平行四边形(提高)
【学习目标】
1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2. 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解 决四边形的
问题.
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算.
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 【要点梳理】
【高清课堂 平行四边形 知识要点】 要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 作“U ABCD ，读作“平行四边形 ABCD .
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线 .相邻的两边为邻边，有四对；相
对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有 两条.
要点二、平行四边形的性质
1. 边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2. 角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4.
平行四边形是中心对称图形，对
角线的交点为对称中心
.
要点诠释：(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质
可以证明两角相等或两角互补； 对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半
关系. (2)
由于平行
四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择
.
(3) 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，
在解答时应 联
系三角形三边的不等关系来解决 .
要点三、平行四边形的判定
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
.
要点诠释：(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定 同一个平
行四边形时，应选择较简单的方法
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据， 形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形
的中位线
.
2.
定理：三角形的
中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
.
要点诠释：(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系
,
.平行四边形ABCD 己
也可作为“画平行四边
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个
小三角形的周长为原三角形周长的一,每个小三角形的面积为原三角形
2
1
面积的丄.
4
(3 )三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行
线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
(2)平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积=底x高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】类型一、平行四边形的性质
【高清课堂平行四边形例10】
frTW
V* 1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O, △ AOB的周长比^ BOC? 的周长大8 cm，求AB, BC的长.
【答案与解析】解：???四边形ABCD是平行四边形.
??? AB = CD AD= BC, AO= CQ ??? □ ABCD勺周长是60.
??? 2AB+ 2BC= 60,即AB+ BC= 30,①
又???△ AOB的周长比^ BOC的周长大8.
即(AO+ OB+ AB) — ( BO^ OCT BQ = AB^ BC= 8, ②
卫5 = 19, 解得
50=11.
??? AB BC的长分别是19 cm和iicm .
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题举一反三:
由①②有*
AS+ BC=3(i
【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是/ DCB的平分线，F是AB的中点，AB= 6, BC =4.求AE: EF: FB 的值.
【答案】解：??? ABCD是平行四边形，所以AB// CD / ECD=/ CEB
?CE为/ DCB的角平分线,
./ ECD=/ ECB
? / ECB=/ CEB
? BC= BE
?BC= 4，所以BE= 4
?AB= 6, F为AB的中点，所以BF= 3
??? EF= BE— BF= 1, AE= AB- BE= 2
??? AE EF：FB= 2：1 : 3.
类型二、平行四边形的判定
2、如图所示，LI ABCD中，延长AB到E,延长CD到F,使得BE= DF. 求证：AC与EF互相平
分.
【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了.
【答案与解析】
证明：方法一：连接AF、CE U ABCD中，AB= DC, AE// CF.
/ CFE=/ AEF.
又??? DF = CF = AE,
而EF= FE,.?. △ CFE^A AEF,
/ CEF=/ AFE ??? CE // AF,
???四边形AECF是平行四边形.
即AC与EF互相平分.
方法二：连接AF、CE在U ABCD中, D型AB.
?/ DF = BE,.?. CF = AE,.?. CF 型AE,
???四边形AECF为平行四边形，即AC EF互相平分.
【总结升华】（1）本题也可直接证^ COF^A AOE利用其他的判定方法来证，在本题中，证
【答案与解析】
解：延长FP 交AB 于G,延长DP 交BC 于 H,
?四边形AGPD EBHP 为平行四边形,
? PD= AG PH= BE.
?PD// AB PE// BC PF //AC ,△ ABC 是 等边三角形, ? / GE 圧/ EG — EPG=/ PHF =/ PFH=/ HPF = 60° ? A GEP A PHF 为等边三角形 .PF =PH= BE, PE = GE, .PD+ PF + PE = AG+ BE + GE= AB.
【总结升华】 添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法 类型四、三角形的中位线
法二相对来说比较简单.（2）由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法 证明，此时应选择简单的方法. 举一反三:
【变式】以锐角△ ABC 的边AC BC AB 向形外作等边△ ACD 等边△ BCE 作等边△ ABE 连
证明：在等边△ ADC 和等边△ AFB 中
/ DAC=/ FAB= 60°.
/ DAF =/ CAB 又??? AD = AC, AF = AB.
△ ADF^A ACB(SAS). D F = CB= CE
同理，△ BAC^A BFE,. EF = AC = DC
???四边形DCEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ).
类型三、构造平行四边形，应用性质
3、在等边三角形
ABC 中，P 为 A ABC 内一点，PD// AB, PE// BC PF //AC , D, E , F
分
别在AC AB 和BC 上，试说明：PD +PF +PE = BA.
DCEF 是平行四边形.
C
C
■尸4、如图所示，在△ ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为/ BAC 的平分线，BD 丄AD 于D, AB =12 , AC = 18,求 MD 的长.
【思路点拨】 本题中所求线段 MD 与已知线段AB AC 之间没有什么联系，但由 M 为BC 的中
点联想到中位线，另有 AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角 形ABN D
为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出 MD 的长度. 【答案与解析】 解：延长BD 交AC 于点N.
??? AD 为/ BAC 的角平分线，且 ADI BN
/ BAD=/ NAD / ADB=/ ADN= 90°, 又? AD 为公共边，???
△ ABD^A AND(ASA)
AN = AB= 12, BD= DN
?/ AC = 18,. NC = AC — AN= 18- 12= 6, ??? D 、M 分别为BN BC 的中点，
1 1 DM = — CN= — X 6 = 3
2
2
【总结升华】 当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一” 中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形.
举一反三: 例9】
ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别
P 在BC 边上移动的过程中，线段 EF 的长度将().
A .先变大，后变小
【答案】B ; 解：连接AQ ?/ E 、
??? EF 是^ PAQ 的中位线，即 AQ= 2EF.
??? Q 是CD 上的一定点，贝y AQ 的长度保持不变,
???线段EF 的长度将保持不变
.
、三角形的
【高清课堂 平行四边形 【变式】如图所示，四边形 是PA PQ 两边的中点； 当点
B .保持不变
C .先变小，后变大
D .无法确定
F 分别是PA PQ 两边的中点,
c
C
c
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法． （2）表示方法：用“ABCD记作，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分； （4）面积：①S= 底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． =? 3．平行四边形的判别方法 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念 （1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可． （2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可． （3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． （5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质 （1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的性质： （1）：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC)； （2）：平行四边形对边平行(即：AB//CD,AD//BC)； （3）：平行四边形对角相等(即：∠A=∠C,∠B=∠D)； （4）：平行四边形对角线互相平分(即：O A=OC，OB=OD)； 判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 考点1 特殊的平行四边形的性质与判定 1．矩形的定义、性质与判定 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。 （3）矩形的判定 有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。 温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。 2．菱形的定义、性质与判定 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）菱形的性质 菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。 （3）菱形的面积
初中数学平行四边形知识归纳总结及解析 一、解答题 1．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长． 2．已知正方形ABCD ． （1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=?． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数． （2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1 3 AE CF =时．请直接写出HC 的长________． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接 DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF GC =； （2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
4．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸： (1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________； (2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半] ① ② 5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线． (1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积； (2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =； ②设正方形ABCD 的面积为S ，求证2 22211 2 2 S h h h h =++． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定： . 3. 矩形的性质： 因为四边形ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是菱形. 菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长； 菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形； 菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O
C D A B A B C D O 7.正方形的性质： 四边形ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ???? ? ? ? ?? ++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等 矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321?四边形ABCD 是正方形. 9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三 遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 例3．已知：如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，F ，G 分别是OB ，OC 的中点．求证：四边形DFGE 是平行四边形． 例4如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F. 求证：四边形AFCE 是菱形. （图1） O A B C D E F （图2） B
A B C D C 平行四边形判定知识讲解 一、知识结构： ????? ???????? ???形分的四边形是平行四边对角线：对角线互相平的四边形是平行四边形角：两组对角分别相等四边形是平行四边形一组对边平行且相等的边形是平行四边形两组对边分别相等的四 边形是平行四边形两组对边分别平行的四边平行四边形的判定 二、型例题讲解： 例1、如图,AD=BC,要使四边形ABCD 是平行四边形,还需补充的一个条件是______ 分析：可以从边、角、对角线上分别考虑。 答案：不唯一：如， AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180° 点评：本体起点低，入口宽，能够满足不同层次的同学。 例2、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ②AB ＝CD ③BC ∥AD ④BC ＝AD 这四个条件中任选两个，使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 分析：可以用①分别与②、③、④组合，可以构成①②，①③两组正确命题；②与②④组合，可以构成②④一组正确命题；③与④组合，可以构成③④一组正确命题，因此，共有4组，故，选择B 。 答案：B 点评：本题考查大家灵活掌握平行四边形判定方法和分类思想。 例3、下列条件中，能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A. 对角线AC 平分BD B. ∠A=∠B, ∠C=∠D C. AB=AD, CB=CD D. AB=CD, AD=BC 分析：本体给出的条件有边、角、对角线，那我们就可以从边、角、对角线三个知识点来加以分析，利用排除法进行淘汰。 答案：D 点评：只有熟练掌握其知识点，才能做出正确的选择。 例4、D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AB 、AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，G 在FD 的延长线上，DG ＝DF ，试说明AG 和ED 互相平分 分析：要想判断AG 和ED 互相平分，我们可以说明四边形ADGE 可以连接AD 、EG ，先证四边形AEDF 是平行四边形，再证四边形AEGD 解：连接AD 、EG ， 因为，DE ∥AF ，DE ＝AF ，所以，四边形AEFD 是平行四边形（一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AE ∥DF ，AE=DF （平行四边形的一组对边平行且相等） 又因为，DG ＝DF 所以，AE=DG ，AE ∥DG 所以，四边形AEGD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AG 和ED 互相平分（平行四边形的对角线互相评分） 点评：本题主要是考查平行四边形的判定与性质的运用，在使用的过程中要注意二者的
平行四边形知识点复习总结 平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。表示：平行四边形用符号“□”来表示。 平行四边形性质： 平行四边形对边相等且平行；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。 平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。 平行四边形的判定：（5种，3边1角1对角线） 从边看：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 特殊的平行四边形 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。 特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的判定方法（3种） 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定方法: （3种） 一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。 菱形的面积等于其对角线乘积的一半，也可用平行四边形的面积方法计算，即底和高的积。 正方形: 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 性质：正方形的四边相等，对边平行，邻边垂直；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每一组对角；正方形的四个角都是直角。 判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。 矩形、菱形、正方形都是轴对称图形。矩形的对称轴为其对边中点所在的直线；菱形的对称轴是其对角线所在的直线；正方形的对称轴为其对边中点所在的直线或对角线所在的直线。 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法
平行四边形及其性质（基础） 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理. 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相 等”． 【要点梳理】 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行线的性质定理 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质
平行四边形及其性质（基础） 【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理. 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相 等” ． 【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作 “ Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD” . 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行线的性质定理 1. 两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等. 【典型例题】类型一、平行四边形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠ DAB、∠ CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD中，CD∥ AB， ∠ DFA＝∠ FAB．
平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积
一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）
特殊的平行四边形（基础） 【学习目标】 1. 理解矩形、菱形、正方形的概念. 2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理. 3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系. 【要点梳理】 要点一、矩形、菱形、正方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点二、矩形、菱形、正方形的性质 矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的 交点是对称中心. 要点三、矩形、菱形、正方形的判定 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
平行四边形 一、 基础知识平行四边形 二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、例题 例1、如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 例2、如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.求证：BE = CF. 例3、已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. 例4、如图6，E 、F 分别是 平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1）求证：△ABE ≌△CDF ； （2）若 M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. （图1） B A D B C E F (图6) M N O A B C D E F （图2）
例5、如图7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形. 例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点. （1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C. （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明. 例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积 两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理 的解释. 备用图（1） 备用图（2）图13 B C
平行四边形（提高） 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【高清课堂平行四边形知识要点】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形
平行四边形（基础） 撰稿：康红梅责编：吴婷婷 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【高清课堂平行四边形知识要点】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个
.平行四边形（基础）知识讲解 平行四边形（基础） 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3.能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【高清课堂平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形?平行四边形ABCD记作 “ Y ABCD，读作“平行四边形ABCD . 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线?相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条? 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且 相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质 可以证明两边平行或两边相 等；角的性质可以证明两角相 等或两角互补；对角线的性 质可以证明线段的相等关系或 倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对
角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基 础，必须牢固掌握，当几种方 法都能判定同一个平行四边形 时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形” 的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条 与第三边都有相应的位置关系 与数量关系.
平行四边形全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 3. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形?=S 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形?S ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：2 对角线对角线高＝＝底菱形??S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 要点四、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：=S 正方形边长×边长＝12 ×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、平行四边形 1、如图，在口ABCD 中，点E 在AD 上，连接BE ，DF ∥BE 交BC 于点F ，AF 与BE 交于
平行四边形知识总结及练习 １. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1.对边 且; ２．对角; 邻角； ３．对角线 ; 4.高两种无数条。 1.对边 且； 2.对角 且四个角都是 ; ３.对角线 ； １.对边 且四条边 都； ２．对 角; 3.对角线 且每条对角线 ； 1.对边 且四条边 都； ２．对角且 四个角都 是; 3.对角线 且每条 对角 线 ； 面积 2. 识别方法小结： (1) 识别平行四边形的方法（三边一角一对角线)： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ④两组角分对别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2）识别矩形的方法:（两角两对角线） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形;
③对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ④有三个角是直角的四边形矩是形。 (3）识别菱形的方法：（两边两对角线） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形; ④四边都相等的四边形是菱形。 (4）识别正方形的方法：(两边一角） ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形; ③有一组邻边相等的矩形是正方形; ④对角线互相垂直的矩形是正方形; ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； ⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （５）特别提醒:(两边一角） ①直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半； ②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半;梯形中位线定理是指梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 ③平行线间的距离:两条平行线中，一条平行线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离，两条平行线间的距离处处相等。 3.1填空： (1）两条对角线的四边形是平行四边形； （２）两条对角线的四边形是矩形; (3）两条对角线的四边形是菱形; (4）两条对角线的四边形是正方形； (5）两条对角线的平行四边形是矩形； (6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7)两条对角线的平行四边形是正方形; (8）两条对角线的矩形是正方形; (９)两条对角线的菱形是正方形。?
平行四边形 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； ● 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． ● 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 学习策略： ● 联系实际理解平行四边形的性质与判定； ● 通过相关的证明与求解提高逻辑思维能力与推理论证的能力. 二、学习与应用 1.由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做 . 2.三角形按边的相等关系分为 和 ，三角形的两边之和 第三边，三角形的内角和是 . 3.三角形的一个外角等于与它 两个内角的和， 与它不相邻的任何一个内角. 4.n 边形的内角和等于 . 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边 ； 2．角的性质：平行四边形邻角 ，对角 ； 3．对角线性质：平行四边形的对角线 ； 4．平行四边形是 对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别 的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别 的四边形是平行四边形； 3.一组对边 的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别 的四边形是平行四边形； 5.对角线 的四边形是平行四边形. “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
平行四边形的知识点汇总 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。 平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行线之间的距离及特征 平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。 平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。 矩形 矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。 矩形性质1：矩形的四个角都是直角。 矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。（注意：矩形具有平行四边形的一切性质） 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形
菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。 菱形性质1：菱形的四条边都相等。 菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。 菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。 推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。 菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（注意：菱形具有平行四边形的一切性质） 正方形 正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。 正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。 正方形性质1：正方形的四个角都是直角。 正方形性质2：正方形的四条边都相等。 正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。 正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。（注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）