教学过程
一、复习预习
上节课我们学习了一元二次方程的定义及解法，接下来请同学们回忆一下：
1.一元二次方程：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是____，且二次项系数____，这样的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_______________。
例如，（1）x x -=122 （2） 052=-x x （3）1232
=x 2.一元二次方程的解法有_________法、_________法，
解方程0822
=-x 2
220x x --=．
解：822=x 12122
+=+-x x ，
42=x
3)1(2=-x ，
2,221=-=x x 31±=-x
∴311+=x ， 312-=x . 本节课还要学习的公式法，因式分解法。
二、知识讲解
1．公式法解一元二次方程：公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推导过程教师板书）
()200ax bx c a ++=≠ 的求根公式为)240x b ac =-≥
2.因式分解法解一元二次方程：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
3.一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 中，ac b 42
-叫做一元二次方程 ）（002
≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42
-=?。
当2
40b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；
当2
40b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
当2
40b ac -<时，方程无实数根。
反之，
若方程有两个不相等的实数根，则2
40b ac ->；
若方程有两个相等的实数根，则2
40b ac -=；
若无实数根，则2
40b ac -<。
4.一元二次方程根与系数的关系
如果方程）（
002
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b
x x -
=+21，
a c x x =
21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5. 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1）()
212
212
22
12x x x x x x -+=+ （2）2121
2
11
1x x x x x x +=+ （3）()2
212121))((a x x a x x a x a x ++++=++；
（4）│21x x -│=
()2
21x x -=
()2
12214x x x x -+
考点/易错点1
使用判别式之前一定要先把一元二次方程化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。 考点/易错点2
根的判别式ac b 42-的使用条件是在一元二次方程中，而非别的方程中。因此，解题过程中要注意隐含条件0≠a 。 考点/易错点3
对于一元二次方程02
=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时，才能用韦达定理。 考点/易错点4
根据一元二次方程的特点，如何灵活选用最合适的解方程的方法：首先考虑是否满足直接开平方法的条件，其次观察项数，考虑能否用因式分解法，用哪一种因式分解法，最后考虑公式法和配方法。
三、例题精析
【例题1】
【题干】解方程0342=-+x x 【答案】 1,4
3
21-==
x x 【解析】解：∵3,1,4-===c b a
∴049)3(44142
2
＞=-??-=-ac b
∴87
142491±-=
?±-=x ∴4
3
=x ，1-=x 【变式练习】
【题干】用公式法解方程2
3610x x -+=
【答案】
解：∵ 3,6,1a b c ==-=，
∴2
2
4(6)43124.b ac -=--??=
代入求根公式，得x =
=
1211x x ∴=+
=-
【例题2】
【题干】因式分解法解方程)1(2)1(32
-=-x x
【答案】3
5,121=
=x x 【解析】解：原方程可化为0)1(2)1(32
=---x x
0)53)(1(=--x x
∴ 01=-x ，或053=-x
∴ 35,121==x x
【变式练习】
【题干】解方程49)5(2
=+x
【答案】2,1221=-=x x
【解析】解：原方程可化为07)5(2
2
=-+x
0)2)(12(=-+x x
∴ 012=+x ，或02=-x ∴ 2,1221=-=x x
【例题3】
【题干】解一元二次方程：04)1(2)1(2
=-+++x x
【答案】解：设y x =+1
原方程化为：0422
=-+y y ，
即
【解析】换元法解一元二次方程的能力。观察方程由方程特点设y x =+1，然后整理原方程求解。换元法解方程可将方程化繁为简，化难为易，是解方程的常用方法之一。换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点. 【例题4】
【题干】下列四个结论中，正确的是（ ）
A ．方程1
2x x +=-有两个不相等的实数根 B ．方程1
1x x +=有两个不相等的实数根
C ．方程1
2x x +=有两个不相等的实数根
D ．方程1
x a x
+=（其中a 为常数，且2a >）有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】此题属于不解一元二次方程，判断（证明）根的情况类型的题目。
把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A 、整理得：2210x x ++=，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B 、整理得：210x x -+=，△＜0，原方程没有实数根，选项错误；
C 、整理得：2210x x -+=，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D 、整理得：210x ax -+=，当a 2>时， 240a ?=->，原方程有2个不相等的实数根，选项正确.
【例题5】
【题干】如果关于x
的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜
12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．﹣12≤ k ＜12 D ．﹣12≤ k ＜1
2
且k ≠0
【答案】D
【解析】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k ＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知
)2－4k ＞0，三者缺一不
选为B ．
由题意，得242100.
k k k ?->?+??≠?
0，
≥，解得－12≤ k ＜1
2且k ≠0．
【例题6】
【题干】已知m 、n 是方程01222
=++x x 的两根，则代数式mn n m 32
2++的值为
A ． 9
B ． 3±
C ． 3
D ．5 【答案】C
【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、2
a 的化简.根据一元二次方程根与系数的关系得：22-=+n m ，1=mn .
mn n m 322++=
()mn n m ++2=
()
31222
=+-
【例题7】
【题干】如果21,x x 是方程0122
=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：
A ．－1
B ．2
C ．21- D.21+ 【答案】B
【解析】本题考查一元二次方程02
=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是
a b -
， 两根之积是a
c
，易求出两根之和是2. 四、课堂运用 【基础】
1.方程()()313x x x -+=-的解是 （ ）
A.0x =
B. 3x =
C.3x =或1x =-
D. 3x =或0x = 【答案】D
【解析】用因式分解法解一元二次方程的步骤是，把右边的式子移到左边，然后另每一个因式为0.
2.解方程01232=--x x 【答案】解：∵1,2,3-=-==c b a
∴016)1(34)2(42
2
＞=-??--=-ac b
∴6
4
232162±=
?±=
x ∴3
1
,121-
==x x 【解析】选择公式法较简单 3.解方程072
=+x x 【答案】解：0)7(=+x x ∴ 0=x ，或07=+x ∴ 7,021-==x x 【解析】选择因式分解法较简单 4.解方程49442=+-x x 【答案】解：7)2(2
=-x
∴ 75=+x ，或75-=+x ∴ 9,521=-=x x
【解析】选择直接开平方法较简单
5.若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是（ ） A . m 1≤- B . m 1≤ C . m 4≤ D .m 12
≤
【答案】B
【解析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围：
∵一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解， ∴△=b 2－4ac =22－4m ≥0，解得：m ≤1。
∴m 的取值范围是m ≤1。
6.已知一元二次方程：0132
=--x x 的两个根分别是1x 、2x 则2
21221x x x x +的值为（ ）
A . 3-
B . 3
C . 6-
D . 6 【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系。ax 2
+bx +c =0(a ≠0)， x 1+x 2=b a
-
, x 1x 2=
c a
12123,1x x x x +==-,2
2
12121212()(1)33x x x x x x x x +=+=-?=-
【巩固】
1.一元二次方程2220x x ++=的根的情况是（ ）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．无实数根 【答案】D
【解析】2220x x ++=中，a =1，b =2，c =2， △224241240b ac =-=-??=-<。 2220x x ++=无实数根。
2.用适当的方法解下列方程
（1）0342=+-x x ； 解：0)3)(1(=--x x ∴ 01=-x ，或03=-x ∴ 3,121==x x （2）()()2465-=-+x x ； 解：原方程可化简为 062
=--x x
∴ 03=-x ，或02=+x ∴ 2,321-==x x
（3）()()03232=-+-x x x
解：0)3)(1(=--x x
∴ 01=-x ，或03=-x ∴ 3,121==x x
（4）06262
=--x x 解：∵62,1,6-=-==
c b a
∴049)62(64)1(422＞=-??--=-ac b
∴6
2716
2491±=
?±=
x
∴62
1,63221-==
x x 【拔高】
1. 若142=++y xy x ，282
=++x xy y ，则y x +的值为 。
【答案】6,7=+-=+y x y x 或
【解析】将两个式子相加得，4222
2
=++++y x y xy x
()()422
=+++y x y x
()()0422
=-+++y x y x
设m y x =+，则有0422
=-+m m 解一元二次方程，0)6)(7(=-+m m 6,721=-=m m
即：6,7=+-=+y x y x 或 2. 如果012
=-+x x ，那么代数式722
3
-+x x 的值。 【答案】-6
【解析】由012
=-+x x 可得，x x -=12
()()()6
151557227
1217
2722
22223-=+---=----=---=--+-=--+-=-+?=-+x x x x x x x x x x x x x x x x x
3.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．
(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝
，求m 的值和此时方程的两根。 【答案】
解：（1）证明：由关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0得
△=（m +3）2－4（m +1）=（m +1）2+4， ∵无论m 取何值，（m +1）2＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2= －（m +3），x 1?x 2=m +1。 ∵|x 1－x 2|＝
， ∴（x 1－x 2）2=8，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2=8。
∴[－（m +3）]2－4（m +1）=8，即m 2＋2m －3=0。 解得：m 1=－3，m 2=1。
当m =－3时，原方程化为：x 2－2=0，解得：x 1 ，x 2=。
当m =1时，原方程化为：x 2＋4x ＋2=0，解得：x 1=－ ，x 2=－2。 【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
（1）根据关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0的根的判别式△=b 2－4ac 的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x 1＋x 2和x 1?x 2，由已知条件|x 1－x 2|＝平方后可以得到关于x 1＋x 2和x 1?x 2的等式，从而列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值，最后将m 值代入原方程并解方程。
课程小结
1.公式法解一元二次方程
2.因式分解法解一元二次方程
3.一元二次方程根的判别式
4.一元二次方程根与系数的关系
5.根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系
课后作业
【基础】
1. 如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +c =0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 。 【答案】 c ＞9。
【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +c =0（c 是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c ＜0，即36﹣4c ＜0，c ＞9。
2. 方程04
1
1)1(2=+
---x k x k 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
． A ． k ≥1
B ． k ≤1
C ． k >1
D ． k <1
【答案】D
【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系（根的判别式），当b 2-4ac≥时，一元二次方程有两个相等的实数根，同时不要忽略二次项系数不等于零及二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）。方程04
1
1)1(2=+
---x k x k 有两个实数根，所以k-1≠0且，
1-k≥0,2
1
(4(1)04
k --≥，k≠1且k≤1,所以k <1.
3. 已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3,x 1x 2=1,则a 、b 的值分别是
A . a =–3,b =1
B . a =3,b =1
C . a = –3
2,b =–1
D . a = –
3
2
,b =1 【答案】D
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。
x 1+x 2= –2a =3,a = –
3
2
; x 1x 2=b =1 4.已知03522
=--x x n m 是方程和的两根，则
=+n
m 1
1 . 【答案】35
-
【解析】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题的关键是利用根与系数的关系整体代入化简后的待求式. 因为m 和n 是方程2x 2-5x-3=0得，m+n=
2
5
，m n= -23，所以n m 11+=mn n m +=3
5-2
3-25
=. 5.用适当的方法解方程 06262=--x x
【答案】解：∵62,1,6-=-==
c b a
∴049)62(64)1(422＞=-??--=-ac b ∴6
2716
2491±=
?±=
x
∴62
1,63221-==
x x 【解析】可选择公式法
【巩固】
1.已知：多项式x 2
﹣k x +1是一个完全平方式，则反比例函数k 1
y=x
-的解析式为 。 【答案】 1y=
x 或3y=x
-。 【解析】∵多项式x 2
﹣k x +1是一个完全平方式，
∴对应的一元二次方程x 2
﹣k x +1=0根的判别式△=0。 ∴△=k 2－4×1×1=0，解得k =±2。 把k =±2分别代入反比例函数k 1y=
x -的解析式得：1y=x 或3
y=x
-。 2. 在同一坐标系中，直线y ＝x ＋1与双曲线y ＝ 1
x
的交点个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．不能确定 【答案】 A
【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y ＝x ＋1和y ＝ 1
x
得，x ＋1＝ 1
x ，整理，得 x 2＋x －1＝0。
∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x －1＝0有两不相等的实数根。
∴直线y ＝x ＋1与双曲线y ＝ 1
x
有两个交点。故选A 。
3.关于x 的一元二次方程2
310x x m ++-=的两个实数根分别为12,x x .
（1）求m 的取值范围；
（2）若12122()100x x x x +++=，求m 的值. 【答案】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴=9-4(-1)0m ?≥， 解之，得：134
m ≤
.
（2）由韦达定理，得：1212+=-3=-1x x x x m ?，， ∴2(-3)+(-1)+10=0m ?， 解之，得：=-3m .
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用．需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即△≥0。
（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m 的代数式所表示出12()x x +及12x x ，代入
12122()100x x x x +++=即可求出m 的值。
4. 设a ，b 是方程2
20130x x +-=的两个不相等的实数根，2
2a a b ++的值 ． 【答案】2012
【解析】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法．
解：因为a ，b 是方程2
20130x x +-=的两个不相等的实数根，故由韦达定理得
a +
b =-1①，由根的定义得220130a a +-=，即22013a a +=②．再由①+②得
222012a a b ++=．
【拔高】
1. 如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别
是已知方程两根的倒数；
（2）已知a 、b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求
a b ＋b
a
的值；
（3）已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．
【答案】
解：（1）设x 2＋mx ＋n ＝0 (n≠0)的两根为x 1，x 2． ∴ x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ．∴
11x ＋21x ＝1212x x x x +＝－m n ，11x ·21x ＝1
n
．
∴ 所求一元二次方程为x 2＋
mx n ＋1
n
＝0，即nx 2＋mx ＋1＝0． （2）当a≠b 时，由题意知a ，b 是一元二次方程x 2－15x －5＝0的两根， ∴a ＋b ＝15，ab ＝－5．
∴a b ＋b
a ＝22a
b ab +＝2()2a b ab ab +-＝152(5)5-?--＝－47．
② 当a ＝b 时，a b ＋b
a
＝1＋1＝2．
∴
a b ＋b
a
＝－47或2． （3）∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，∴a ＋b ＝－c ，ab ＝16
c
． ∴a ，b 是方程x 2＋cx ＋
16c ＝0的两根．∴△＝c 2－416c
?≥0． ∵c ＞0，∴c 3≥64．∴c≥4．∴c 的最小值为4．
【解析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大．数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为学生铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查学生的学习能力，灵活应用能力，具有一定的区分度。
（1）首先由材料知道如果一个一元二次方程的两根是x 1，x 2，那么这个方程可以表达为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，然后根据条件用含m ，n 的式子表示出x 1＋x 2，x 1x 2代入即可． （2）观察发现a ，b 可能相等，也可能不相等．当它们相等时，
a b ，b
a
的值都等于1；当它们不相等时，a ，b 可以理解为是关于x 的方程x 2－15x －5＝0的两个根，然后对a b ＋b
a
通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解． （3）由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16
c
，构造以a ，b 为根的一元二次方程，然后利用根的判别式△≥0构造不等关系求解。
2. 设242
210,210a a b b +-=--=，且210ab -≠，则5
2231ab b a a ??+-+ ???
=________。
【答案】 －32
【解析】本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式。解题关键是注意1-ab 2≠0的运用。
因为242210,210a a b b +-=--=，∴242
(21)(21)0a a b b +----=， 化简得22()(2)a b a b +-+=0。若220a b -+=，即2
2b a =+， 则22
11(2)(21)0ab a a a a -=-+=-++=，这与已知条件相矛盾， ∴2
20a b -+≠。∴2
a b +=0，即2
b a =-。
∴()5
5
2
6
31(21)41232a a a a a a a ??---+--+??==-=- ? ?
?
???。
错题总结
一、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解. 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。 [活动2] 创设情境探究新知 问题 1．课本P16问题. 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点没有实数根 b2－4ac < 0 教师重点关注：
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
《一元二次方程的解法》教案 清江中学钱旭东 【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】 一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】 结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】 教具准备：多媒体课件. 【教学过程】 一、提出问题 有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进 不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试， 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？ （学生思考） 师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？ 生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？ 生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.
师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？ 生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知 探索一：从简单开始 师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？ 生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺
《配方法》解一元二次方程教学案例 教学目标 【知识与技能】 使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。 【过程与方法】 经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 【情感、态度与价值观】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教学过程设计 （一）创设情境 导入新课 导语一（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ （3）解方程x 2 +12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2 +12x-15=0转化为上面方程的形式吗？ 导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2 +12a+ 62 =(a+ 6 )2 ； （2）x 2- x +4 1=(x+ 2 1 )2 ； 3、若4x 2 -mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。 导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？ 你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？ [设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2 =1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%] （二）合作交流 解读探究 1、配方法
[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2 ，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。） 即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。根据矩形面积为16m 2 ，列方程x(x+6)=16，即x 2 +6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。） （思考）怎样解方程x 2 +6x-16=0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2 +6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方 程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2 +6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同 时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2 +6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。） 移 项 9（即(2 6)2）使左边配成 2的形式 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方
《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪
教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。
一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable
一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。
难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：
九年级数学（上）一元二次方程教学案例 1、创设情境 我们学校要建一个面积是150平方米一边靠墙的自行车棚，另外的三边用铁篱笆围成，如果铁篱笆周长是35米，请你设计一下车棚的长和宽各是多少？ 2、激发兴趣 教师设计符合学生生活实际的情景，一下子引起学生的兴趣，激发学习的动机，出示问题现在就请我们的各小组就这个问题讨论一下。 3、学生的新旧知识迁移阶段 经过讨论，各个小组使用以前的知识列出统一的方程，由原有的认知结构经过一系列的转化，产生新的知识结构，这时候各个小组都出现了迷惑的状态。从没有见过这样的方程，此时教师引入课题，这就是今天所讲的一元二次方程，然后进入一个阶段，好动的学生具有极强的好奇心，他们热衷于探求事物的本质，此时吊起他们的胃口，使他们在不知不觉中进入状态，确实是一个好的开始，也就意味着取得了成功的一半。 4、学生小组讨论阶段 现在我们来看这个方程有怎样的特点？教师抛出这样一个问题，并把他板书到黑板上，学生分组讨论交往互动，此时教师在小组内指导，宏观上能做到对全体的指导，并把学生的讨论结果即时的有选择的板书到黑板上。 “我们发现这个方程的次数是二次的” “我们还发现只有一个未知数” “我们又发现是按X的降幂排列的”“我们发现等式的右边是0” 这样老师尽力的把学生的各种观点板书，对于学生来说有一种成功感，特别是对于成绩相对比较差的学生，即时的表扬，调动各类学生积极参与教学过程，把课堂教学的主线定义为发展学生的创造性思维。 5、梳理归纳阶段。 通过上一步的讨论我们能否给出一个一元二次方程的定义及标准形式，通过上面的板书，请大家归纳一下，老师抛出第二个问题，根据这个阶段学生争强好胜的特点，他们会尽一切办法把自己的想法加到定义中，已表现出他们高人一筹，老师正是利用他们的这种心理，使他们朝着老师设计的轨道前进。当然，他们完全能够偏离轨道，只要产生思考的火花，就理应即时的表扬，学生归纳出以下的定义： “含有一个未知数并且次数是2的方程” “含有一个未知数并且次数是2的按X的降幂排列的方程”“含有一个未知数并且次数是2的X的降幂排列的等式的右边是0的方程” 老师把学生的讨论总结即时的板书，水到渠成最后得出一个统一的结论，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的次的方程叫一元二次方程，这样就对该概念的外延及内函有了充分的探讨，对于该知识的后续学习是极有协助的。教学反思： 我这次仅仅选了教学过程的一个极小的方面（概念教学）。就这个阶段来说，可能是上课伊始，学生的注意力比较集中的缘故，采用这种方法效果还是比较明显的。也可能是尊重学生的个性的原因，绝大部分的学生能积极地参与到合作讨论中，学生课堂上生动活泼，自由的发言，做到课堂活而不乱，学生说而有章，初步达到了最初设想到的目的，所以只要尊重学生的个性，适时引导，让每一个人
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
1对1个性化教案 学生学科数学年级九年级教师李瑞芳授课日期授课时段 课题一元二次方程 重点难点重点：掌握一元二次方程的概念、解法及应用 难点：一元二次方程的特殊解法、韦达定理及应用 教学内容 【基础知识：】 1、一元二次方程的概念怎样？其一般形式怎样？ 2、你能说出下列方程是几元几次方程吗？ (1) 2x + 3 = 0 (2) 3x – 8 = 0 (3) 3x + y = 7 (4) 3、分析：一元二次方程一般形式中各部分概念？（即认识：二次项及二次系数、一次项及一次项系数、常数项） 4、方程的根：x = 3是一元一次方程2x – 6 = 0的根吗？ x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗？ 例1、你能找出下列方程的根吗： 5、一元二次方程的解题思想-------降次 （1）直接开平方法； （2）配方法； （3）公式法； （4）因式分解法--------十字相乘法； （5）根与系数的关系-------韦达定理。 【重点知识】 一、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是() 200 ax bx c a ++=≠． 典型例题解析:
例1．方程()221 170m m m x x m --++-=是一元二次方程，则m = ． 分析：考查一元二次方程的概念及其成立的条件（二次项系数a 不为零）． 例2：指出下列一元二次方程中a,b,c 的值 （1）2x 2+3x-4=0； （2）16y 2+9=24y ； （3）3x 2-2x+2=0； （4）3t 2-36t+2=0； （5）5（x 2+1）-7x=0． 二、用适当的方法解方程 1、直接开平方法：形如 或者 的方程； 例1、给下下列等式填上适当的数字。 例2、用直接开平方法求出下列方程的根： 2、配方法：方程都能化成或形式，从而 去求解。 1、思考：求的根 例1：解下列方程：
学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．
新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语
《一元二次方程》教学案例 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求
根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求
21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x
学习好资料欢迎下载 一元二次方程教学案例 、教学目标： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 二、教学重点、难点： 教学重点： 1．体会方程与函数之间的联系。 2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。 教学难点： 1．探索方程与函数之间关系的过程。 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 三、教学方法：启发引导合作交流 四：教具、学具：课件 五、教学媒体：计算机、实物投影。 六、教学过程： [ 活动1] 检查预习引出课题 预习作业： 1．解方程：（1） x2 +x－ 2=0; (2) x 2 －6x+9=0; (3) x 2 －x+1=0; (4) x 2－2x－2=0. 2.回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0 的解 . 师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。 教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来， 2 题的格式要规范。 设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1 题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程
的相关知识； 2 题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类 比探究本课新知识。 [ 活动 2] 创设情境 探究新知 问题 1．课本 P 16 问题 . 2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是 15m 或 0m ？为什么只在一个时间球的高度是 20m? （结合预习题 1，完成课本 P 16 观察中的题目。） 师生行为：教师提出问题 1，给学生独立思考的时间 , 教师可适当引导 , 对学生的解题思路和格式进行梳理 和规范；问题 2 学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题 3 是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的根有什么关系 ? 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和 x 2 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 根的判别式 轴交点 一元二次方程 ax +bx+c=0 的根 2－ 4ac =b 两个交点 两个相异的实数根 b 2－ 4ac > 0 一个交点 两个相等的实数根 b 2－ 4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2－ 4ac < 0 教师重点关注： 1．学生能否把实际问题准确地转化为数学问题； 2．学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用； 3．学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的 方法更准确。 设计意图： 由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境， 促使学生能积极地参与到数学活动中去， 体会二次函数与实际问题的关系；学生通过小组合作分析、交流，探求二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。 [ 活动 3] 例题学习 巩固提高 问题： 例 利用函数图象求方程 x 2 －2x －2=0 的实数根（精确到 0.1 ） . 师生行为：教师提出问题，引导学生根据预习题 2 独立完成，师生互相订正。 教师关注：（ 1）学生在解题过程中格式是否规范；（ 2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。
5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+
想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?
一元二次方程教学案例及反思 一、案例背景 1、教材分析： 一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时，主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定义。 2、学生分析 在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。教师要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 3、教学目标： （1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 （2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。 （3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 4、教学重点： 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。 5、教学难点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 6、教学思路： 以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。 二、课堂实录： （一）复习引入 师：我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。 师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？ 生1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。 生2：不是“式子”应该是整式方程。 师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。