全等三角形易错题(Word版含答案)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有_____个.
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=22,∠AOP=45°,分别讨论OA为腰和底边,求出点P在x轴正半轴和负半轴时,△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
(1)当点P在x轴正半轴上,
①如图,以OA为腰时,
∵A的坐标是(2,2),
∴∠AOP=45°,OA=22,
当∠AOP为顶角时,OA=OP=22,
当∠OAP为顶角时,AO=AP,
∴OPA=∠AOP=45°,
∴∠OAP=90°,
∴OP=2OA=4,
∴P的坐标是(4,0)或(22,0).
②以OA为底边时,
∵点A的坐标是(2,2),
∴∠AOP=45°,
∵AP=OP,
∴∠OAP=∠AOP=45°,
∴∠OPA=90°,
∴OP=2,
∴P点坐标为(2,0).
(2)当点P在x轴负半轴上,
③以OA为腰时,
∵A的坐标是(2,2),
∴OA=22,
∴OA=OP=22,
∴P的坐标是(﹣22,0).
综上所述:P的坐标是(2,0)或(4,0)或(2,0)或(﹣2,0).
故答案为:4.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用,注意分类讨论思想的运用是解题关键.
2.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A(1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点P 的坐标为_____________.
【答案】
5 5),(0,4),0,
4
??
?
??
【解析】
【分析】
有三种情况:①以O为圆心,以OA为半径画弧交y轴于D,求出OA即可;②以A为圆心,以OA为半径画弧交y轴于P,求出OP即可;③作OA的垂直平分线交y轴于C,则AC=OC,根据勾股定理求出OC即可.
【详解】
有三种情况:①以O为圆心,以OA为半径画弧交y轴于D,则OA=OD=22
125
+=
∴D(05);
②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4,
∴P (0,4);
③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,
由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-,
∴OC =54
, ∴C (0,54
); 故答案为:5(0,5),(0,4),0,
4?
? ???.
【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键.
3.如图,线段AB ,DE 的垂直平分线交于点C ,且72ABC EDC ∠=∠=?,
92AEB ∠=?,则EBD ∠的度数为 ________ .
【答案】128?
【解析】
【分析】
连接CE,由线段AB,DE的垂直平分线交于点C,得CA=CB,CE=CD,
ACB=∠ECD=36°,进而得∠ACE=∠BCD,易证?ACE??BCD,设∠AEC=∠BDC=x,得则
∠BDE=72°-x,∠CEB=92°-x,BDE中,∠EBD=128°,根据三角形内角和定理,即可得到答案.
【详解】
连接CE,
∵线段AB,DE的垂直平分线交于点C,
∴CA=CB,CE=CD,
∵72
ABC EDC
∠=∠=?=∠DEC,
∴∠ACB=∠ECD=36°,
∴∠ACE=∠BCD,
在?ACE与?BCD中,
∵
CA CB
ACE BCD
CE CD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴?ACE??BCD(SAS),
∴∠AEC=∠BDC,
设∠AEC=∠BDC=x,则∠BDE=72°-x,∠CEB=92°-x,
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-(92°-x)=x-20°,
∴在?BDE中,∠EBD=180°-(72°-x)-(x-20°)=128°.
故答案是:128?.
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质,三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.
4.如图,点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形,AE,CD分别与BD,BE交于点F,G,连接FG,有如下结论:①AE=CD ②∠BFG= 60°;③EF=CG;④AD⊥CD⑤FG
∥AC 其中,正确的结论有__________________. (填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
易证△ABE ≌△DBC ,则有∠BAE =∠BDC ,AE =CD ,从而可证到△ABF ≌△DBG ,则有AF =DG ,BF =BG ,由∠FBG =60°可得△BFG 是等边三角形,证得∠BFG =∠DBA =60°,则有FG ∥AC ,由∠CDB ≠30°,可判断AD 与CD 的位置关系.
【详解】
∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形,∴BD =BA =AD ,BE =BC =EC ,∠ABD =∠CBE =60°. ∵点A 、B 、C 在同一直线上,∴∠DBE =180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠ABE =∠DBC =120°. 在△ABE 和△DBC 中,
∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=??=??=?
,∴△ABE ≌△DBC ,∴∠BAE =∠BDC ,∴AE =CD ,∴①正确; 在△ABF 和△DBG
中,60BAF BDG AB DB
ABF DBG ∠∠∠∠=??=??==??
,∴△ABF ≌△DBG ,∴AF =DG ,BF =BG . ∵∠FBG =180°﹣60°﹣60°=60°,∴△BFG 是等边三角形,∴∠BFG =60°,∴②正确; ∵AE =CD ,AF =DG ,∴EF =CG ;∴③正确;
∵∠ADB =60°,而∠CDB =∠EAB ≠30°,∴AD 与CD 不一定垂直,∴④错误.
∵△BFG 是等边三角形,∴∠BFG =60°,∴∠GFB =∠DBA =60°,∴FG ∥AB ,∴⑤正确. 故答案为①②③⑤.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质,证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键.
5.如图,已知AB AC =,AD 平分BAC ∠,60DEB EBC ∠=∠=?,若3BE =,3DE =BC =____________.
【答案】33+
【解析】
【分析】
延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形,△FDE 是等边三角形,在△DNM 中求出NM 的长度,即可求出BC 的长度.
【详解】
如图,延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,作DF ∥BC 于点F ,
∵AB AC =,AD 平分BAC ∠,∴AN ⊥BC ,BN=CN ,
∵60DEB EBC ∠=∠=?,∴△BEM 是等边三角形,
∴△FDE 是等边三角形, ∵3BE =,3DE =33DM =-
∵△BEM 是等边三角形,∴∠EMB=60°,
∵AN ⊥BC ,∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=30°,∴13322NM DM =
=, ∴33333BN BM NM -+=-=-
= ∴233BC BN ==+
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
6.如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是(1,5)、(5,1),若点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有_____________个
【答案】5
【解析】
【分析】
分别以A、B为圆心,AB为半径画圆,及作AB的垂直平分线,数出在x轴上的点C的数量即可
【详解】
解:由图可知:点 C 在 x 轴上,且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形,则这样的 C 点共有5个
故答案为:5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的存在性问题,掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键
7.如图,∠BOC=60°,点A是BO延长线上的一点,OA=10cm,动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=_____s时,△POQ是等腰三角形.
【答案】10
3
或10
【解析】
【分析】
根据△POQ是等腰三角形,分两种情况进行讨论:点P在AO上,点P在BO上,分别计算,即可得解.
【详解】
当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图1所示当点P在AO上时,
∵PO=AO-AP=10-2t,OQ=t
当PO=QO时,
102t t
-=
解得
10
3 t=
当PO=QO时,△POQ是等腰三角形,如图2所示当点P在BO上时
∵PO=AP-AO=2t-10,OQ=t
当PO=QO时,
210
t t
-=
解得10
t=
故答案为:10
3
或10
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及动点问题,熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.
8.如图:在ABC ?中,D ,E 为边AB 上的两个点,且BD BC =,AE AC =,若108ACB ∠=?,则DCE ∠的大小为______.
【答案】036
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ,用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC,然后根据内角和求出∠DCE 的度数.
【详解】
∵∠ACB=1080,
∴∠A+∠B=1800-1080=720,
∵AC=AE,BC=BD,
∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,
∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902
A =-∠ 01(180)2BDC
B ∠=
-∠ =01902
B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800,
∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠
= 00011180(90)(90)22A B --
∠--∠ =1122
A B ∠+∠ =1()2
A B ∠+∠ =360
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质,注意两条等边所在三角形,依此判断对应的两个底角相等.
9.如图,在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=60°,E 是AB 的中点,F 是AC 上一个动点,则EF+BF 的最小值是________ .
【答案】33
【解析】
试题解析:∵在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,
∴点B、D关于AC对称,
连接ED,则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段,
∵E为AB的中点,∠DAB=60°,
∴DE⊥AB,
∴ED=22
-=22
AD AE
-=33,
63
∴EF+BF的最小值为33.
10.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°,在AB、AD上分别找一点F、E,连接CE、EF、CF,当△CEF的周长最小时,则∠ECF的度数为______.
【答案】60°
【解析】
【分析】
此题需分三步:第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置(用对称即可);第二步是证明此时的△CEF的周长最小(利用两点之间线段最短);第三步是利用对称性求此时
∠ECF的值.
【详解】
分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2,连接C1C2,分别交AD,AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小,理由如下:
在AD、AB上任意取E1、F1两点
根据对称性:
∴CE=C1E,CE1=C1E1,CF=C2F,CF1=C2F1
∴△CEF的周长= CE+EF+CF= C1E+EF+C2F= C1C2
而△CE1F1的周长= CE1+E1F1+CF1= C1E1+E1F1+C2F1
根据两点之间线段最短,故C1E1+E1F1+C2F1>C1C2
∴△CEF的周长的最小为:C1C2.
∵∠A=60°,∠ADC=∠ABC=90°
∴∠DCB=360°-∠A-∠ADC-∠ABC=120°
∴∠C C1C2+∠C C2C1=180°-∠DCB=60°
根据对称性:∠C C1C2=∠E CD,∠C C2C1=∠F CB
∴∠E CD+∠F CB=∠C C1C2+∠C C2C1=60°
∴∠ECF=∠DCB-(∠E CD+∠F CB)=60°
故答案为:60°
【点睛】
此题考查的是周长最小值的作图方法(对称点),及周长最小值的证法:两点之间线段最短,掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.
二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)
11.如图,已知一条线段的长度为a,作边长为a的等边三角形的方法是:①画射线AM;
②连结AC、BC;③分别以A、B为圆心,以a的长为半径作圆弧,两弧交于点C;④在射线AM上截取AB=a;以上画法正确的顺序是()
A.①②③④B.①④③②C.①④②③D.②①④③
【答案】B
【解析】
【分析】 根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.
【详解】
解:已知一条线段的长度为a ,作边长为a 的等边三角形的方法是:
①画射线AM ;
②在射线AM 上截取AB =a ;
③分别以A 、B 为圆心,以a 的长为半径作圆弧,两弧交于点C ;
④连结AC 、BC .
△ABC 即为所求作的三角形.
故选答案为B .
【点睛】
本题考查了尺规作图和等边三角形的性质,解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.
12.如图所示,等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,其中1(0,1)A ,
()21,13A --,()31,13A -,4(0,2)A ,()
52,223A --,……,按此规律排下去,则2019A 的坐标为( )
A .(673,6736733-
B .(673,6736733--
C .(0,1009)
D .(674,6746743- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据等边三角形的边长依次为2,4,6,8,……,及点的坐标特征,每三个点一个循环,2019÷3=673,A 2019的坐标在第四象限即可得到结论.
【详解】
∵2019÷3=673,
∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点,且在第四象限.
第673个等边三角形边长为2×673=1346,
∴点A 2019的横坐标为 1
2
?1346=673.
点A 2019
的纵坐标为673-134632
?=673﹣6733.故点A 2019的坐标为:()673,6736733-.
故选:A .
【点睛】
本题考查了点的坐标、等边三角形的性质,是点的变化规律,主要利用了等边三角形的性质,确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键.
13.如图,△ABC 、△CDE 都是等腰三角形,且CA =CB , CD =CE ,∠ACB =∠DCE =α,AD ,BE 相交于点O ,点M ,N 分别是线段AD ,BE 的中点,以下4个结论:①AD =BE ;②∠DOB =180°-α;③△CMN 是等边三角形;④连OC ,则OC 平分∠AOE .正确的是( )
A .①②③
B .①②④
C .①③④
D .①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据全等三角形的判定定理得到△ACD ≌△BCE (SAS ),由全等三角形的性质得到AD=BE ;故①正确;
②设CD 与BE 交于F ,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC ,得到
∠DOE=∠DCE=α,根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确; ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE ,AD=BE ,AC=BC 根据线段的中点的定义得到AM=BN ,根据全等三角形的性质得到CM=CN ,∠ACM=∠BCN ,得到∠MCN=α,推出△MNC 不一定是等边三角形,故③不符合题意;
④过C 作CG ⊥BE 于G ,CH ⊥AD 于H ,根据全等三角形的性质得到CH=CG ,根据角平分线的判定定理即可得到OC 平分∠AOE ,故④正确.
【详解】
解:①∵CA=CB ,CD=CE ,∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ,
∴∠ACD=∠BCE ,
在△ACD 和△BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ?∠??
∠??===
∴△
ACD ≌△BCE (SAS ),
∴AD=BE ;故①正确;
②设CD 与BE 交于F ,
∵△ACD ≌△BCE ,
∴∠ADC=∠BEC ,
∵∠CFE=∠DFO ,
∴∠DOE=∠DCE=α,
∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α,故②正确;
③∵△ACD ≌△BCE ,
∴∠CAD=∠CBE ,AD=BE ,AC=BC
又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD ,BN=12
BE , ∴AM=BN ,
在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ?∠??
∠??=== ∴△ACM ≌△BCN (SAS ),
∴CM=CN ,∠ACM=∠BCN ,
又∠ACB=α,
∴∠ACM+∠MCB=α,
∴∠BCN+∠MCB=α,
∴∠MCN=α,
∴△MNC 不一定是等边三角形,故③不符合题意;
④过C 作CG ⊥BE 于G ,CH ⊥AD 于H ,
∴∠CHD=∠ECG=90°,∵∠CEG=∠CDH ,CE=CD ,
∴△CGE ≌△CHD (AAS ),
∴CH=CG ,
∴OC 平分∠AOE ,故④正确,
故选:B .
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的应用,解此题的关键是根据性质进行推理,此题综合性比较强,有一定的代表性.
14.如图所示,在等边△ABC中,E是AC边的中点,AD是BC边上的中线,P是AD上的动点,若AD=3,则EP+CP的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】
由等边三角形的性质得,点B,C关于AD对称,连接BE交AD于点P,则EP+CP=BE最小,又BE=AD,所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点睛:本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质,求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值,常用的方法是,①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点;②连接另一个定点与对称点,与定直线的交点就是两线段和的值最小时,动点的位置.
15.如图,已知等边△ABC的边长为4,面积为43,点D为AC的中点,点E为BC的中点,点P为BD上一动点,则PE+PC的最小值为()
A.3 B.2C.3D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知点A、点C关于BD对称,连接AE交BD于点P,由对称的性质可得,PA=PC,故PE+PC=AE,由两点之间线段最短可知,AE即为PE+PC的最小值.
【详解】
解:∵△ABC是等边三角形,点D为AC的中点,点E为BC的中点,
∴BD⊥AC,EC=2,
连接AE ,线段AE 的长即为PE+PC 最小值,
∵点E 是边BC 的中点,
∴AE ⊥BC ,
∴PE+PC 的最小值是22AC E C -=224223-=.
故选C .
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
16.如图,ABC △是等边三角形,ABD △是等腰直角三角形,∠BAD =90°,AE ⊥BD 于点E .连CD 分别交AE ,AB 于点F ,G ,过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ,则下列结论:
①∠ADC =15°;②AF =AG ;③AH =DF ;④△ADF ≌△BAH ;⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为( )
A .5
B .4
C .3
D .2
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形,△ABD 为等腰直角三角形,可以得出各角的度数以及DA=AC ,即可作出判断;②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数,即可作出判断;④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数,求证EHG DFA ∠=∠,利用AAS 即可证出两个三角形全等;③根据④证出的全等即可作出判断;⑤证明∠EAH=30°,即可得到AH=2EH ,又由③可知AH DF =,即可作出判断.
【详解】
①正确:∵ABC △是等边三角形,
∴60BAC ?∠=,∴CA AB =.
∵ABD △是等腰直角三角形,∴DA AB =.
又∵90BAD ?∠=,∴150CAD BAD BAC ?∠=∠+∠=,
∴DA CA
=,∴()
1
18015015
2
ADC ACD???
∠=∠=-=;
②错误:∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG
∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°
∠AFG≠∠AGD
∴AF≠AG
③,④正确,由题意可得45
DAF ABH?
∠=∠=,DA AB
=,
∵AE BD
⊥,AH CD
⊥.∴180
EHG EFG?
∠+∠=.
又∵180?
DFA EFG
∠+∠=,∴EHG DFA
∠=∠,
在DAF
△和ABH中
()
AFD BHA
DAF ABH AAS
DA AB
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴DAF
△≌ABH.∴DF AH
=.
⑤正确:∵150
CAD?
∠=,AH CD
⊥,
∴75
DAH?
∠=,又∵45
DAF?
∠=,∴754530
EAH???
∠=-=
又∵AE DB
⊥,∴2
AH EH
=,又∵=
AH DF,∴2
DF EH
=
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质,综合性较强,属于较难题目.
17.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,若△CDM周长的最小值为8,则△ABC的面积为()
A.12 B.16 C.24 D.32
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,再根据三角形的周长求出AD的长,由此即可得出结论.
【详解】
连接AD,
∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点C关于直线EF的对称点为点A,
∴AD的长为CM+MD的最小值,
∵△CDM周长的最小值为8,
∴AD=8-1
2
BC=8-2=6
∴S△ABC=1
2
BC?AD=
1
2
×4×6=12,
故选A.
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
18.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,则△BCD的周长为()
A.13B.15C.18D.21
【答案】A
【解析】
根据线段垂直平分线的性质,可由AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,得到
AD=BD,进而得出△BCD的周长为:CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13.
故选A.
点睛:此题主要考查了线段垂直平分线的性质,关键是掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
19.如图,O是正三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形
AOBO′3⑤S△AOC+S△AOB 9
3
4
)
A.①②③⑤B.①③④C.②③④⑤D.①②⑤【答案】A
【解析】
试题解析:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,
又∵OB=O′B,AB=BC,
∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,
故结论①正确;
如图①,连接OO′,
∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,
∴△OBO′是等边三角形,
∴OO′=OB=4.
故结论②正确;
∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.
在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,
∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,
故结论③正确;
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=1
2
32
3
故结论④错误;
如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难) 1.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE. (1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由); (2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由; (3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由. 【答案】(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE;(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)(1)中的结论仍然成立.理由见解析 【解析】 【分析】 (1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,2EF; (2)思路同(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此 CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出(1)中的结论了; (3)思路同(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出 EM=PN=1 2 AD,EC=MF= 1 2 AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结
八年级全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC ∥,PF AC ∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PF ++=____cm. 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可. 【详解】 解:∵PD AB,PE BC ∥ ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形, ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键. 2.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,点D在边AB上,∠ACD=15°,则AD BC =____.
【答案】 22 . 【解析】 【分析】 根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题. 【详解】 解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH . 设AD=2x , ∵AB=AC ,∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12= AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC , ∴∠HDC=∠HCD=15°, ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°, ∴DH=HC=2x ,FH 3=, ∴3x , 在Rt △ACE 中,EC 12 =AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x , 在Rt △BCE 中,BC 22BE EC = +=2x , ∴22 22AD BC x ==.
数学八年级上册全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) ∥,1.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC ++=____cm. ∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PF PF AC 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可. 【详解】 ∥ 解:∵PD AB,PE BC ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∥ ∵PE BC ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形, ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键. 2.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,6.现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点
E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______. 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可; 【详解】 解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45° ∵∠C=45° ∴∠AME=∠C 又∵∠AME>∠C ∴这种情况不成立; ②若AE=EM ∵∠B=∠AEM=45° ∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135° ∴∠BAE=∠MEC 在△ABE和△ECM中, B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABE≌△ECM(AAS), ∴CE=AB6, ∵AC=BC2AB=3 ∴BE=36; ③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45° ∵∠BAC=90°, ∴∠BAE=45° ∴AE平分∠BAC
八年级上册全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=6.现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______. 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可; 【详解】 解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45° ∵∠C=45° ∴∠AME=∠C 又∵∠AME>∠C ∴这种情况不成立; ②若AE=EM ∵∠B=∠AEM=45° ∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135° ∴∠BAE=∠MEC 在△ABE和△ECM中, B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABE≌△ECM(AAS), ∴CE=AB6, ∵AC=BC2AB=3
∴BE=23﹣6; ③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45° ∵∠BAC=90°, ∴∠BAE=45° ∴AE平分∠BAC ∵AB=AC, ∴BE=1 BC=3. 2 故答案为23﹣6或3. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 2.如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2,B3…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记a1,第2个等边三角形的边长记为a2,以此类推,若OA1=3,则a2=_______,a2019=_______. 【答案】6; 3×22018. 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1=6,得出 a3=4a1,a4=8a1,a5=16a1…进而得出答案. 【详解】 解:如图,
全等三角形全章易错题大全 、选择题 1、下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等; ② 有两条边 和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等; ③有两条边和第三条边上的高对应相等 的两个三角形全等?其中正确的是( ) A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、 如图所示,/仁/2 ,AE 丄OB 于E,BD 丄OA 于D ,交点为C,则图中全等三角形共有 ( ) A 、2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3、 下列说法中,正确的有( ) ① 三角对应相等的2个三角形全等;②三边对应相等的2个三角形全等;③两角、一边相 等的2个三角形全等;④两边、一角对应相等的 2个三角形全等. A 、1个 B 2个 C 、3个 D 、4个 4、 如图,D 在AB 上,E 在AC 上,且/ B=Z C,则在下列条件: ①AB=AC ;②AD=AE ;③BE=CD .其中能判定 △ ABE ^ △ ACD 的有( ) 6、 有以下四个说法: ① 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三 角形全等;② 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形 全等;③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等;其中正 确的有( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个 7、 如图,在 △ ABC 与厶ADE 中,/ BAD=Z CAE, BC=DE 且点C 在DE 上,若添加一个条件, 能判定△ ABC ^^ ADE ,这个条件是( ) D 、3个 5、△ ABC 中, AB=AC,三条高AD, BE, CF 相交于0,那么图中全等的三角形有( A 、5对 B 6对 C 、7对 D 、8对 8、如图,已知 AB=AC, D 是BC 的中点, E 是AD 上的一点,图中全等三角形有几对( A 、0个 B / B=Z D A 、/ BAC=Z DAE C AB=AD D 、AC=AE 9题
石家庄市精英中学数学全等三角形易错题(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1 2 BC,则△ABC的顶角的度数为 _____. 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可. 解:①BC为腰, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴∠ACD=30°, 如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°, 如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°, ②BC为底,如图3, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC,
∴AD =BD =CD , ∴∠B =∠BAD ,∠C =∠CAD , ∴∠BAD +∠CAD = 12 ×180°=90°, ∴顶角∠BAC =90°, 综上所述,等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°. 故答案为30°或150°或90°. 点睛:本题考查了含30°交点直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键. 2.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,将△AEF 沿直线EF 翻折,点A 落在点P 处,且点P 在直线BC 上.则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上,可知当点E 与点B 重合时,CP 有最小值,当点F 与点C 重合时CP 有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图,当点E 与点B 重合时,CP 的值最小, 此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1, 如图,当点F 与点C 重合时,CP 的值最大,
八年级上册数学全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,已知等边ABC ?的边长为8,E是中线AD上一点,以CE为一边在CE下方作等边CEF ?,连接BF并延长至点,N M为BN上一点,且5 CM CN ==,则MN的长为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】 作CG⊥MN于G,证△ACE≌△BCF,求出∠CBF=∠CAE=30°,则可以得出 1 2 4 CG BC ==,在Rt△CMG中,由勾股定理求出MG,即可得到MN的长. 【详解】 解:如图示:作CG⊥MN于G, ∵△ABC和△CEF是等边三角形, ∴AC=BC,CE=CF,∠ACB=∠ECF=60°, ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE, 即∠ACE=∠BCF, 在△ACE与△BCF中 AC BC ACE BCF CE CF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△ACE≌△BCF(SAS), 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°, ∴ 1 2 4 CG BC ==, 在Rt△CMG中,2222 543 MG CM CG =-=-, ∴MN=2MG=6,
故答案为:6. 【点睛】 本题考查了勾股定理,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是推出△ACF≌△BCF. 2.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将 △BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】 【详解】 过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G, ∵∠B=60°,BE=BD=4, ∴△BDE是等边三角形, ∵△B′DE≌△BDE, ∴B′F=1 B′E=BE=2,DF=23, 2 ∴GD=B′F=2, ∴B′G=DF=23, ∵AB=10, ∴AG=10﹣6=4, ∴AB′=27.
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难) 1.如图,在ABC 中,45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高,连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ,G 为BE 中点,连接AF ,DG . (1)如图1,若点F 与点G 重合,求证:AF DF ⊥; (2)如图2,请写出AF 与DG 之间的关系并证明. 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:(1)证明:设BE 与AD 交于点H..如图, ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. (2)AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2.如图1,在平面直角坐标系中,点D(m,m+8)在第二象限,点B(0,n)在y轴正半
八年级全等三角形易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5,点 P 是 AD 上的一动点,则 PE+PF 的最小值是_____. 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质,可得点B 关于AD 对称的点为点E ,连接BE 交AD 于P 点,那么有PB=PF ,PE+PF=BE 最小,根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形,因此可知BE 的长为10,即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2.如图,在ABC 中,点A 的坐标为()0,1,点B 的坐标为()0,4,点C 的坐标为()4,3,点D 在第二象限,且ABD 与ABC 全等,点D 的坐标是______. 【答案】(-4,2)或(-4,3) 【解析】 【分析】 【详解】
把点C 向下平移1个单位得到点D (4,2),这时△ABD 与△ABC 全等,分别作点C ,D 关于y 轴的对称点(-4,3)和(-4,2),所得到的△ABD 与△ABC 全等. 故答案为(-4,2)或(-4,3). 3.如图,△ABC 是等边三角形,高AD 、BE 相交于点H ,BC=43,在BE 上截取BG=2,以GE 为边作等边三角形GEF ,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的面积为_____. 【答案】53 【解析】 试题分析:如图所示,由△ABC 是等边三角形,BC=43,得到AD=BE=3BC=6,∠ABG=∠HBD=30°,由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°,由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°,由BG=2,得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4.由GE 为边作等边三角形GEF ,得FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,△MHE 是等边三角形; S △ABC =12AC?BE=12AC×EH×3EH=13BE=13 ×6=2.由三角形外角的性质,得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,由∠IBG=∠BIG=30°,得IG=BG=2,由线段的和差,得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2,由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,由锐角三角函数,得FN=1,IN=3.S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣ S △FIN =2233142312 ?-?-??=53,故答案为53. 考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.
人教版八年级上册数学全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm. - 【答案】10310 【解析】 解:连接BD,在菱形ABCD中, ∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论: ①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10; ②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP -; 最小,最小值为10310 ③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在; -(cm). 综上所述,PA的最小值为10310 -. 故答案为:10310 点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
2.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1 2 BC,则△ABC的顶角的度数为 _____. 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可. 解:①BC为腰, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴∠ACD=30°, 如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°, 如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°, ②BC为底,如图3, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴AD=BD=CD, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
) A b E B S C D B B A 则 J ? 全等三角形易错题练习 1如图,直线L 上有三个正方形a , b , c,若a, c 的面积分别为1和9,则b 的面积为( ①????= ????②????????③ /=??/ ??④/ =??/ 中添加一个条件,能使 △ ??????犁????? 的有() A. 1个 3 如图,△ ?????? B. 2个 ????! ???于 D , C. 3个 D. 4个 ????L ???于 E , AD 交 BE 于点 F ,若???= ????则 / ???等于() A. 45 ° B. 48° C. 50° D. 60 ° 4 如图,AD 是厶??????角平分线,???L ????垂足为 F , ???= ???? △ ??????△ ??????面 积分别为60和35,则厶??????面积为() A. 25 B. 5.5 C. 7.5 D. 12.5 5 如图,△ ??????, ???= ???,?????!???于 D , ???L ???于 E , BD 和 CE 交于 O , AO 的延 长线交BC 于F ,则图中全等的直角三角形有 () D. 6对 ????\ ???于 D ???= 5???? ????= 2???? ■ ■ ■ ■ I ■ ■ ■ 扌 ’ ■ ■ ■ ■ ?2 60 ° ° ???= C. 3 D. 已知:/ ?= 90° , / ?? P 为旋转中心,把这个三角形按逆时 A. 3对 B. 4对 C. 5对 6 女口图, / ??????90 °, ???=???? ???L ???于 E , 则DE 的长是() A. 8 B. 5 7 如图,在???△????中, 3????以斜边 AB 的中点 针方向旋转90。得到???△??' ??,‘则旋转前后两个直角三角 形 重叠部分的面积为 ____ ????. 8 如图,在???△????中, / ????=?90 °° ???= ???,?分别过点 长.判定△ ED0A ABC 勺理由是 10.要测量河两岸相对的两点 A, B 的距离,先在AB 的垂线 BF 上取两点CD,使CD=BC 再 DE 使A,C, E 在同一条直线 至仏 EDC^A ABC 所以 ED=AB 因此测得ED 的长就是AB 的 C.10 D. 11 2如图,已知 71= 2, ???= ???,从下列条件 B , C 作过点 A 的直线的垂线 B D , C E ,若????= 4???? ???= ???= \/ \ 定出BF 的垂线 给—亠\上,如图,可以得 A. 8 ----- L B. 9 3????则???*= cm . 9 女口图, 7 ?= 7 ?,? ???L ???? ????= ???,????= 10 , ???= 4
八年级数学上册全等三 角形易错题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
1.如图,已知A(-2,0),B(0,-4),C(1,1),点P为线段OB上一动点(不包括点O),CD⊥CP交x轴于点D,当点P运动时: (1)求证:∠CPO=∠CDO; (2)求证:CP=CD; (3)下列两个结论: ①AD-BP的值不变;②AD+BP的值不变,选择正确的结论求其值. 2.已知⊿ABC中,AB=6,AC=4,D为线段BC的中点,求中线AD的取值范围. 3.如图,BD=CE,添加一个条件,使∠ABE=∠ACD(利用“SSS”判定),并给予证明. 4.如图,在⊿ABC中,点D是BC边上的点,AD=CD,E是AC的中点,DE平分∠ADB交AB于点E,求证:DE⊥DF. 5.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O. (1)求证:⊿AEC≌⊿BED. (2)若∠1=42°,求∠BDE的度数. 6.如图,已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠ EDC. (1)若⊿ABC中,∠B<90°,D为BC上的一点,点E在⊿ABC的外部,求证:AD=AB. (2)若⊿ABC中,∠B>90°,D在CB的延长线上,点E在⊿ABC的下方,则(1)的结论是否仍然成立?若成立,请在图(2)中画出图形,并加以证明;若不成立,请说明理由. 7.如图,在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=7,BE=3 (1)求证:⊿BEC≌⊿CDA; (2)求⊿BDE的面积. 8.如图,已知AD∥BC,,点E为CD上一点,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:DE=CE; (3)若AE=4,BE=6,求四边形ABCD的面积. 9.如图,CA=CB,BE⊥CE于E,AD⊥CE于点D,CD=BE.求证:DE=AD-BE. 10.已知⊿ABC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,且OB=OC,OE=OF. (1)如图1,若点O在边BC上,求证:∠ABO=∠ACO. (2)如图2,若点O在⊿ABC外,求证:∠ABO=∠ACO. 11.将两块全等的直角三角形按如图1摆放,其中∠DCE=∠ACB=90°, ∠D∠=A. (1)求证:AB⊥DE; (2)将图中的⊿DCE绕点C顺时针旋转45°得到图2,AB,CD交于点N,DE,BC交于点M,求证:CM=CN. 12.将两块含45°角大小不同的直角三角板⊿DOC和⊿AOB如图1摆放,连AC,BD. (1)求证:AC=BD; (2)将图1中的⊿DOC绕点O顺时针旋转一定的角度得到⊿C1OD1的位置(如图2),连AC1,BD1,直线AC1与BD1存在着什么样的数量关系与位置关系,请下结论并说明理由.
全等三角形易错题练习 1如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为1和9,则b的面积为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2如图,已知,,从下列条件 中添加一个条件,能使 ≌ 的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3如图,中,于D,于E,AD交BE于点F,若,则等于 A. B. C. D. 4如图,AD是的角平分线,,垂足为F,,和的面积分别为60和35,则的面积为 A. 25 B. C. D. 5如 图, 中, ,于D,于E,BD和CE交于O,AO的延长线交BC于F,则图中全等的直角三角形有 A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 6如图,,,于E,于D,,,则DE的长是 A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 7如图,在中,已知:,,, 以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向 旋转得到,则旋转前后两个直角三角形重叠部分 的面积为______. 8如图,在中,,,分别过点B,C 作过点A的直线的垂线BD,CE,若,,则 ______ cm. 9如图,,,,,,则______ .
10.要测量河两岸相对的两点A ,B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C ,D ,使CD=BC ,再定出BF 的垂线DE ,使A ,C ,E 在同一条直线上,如图,可以得到△EDC ≌△ABC ,所以ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长.判定△EDC ≌△ABC 的理由是 A.SAS B.ASA C.SSS D.HL 11.如图,△ABC 周长为36 cm,将边AC 对折,使点C ,A 重合,折痕交BC 于点D ,交AC 于点E ,连接AD.若AE=6 cm,则△ABD 的周长是 A.24 cm B.26 cm C.28 cm D.30 cm 12.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD 是一个筝形,其中AD=CD ,AB=CB ,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC ⊥BD ;②AO=CO=AC ;③△ABD ≌△CBD. 其中正确的结论有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 13.在△ABC 和△A'B'C'中,AD 是BC 边上的高,A'D'是B'C' 边上的高,若AD=A'D',AB=A'B',AC=A'C',则∠C 与∠C'的关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= . 15.如图,△ABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于________.(提示:角平分线上一点到角两边距离相等)
全等三角形全章易错题大全 一、选择题 1、下列命题:①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是() A、①② B、②③ C、①③ D、①②③ 2、如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,交点为C,则图中全等三角形共有() A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 3、下列说法中,正确的有() ①三角对应相等的2个三角形全等;②三边对应相等的2个三角形全等;③两角、一边相等的2个三角形全等;④两边、一角对应相等的2个三角形全等. A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,则在下列条件: ①AB=AC;②AD=AE;③BE=CD.其中能判定△ABE≌△ACD的有() 2题4题5题 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 5、△ABC中,AB=AC,三条高AD,BE,CF相交于O,那么图中全等的三角形有() A、5对 B、6对 C、7对 D、8对 6、有以下四个说法:①两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;②两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等;其中正确的有()A、1个B、2个C、3个D、0个 7、如图,在△ABC与△ADE中,∠BAD=∠CAE,BC=DE,且点C在DE上,若添加一个条件,能判定△ABC≌△ADE,这个条件是() 7题8题9题 A、∠BAC=∠DAE B、∠B=∠D C、AB=AD D、AC=AE 8、如图,已知AB=AC,D是BC的中点,E是AD上的一点,图中全等三角形有几对() A、1 B、2 C、3 D、4
天津六力学校数学全等三角形易错题(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1 2 BC,则△ABC的顶角的度数为 _____. 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可. 解:①BC为腰, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴∠ACD=30°, 如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°, 如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°, ②BC为底,如图3, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC,
∴AD=BD=CD, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD, ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°, ∴顶角∠BAC=90°, 综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°. 故答案为30°或150°或90°. 点睛:本题考查了含30°交点直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键. 2.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有_____个. 【答案】4 【解析】 【分析】 由A点坐标可得OA=22,∠AOP=45°,分别讨论OA为腰和底边,求出点P在x轴正半轴和负半轴时,△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】 (1)当点P在x轴正半轴上, ①如图,以OA为腰时, ∵A的坐标是(2,2), ∴∠AOP=45°,OA=22, 当∠AOP为顶角时,OA=OP=22, 当∠OAP为顶角时,AO=AP, ∴OPA=∠AOP=45°, ∴∠OAP=90°, ∴OP=2OA=4, ∴P的坐标是(4,0)或(22,0).
人教版数学八年级上册全等三角形易错题(Word版含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当△AOD是等腰三角形时,求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,②OA=OD,则 ∠OAD=∠ADO,③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,分别求出α的角度即可. 【详解】 解:∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d, 则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°, ∴b﹣d=10°, ∴(60°﹣a)﹣d=10°, ∴a+d=50°, 即∠DAO=50°, 分三种情况讨论: ①AO=AD,则∠AOD=∠ADO, ∴190°﹣α=α﹣60°, ∴α=125°; ②OA=OD,则∠OAD=∠ADO, ∴α﹣60°=50°, ∴α=110°; ③OD=AD,则∠OAD=∠AOD, ∴190°﹣α=50°, ∴α=140°; 所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形, 故答案为:110°、125°、140°. 【点睛】 本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
2.如图,P 为∠AOB 内一定点,M ,N 分别是射线OA ,OB 上一点,当△PMN 周长最小时,∠OPM =50°,则∠AOB =___________. 【答案】40° 【解析】 【分析】 作P 关于OA ,OB 的对称点P 1,P 2.连接OP 1,OP 2.则当M ,N 是P 1P 2与OA ,OB 的交点时,△PMN 的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP 1M=∠OPM=50°,OP 1=OP 2=OP ,根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】 如图:作P 关于OA ,OB 的对称点P 1,P 2.连接OP 1,OP 2.则当M ,N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时,△PMN 的周长最短,连接P 1O 、P 2O , ∵PP 1关于OA 对称, ∴∠P 1OP=2∠MOP ,OP1=OP ,P 1M=PM ,∠OP 1M=∠OPM=50° 同理,∠P 2OP=2∠NOP ,OP=OP 2, ∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2(∠MOP+∠NOP )=2∠AOB ,OP 1=OP 2=OP , ∴△P 1OP 2是等腰三角形. ∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°, ∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°, ∴∠AOB=40°, 故答案为:40° 【点睛】 本题考查了对称的性质,正确作出图形,证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键. 3.如图,在01A BA △中,20B ∠=?,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.
八年级上册数学 全等三角形易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点 A (1,2),点 P 是 y 轴正半轴上的一点,且△AOP 为等腰三角形,则点 P 的坐标为_____________. 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,求出OA 即可;②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,求出OP 即可;③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC ,根据勾股定理求出OC 即可. 【详解】 有三种情况:①以O 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于D ,则OA =OD =22125+=; ∴D (0,5); ②以A 为圆心,以OA 为半径画弧交y 轴于P ,OP =2×y A =4, ∴P (0,4); ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ,则AC =OC , 由勾股定理得:OC =AC =()2212OC +-, ∴OC =54 , ∴C (0,54 ); 故答案为:5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???. 【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线,等腰三角形的性质和判定,勾股定理,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能求出符合条件的所有情况是解此题的关键. 2.如图,ABC ?中,90BAC ∠=?,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则 ∠C=12 ∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误. 【详解】 ∵∠BAC=90°,AD ⊥BC , ∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°, ∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C , 故①正确; 若∠EBC=∠C ,则∠C= 12 ∠ABC , ∵∠BAC=90°, 那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°, 故②错误; ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线, ∴∠ABF=∠EBD , ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD , 又∵∠BAD=∠C , ∴∠AFE=∠AEF , ∴AF=AE ,
衢州数学全等三角形易错题(Word版含答案)一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1 2 BC,则△ABC的顶角的度数为 _____. 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可. 解:①BC为腰, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴∠ACD=30°, 如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°, 如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°, ②BC为底,如图3, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC,
∴AD=BD=CD, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD, ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°, ∴顶角∠BAC=90°, 综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°. 故答案为30°或150°或90°. 点睛:本题考查了含30°交点直角三角形的性质,等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键. 2.如图所示,ABC为等边三角形,P是ABC内任一点,PD AB,PE BC ∥,PF AC ∥,若ABC的周长为12cm,则PD PE PF ++=____cm. 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形,△AHE和△AHE是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可. 【详解】 解:∵PD AB,PE BC ∥ ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形, ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm