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一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程

1 认识一元二次方程

第1课时一元二次方程的定义

【知识与技能】

探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识.

【过程与方法】

在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系.

【情感态度】

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【教学重点】

一元二次方程的概念.

【教学难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

一、情境导入,初步认识

问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？

你能设出未知数，列出相应的方程吗？

【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫.

二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？

（1）(100-2x)(50-2x)＝3600

（2）（x+6）2+72=102

【教学说明】

分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2.

【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

活动中教师应重点关注：

(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；

(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；

(3)强调定义中体现的3个特征：

①整式；②一元；③2次.

【教学说明】

让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的.

三、运用新知，深化理解

1.下列方程是一元二次方程的有.

（1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0

（3）=4（4）m3-2m+3=0

x2-5=0（6）ax2-bx=4

（5）

解答：（5）

2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程.

解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

-2时，方程是一元二次方程.

解答：m=-2 m≠-2

3.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______.

解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.

解答：2x2－x－7=0

4.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（）

A.x2+6/5x+3/5=0

B.x2-6x-3=0

C.x2-6/5x-3/5=0

D.x2-6/5x+3/5=0

解析：注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化.

解答：C

5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______.

解答：m≠-3

6.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.

解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号).

7.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？

分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：由mx2-3x=x2-mx+2得到（m-1）x2+（m-3）x-2=0,所以m-1≠0，即m ≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足m≠1.

【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.

四、师生互动、课堂小结

本节课你学到了哪些内容和方法？

【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.

1.布置作业：教材“习题

2.1”中第1、2题.

2.完成课堂点睛中本课时“课时作业”部分.

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验，明确研究方向问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案：根据已有的学习一元一次方程和分式方程的经验，我们是按照方程的概念、解法和应用的顺序展开研究，下面应该研究一元二次方程的解法了. 学生预案：分类方法可能有：（1）按等号左边多项式所含的项数分；（2）按系数是否为零分等情况；教师预案：根据学生的分类情况及时回应，如果学生分类范围比较大，追问还能细分么？例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共有9种不同的类型；当a<0时，依据等式的基本性质可将方程变为a>0的情形，因此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案：类别的呈现会出现直接罗列、树状图、列表格等不同的形式。教师预案：用实物投影全班展示,比一比谁的呈现方式更加直观简洁。让学生有意识的根据自己的学习经验，总结代数学中研究方程的一般顺序.自主提出研究的内容和方向. 让学生自己写一元二次方程，是对定义的一次复习，同时也是训练学生的发散思维，提高同学的参与度和研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活动中逐步认识一元二次方程的各种形式，为探究一元二次方程的解法布好局，学生在接下来的学习中探究每个不同形式的方程解法，也就完成了整个单元中解法探索的整合教学.使学生的学习是连贯的、系统的，知识的建构是完整的. “列表格”是数学中常用的分析问题的方法，既有直观简洁的特征，又能体现分类者的思维顺序。这里，通过填表加深学生对一元二次方程各项系数的认识，以及方程不同类型的理解，并为后续研

教案一元二次方程的应用——利润问题

一元二次方程的应用——利润问题教学设计（江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100）教学目标： 1.知识与技能目标（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。 3.情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点：列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点：发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型教法：创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法：自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程：一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.3因式分解法学案(无答案)(新版)新人教版

21.2.3 因式分解法学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？ 3、归纳：（1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使 _________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做 __________________。（2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。如：如果,那么或_______,即或________。练习1、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题

活动3：随堂训练 1、用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程右边化为（2）将方程左边分解成两个一次因式的（3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解【课后巩固】

第二十三章一元二次方程全章导学案

第二十二章一元二次方程 1、一元二次方程（1）学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。其中为一元二次方程的是：【我学会了】 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）81 x（2）)2 42= -x x x = 3+ (5 )1 ( 【巩固练习】教材第27页练习

一元二次方程的解法教学设计人教版〔优秀篇〕

《一元二次方程的解法》教案清江中学钱旭东【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】教具准备：多媒体课件. 【教学过程】一、提出问题有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？（学生思考）师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.

师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知探索一：从简单开始师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺

2020-2021学年九年级数学(学案)一元二次方程的解

2020-2021学年一元二次方程的解数学课题一元二次方程的解学习目标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：探索一元二次方程的解或近似解难点：培养学生的估算意识和能力【学习过程】一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 问题探究：探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2 ―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2 +72 =102 ，也就是x 2 +12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x x 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11 备注（教师复备栏及学生笔记）

x2+12x-15 所以 ___

一元二次方程的应用学案

一元二次方程的应用学案学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程：前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。想一想，列方程解应用题的关键是什么？一.自主学习例1.如图，有一块长40c、宽30c的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？分析：这个问题中的等量关系是：解：例2.如图，N是一面长10的墙，要用长24的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABcD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？解：设矩形花圃ABcD的宽为x，那么长____. 根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.

解这个方程，得＝＝根据题意，舍去_________________. 所以，花圃的宽是________. 二.对应练习从一块正方形木板上锯掉2c宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积. 有一块矩形的草坪，长比宽多4.草坪四周有一条宽2的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽. 三.当堂检测两个数的和是20，积是51，求这两个数. 如图，道路AB与Bc分别是东西方向和南北方向，AB＝1000.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150的速度向东跑；同时小亮从点B出发，以每分钟200的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000？

一元二次方程的解法教学设计

一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable

一元二次方程的解法教学设计前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。教学重点和难点重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。教学建议：一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

配方法解一元二次方程导学案[1]

配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋2 3x ＋（）＝（x ＋）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？例2、用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 ⑤、4x 2－6x ＋（）＝4（x －）2＝（2x －）2.

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程：（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2．（6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。（3）已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

201x版中考数学专题复习专题二(11-2)一元二次方程的应用学案

2019版中考数学专题复习专题二（11-2）一元二次方程的应用学案【学习目标】 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型． 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．【重点难点】重点：列出一元二次方程解决实际问题. 难点：将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程解决实际问题．【知识回顾】一．回顾练习 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，现有6个球队，共需安排_____场比赛. 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 3.一件工程，甲独做2小时完成，乙独做3小时天完成，甲乙合作_____小时可以完成. 4.一个两位数个位数字是a,十位数字是b，这个两位数是_______ 5.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米. 【综合运用】（一）面积问题如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少？（二）传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少个人？

(三）平均增长率问题某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率. （四）商品销售问题某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【直击中考】 1..如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 2.（xx年）（本小题满分7分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学xx 年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，xx年投资18.59万元. （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从（xx年）到xx年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？一元二次方程的应用复习学案答案

一元二次方程教案设计

《一元二次方程》教学设计四川省旺苍县英萃中学校何剑教学目标： 1、知识与技能目标（1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。（2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。教学难点：分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。教学方法与教学手段互动式、合作探究；投影仪

教学过程：一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？运用方程：设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。请学生回顾：什么是一元二次方程。

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。二、重难点：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。四、教学过程：（一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。（1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0）（3）x2= 25 （二）探索问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？（老师）解出完整的过程。小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。练习：解方程下列方程。（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习六、课外作业：P16复习巩固第1题

一元二次方程学案几何图形应用题

一元二次方程的实际应用学案 ——几何图形问题一、知识回顾： 1、列方程解应用题的步骤：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、 2、常见的几何图形的面积公式：（1）、矩形的面积＝长× ；（2）、正方形的面积＝（3）、三角形的面积＝ 21×底× ；（4）、梯形的面积＝2 1×（）×高；二、课前练习： 1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为 2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ，若设长方形场地的宽为x m ，则长为，根据题意，列出方程为 3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为x cm ，则较长的直角边长为，根据题意，列出方程为三、例题选讲：例1、如图，从一块长8厘米、宽6厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半。求这个宽度解：设这个宽度为x cm ，则小长方形的长为，宽为，根据题意，得答：例2、（08广东改编）在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为

cm，求所截去小正方形的边长。 8002 解：设所截去小正方形的边长为x cm，则底面长方形的长为，宽为，根据题意，得答：例3、振中的生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平 m，小道的宽应是行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 多少？解：设小道的宽为x m，根据题意，得答：四、当堂训练： 1、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边 m，小道的宽应是多少？的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计一、内容和内容解析（1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式（2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。二、目标和目标解析（1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．三、学情分析教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。四、教学问题诊断分析

九年级数学导学案：22.2.5解一元二次方程

22.2.5解一元二次方程学习目标： 1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、选择合适的方法解一元二次方程重点、难点 1、重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 2、难点：选择合适的方法解一元二次方程【课前预习】一、梳理知识 1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义 2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥ 配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程 3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法二、用适当的方法解下列方程： 1. 270x x -= 2. 2 1227x x += 3、X （x-2）+X-2=0 4. 2 24x x +-= 5、5x 2 -2X-4 1 =x 2 -2X+43 6. 2 24(2) 9(21)x x +=-

【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题 1．用直接开方法解方程： ⑴ 01362=-x ⑵8142=x ⑶ ()1652 =+x ⑷4122=+-x x 2．用因式分解法解方程： ⑴02=+x x ⑵012142 =-x ⑶()()012123=---x x x ⑷ ()()02542 2=---x x 3．用配方法解方程： ⑴016102 =++x x ⑵04 32 =--x x ⑶ 05632=-+x x ⑷0942 =--x x

一元二次方程教案

学生姓名：闫鹏飞郭新教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时本次授课内容及授课目标（教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．教学重点：一元二次方程及其它有关的概念．教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论．教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

新航线一线教师授课表备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整学生签字：学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？作业课后单元测试题1----8 思考题1 学生评语

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课编制：张媚九年级（）班姓名学习目标： 1、知识与技能：了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法：通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度：培养学生自学能力与小组合作的意识。重点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。导学过程：一、自学指导：阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为，宽为 .得方程，整理得化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？个 (2)它们最高次数分别是几次？次方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测：下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件）二、合作探究（例题学习）活动1小组讨论例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

一元二次方程的应用(1)导学案(新版新人教版)

一元二次方程的应用（1）导学案（新版新人教版）第8课时一元二次方程的应用一、学习目标会列出一元二次方程解应用题；学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 二、知识回顾1.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. .列一元一次方程解应用题的步骤是什么？审：弄清题意和题目中的数量关系；设：用字母表示题目中的一个未知数；找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；解：解所列的方程，求出未知数的值；验：检验方程的解是否符合题意；答：写出答案. 三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤审：指读懂题目审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系; 设：指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接

设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量；列：指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：指解方程，即求出所列方程的解；验：指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%,等等. 答：写出答案. 列一元二次方程解应用题的常见题型传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等. 四、典例探究 .一元二次方程的应用——传播问题【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

一元二次方程优秀教案

一元二次方程优秀教案一元二次方程是初中数学的主要内容，在初中代数中占重要地位。学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣并渗透环保内容。以下是小编整理的关于一元二次方程教案，欢迎查阅! 一元二次方程教案1 教学目标 1、知识与能力目标：要求学生会根据实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。 2、过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。 3.、情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识并与校园绿化相结合。教学重点、难点教学重点：通过实际问题模型建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程一般形式. 2。难点:通过实际问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。教学过程： (一)创设情景，导入新课问题一:学校有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽为多少? 分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。问题二：有一块矩形绿化带，长100cm,宽50cm，在它的四角各栽种一个同样的正方形花坛，如果去掉四周矩形的底面积为3600cm2,那么四周花坛面积是多大的正方形? 分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。

问题三：要组织一次环保竞赛，参加的每两个班之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个班参赛? 【设计意图】因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。同时帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课，并激发学生环保意识。一元二次方程教案2 启发探究，获取新知上面的三个方程这两个方程是一元一次方程吗?它们与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?( 学生分组讨论，然后各组交流 ) 共同特点：(1) (2) (3) (1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号，是方程。因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。【设计意图】通过上述情景分析，让学生小组合作，列出方程。在学生列出方程后，对所列方程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征得出一元二次方程的概念。由于一元二次方程的概念是本节的重点，所以在形成概念的过程中主要引导学生积极主动进行自我尝试、自我分析、自我修正、自我反思，让学生真正理解一元二次方程概念的内涵：(1)是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2。 (三)例题解析，练习反馈例题解析(投影展示)

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