入。 18.非记忆系统：系统的输出只取决于现在的输入有关，而与现时刻以外的输入无关。 19.因果系统：输出只取决于现在或过去的输入信号，而与未来的输入无关。 20.非因果系统：输出与未来的输入信号相关联。 21.系统的因果性决定了系统的实时性：因果系统可以实时方式工作，而非因果系统不能以实时方式工作. 22.可逆系统：可以从输出信号复原输入信号的系统。 23.不可逆系统：对两个或者两个以上不同的输入信号能产生相同的输出的系统。 24.系统的时变性： 如果一个系统当输入信号仅发生时移时，输出信号也只产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其他变化，则称该系统为非时变系统；即非时变系统的特性不随时间而改变，否则称其为时变系统。 25.检验一个系统时不变性的步骤： 1. 令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输出 。 1()x t 1()y t 重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号； 正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。 ① 连续正弦信号一定是周期信号。 ② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。 周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。 1. 典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()s i n ()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： s i n ()t Sa t t = 奇异信号 （1） 单位阶跃信号 1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点。 （2） 单位冲激信号 单位冲激信号的性质： （1）取样性 11()()(0) ()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞ ∞ -∞ -∞ =-=? ? 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1 ()at t a δδ= （4）微积分性质 d () ()d u t t t δ= ； ()d ()t u t δττ-∞ =? （5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； (0) t <(0)t > ()1t dt δ∞ -∞ =? ()0t δ=（当0t ≠时） 信号与系统第一章总结 1、信号的分类 （1）周期信号和非周期信号 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 （2）连续信号和离散信号 连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。用t 表示连续时间变量。 离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，用n 表示。 （3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。 抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。 数字信号：时间和幅值均为离散的信号。 （4）按照信号能量特点分类： 能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。 功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。 PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。 2、典型的确定性信号 （1）指数信号： ， α=0 直流（常数） ；α<0 指数衰减；α>0指数增长。 通常把 称为指数信号的时间常数，记作τ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。 对时间的微分和积分仍然是指数形式 （2）正弦信号： ，振幅K ，周期T=ω π 2 ,初相 衰减正弦信号： 对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号： α 1 θdt t f E 2)(? ∞∞-?=? -∞→=22 2 |)(|1lim T T T dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()0 00 sin e )(>?? ?<≥=-αωαt t t K t f t ()() t K t K t K t f t t st ωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率 j ωσ+=s rad/s 的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅?? ? ???????≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ?? ???=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ 连续时间信号 离散时间信号 时间区间 (,)T T - (,)-∞∞ (,)N N - (,)-∞∞ 瞬时功率 2 ()f t 能 量 2 ()T T E f t dt -=? 2 2 lim ()()T T T E f t dt f t dt →∞-∞ -∞ ==? ? 2 ()N n N E x n =-= ∑ 2 ()n E x n ∞ =-∞ = ∑ 平均功率 2 12()T T T P f t dt -= ? 2 1 2lim ()T T T T P f t dt →∞-=? 2 1()21N n N P x n N =-=+∑ 2 1()21lim N n N N P x n N =-→∞=+∑ 周期信号 ()()f t f t mT =+ 0,1,2,m =±±?????? ()()x n x n mn =+ 0,1,2,m =±±?????? 000()j T j t T e e ωω+= 00 2T π ω= 线 性 11221212()() ()()()()()()()()()() f t y t af t ay t f t y t f t y t f t f t y t y t ?→? →? ? →→? ?+→+? 若齐次性则若，可加性则 ?? ??? 分解性 线性系统零状态线性零输入线性 0()()()()()()x f n y t y t y t y n y n y n =+=+ 判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果 时不变性 若()()f f t y t →，则00()()f f t t y t t -→- 若()()x n y n =，则00()()x n n y n n -=- 系统时不变性： 1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变 3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。 功率信号：0P E <<∞=∞且 能量信号：0E P <<∞=∞且 备注 ： Z ???? ?? ???? ??? ???????? 时域分析频域输入输出系统模型系统模型变换域分析复频域域状态变量系统模型 【最新整理，下载后即可编辑】 第一章知识要点 重难点一第A章A 1.1本章重难点总结 知识点一 1）知识点定义 2）背景或地位 3）性质、作用 4）相关知识点链接 5）常见错误分析 操作说明： 当专业课学习到冲刺阶段后，考生学习会及时转移到直接考查概率高、考查难度大的重难点，即需要考生掌握和应用的重点、难点。按照学科的内在逻辑、顺序呈现，并表现在ppt中。 1.2冲刺练习题及解析 第二章 重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号；连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号； 正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。 ①连续正弦信号一定是周期信号。 ②两连续周期信号之和不一定是周期信号。 周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。 1. 典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()t Sa t t = 奇异信号 （1） 单位阶跃信号 1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变 点。 （2） 单位冲激信号 单位冲激信号的性质： （1）取样性 11()()(0) ()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞ ∞ -∞-∞ = -=?? 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1 ()at t a δδ= （4）微积分性质 d () ()d u t t t δ= ； ()d ()t u t δττ-∞=? （5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞ -∞''=-? ()d ()t t t t δδ-∞'=? ； ()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞ -∞'=? 带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激 (0)t <(0)t > ()1t dt δ∞ -∞=? ()0t δ=（当0t ≠时） ε(k )*ε(k ) = (k+1)ε(k ) f (k)*δ(k) = f (k) ， f (k)*δ(k – k0) = f (k – k0) f (k)*ε(k) = f 1(k – k1)* f 2(k – k2) = f (k – k1 – k2) ?[f 1(k)* f 2(k)] = ?f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ?f 2(k) f1(t)*f2(t) = f(t) 时域分析: 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和,即 而任意信号作用下的零状态响应yzs(t) yzs (t) = h (t)*f (t) 用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。 学习3种变换域：频域、复频域、z 变换 ⑴ 频域：傅里叶表变换，t →ω；对象连续信号 ⑵ 复频域：拉普拉斯变换，t →s ；对象连续信号 ⑶ z 域：z 变换，k →z ；对象离散序列 设f (t)=f(t+mT)----周期信号、m 、T 、 Ω=2π/T 满足狄里赫利Dirichlet 条件，可分解为如下三角级数—— 称为f (t)的傅里叶级数 注意： an 是n 的偶函数， bn 是n 的奇函数 式中，A 0 = a 0 可见：A n 是n 的偶函数， ?n 是n 的奇函数。a n = A ncos ?n ， b n = –A nsin ?n ，n =1,2,… 傅里叶级数的指数形式 虚指数函数集{ej n Ωt ，n =0，±1，±2，…} 系数F n 称为复傅里叶系数 欧拉公式 cos x =(ej x + e –j x )/2 sin x =(ej x - e –j x )/2j 傅里叶系数之间关系 n 的偶函数：a n ， A n ， |F n | n 的奇函数: b n ，?n 常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数） 记为g τ(t) ? ∞ ∞--=ττδτd )()()(t f t f ∑ ∑∞=∞ =Ω+Ω+=1 10)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ?2 2n n n b a A +=n n n a b arctan -=? e )(j t n n n F t f Ω∞-∞ =∑= d e )(122 j ?-Ω-=T T t n n t t f T F )j (21e 21e j n n n j n n b a A F F n n -===??n n n n A b a F 212122=+=??? ??-=n n n a b arctan ?n n n A a ?cos =n n n A b ?sin -= 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 《信号与系统》复习要点 第一章 1．信号的运算：时移、反褶、尺度变换、微分、积分等； 2．LTI 系统的基本性质：叠加性、时不变特性、微分特性、因果性、可分解线性； 3．阶跃型号与冲激信号及其特性。 单位冲激信号的性质： 1. )()()()(t o f t t f δδ= 2. )()()()(0 t t t f t t t f -=-δδ 3. ?∞ ∞-=)0()()(f dt t t f δ 4. ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f dt t t t f δ 5. )()(t t -=δδ 6. dt t du t )()(=δ ?∞ -=t t u d )()(ττδ 7. ∑∞ -∞=-= n T nT t t )()(δδ ∑∞ -∞ =-=n T nT t nT f t t f )()()()(δδ 例、求下列积分 dt t t t t f ? ∞ ∞ -= )2sin() (2)(δ 例、已知信号)(t f 的波形如下图1所示，试画出下列各信号的波形 （1） )2(t f ，（2）)()2(t u t f ---，（3）)2()2(t u t f -- 例 已知 )3(2)(-=t t f δ求系列积分?)25(0 =-?∞ dt t f 第二章 1．响应的分解，各种响应分量的含义、可分解线性； 2．卷积及其特性（微积分特性）； 3．零状态响应及卷积积分求解。 第三章 1．典型信号的傅里叶变换； 2．傅里叶变换的基本性质：对称性、尺度变换特性、平移特性、微积分特性；3．傅里叶变换卷积定理。 *)(ωj F o 为周期信号取一个单周期信号的傅立叶变换 ● 理想抽样序列： ∑∞ -∞ =-=n s T nT t t )()(δδ ● 非理想抽样序列： ∑∞ -∞ =-= n s nT t G t P )()(τ 被抽样信号的表达式： ∑∞-∞ =-=n s s nT t t f t f )()()(δ ∑∞ -∞ =-=n s s nT t G t f t f )()()(τ 信号与系统重点概念公 式总结 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复 数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(2 1 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(21 21* * ==?≠=??? 其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞< 第一章：信号与系统的基本概念 1.1 信号的基本概念 一、什么是信号 信号是信息的表现形式。例如，光信号、声信号和电信号等。 二、信号的分类 1、确定性信号和随机信号 ()f t 确定性信号有确定的函数表达式 2、周期信号和非周期信号 f(t)=f(t+kT) k=1,2,3...周期信号 3、连续时间信号和非连续时间信号 时间t 连续的是连续时间信号，时间变量t 只取特定值的为离散时间信号 4、有始信号和无始信号 0t t <若，0()0,f t t =为起始点 三、典型的连续时间信号 1、正旋信号 21()cos(),,,2f t A wt T f w f w T π?π=+=== AM FM PM A w ?不为常数，调幅信号不为常数，调频信号不为常数，调相信号 欧拉公式： cos 2 sin 2j j e e j j e e j θθ θθθ θ-+--=???????= 2、指数信号 为实数αα,)(t ke t f = 3、复指数信号（一种数学模型） (),st f t ke s jw δ==+ 4、抽样信号 sin (),a t s t t t =-∞<<∞ 性质1、偶函数，随着t 的增大，幅值减小 0sin 2()lim 1a x t t t →==性质：t=0,s 3sin 0,1, 2...t t k k π=?==±±性质：过零点 1.2 信号的运算 一、信号的时域变换 1、平移（时移） 000()() ()()()()f t f t t f t f t t f t f t t =±→-→+右移，左移 2、反转 以纵轴为中心，左右反转 ()()f t f t =- )(t f )(t f t t 3、展缩 {011,()(),a a f t f at <<>=，扩展压缩 二、信号的相加、相乘、微分和积分 1、相加：对应点相加 2、相乘：主要用于信号的截取 3、微分： )(t f )(t f ' t t 4∞、积分：指(-,0)上积分 t -(),f d t ττ∞?为变量 第一章 信号与系统 主要内容 重点 难点 1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处 2.【了解】 信号的功率和能量 3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化 4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、） 5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。 6.【了解】系统互联 7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。对已知系统进行性质判断（掌握） 1.3、5、7 1.0 0cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期： 2.00cos j t t e w w 、的周期： 自变量变换的量值 确定 0cos j n n e w w 、的周期 性和频率逆转性。 系统的时不变性与线性等性质的证明 2T ωπ = 2N m ωπ = 第二章 线性时不变系统 第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS 本章内容安排基本思路: 主要内容 难点 ? 系统的单位冲激响应容易求出：令 ()()x t t d =，对应的输出即为单位 冲激响应() h t ； ? 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合 [][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ￥ ￥ - =- = -= -? ò ? 利用LTI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、 已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应： [][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t) ? 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、 ，判断ITI 系统的性质 1.【掌握】卷积和 2.【掌握】卷积积分 3.【掌握】用[]() h t h n 、 判断LTI 的性质 4.【理解】 初始松弛 5. 【掌握】任意信号与冲 激信号、阶跃函数的卷积性质（对比1章冲激信号抽取作用） 卷积运算中，求和或者求 积时，上下限的确定 本章内容安排基本思路: 主要内容 难点 第一章信号与系统 教学目的： 熟悉信号的概念和分类，掌握信号的基本运算。 掌握阶跃函数和冲激函数的特点和性质，掌握LTI系统的描述和特性。 教学重点与难点： 掌握信号的加法、乘法，反转、平移，尺度变换等基本运算。 冲激函数的特点和性质，LTI系统的特性。 §1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述 ●信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。 ●信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。 电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号---简称“信号”。 ●电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 ●描述信号的常用方法 （1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两 词常相互通用。 二、信号的分类 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。 ●按实际用途划分： 电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，…… ●按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号；连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号； 一维信号与多维信号；因果信号与反因果信号； 实信号与复信号；左边信号与右边信号；等等。 3. 周期信号和非周期信号 如何判断？ 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt 分析 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k) 三．几种典型确定性信号 第一章 1、什么就是信号？ 就是信息得载体,即信息得表现形式。通过信号传递与处理信息,传达某种物理现象(事件)特性得一个函数。 2、什么就是系统？ 系统就是由若干相互作用与相互依赖得事物组合而成得具有特定功能得整体。 3、信号作用于系统产生什么反应？ 系统依赖于信号来表现,而系统对信号有选择做出得反应。 4、通常把信号分为五种: ?连续信号与离散信号 ?偶信号与奇信号 ?周期信号与非周期信号 ?确定信号与随机信号 ?能量信号与功率信号 5、连续信号:在所有得时刻或位置都有定义得信号。 6、离散信号:只在某些离散得时刻或位置才有定义得信号。 通常考虑自变量取等间隔得离散值得情况。 7、确定信号:任何时候都有确定值得信号 。 8、随机信号:出现之前具有不确定性得信号。 可以瞧作若干信号得集合,信号集中每一个信号 出现得可能性(概率)就是相对确定得,但何时出 现及出现得状态就是不确定得。 9、能量信号得平均功率为零,功率信号得能量为无穷大。 因此信号只能在能量信号与功率信号间取其一。 10、自变量线性变换得顺序:先时间平移,后时间变换做缩放、 注意:对离散信号做自变量线性变换会产生信息得丢失！ 11、系统对阶跃输入信号得响应反映了系统对突然变化得输入信号得快速响应能 力。(开关效应) 12、单位冲激信号得物理图景: 持续时间极短、幅度极大得实际信号得数学近似。 对于储能状态为零得系统,系统在单位冲激信号作 用下产生得零状态响应,可揭示系统得有关特性。 例:测试电路得瞬态响应。 13、冲激偶:即单位冲激信号得一阶导数,包含一对冲激信号, 一个位于t=0-处,强度正无穷大; 另一个位于t=0+处,强度负无穷大。 要求:冲激偶作为对时间积分得被积函数中一个因子, 其她因子在冲激偶出现处存在时间得连续导数、 14、斜升信号: 单位阶跃信号对时间得积分即为单位斜率得斜升信号。 15、系统具有六个方面得特性: 1、稳定性 2、记忆性 信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d )()(f t t t f =?∞∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞-δ?d )()4 sin(9 1=-? -t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞ -δ) 0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞ ∞-? t t t t t t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1 )(00a t t a t at -=-δδ) 0()()(f k k f k =∑ ∞-∞ =δ 信号与系统的时域分析 1. 什么是LTI 系统？在时域中，我们如何表示系统？什么是系统的单位冲激响应？ ◆ 系统的线性时不变性的证明与判断（书中例子1-14,1-16,1-17,1-18）； ◆ 表示系统的时域数学模型：卷积表示，微分方程（连续时间系统），差分方程（离散时间 系统）； ◆ 单位冲激响应h(t)：系统对输入为单位冲激信号)(t δ的零状态响应。 2. 请写出LTI 系统的卷积表达式。你会计算两个信号之间的卷积吗？ 例1：假设LTI 系统的单位冲激响应为)()(t u t h =, 系统输入为)()(t u e t x t -=. 通过计算卷积 )(t y =)(*)(t h t x 确定系统的输出)(t y 。 3. 信号x(t)与单位冲激信号δ(t-t0)相乘、卷积，你会吗？ ◆ 四个重要公式： 1）)()(*)(00t t x t t t x -=-δ 2) )()(*)(t x t t x =δ 3) )()()()(000t t t x t t t x -=-δδ 4) )()0()()(t x t t x δδ= 例2：)1()1(*)(+=+t x t t x δ )1()1()1()(-=-t x t t x δδ等 4. 形如 )()(2) (3)(2 2t x t y dt t dy dt t y d =++的微分方程，你会求解吗？ 例3：一因果LTI 系统由微分方程)()(6) (5)(2 2t x t y dt t dy dt t y d =++描述，给定系统的输入和初始条件如下：)()(t u e t x t -=，)0(y =-0.5， .50)(0 ==t dt t dy ，确定系统的完全解。 5. LTI 系统的因果性、稳定性，你理解吗？如何用单位冲激响应)(t h 来这两个性质描述系统的这两个性质？ 因果性：判决条件：0,0)(<>t t h 稳定性：判决条件：∞ 重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号； 正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。 ① 连续正弦信号一定是周期信号。 ② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。 周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。 1. 典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()t Sa t t = 奇异信号 （1） 单位阶跃信号 01 ()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点。 （2） 单位冲激信号 单位冲激信号的性质： （1）取样性 11()()(0) ()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞ ∞ -∞ -∞ =-=? ? 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1 ()at t a δδ= （4）微积分性质 d () ()d u t t t δ= ； ()d ()t u t δττ-∞ =? （5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； (0) t < (0)t > ()1t dt δ∞ -∞ =? ()0t δ=（当0t ≠时） 信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ 为复数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式： wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n Λ= 如果满足： n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i Λ2,1)(0)()(2 1 2 12 ==≠=? ? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i Λ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为： n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i Λ2,1)()(0)()(2 1 2 1* *==?≠=?? ? 其中)(* t f i 为 )(t f i 的复共轭。 2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数奥本海姆 信号与系统 第一章知识点总结
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