3.6线性系统的稳态误差 一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态，控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。例如，工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量，轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材，导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战，等等。 控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。由于系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而会产生原理性稳态误差。此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。 对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。 通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。 本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法，包括计算稳态误差的一般方法，静态误差系数法和动态误差系数法。 3.6.1 误差与稳态误差 控制系统结构图一般可用图3-29（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图3-29（b）的形式。系统的误差通常有两种定义方法：按输入端定义和按输出端定义。 ⑴按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差， H s s s =（3-25） E- R C ) ( ) (s ( ) ) ( ⑵按输出端定义的误差 57
58 )() () ()(s C s H s R s E -= ' （3-26） 按输入端定义的误差)(s E （即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。两种误差定义之间存在如下关系： )()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。除特别说明外，本书以后讨论的误差都是指按输入端定义的误差（即偏差）。 稳态误差通常有两种含义。一种是指时间趋于无穷时误差的值)(lim t e e t ss ∞ →=，称为“静 态误差”或“终值误差”；另一种是指误差)(t e 中的稳态分量)(t e s ，称为“动态误差”。当误差随时间趋于无穷时，终值误差不能反映稳态误差随时间的变化规律，具有一定的局限性。 3.6.2 计算稳态误差的一般方法 计算稳态误差一般方法的实质是利用终值定理，它适用于各种情况下的稳态误差计算，既可以用于求输入作用下的稳态误差，也可以用于求干扰作用下的稳态误差。具体计算分三步进行。 ⑴ 判定系统的稳定性。稳定是系统正常工作的前提条件，系统不稳定时，求稳态误差没有意义。另外，计算稳态误差要用终值定理，终值定理应用的条件是除原点外，)(s sE 在右半s 平面及虚轴上解析。当系统不稳定，或)(s R 的极点位于虚轴上以及虚轴右边时，该条件不满足。 ⑵ 求误差传递函数 ) () ()(,)()()(s N s E s s R s E s en e =Φ= Φ。 ⑶ 用终值定理求稳态误差 [])()()()(lim 0 s N s s R s s e en e s ss Φ+Φ=→ （3-28） 例3-14 控制系统结构图如图3-30所示。已知t t n t r ==)()(，求系统的稳态误差。 解 控制输入)(t r 作用下的误差传递函数
不可少的,因为没有ESR 的LC 滤波器相位滞后大。 6.4.12. Ⅲ型误差放大器电路、传递函数和零点、极点位置 具有图6.41(b)的幅频特性电路如图6.42所示。可以用第6.4.6节Ⅱ 型误差放大器的方法推导它的传递函数。反馈和输入臂阻抗用复变量s 表示，并且传递函数简化为)(/)()(12s Z s Z s G =。传递函数经代数处理得到 )] /((1)[1)((])(1)[1()()()(212123321133112C C C C sR C sR C C sR C R R s C sR s U s U s G in o +++++++== （6-69） 可以看到，此传递函数具有 （a ） 一个原极点，频率为 ) (212110C C R f p +=π （6-70） 在此频率R 1的阻抗与电容(C 1+C 2)的阻抗相等且与其并联。 （b ） 第一个零点，在频率 1 2121C R f z π= （6-71） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 1的阻抗相等。 （c ） 第二个零点，在频率 3 1331221)(21C R C R R f z ππ≈+= （6-72） 在此频率，R 1+R 3的阻抗与电容C 3的阻抗相等。 （d ） 第一个极点，在频率 2 221212121)]/([21C R C C C C R f p ππ≈+= （6-73） 在此频率，R 2的阻抗与电容C 2和C 1串联的阻抗相等。 （e ） 第二个极点，在频率 33221C R f p π= （6-74） 在此频率R 3的阻抗与电容C 3阻抗相等。 为画出图6.41(b)的幅频特性，以f z 1=f z 2，f p 1=f p 2选择RC 乘积。双零点和双极点频率的位置由k 来决定。根据k 获得希望的相位裕度。图6.41(b)中误差放大器在希望的f c 0处以斜率＋20dB/dec 处的增益（图6.41(a)）令其等于LC 滤波器的衰减量，但符号相反。 从表6.3和传递函数式（6-69），可以设置希望的零点和极点频率，设计例子如下。 6.13. 设计举例－具有3型反馈环路的正激变换器稳定性 设计一个正激变换器反馈环路，正激变换器具有如下的参数： U 0=5.0V; I o =10A; I o min =1.0A; 开关频率f s =50kHz; 输出纹波（p-p ）<20mV 。并假定输出电容按广告说的没有ESR 。 首先，计算输出LC 滤波器和它的转折频率。在6.4.9节中得到 66 103010 1020533--?=???==o o o I T V L H 假定输出电容的ESR 为零，所以由于ESR 的纹波也为零，但有小的电容纹波分量。通常很小，因此所用的电容比2型误差放大器例子中应用的2600μF 要小得多。但保守些本设计电容仍采用2600μF ，且其ESR 为零，于是 570102600103021216 6=???==--ππo o c C L f Hz C 2 o 图6.42 具有式(22)的Ⅲ型误差放大器
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Excel常用函数功能及用法介绍 .xls 文件下载 函数名功能用途示例ABS求出参数的绝对值。数据计算 条件判断AND“与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回 逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。 AVERAGE求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN显示所引用单元格的列标号值。显示位置CONCATENATE将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并COUNTIF统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DATE给出指定数值的日期。显示日期DATEDIF计算返回两个日期参数的差值。计算天数DA Y计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。计算天数DCOUNT返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。条件统计
FREQUENCY以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。概率计算 条件计算 IF根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结 果。 数据定位INDEX返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确 定。 INT将数值向下取整为最接近的整数。数据计算 逻辑判断ISERROR用于测试函数式返回的数值是否有错。如果有错，该函数返回TRUE，反 之返回FALSE。 LEFT从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符。截取数据LEN统计文本字符串中字符数目。字符统计 MA TCH返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。匹配位置MAX求出一组数中的最大值。数据计算MID从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符。字符截取MIN求出一组数中的最小值。数据计算MOD求出两数相除的余数。数据计算MONTH求出指定日期或引用单元格中的日期的月份。日期计算 NOW给出当前系统日期和时间。显示日期时 间 逻辑判断 OR仅当所有参数值均为逻辑“假（FALSE）”时返回结果逻辑“假（FALSE）”， 否则都返回逻辑“真（TRUE）”。 RANK返回某一数值在一列数值中的相对于其他数值的排位。数据排序RIGHT从一个文本字符串的最后一个字符开始，截取指定数目的字符。字符截取
一个反馈控制系统在工作过程中，一般会受到两类信号的作用，统称外作用。 一类是有用信号或称输入信号、给定值、指令等，用)(t r 表示。通常)(t r 是加在控制系统的输入端，也就是系统的输入端；另一类则是扰动，或称干扰)(t n ，而干扰 )(t n ，可以出现在系统的任何位置，但通常，最主要的干扰信号是作用在被控对象 上的扰动，例如电动机的负载扰动等。 一、系统的开环传递函数 系统反馈量与误差信号的比值，称为闭环系统的开环传递函数， 二、系统的闭环传递函数 1、输入信号)(s R 作用下的闭环传递函数 令0)(=s D ，这时图1可简化成图2(a)。输出)(s C 对输入)(s R 之间的传递函数，称输入作用下的闭环传递函数，简称闭环传递函数，用)(s Φ表示。 而输出的拉氏变换式为 2、干扰)(s D 作用下的闭环传递函数 同样，令0)(=s R ，结构图1可简化为图3(a)。 以)(s D 作为输入，)(s C 为在扰动作用下的输出，它们之间的传递函数，用)(s n Φ表示，称为扰动作用下的闭环传递函数，简称干扰传递函数。 系统在扰动作用下所引起的输出为 三、系统的误差传递函数 系统的误差信号为)(s E ,误差传递函数也分为给定信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的传递函数。前者表征系统输出跟随输入信号的能力，后者反映系统抗扰动的能力。 1、输入信号)(s R 作用下的误差传递函数 为了分析系统信号的变化规律，寻求偏差信号与输入之间的关系，将结构图简化为如图2)(b 。列写出输入)(s R 与输出)(s ε之间的传递函数，称为控制作用下偏差传递函数。用表示。 )()()()()() ()()(2 1s H s G s H s G s G s E s B s G K ===)()()(21s G s G s G =)()(1) ()()()(1)()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s G s G s R s C s += +== Φ)() ()()(1)()()(2121s R s H s G s G s G s G s C +=) ()(1)()()()(1)()() ()(2212s H s G s G s H s G s G s G s N s C s n += +== Φ) () ()()(1) ()(212s N s H s G s G s G s C += ) ()()(s R s s εΦε=
公开 901 自动控制原理：控制系统的传递函数、过渡过程、误差分析、根轨迹法和频率特性法、综合与校正、非线性控制系统的分析、线性离散系统的分析、李 雅普洛夫稳定性分析，现代控制理论基础（占20%，不考最优控制及滤波估计）。 《自动控制原理》（1－9章），胡寿松主编，国防工业出版社。 903 信号与系统：连续时间系统的时域分析；傅氏变换及其应用－－滤波、调制与抽样；拉氏变换与S域分析；离散时间系统的时域分析，Z变换及Z域分 析。《信号与系统》（第二版）上、下册，郑君里等编，高等教育出版社。 904 材料力学：轴向拉压应力与材料的力学性能，轴向拉压变形、扭转、弯曲内力、应力、变形，应力应变状态分析，复杂应力状态强度问题，压杆稳定性， 能量法，静不定问题分析，应力分析的试验方法，疲劳与断裂。普通高等教育“十 五”国家级规划教材《材料力学》（Ⅰ）、（Ⅱ），第二版，单辉祖编著，高等 教育出版社。 905 理论力学：各种力学平衡，滑动摩擦与滚动摩擦，重心，点的运动，刚体的运动，质点的运动微分方程，质点直线振动，碰撞，动力学普遍定理，达朗 贝尔原理，虚位移原理，点在非惯性力学中的运动，第二类拉格朗日方程。《理 论力学》（第七版），哈尔滨工业大学理论力学教研室编，高等教育出版社。或 《理论力学》（第二版），李俊峰，张雄主编，清华大学出版社。 906 普通物理：力学：质点的运动、牛顿运动定律、运动守恒定律、刚体的转动（相对论基础不作要求）。热学：气体动理论，热力学基础（多方过程不做 要求）。电场和磁场：真空中的静电场，导体和电介质中的静电场，恒定电流和 恒定电场，真空中恒定磁场，磁介质中的磁场，电磁感应和暂态过程，麦克斯韦 方程组，电磁场（电场的边值关系，基尔霍夫定律不作要求）。振动和波动：机 械振动和电磁振动，机械波和电磁波，波动光学（干涉条文的可见度，旋光现象 不作要求）。《普通物理学》（第五版一、二、三），程守洙、江之水编，高等 教育出版社。 907 工程热力学：基本概念及气体的基本性质、热力学第一定律、气体的热力过程、热力学第二定律、气体的流动、气体动力循环、实际气体和水蒸气、完 全气体混合物及湿空气、热力学一般关系式、蒸汽动力循环、制冷循环、热化学、
Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数 注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。 1. 伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数 思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。 2. 不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数 思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开；误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。 3. 指数积分 思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛；对于0 Q 函数和误差函数 1 _ 2 erfc (x) = — e~x X\7t 4、Q 函数与误差函数之间的关系: Q(x) = ^erfc(-j=) erfc(x) = 2Q(4^x) 吋(x) = \ - 2Q(Ji x)1、Q 函数: x>3 2、误差函数: 3、误差补函数: erfc (x) = 1-erf (x)= X ? 1 飜2」制函黠 X0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.44W 0.432 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 03974 03936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 03745 03707 03669 0.3632 03594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 03409 03372 03336 0.3300 03264 03228 0.3192 03156 03121 0.5 03085 03050 03015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2184 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1H2 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0986 0.0951 0.0934 0,0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.07M 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0M3 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 O.M65 0.0455 1.7 0.W46 0.IM36 0.0427 0.0418 0.M09 0.M01 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 (10207 0.0202 ().0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0112 0.012900125 0.0122 0.0119 0.01160.01 B 0.0110 2.3 0.0107 0.01W 0.0102 0.0099() 0.009M 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842 2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.()0657 0.00639 2.5 0.00621 0.00601 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 O.OO5A8 0.00494 0.00484 2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.1XMI5 ().00402 0.0()391 0.00379 0.00368 0.00357 2.7 0.00.147 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.002W ηerf()ηηerf()ηηerf()η0.00 0.00000 0.78 0.73001 1.56 0.97263 0.02 0.02256 0.80 0.74210 1.58 0.97455 0.04 0.04511 0.82 0.75381 1.60 0.97635 0.06 0.06762 0.84 0.76514 1.62 0.97804 0.08 0.09008 0.86 0.77610 1.64 0.97962 0.10 0.11246 0.88 0.78669 1.66 0.98110 0.12 0.13476 0.90 0.79691 1.68 0.98249 0.14 0.15695 0.92 0.80677 1.70 0.98379 0.16 0.17901 0.94 0.81627 1.72 0.98500 0.18 0.20094 0.96 0.82542 1.74 0.98613 0.20 0.22270 0.98 0.83423 1.76 0.98719 0.22 0.24430 1.00 0.84270 1.78 0.98817 0.24 0.26570 1.02 0.85084 1.80 0.98909 0.26 0.28690 1.04 0.85865 1.82 0.98994 0.28 0.30788 1.06 0.86614 1.84 0.99074 0.30 0.32863 1.08 0.87333 1.86 0.99147 0.32 0.34913 1.10 0.88020 1.88 0.99216 0.34 0.36936 1.12 0.88679 1.90 0.99279 0.36 0.38933 1.14 0.89308 1.92 0.99338 0.38 0.40901 1.16 0.89310 1.94 0.99392 0.40 0.42839 1.18 0.90584 1.96 0.99443 0.42 0.44747 1.20 0.91031 1.98 0.99489 0.44 0.46623 1.22 0.91553 2.00 0.99532《通信原理教学资料》Q函数和误差函数表.doc
高斯误差函数表表
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