一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点
D 作DF D
E ⊥与点
F ，
G 为BE 中点，连接AF ，DG ．
（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】
(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.
(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】
解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，
∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°,
∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE.
∴△FDE是等腰直角三角形.
∴∠DFE=45°.
∵G为BE中点,
∴BF=EF.
∴AE=EF.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AFE=45°.
∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.
（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,
∵点G为BE的中点,BG=GE.
∵∠BGM∠EGD,
∴△BGM≌△EGD.
∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.
∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.
∵∠DAC=∠DBE,
∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.
∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,
∴∠BDF=45°-∠DBE.
∵∠ADE=∠BDF,
∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.
∵BD=AD,
∴△BDM≌△DAF.
∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.
∵∠BDM+∠MDA=90°,
∴∠MDA+∠FAD=90°.
∴∠AHD=90°.
∴AF⊥DG.
∴AF=2DG,且AF⊥DG
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.
2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，
F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此
CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出
EM=PN=1
2
AD，EC=MF=
1
2
AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结
论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．
【详解】
（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：
∵∠AED＝∠ACB＝90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF＝CF＝FD＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°
∴∠ECF＝45°＝∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝2EF．
解法2：
易证∠BED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，
∴∠DFE＝2∠ABD，
同理∠CFD＝2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，
即∠CFE＝90°，
∴CE＝2EF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠GBF，
又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，
∵AC＝BC，
∴CE＝CG，
∴∠EFC＝90°，CF＝EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝2FE；
解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，
∴FA＝FB＝FD，
而AC＝BC，CF＝CF，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF＝∠BCF＝1
2
∠ACB＝45°，
∵FA＝FB，CA＝CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝2EF．
（3）（1）中的结论仍然成立．
解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，
∵DF＝BF，
∴FM∥AB，且FM＝1
2 AB，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°
∴CN=AN=1
2
AB，∠ANC＝90°，
∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，
∴四边形MFNA为平行四边形，
∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，
∴∠EMF＝∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，
∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，
∴∠FCN+∠PFC＝90°，
∴∠EFM+∠PFC＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝2FE．
【点睛】
本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．
3．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明
△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，
则△ADF为等边三角形
∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，
∠DEC+∠EDB=60°，
∠DCB+∠DCF=60°，
∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，
在△
DEB和△CDF中，
120
EBD DFC
EDB DCF
DE CD
，
，
∠=∠=?
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△DEB≌△CDF，
∴BD=DF，
∴BE=AD .
(2).EB=AD成立；
理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD.
点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.
4．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120o，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，
∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o，
∴∠MCN=30o+30o=60o，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
CMF CNG
CM CN
MCF NCG
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
5．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD
（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+
1
2
BC+CD.
【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；
（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；
（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；
（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=1
2
BC ，即可得出结论． 【详解】
（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠FAE ， 在△ABE 和△AFE 中，
AB AF BAE FAE AE AE ?
∠??
∠??＝＝＝， ∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， （2）∵△ABE ≌△AFE ， ∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ， ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴FE=CE ，
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC ， 在△DEF 和△DEC 中，
FE CE DEF DEC DE DE ?
∠??
∠??＝＝＝， ∴△DEF ≌△DEC （SAS ）， ∴DF=DC ， ∵AD=AF+DF ， ∴AD=AB+CD ；
（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=
1
2
BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），
△
DEG≌△DEC（SAS），
∴BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，∵BE=CE，
∴FE=GE，
∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，
∴∠AEF+∠GED=60°，
∴∠GEF=60°，
∴△EFG是等边三角形，
（2）∵△EFG是等边三角形，
∴GF=EF=BE=1
2 BC，
∵AD=AF+FG+GD，
∴AD=AB+CD+1
2 BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为
t(s).
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由
（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。
（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；
（3）存在；
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
．
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；
（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】
解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=1，
∴BP=AC=3，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：
由（1）可知△ACP≌△BPQ
∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ．
（3）如图（2），分两种情况讨论：
当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则
3
4t
t xt =-??
=?
， 解得11t x =??=?
，
当AC=BQ ，AP=BP 时，△ACP ≌△BQP ，则，
34xt t t =??
=-?
解得232t x =???=??
综上所述，存在11t x =??=?或2
32t x =??
?=
??
使得△ACP 与△BPQ 全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．
7．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示) （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或5
3
v = 【解析】 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值． 【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm =
∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=- 故答案为：()122t - （2）∵ABP DCP ??? ∴BP CP = ∴2122t t =- 解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ， ∴PC=AB=5 ∴BP=BC-PC=12-5=7 ∵2BP tcm = ∴2t=7 解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7 解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ??? ∵12BC cm =
∴1
62
BP CP BC cm === ∵2BP tcm = ∴26t =
解得3t = ∴3CQ vcm = ∵5AB CQ cm == ∴35v = 解得53
v =
． 综上所述，当2v =或5
3
v =时，ABP ?与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
8．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成
立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE
、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时
DE AD BE
、、之间的数量关系（不需要证明）．
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2) DE=BE-AD
【解析】
【分析】
(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得
△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；
(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．
【详解】
(1)不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，
理由如下：如图，
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB
=，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
90
ADC CEB
CAD BCE
AC CB
∠=∠=?
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
(2)结论：DE=BE-AD ．
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ADC ≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE ，DC=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．
9．（1）问题发现：如图（1），已知：在三角形ABC ?中，90BAC ?∠=,AB AC =,直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点,D E ，试写出线段,BD DE 和
CE 之间的数量关系为_________________．
（2）思考探究：如图（2），将图（1）中的条件改为：在ABC ?中, ,,,AB AC D A E =三点都在直线l 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图（3），,D E 是,,D A E 三点所在直线m 上的两动点，（,,D A E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF ?与ACF ?均为等边三角形，连接,BD CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠
=∠，试判断DEF ?的形状并说明理由．
【答案】（1）DE=CE+BD ；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF 为等边三角形，理由见
解析.
【解析】
【分析】
（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而根据AAS证明△ABD与△CAE全等，然后进一步求解即可；
∠=∠=∠=，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB与△CEA中，根（2）根据BDA AEC BACα
据AAS证明二者全等从而得出AE=BD，AD=CE，然后进一步证明即可；
（3）结合之前的结论可得△ADB与△CEA全等，从而得出BD=AE，∠DBA=∠CAE，再根据等边三角形性质得出∠ABF=∠CAF=60°，然后进一步证明△DBF与△EAF全等，在此基础上进一步证明求解即可.
【详解】
（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ABD与△CAE中，
∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，
故答案为：DE=CE+BD；
（2）（1）中结论还仍然成立，理由如下：
∠=∠=∠=，
∵BDA AEC BACα
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB与△CEA中，
∵∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE，
即：DE=CE+BD，
?为等边三角形，理由如下：
（3）DEF
由（2）可知：△ADB≌△CEA，
∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF与△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+CAF ， ∴∠DBF=∠FAE ， 在△DBF 与△EAF 中，
∵FB=FA ，∠FDB=∠FAE ，BD=AE ， ∴△DBF ≌△EAF(SAS)， ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF 为等边三角形. 【点睛】
本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形
DEF ?，连接CF .
（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点
D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；
（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；
（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想
CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解. 【解析】 【分析】
(1)由ABC ?是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ?是等边三角形，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论； (3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证? GDE ? ? CDF(SAS)，即可得到结论. 【详解】
（1）∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF EG =；
（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)， ∴CF GE =，
∴CD CG CE GE CE CF ==+=+ （3）CF =CD +CE ，理由如下： 过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3， ∵ABC ?是等边三角形，//DG AB ， ∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°， ∴CDG ?是等边三角形， ∴DG=DC=GC.
∵DEF ?是等边三角形， ∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在? GDE 和? CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =??
∠=∠??=?
， ∴? GDE ? ? CDF(SAS)，
=GC+CE=CD+CE.
∴CF GE
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE． （1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【解析】 【分析】 （1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF； （2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此 CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了； （3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出 EM=PN=1 2 AD，EC=MF= 1 2 AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结
八年级全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF ++=____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB，PE BC ∥ ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则AD BC =____．
【答案】 22 ． 【解析】 【分析】 根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题． 【详解】 解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ． 设AD=2x ， ∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12= AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ， ∴∠HDC=∠HCD=15°， ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°， ∴DH=HC=2x ，FH 3=， ∴3x ， 在Rt △ACE 中，EC 12 =AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ， 在Rt △BCE 中，BC 22BE EC = +=2x ， ∴22 22AD BC x ==．
数学八年级上册全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） ∥，1．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC ++=____cm． ∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF PF AC 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 ∥ 解：∵PD AB，PE BC ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∥ ∵PE BC ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 2．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点
E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3 ∴BE＝36； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC
八年级上册全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______. 【答案】6； 3×22018. 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出 a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案． 【详解】 解：如图，
全等三角形全章易错题大全 、选择题 1、下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； ② 有两条边 和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等 的两个三角形全等?其中正确的是（ ） A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、 如图所示，/仁/2 ,AE 丄OB 于E,BD 丄OA 于D ,交点为C,则图中全等三角形共有 （ ） A 、2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3、 下列说法中，正确的有（ ） ① 三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相 等的2个三角形全等；④两边、一角对应相等的 2个三角形全等. A 、1个 B 2个 C 、3个 D 、4个 4、 如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且/ B=Z C,则在下列条件： ①AB=AC ；②AD=AE ；③BE=CD .其中能判定 △ ABE ^ △ ACD 的有（ ） 6、 有以下四个说法： ① 两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三 角形全等；② 两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形 全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；其中正 确的有（ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个 7、 如图，在 △ ABC 与厶ADE 中，/ BAD=Z CAE, BC=DE 且点C 在DE 上，若添加一个条件, 能判定△ ABC ^^ ADE ,这个条件是（ ） D 、3个 5、△ ABC 中, AB=AC,三条高AD, BE, CF 相交于0,那么图中全等的三角形有（ A 、5对 B 6对 C 、7对 D 、8对 8、如图，已知 AB=AC, D 是BC 的中点, E 是AD 上的一点，图中全等三角形有几对（ A 、0个 B / B=Z D A 、/ BAC=Z DAE C AB=AD D 、AC=AE 9题
石家庄市精英中学数学全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，
∴AD =BD =CD ， ∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ， ∴∠BAD +∠CAD = 12 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____. 【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，
八年级上册数学全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知等边ABC ?的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF ?，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5 CM CN ==，则MN的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】 作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出 1 2 4 CG BC ==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长． 【详解】 解：如图示：作CG⊥MN于G， ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE， 即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中 AC BC ACE BCF CE CF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴ 1 2 4 CG BC ==， 在Rt△CMG中，2222 543 MG CM CG =-=-， ∴MN=2MG=6，
故答案为：6． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF． 2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将 △BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______． 【答案】2. 【解析】 【分析】 【详解】 过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G， ∵∠B=60°，BE=BD=4， ∴△BDE是等边三角形， ∵△B′DE≌△BDE， ∴B′F=1 B′E=BE=2，DF=23, 2 ∴GD=B′F=2， ∴B′G=DF=23， ∵AB=10， ∴AG=10﹣6=4， ∴AB′=27．
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.
∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. （2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半
八年级全等三角形易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______． 【答案】(－4，2)或(－4，3) 【解析】 【分析】 【详解】
把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等. 故答案为(－4，2)或(－4，3). 3．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____． 【答案】53 【解析】 试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=3BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形； S △ABC =12AC?BE=12AC×EH×3EH=13BE=13 ×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣ S △FIN =2233142312 ?-?-??=53，故答案为53． 考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．
人教版八年级上册数学全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
） A b E B S C D B B A 则 J ? 全等三角形易错题练习 1如图，直线L 上有三个正方形a , b , c,若a, c 的面积分别为1和9,则b 的面积为（ ①？???= ????②????????③ /=??/ ??④/ =??/ 中添加一个条件，能使 △ ??????犁????? 的有（） A. 1个 3 如图，△ ?????? B. 2个 ????! ???于 D , C. 3个 D. 4个 ????L ???于 E , AD 交 BE 于点 F ，若？??= ????则 / ???等于（） A. 45 ° B. 48° C. 50° D. 60 ° 4 如图，AD 是厶？?????角平分线，？??L ????垂足为 F , ???= ???? △ ??????△ ??????面 积分别为60和35,则厶？?????面积为（） A. 25 B. 5.5 C. 7.5 D. 12.5 5 如图，△ ??????, ???= ???,?????!???于 D , ???L ???于 E , BD 和 CE 交于 O , AO 的延 长线交BC 于F ，则图中全等的直角三角形有 （） D. 6对 ????\ ???于 D ???= 5???? ????= 2???? ■ ■ ■ ■ I ■ ■ ■ 扌 ’ ■ ■ ■ ■ ?2 60 ° ° ???= C. 3 D. 已知：/ ?= 90° , / ?? P 为旋转中心，把这个三角形按逆时 A. 3对 B. 4对 C. 5对 6 女口图， / ??????90 °, ???=???? ???L ???于 E , 则DE 的长是（） A. 8 B. 5 7 如图，在???△????中, 3????以斜边 AB 的中点 针方向旋转90。得到？??△??' ??，‘则旋转前后两个直角三角 形 重叠部分的面积为 ____ ????. 8 如图，在???△????中, / ????=?90 °° ???= ???,?分别过点 长.判定△ ED0A ABC 勺理由是 10.要测量河两岸相对的两点 A, B 的距离,先在AB 的垂线 BF 上取两点CD,使CD=BC 再 DE 使A,C, E 在同一条直线 至仏 EDC^A ABC 所以 ED=AB 因此测得ED 的长就是AB 的 C.10 D. 11 2如图，已知 71= 2, ???= ???,从下列条件 B , C 作过点 A 的直线的垂线 B D , C E ,若？???= 4???? ???= ???= \/ \ 定出BF 的垂线 给—亠\上,如图，可以得 A. 8 ----- L B. 9 3????则???*= cm . 9 女口图， 7 ?= 7 ?,? ???L ???? ????= ???,????= 10 , ???= 4
八年级数学上册全等三 角形易错题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
1.如图，已知A(-2,0),B(0,-4),C(1,1)，点P为线段OB上一动点(不包括点O)，CD⊥CP交x轴于点D，当点P运动时： (1)求证：∠CPO=∠CDO； (2)求证：CP=CD； (3)下列两个结论： ①AD-BP的值不变;②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值. 2.已知⊿ABC中，AB=6,AC=4,D为线段BC的中点，求中线AD的取值范围. 3.如图，BD=CE,添加一个条件，使∠ABE=∠ACD(利用“SSS”判定)，并给予证明. 4.如图，在⊿ABC中，点D是BC边上的点，AD=CD,E是AC的中点，DE平分∠ADB交AB于点E，求证：DE⊥DF. 5.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上，∠1=∠2,AE和BD相交于点O. (1)求证：⊿AEC≌⊿BED. (2)若∠1=42°，求∠BDE的度数. 6.如图，已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠ EDC. (1)若⊿ABC中，∠B<90°,D为BC上的一点，点E在⊿ABC的外部，求证：AD=AB. (2)若⊿ABC中，∠B>90°,D在CB的延长线上，点E在⊿ABC的下方，则(1)的结论是否仍然成立？若成立，请在图(2)中画出图形，并加以证明；若不成立，请说明理由. 7.如图，在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=7,BE=3 (1)求证:⊿BEC≌⊿CDA； (2)求⊿BDE的面积. 8.如图，已知AD∥BC,，点E为CD上一点，AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:DE=CE; (3)若AE=4,BE=6，求四边形ABCD的面积. 9.如图，CA=CB,BE⊥CE于E，AD⊥CE于点D，CD=BE.求证：DE=AD-BE. 10.已知⊿ABC，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OB=OC,OE=OF. (1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABO=∠ACO. (2)如图2，若点O在⊿ABC外，求证：∠ABO=∠ACO. 11.将两块全等的直角三角形按如图1摆放，其中∠DCE=∠ACB=90°, ∠D∠=A. (1)求证：AB⊥DE； (2)将图中的⊿DCE绕点C顺时针旋转45°得到图2，AB,CD交于点N，DE,BC交于点M，求证：CM=CN. 12.将两块含45°角大小不同的直角三角板⊿DOC和⊿AOB如图1摆放，连AC,BD. (1)求证：AC=BD； (2)将图1中的⊿DOC绕点O顺时针旋转一定的角度得到⊿C1OD1的位置(如图2)，连AC1,BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的数量关系与位置关系，请下结论并说明理由.
全等三角形易错题练习 1如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2如图，已知，，从下列条件 中添加一个条件，能使 ≌ 的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3如图，中，于D，于E，AD交BE于点F，若，则等于 A. B. C. D. 4如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为 A. 25 B. C. D. 5如 图， 中， ，于D，于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 6如图，，，于E，于D，，，则DE的长是 A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 7如图，在中，已知：，，， 以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向 旋转得到，则旋转前后两个直角三角形重叠部分 的面积为______． 8如图，在中，，，分别过点B，C 作过点A的直线的垂线BD，CE，若，，则 ______ cm． 9如图，，，，，，则______ ．
10.要测量河两岸相对的两点A ,B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C ,D ,使CD=BC ,再定出BF 的垂线DE ,使A ,C ,E 在同一条直线上,如图,可以得到△EDC ≌△ABC ,所以ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长.判定△EDC ≌△ABC 的理由是 A.SAS B.ASA C.SSS D.HL 11.如图,△ABC 周长为36 cm,将边AC 对折,使点C ,A 重合,折痕交BC 于点D ,交AC 于点E ,连接AD.若AE=6 cm,则△ABD 的周长是 A.24 cm B.26 cm C.28 cm D.30 cm 12.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD 是一个筝形,其中AD=CD ,AB=CB ,詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC ⊥BD ;②AO=CO=AC ;③△ABD ≌△CBD. 其中正确的结论有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 13.在△ABC 和△A'B'C'中,AD 是BC 边上的高,A'D'是B'C' 边上的高,若AD=A'D',AB=A'B',AC=A'C',则∠C 与∠C'的关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无法确定 14.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= . 15.如图,△ABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于________.（提示：角平分线上一点到角两边距离相等）
全等三角形全章易错题大全 一、选择题 1、下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（） A、①② B、②③ C、①③ D、①②③ 2、如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，交点为C，则图中全等三角形共有（） A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 3、下列说法中，正确的有（） ①三角对应相等的2个三角形全等；②三边对应相等的2个三角形全等；③两角、一边相等的2个三角形全等；④两边、一角对应相等的2个三角形全等． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件： ①AB=AC；②AD=AE；③BE=CD．其中能判定△ABE≌△ACD的有（） 2题4题5题 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 5、△ABC中，AB=AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图中全等的三角形有（） A、5对 B、6对 C、7对 D、8对 6、有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等；其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、0个 7、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD=∠CAE，BC=DE，且点C在DE上，若添加一个条件，能判定△ABC≌△ADE，这个条件是（） 7题8题9题 A、∠BAC=∠DAE B、∠B=∠D C、AB=AD D、AC=AE 8、如图，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的一点，图中全等三角形有几对（） A、1 B、2 C、3 D、4
天津六力学校数学全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，
∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】 由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】 （1）当点P在x轴正半轴上， ①如图，以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP＝45°，OA＝22， 当∠AOP为顶角时，OA=OP=22， 当∠OAP为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°， ∴OP=2OA=4， ∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.
人教版数学八年级上册全等三角形易错题（Word版含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②OA=OD，则∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③OD=AD，则∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°； 所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形， 故答案为：110°、125°、140°. 【点睛】 本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
2．如图，P 为∠AOB 内一定点，M ，N 分别是射线OA ，OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM ＝50°，则∠AOB ＝___________． 【答案】40° 【解析】 【分析】 作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 如图：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ， ∵PP 1关于OA 对称， ∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM=50° 同理，∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2， ∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ， ∴△P 1OP 2是等腰三角形． ∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°， ∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°， ∴∠AOB=40°， 故答案为：40° 【点睛】 本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键． 3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．
八年级上册数学 全等三角形易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】
本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ，
衢州数学全等三角形易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC，
∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=1 2 ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为30°或150°或90°． 点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC ∥，PF AC ∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF ++=____cm． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB，PE BC ∥ ∴四边形HBDP是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm