设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
101010, x ,y ,
f (x,y ), <<<
?其他
（1）求 , EX EY ； （2）求协方差(,)Cov X Y ；
（3）令2, 2U X Y V X Y =+=-,求协方差(,)Cov U V .
解：(1) 11
001(,),2
EX xf x y dxdy xdxdy +∞
+∞
-∞-∞===????
11001
(,),2
EY yf x y dxdy ydxdy +∞+∞-∞-∞===????
(2) 11001
(,),4
EXY xyf x y dxdy xydxdy +∞+∞-∞-∞===????
(,)0Cov X Y EXY EXEY =-= (3) 11
2
2
2001(,),3
EX x f x y dxdy x dxdy +∞+∞-∞-∞===????
,
11
222001(,),3
EY y f x y dxdy y dxdy +∞
+∞
-∞-∞===????
22(,) =4(2)(2)11311
=433224
Cov U V EUV EUEV
EX EY EX EY EX EY =---+-?--?=
1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现
掷一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐
中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。 解：令 {}B =摸出的球是白球,12{}, {}A A ==球取自甲罐球取自乙罐,则
121
2, =A A A A Ω 互不相容，且 ,
由题意知 121()=()=2P A P A ，1211
(|), (|)35
P B A P B A ==, 利用
Bayes 公式知
1111122()(|)
(|)()(|)()(|)
P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+
11231111
232558?=
?+?=
3. 设随机变量X 的密度函数为：||() ()x f x Ce x -=-∞<<+∞
（1）试确定常数C ； （2）求()1P X <； （3）求2Y X =的密度函数. 解（1）()0
221x
x f x dx Ce dx C e dx C +∞
+∞
+∞
---∞-∞====???
)
得：1
2C =
()()12
x
f x e x -∴=-∞<<+∞
（2）()111011
112x x P X e dx e dx e
---<===-??
（3）当0 当0≥y 时， ()( )( 20 x x F y P X y P X dx dx --=≤=≤≤== ()( )000, y f y F y ,y '∴==≥ 4. 进行9次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 5.5x =（秒），样本标准差 1.7s =（秒）. 设零件加工时间服从正态分布),(2σμN ，求零件加工时间的均值 μ及方差2σ置信度为的置信区间. ￥ 5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500（g ），每隔一定时间检查机器工作情况，现抽取16瓶，测得其重量，计算得平均重量502x g =，样本方差242.25s =，假设罐头重量X 服从正态分布),(2σμN ，问：机器工作是否正常（显著性水平02.0=α, 分布表见最后一页） 解： 01:500, :500H H μμ=≠ 令 ( )500 n X T S -= , 则 (15)T t 查的临界值 t α=, 拒绝域为： || 2.602T > （1） 将样本观测值代入T 可得 4(502500) || 1.231 2.6026.5 t -= =< 从而接受原假设 0H , 即机器工作正常. 6．设总体X 的概率密度为(1),01 (;)0 ,x x f x θθθ?+<<=??其它，其中(1)θθ>-是未知参数， 12,, ,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量. $ 解 （1）矩估计量 1 10 1 ()(1)2 E X x x dx θθμθθ+==?+= +? 1 1121μθμ-?= -12?1 X X θ -?=- 最大似然估计量 对于给定样本值12,, ,,n x x x 似然函数为 1 1 ()(;)(1)n n i i i i L f x x θθθθ====+∏∏12 (1)(),01n n i x x x x θθ=+<< 1 ()ln(1)ln n i i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01n i i d n lnL x d θθθ==+=+∑ 1 1 ln ?ln n i i n i i n x x θ ==+?=-∑∑，最大似然估计量为1 1 ln ?ln n i i n i i n X X θ ==+=-∑∑ 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, ,x x f x θθθ?+<<=? ?其它 ￥ 其中>1为未知参数，又设x 1,x 2, ,x n 是X 的一组样本观测值，求参数 的最 大似然估计值。 解：似然函数 1(1)n n i i L x θ θ=??=+ ??? ∏ 1 1 ln ln(1)ln d ln ln d (1)n i i n i i L n x L n x θθθθ===++=++∑∑ 令d ln 0d L θ =，解出的最大似然估计值为 1 ?1ln n i i n x θ ==--∑ 某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂生产是否正常 （22 0.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ 2=1，H 1： σ 2≠1； 取统计量：2 2 2 )1(σ χs n -=； : 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022 1χχ α =-- n =或χ2 ≥2025.022 )1(χχα=-n =， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-= t < ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。 - 解：设 i A =“箱中有i 件次品”，由题设，有()()1 03 i P A i = =，1，2， 又设 =B “该箱产品通过验收”，由全概率公式，有 ()2 ()()|i i i P B P A P B A ==∑1010 99 981010100100111 2.7133C C C C ??=++=? ??? 故()()()()000||P A P B A P A B P B =1130.371 2.713 ?==? 即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是。 2、设二维随机变量),(Y X 在矩形},10|),{(2 x y x x y x G <<<<=上服从均匀分布，（1） 求),(Y X 的联合概率密度（2）求),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度（3）判断X 与Y 的独立性。 解：（1）区域G 的面积为 6 1 )(1 2 1 2=-==?????dx x x dy dx dxdy x x G （X 、Y ）的联合概率密度为 > ???<<<<=其它,0 ,10,6)(2x y x x x f （2）X 的边缘概率密度为 == ?∞ ∞ -dy y x f x f X ),()(?????< 1 0,62x dy x x =???<<-其它,0 1 0),(62x x x Y 的边缘概率密度为 == ?∞ ∞ -dx y x f y f Y ),()(?????< 10,6y dx y y =???<<-其它,01 0),(6y y y （3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。 3．对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是. 求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率. … 解答：设 i X 表示第i 次炮击命中目标的炮弹数， 由题设，有 4i EX = ()1.51i ==，2，，100 则100次炮击命中目标的炮弹数 100 1 i i X X == ∑，100 1 400i i EX EX == =∑ 100 21 100 1.5i i DX DX ===?∑ 因 12100X X X ，， ，相互独立，同分布，则由中心极限定理知 100 1 i i X X ==∑近似服从正态分布()400N ?2，100 1.5 于是 {}380420P X ≤≤≈4204003804001515--???? Φ-Φ ? ????? 202115?? =Φ- ??? ()2 1.331=Φ-0.8164= 。 4、 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数10λ=的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件 （供参考：X )(~λP ，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ） 解 设该商店每月销售某种商品ξ件，月底的进货为a 件，则当（a ξ≤）时就不会脱销，因而按题意要求为 ()0.95P a ξ≤≥ 因为已知ξ服从10λ=的普哇松分布，上式也就是 10 100.95!k a k e k -=≥∑ 由题意，)9513.0)15(,9166.0)14(≈≤≈≤X P X P ，即 95.09513.0!1095.09166.0! 10150 10 14 010 >≈<≈∑∑=-=-k k k k e k e k 于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销. 5、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X 服从[2000,4000] （单位： 吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大 * 解： 设应组织货源t 吨，显然40002000≤≤t 则收益为?? ?<-≥==t X t X t X t X g Y ,4,3)( 因为X 的密度为 ? ??≤≤=otherwise x x f ,040002000,20001)( 所以 ??==∞∞ -4000 2000 )(20001 )()()(dx x g dx x f x g Y E ?? ????+-=??4000 2000 3)4(20001t t tdx dx t x () 40000007000100012+--=t t 当 3500=t 时，)(Y E 达到最大 6已知离散型随机变量X 的分布列为 30 1115 15 1615131 012P X -- 【 求X Z =的分布列。 7、设二维随时机变量(X ,Y )的联合密度函数为 ? ??<<<<+=.,0; 10,10,),(其他y x y x y x p （1）求}1{≤+Y X P ； （2）求X 和Y 的边际密度，并判断X 与Y 是否相互独立 8、设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万），如今投资甲、乙两种证券。若将资金1x 投资于甲证券，将余下的资金211x x =-投资于乙证券，于是),(21x x 就形成了一个投资组合。记X 为投资甲的收益率，Y 为投资乙的收益率，它们都是随机变量。如果已知X 和Y 的均值（代表平均收益）分别为1μ和2μ，方差（代表风险）分别为和，X 和Y 的相关系数为.求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的投资组合。 9有一电站供1000台设备用电，各台设备用电与否是相互独立的，若各台设备用电量（度）在[0,60]上服从均匀分布。问若以的概率保证这1000台设备用电，电站至少需供应多少度电 10设总体X 的概率密度函数是 22exp{}, 0()0, x x x f x λλ?->=?? 其它 λ>0为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。 《 11已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为。在 某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为。试问在显著水平0.05α=下， 这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异 12、证明题 设}{k X 为独立的随机变量序列，且 ,2,1,2 1}ln {== ±=k k X P k ， 证明}{k X 服从大数定律. 上述题目解答： 6、解： 30 715161)1()1()1(5 1)0()0(=+==+-==== ===X P X P Z P X P Z P 30 11 )3()1(51 )2()2(= ==== -===X P Z P X P Z P 上述步骤可以省去 所以X Z =的分布列为 30 115130 7513210P Z ~ 7、解：（1）)1(≤+Y X P 3 1 )2121()(1 0210 1. 0??? =-=+=-dy y dx y x dy y （2）?? ???<<+==??∞ +∞ -其他,01 0,)(),()(1 0x dy y x dy y x p x p X 得????? <<+=其他 , 010, 2 1)(x x x p X ?? ???<<+==??∞ +∞ -其他,01 0,)(),()(1 0y dx y x dx y x p y p Y 得????? <<+=其他, 01 0,2 1)(y y y p Y 即可得),()()(y x p y p x p Y X ≠，所以X 与Y 不独立。 8、解：设投资组合的收益为Z ，则 Y x X x Z )1(11-+= 2 211211111)()1(])1([μμμμμ+-=-+=-+=x x x Y x X x E EZ 64 .096.057.08.05.04.0)1(264.0)1(25.0] )1([)(12 111212 111+-=???-+?-+?=-+=x x x x x x Y x X x Var Z Var 令 096.014.1)(11=-=??x x Z Var 得驻点842.014 .196 .01≈=x 且 014.1)(2 1 2>=??x Z Var 所以当842.014 .196 .01≈= x 时投资风险最小，即使投资风险最小的投资组合为)158.0,842.0(),(21=x x 。 … 9、解： 设各台设备用电量分别为X i (i =1,2,…,1000)，则1000台设备的用电 量为X =X 1+X 2+…+X 1000 依题意知，EX i =(0+60)/2=30，DX i =(60-0)2/12=300，因此EX =30000，DX =300000，由中心极限定理， )1,0(~300000 30000N X - 设电站需供应a 度电, 由题意得 99.0)300000 30000( )(≥-Φ≈≤a a X P ，查表得99.0)33.2(=Φ 即 33.2300000 30000≥-a ，得19.31276≥a 所以电站至少需供应度，才能以的概率保证这1000台设备用电。 10、解：似然函数为 2 21 1 1 ()(2exp{})(2exp{})n n n n n i i i i i i i L x x x x λλλλλ====∏-=∏-∑ （ 0,>?i x i ） 2 1 1 ln ()ln(2)ln n n i i i i L n x x λλλ===+ -∑∑ （ 0,>?i x i ） 令 2 1 ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 得 ∑==n i i x n 1 2 ?λ 且01222<-=??λ λL 所以参数λ的最大似然估计为 ∑==n i i x n 1 2 ?λ 11、解 ：提出假设03.0:03.0:2120≠=σσH H ） 选取统计量)1(~)1(22 2 2 --= n s n χσ χ 拒绝域为：7.2)9(2025.02=≤χχ或02.19)9(2 975.02=≥χχ 把10=n ，0375.02=s 代入得实测25.1103 .00375 .09)1(2 2 2 =?= -= σχs n 未落入拒绝 域，接受0H ，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。 12、证明： 因 ,3,2,1,021 ln 21ln )(==?+? -=k k k X E k ,3,2,1,ln 21 )ln (21)1()(222==?+?-=k k k nk X E k ,ln )(k X Var k = ,3,2,1=k 所以1)(=k X Var ，且 ,,21X X 相互独立，由此得马尔可夫条件 n n n n n k X Var n n k n k n k k ln ln ln )(1 02 1 2 1 1 2= ≤ = ≤∑∑∑=== 而01lim ln lim ==∞→∞→x x x x x ，0ln lim =∞→n n n ，由夹逼准则0)(1lim 1 2=∑=∞→n k k n X Var n ~ 由马尔可夫大数定律知{}n X 服从大数定律. 13、 假设4.0)(=A P ，6.0)(=B A P ，试在以下不同条件下分别求)(B P ： （1）B A ?； （2）B A ,互不相容； （3）B A ,独立。 解： （1） 6.0)()(==B A P B P （2） 2.04.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P （3） )()()()()(B P A P B P A P B A P -+= 1)(=B P 14、某厂两条流水线生产彩电，产量分别占总量的40%和60%，次品率分别为和。现在出厂彩电中任取一件，结果为次品。试问两条流水线应如何分担责任 解：令 A =“任取一件，恰为次品”, B i =“任取一件，恰为第i 条流水线生产”，i=1,2， & 则由Bayes 公式，即得 ∑== 2 1 111) |()() |()()|(i i i B A P B P B A P B P A B P %5701 .0%6002.0%4002 .0%40≈?+??= %43)|(1)|(12≈-=A B P A B P 两条流水线应按57%：43%的比例分担责任。 15、设随机变量（X ，Y ）具有密度函数 ?? ?<<<=其它 , 01 0,, 1),(x x y y x f （1）求X 与Y 的相关系数（2）问X 与Y 是否不相关（3）X 与Y 是否独立，为什么 解：（1）3 2 2)()(1 21 = == ?? ?-dx x dx xdy X E x x 0)()(1 == ??-dx ydy Y E x x @ ??-==10 0)()(x x dx xydy XY E 0(=-=）（）（）（）、Y E X E XY E Y X COV ，所以 0=XY ρ（2）不相关 （3）不独立，因为（X 、Y ）不是二维正态分布。 16、设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电 解：设第K 户居民每天用电量为k X 度，1000户居民每天用电量为X 度， =k EX 10， 12 202 =k DX 。 再设供应站需供应L 度电才能满足条件，则 99.0)12 201000101000( }{2 =? ?-Φ=≤L L X P 即 33.23 /10000010000=-L ，则L=10425度。 17、据预测，国际市场每年对我国某种出口商品的需求量 X （单位：吨）在区间[300，500] 上服从均匀分布。此商品每出口1吨，可获利万元；但是每积压1吨，将亏损万元。如果由某公司独家经营这种商品的出口业务，问该公司应当储备多少这种商品才能使所获的平均利润最大 解： 设该公司应当储备这种商品a 吨，显然500300≤≤ a ： 则所获利润为 ???<--≥=a X X a X a X a X g ),(5.05.1, 5.1)(? ??<-≥=a X a X a X a ,5.02,5.1 因为需求量X 的概率密度是 ? ??≤≤=其它,0500 300,2001)(x x f 所以平均利润为 ??=?=∞ ∞ -500 300 )(2001 )()()]([dx x g dx x f x g X g E )90000900(2001)5.1)5.02((20012500 300+--=+-=??a a adx dx a x a a 当450=a 时，所获利润的数学期望最大 证明题 18、（证明切比雪夫不等式成立）设随机变量X 有期望μ=)(X E 和方差2)(σ=X D ，则对于 任 给0>ε，有22 }|{|ε σεμ≤≥-X P 书上有答案 。 19、一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。加工零件A 时停机的概率是，加工零件B 时停机的概率是。求若该机床已停机，求它是在加 工零件A 时发生停机的概率。 20、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?????≤≤≤≤=. ,0; 10,20,2 3),(2 其他y x xy y x f （1）求X 和Y 的边际密度，并判断X 与Y 是否相互独立 （2）求)(X Y P ≥ 21、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少 22、设总体为],0[θ上的均匀分布，求参数的矩估计和极大似然估计。 23、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x =10.48cm 。假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常 24证明题 < 假设n X X X ,,21来自均值为μ，方差为2σ的总体的样本，记 ][11122 2 ∑=--=n i i X n X n S 证明：22)(σ=S E 上述部分习题解答： 19、解：设事件C 表示该机床停机，由贝叶斯公式得 1134.0323.0313.031 )()()()()()()(=?+??=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 20、 解： （1）??? ??≤≤==?? ∞ ∞ -. ,0;20 ,2 3),()(2 10其他x dy xy dy y x f x f X ?????≤≤=. ,0; 20,2 1 其他x x ??? ??≤≤==?? ∞ ∞ -. ,0;10,2 3),()(2 20其他y dx xy dx y x f x f Y | ???≤≤=. ,0;10,3其他y y )()(),(,y f x f y x f y x Y X =?都有，所以 X 与Y 相互独立 20 3 )23()(2 12?? ==≥x dx dy xy X Y P 21、解：设该公司组织店a 吨货源，公司收益为Y,则 ? ? ?>≤?--=a X a a X X a X Y ,3,1)(3 即==)(X g Y ???>≤-a X a a X a X ,3,4 ]4000,2000[~U X ,∴? ? ?≤≤=其他,04000 2000,2000/1)(x x f dx x g dx x f x g EY ??? ==∴+∞ ∞-500 30020001 )()()( dx a dx a x a a ???+?-=4000200020001320001)4( )8000000140002(2000 12-+-=a a 易得当 3500=a 时，EY 取得最大，所以应组织3500吨货源，才能使国家收 益最大 ; 22、设各零件重量分别为X i (i =1,2,…,5000)，则5000台零件的总重量为 X =X 1+X 2+…+X 5000 依题意知，EX i =，DX i ==，因此EX =2500，DX =50， 由中心极限定理，可知 50 2500 -X 近似服从N （0，1）分布，故这5000零件总 重量超过2510kg 的概率为： )50 2500 251050 2500 ( 1)2510(1)2510(-≤ --=≤-=>X P X P X P )50 2500 2510( 1-Φ-≈ =9213.01)2(1-=Φ-0787.0= 23、 解：总体密度?????≤≤=其他 ,00,1 )(θ θx x f （1）因为2 )(θ =X E ，令2 θ = X ，得X 2?=矩 θ （2）似然函数为 ?? ???=≤≤==∏=其他,0) 2,1(0,1 )()(1n i x x f L i n n i i θθθ { 要使)(θL 尽可能大，则θ应尽可能小，但),2,1(n i x i =≥θ，所以)(?n MLE x =θ 24、 解：5.10:5.10:10≠=μμH H 选取统计量)1,0(~15 /5 .10N X Z σ-= 拒绝域为：96.12 =≥αZ Z 把cm x 48.10=，215.0cm =σ代入得 实测值96.1533.016 /15.05.1048.10<=-= t 接受原假设，即没有理由认为该切割机在此日工作正常 25证明题 证明： )(11[)(1 22 2 ∑=--=n i i X n X n E S E } )(111 22∑=--=n i i X nE EX n 222212)]1()([11σμσμσ=+-+-=∑=n n n n i 若对连续型随机变量ξ，有)0(<∞ ξ ，证明有r r E P εξ εξ≤ >)(。 证：dx x p x dx x p P x x r r )()()(ξε ε ξε εξ?≤= >? ? >> r r r r E x p x εξεξ/)(1 =?≤ ?∞ ∞ -。 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率p 的差小于10p ，问至少应该做多少次试验 解：令 ? ??=其它上次试验时图钉的尖头朝 第01n n ξ 据题意选取试验次数n 应满足95.0)10 |(|1 ≥< -∑=p p n P n i i ξ ，因为n 比较大，由中心极限定理有 95 .021) 101|) ((|)10 |(|2 1011011 1 2≥≈< -=<-- - ==? ∑∑dx e q np npq p P p p n P x q np q np n i n i i πξ ξ 【 故应取 2101=q np ， 即p q n 400=，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有21≥p ， 1≤p q ，故可取400=n 。 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为，校对时每个排版错误被改正的概率为，求在校对后错误不多于15个的概率。 解：令 ?? ?=其它对后仍错误个印刷符号被排错且校 第0 1i i ξ 因为排版与校对是两个独立的工序，因而 p q P P p i i -====?===-1)0(,101.00001.0)1(5ξξ }{i ξ是独立同分布随机变量序列，p E i =ξ，令∑==n i i n 1 ξη，其中610=n ，由中心 极限定理有 ? ∞ -- ≈ =-≤ -=≤b x n n dx e b npq np npq np P P 2 2 21)15( )15(π ηη 其中58.110 5≈≈ b ，查)1,0(N 分布表即可得94.0)15(≈≤n P η，即在校对后错误 不多于15个的概率。 ] 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问： （1）保险公司亏本的概率多大 （2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大 解：保险公司一年的总收入为120000元，这时 （1） 若一年中死亡人数120>，则公司亏本； （2） 若一年中死亡人数80≤，则利润中死亡人数40000≥元； 若一年中死亡人数60≤，则利润中死亡人数60000≥元； 若一年中死亡人数40≤，则利润中死亡人数80000≥元； 令 ?? ?=个人在一年内活着 第个人在一年内死亡 第i i i 01ξ , 则p P i ===006.0)1(ξ，记10000,1 ==∑=n n i i n ξη已足够大，于是由中心极限定理 可得欲求事件的概率为 )723 .760 0211)120( 1)120(2 2≈ ≈- ≈=-≤ --=>? ∞ -- b dx e b npq np npq np P P b x n n （其中π ηη 同理可求得 （2） )59.2(995 .0)80(≈≈≤b P n 对应的η )0(5.0)60(=≈≤b P n 对应的η )59.2(005 .0)40(-≈≈≤b P n 对应的η 随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm ） ； 设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值μ的90%的置信区间 （1）0.01cm σ=； （2）σ未知 解 （1）由子样函数(0,1)U N ξ=，0.95(||)0.90p U u <=，可求μ的置信 区间 置信下限 2.121 ξ= 置信上限 2.129 ξ= （2）在σ未知时，由子样函数(1)n t t n ξ=-，0.95(||(1))0.90p t t n <-=可 求得μ置信区间为 置信下限 * 2.1175 ξ= 置信上限 * 2.1325 ξ+ = （ 3、设二维随机变量),(Y X 在矩形},10|),{(2 x y x x y x G <<<<=上服从均匀分布，（1） 求),(Y X 的联合概率密度（2）求),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度（3）判断X 与Y 的独立性。 解：（1）区域G 的面积为 6 1)(1 2 1 2=-==?????dx x x dy dx dxdy x x G （X 、Y ）的联合概率密度为 ???<<<<=其它,0 ,10,6)(2x y x x x f （2）X 的边缘概率密度为 == ?∞ ∞ -dy y x f x f X ),()(?????< 1 0,62x dy x x =???<<-其它,0 1 0),(62x x x Y 的边缘概率密度为 == ?∞ ∞ -dx y x f y f Y ),()(?????< 10,6y dx y y =???<<-其它,01 0),(6y y y ； （3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。 计算题 11、 假设4.0)(=A P ，6.0)(=B A P ，试在以下不同条件下分别求)(B P ： （1）B A ?； （2）B A ,互不相容； （3）B A ,独立。 解： （1） 6.0)()(==B A P B P （2） 2.04.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P （3） )()()()()(B P A P B P A P B A P -+= 1)(=B P 12、某厂两条流水线生产彩电，产量分别占总量的40%和60%，次品率分别为和。现在出厂彩电中任取一件，结果为次品。试问两条流水线应如何分担责任 解：令 A =“任取一件，恰为次品”, : B i =“任取一件，恰为第i 条流水线生产”，i=1,2， 填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线……………………………………………………… 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， A. 一．填空题（每题3分，共15分） 1．三人随机进入五层楼的任一层，则至少有两人在同一层的概率为： 。 。 ，则，若 )( 6.0)|(2.0)( .2=-==A B P A B P A P 3． 3只红球，2只白球，每次从中任取一件，取后放回。则第5次取到第2次白球的概率为 。 4．。 ，则，且泊松分布～，指数分布～若随机变量= =DX DY Y e X 2)()()()(λπλ 。的矩估计为：参数的样本，则二项分布为取自总体若____________ )(),10(~),,(.51p p b X X X n 二、选择题（每题3分，共15分） ) ()()() ()()()|()|()()()()()()(1)()() (0 1ABC A C C B B A P C B A P D A BC P C AB P C B C P A B P A P ABC P B C P B P A P C B A P A C B A =-=-=-=，则以下一定成立的为的概率均大于，，，设有事件 15 9) (158)(157)(156)() ( 32012D C B A 的概率为：件，则至少有一件次品件次品，从中任取件产品中有， 5 1) (41)(31)(21)() ()(),3,2,1(21)( 3D C B A X P k k X P X k =====偶数，则的概率分布为：，若随机变量 4，若随机变量X,Y,Z 相互独立，且DX = 2,DY = 3,DZ = 1。则D (3X - Y - 2Z ) =( ） (A) 1 (B) 11 (C) 18 (D) 25 5. 若(321X X X ，，)为取自总体X 的样本,且EX = p ,则关于p 的无偏估计为( ） （A ） 321636261X X X ++ （B ）321616263X X X +- （C ）321616263X X X -+ （D ）321616263X X X -- 三、计算题（每题10分，共70分） 1，三门炮同时向一飞机射击，彼此互不影响，设击中飞机的概率分别为：0.2、0.3、0.4， 若其中只有一门炮击中飞机，则飞机被击落的概率为0.1； 一 填空 1．设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件，4.0)(,8.0)(==A P B A P ，则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立，则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，S 是样本标准差，则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ，从中随意取一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本，n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本，且这两种样本独立，则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ，则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ，则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13．已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===，则()P AB = ， ()P A B = 。 14．若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B ＝ 。 15．若随机变量X 服从(1,3)R -，则(11)P X -<<= 。 16．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝ 。 17．设随机变量,X Y 相互独立，且X 服从(2)P ，Y 服从(1,4)N ，则(23)D X Y -= 。 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案： 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 四川大学期末考试试题 （2008-2009学年第二学期） 一、单项选择题（每空2分，共10分） 1.设事件A 和B 独立，且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P Y （ ） (A)0.8 (B)0.5 (C)0.65 (D)0.95 2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61 )(625102π则 E(X)=（ ） (A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5 3.设X 有分布函数),(x F 令53-=X Y ,则Y 的分布函数为（ ） (A)??? ??+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ?? ? ??+35y F 4.设总体n X X X ,,,21Λ是独立同分布的随机变量序列，均服从参数为1的指数分布，令∑==n i i X n X 122 1，则?→?P X 2（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设总体3212 ,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本，记 32114 14121X X X Z ++=，3212313131X X X Z ++=，2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估计量中，（ ）最有效 (A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判断 二、填空题（每空2分，共10分） 1.一个袋子中有3个红球，2个白球，从中任取3个球，则至少取得一个白球的概率是______； 2.设), 3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式，≥<-)10|30(|X P _______； 3.设)4 3;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态分布，记Y X Z 32-=,则~Z _________分布； 4.设)(~λP X ，已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ__________； 5.设总体)1,0(~N X ，321,,X X X 分别是来自X 的样本， 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 （ A ） （2009 ～ 2010 第 一 学 期） 2010-1-14 任课教师 学院： 班级： 上课时间：星期 ____,_____节 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 （ ） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 （ ） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 （ ） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 （ ） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). 20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 一．（本题满分8分） 某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解： 设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分 ()()40951.010 91155 =-=-=A P A P ．…………….6分 二．（本题满分8分） 设随机事件，，满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16 1==BC P AC P ．求随机事件，，都不发生的概率． 解： 由于AB ABC ?，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有 ()0=ABC P ．…………….2分 所求概率为() C B A P ．注意到C B A C B A ??=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分 ()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8 3 016116104141411=-+++--- =．…………….2分 三．（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，()10< 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 《概率论》期末 A 卷考试题（免费） 一 填空题(每小题 2分，共20 分) 1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）. 2．设()0.3,()0.6P A P A B == ，则()P A B =( ). 3．设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （ ）， ()6 P X π > =（ ）. 4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2 X E ( ). 5．若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ，则(2)D X -=（ ） 6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （ ）. 7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ，则 =a （ ） 9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数X Y ρ=（ ）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （ ）. 二．选择题（每小题 2分，共10 分) 1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（ ）. ) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（ ）. (a ) B 是必然事件 （b ）0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=（ ）. 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分） 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。 2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X 的概率分布 ；（2）求X 的分布函数()F x . 3．设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<. 4．设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? < 期末考试试卷参考解答及评分标准 开/闭卷 闭卷 A/B 卷 A 2219002801- 课程编号 2219002811 课程名称 概率论与数理统计 _______________ 学分 J ________ 第一部分基本题 一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分，选 错0分) 2?假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B( ) (A)是不可能事件 (B)是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D)是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X 2 + Y 2服从( ) (A)自由度为1的2分布 (B)自由度为2的2分布 (C)自由度为1的F 分布 (D)自由度为2的F 分布 答:选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 2分布。 4. 已知随机变量X,Y 相互独立，X~N(2,4),Y~N(-2,1),则( (A) X+Y~P ⑷ (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) 答:选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有 X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体 X ，E(X)= < D(X)=-2,则有( ) 答：选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，贝U X 的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上) 1. 事件表达式A B 的意思是( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (C)事件B 发生但事件A 不发生 答：选D , (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (D)事件A 与事件B 至少有一件发生 ) (D) X+Y~N(0,3) 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, (A) X 1+X 2+X 3是」的无偏估计 Y + V + V (B) X1 X2 入3 是邛勺无偏估计 3 (C) X ；是二2 的无偏估计 (D) .宁严2 是■-2的无偏估计 《概率论》期末考试试题（B卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立 C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ） 模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ，概率P{—0.5 2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -（）≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -（）≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对.概率论期末试卷
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