第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为 )
4s )(2s )(1s (K
)s (H )s (G *
+++=
试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件
π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0
=
++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(
π
π
π
π
-=-
-
-
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：
14
3j 123j 113j 1K
s H )s (G *
11=++-?++-?++-=
）（
解出 ： 12K *
= ， 2
38
K K *
=
=
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)
b s )(4s (02)s (G ++=
（2）)
b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=
解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()
4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2
-++++=
+++=
'
28
s 6s 20
)
s (G 1)
s (G )s (2
++=
+=
Φ
(2) )
10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22
++++=
'=
)
3j 1s )(3j 1s (s )
19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++
40
s 14s 4s )4s (10)
s (G 1)s (G )s (2
3
++++=
+=
Φ
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)
b s )(4s (s 2)s (G ++=
，试绘制参数b 从零变
化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )
6s (s )4s (b )s (G ++=
'
根轨迹如图。 2s -=时4b =， )
8s )(2s (s 216
s 10s s 2)s (2
++=
++=Φ
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )
1s 5.0)(1s 2.0(s k
)s (G ++=
(2) )
1s 2(s )1s (k )s (G ++=
(3) )
3s )(2s (s )5s (k )s (G *
+++=
(4) )
1s (s )
2s )(1s (*k )s (G -++=
解 ⑴ )
2s )(5s (s K 10)
1s 5.0)(1s 2.0(s K
)s (G ++=
++=
三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2- ② 渐近线： ???
????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(3
73520a
a
③ 分离点：
02
d 15
d 1d 1=++
++
解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
0k 10s 10s 7s )s (D 2
3
=+++=
令 ???=ω+ω-=ω=+ω-=ω0
10)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3
2 解得??
?==
ω7
k 10
与虚轴的交点（0，j 10±）
。 根轨迹如图所示。
⑵ )
21s (s 2)1s (K )
1s 2(s )1s (K )s (G +
+=
++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：
1
d 15
.0d 1
d
1+=
++
解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2- ② 渐近线： ???
????
±=+==----=22)12(02
)5(320ππ?σk a a
③ 分离点：
5
13
12
11+=
++
++
d d d d
用试探法可得 886.0-=d 。 根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
2
d 11
d 11
d 1d 1++
+=
-+
求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )
101s .0)(102s .0(s k
)s (G ++=
要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) )
100s )(50s (s k 5000)
1s 01.0)(1s 02.0(s k
)s (G ++=
++=
① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：
0100
d 150
d 1d 1=++
++
求解得87.78d 13.21d 21-=-=，
③ 渐近线：o o a a 1806050，
，±=?-=σ 根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *
==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，
4-6 已知系统的开环传递函数为)
20s 8s (s k
)s (H )s (G 2
*
++=
，要求绘制根轨迹并确
定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。
解 )
20s 8s (s K
)s (H )s (G 2
++=
*
① 实轴上的根轨迹： (]0,∞-
② 渐近线：
???
???
?ππ±=π+=?-=--++-+=σ,33)1k 2(3
83)2j 4()2j 4(0a a ③分离点：
2
j 4d 12
j 4d 1d
1=-++
+++
解之得：33.3d ,2d -=-=。
④与虚轴交点：*+++=k s 20s 8s )s (D 23
把ω=j s 代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
?
??=ω-ω=ω=ω-=ω*020))j (D Im(0
8k ))j (D Re(3
2 解得：???==ω*0k 0
?????=±=ω*
160
k 5
2
⑤起始角：
由相角条件 632p -=θ，
633p =θ。 根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k 8.14*
≤≤ 所以8.0k 74.0≤≤
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)
1s 7
4(
)1s ()1s 2(k )s (G 2
-++=
，
试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。
解 ：根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： []4/75.0，- ② 渐近线：
???
????
π±=π+=?=--+--=σ22)1k 2(8
12)5.0(4/711a a
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
01k s )7
10k 2(s 7
1s 74)s (D 2
3
=-+-
++
=
把ω=j s 代入上方程，
令??
???=ω-ω-=ω=ω--=ω0
74)710K 2())j (D Im(0711K ))j (D Re(3
2
解得： ???==ω1K 0 ， ??
?
??=
±=ω79
K 2
根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值范围为 79K 1<<。
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。 2
2
)
9s 4s (2s K )s (H )s (G +++=*
）（
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： []2,-∞-
② 渐近线：
???
???
?ππ±=π+=?-=--+---=
σ,33)1k 2(32
3)2(5j 25j 2a a ③ 分离点：
2
d 15
j 2d 25
j 2d 2+=
-++
++
解之得：29.3d -= 71.0d = (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
02s K )9s 4s ()s (D 2
2
=++++=*
）（
把ωj s =代入上方程，
令?????=ω-ω+=ω=++ω-ω=ω**
8)K 72())j (D Im(0K 28134))j (D Re(3
24
解得： ??
?=±=ω*
96
K
21
⑤ 起始角： π+=?-θ-
）（）（1k 29022901p
解出
135,4521p p -=θ=θ 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。 (1) )
1s (s )a s (4/1)s (G 2
++=
，0a >；(2) )
1Ts )(11s .0(s 6
.2)s (G ++=
，0T >
解 (1) 2
)
5.0s (s 4/a )s (G +=
'
① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞
② 渐近线：o
o a a 180603/1，
，±=?-=σ ③ 分离点：6/1d -= 根轨迹如图所示。
(2) 26
s 10s )10s (Ts )s (G 2
2
+++=
'
① 实轴上的根轨迹： )0(，-∞ ② 起始角终止角：
o
o p 1
1
o
180)90(5
1tg
)5
1tg
180
(2=+θ-+---
解得起始角o
p 7.78±=θ o
1
1
o z 180
)5
1tg
51tg (02=+--+θ--
解得终止角o z 90±=θ 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。
)
18s ()1s ()1s (k )s (H )s (G 2+-+=
*
解
① 实轴上的根轨迹： ]118[--， ② 分离点：22.4d 1-=，28.6d 2-=
③ 渐近线：5.7a -=σ，o a 90±=?
④ 与虚轴交点：j 86.1s 2,1±=，7.37k *=
根轨迹如图所示。
6.116k d *
1=处，6.117k d *
2=处，18/k k *
=
结论：53.6k 48.6<<时所有根为负实根，095.2k >时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：s
20s Ts 100)s (G 2
3
++=
作等效开环传递函数3
2
*
s
)
100s 20s (T 1)s (G ++=
根轨迹绘制如下： （注意：)T /1k *= ① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：
10
d 2d 3+=
解得30d -=。
根据幅值条件，对应的015.0T =。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为
0100s 20s
Ts
)s (D 2
3
=+++=
把ω=j s 代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?????=ω-ω=ω=ω-=ω0
T 20))j (D Im(0
100))j (D Re(3
2
解得： ?
??=±=ω2.0T 10
④ 起始角：?=θ601
p
参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)
从根轨迹图可以看出，当015.0T 0≤<时，系统阶跃响应为单调收敛过程；
2.0T 015.0<<时，阶跃响应为振荡收敛过程；2.0T >时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。
若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：
100
s 20s Ts
)s (G 2
3
++=
'
三条根轨迹中两条起于-10，一条起于∞-，均终止于原点
① 实轴上的根轨迹：]10,(--∞,[]0,10- ② 分离点：
10
d 2d 3+=
解得30d -=。
其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。
4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(0k *>)。
解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：[]2,-∞-,[]+∞-,1 ② 分离点：
1
d 12
d 3+=
+
解得 5.0d -=
③ 起始角：根据相角条件，
∑∑==π=θ
-
?
n
1
j j
m
1
i i
k 2
得 601p =θ， 602p -=θ，
1803p =θ。 根轨迹如图所示。
4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为)
2s (s )s 1(k )s (G +-=
*
，试绘制其根轨迹，并求出
使系统产生重实根和纯虚根的*k 值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制 0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： [],0,2- ),1[∞+； ② 分离点：
1
d 12
d 1d 1-=
++
解得：732.0d 1-= , 732.2d 2= 将732.0d s 1-==, 732.2d s 2==代入幅值条件得：
54.0K
1
d =*, 46.7K
2
d =*
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
0)s 1(K )2s (s )s (D =-++=*
把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?????=ω-=ω=+ω-=ω*
*
)K 2())j (D Im(0
K ))j (D Re(2 解得： ???==ω*0K 0
???=±=ω*
2
K 41
.1 根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的*K 为0.54，7.46，产生纯虚根的*K 为2。
1 第四章 根轨迹法习题及答案 1系统的开环传递函数为 ) 4)(2)(1()()(* +++=s s s K s H s G 试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)()(11s H s G =++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。将1s 代入幅值条件： 14 31231131)(* 11=++-?++-?++-= j j j K s H s G ）（ 解出 ： 12* =K ， 2 3 8*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2 解根轨如图解4-2所示： 3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 ) 20 )( 10 ( ) ( ) ( 2+ + + = * s s s z s K s G产生纯虚根为1j ±的z值和* K值； （2）概略绘出 )2 3 )( 2 3 )( 5.3 )(1 ( ) ( j s j s s s s K s G - + + + + + = * 的闭环根轨迹图（要求
3 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。 解（1）闭环特征方程 020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D 有 0)30()200()(3 2 4 =-++-=* * ωωωωωK j z K j D 令实虚部分别等于零即： ?????=-=+-**0 300 200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=* K ， 199=z 。 （2）系统有五个开环极点： 23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-== ① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1- ② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15 (21)3,,555a a j j k σπππ?π--+-++--?==-???+?==±±?? ③ 分离点： 02 312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D 把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： ?????=+-==-+=*0 5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3 52 4ωωωωωωωj K j 解得： ???==*00K ω ，???=±=*90.7102.1K ω，???-=±=*3 .1554652.6K ω（舍去） ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为 74..923..1461359096..751804=----=p θ 由对称性得，另一起始角为 74.92，根轨迹如图解4-6所示。
第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= '
28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2-
第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
自动控制原理课程设计题目及要求 一、单位负反馈随动系统的开环传递函数为 ) 101.0)(11.0()(++= s s s K s G k 1、画出未校正系统的Bode 图，分析系统是否稳定 2、画出未校正系统的根轨迹图，分析闭环系统是否稳定。 3、设计系统的串联校正装置，使系统达到下列指标 （1）静态速度误差系数K v ≥100s -1 ； （2）相位裕量γ≥30° （3）幅频特性曲线中穿越频率ωc ≥45rad/s 。 4、给出校正装置的传递函数。 5、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量K g 。 6、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 7、应用所学的知识分析校正器对系统性能的影响（自由发挥）。 二、设单位负反馈随动系统固有部分的传递函数为 ) 2)(1()(++= s s s K s G k 1、画出未校正系统的Bode 图，分析系统是否稳定。 2、画出未校正系统的根轨迹图，分析闭环系统是否稳定。 3、设计系统的串联校正装置，使系统达到下列指标： （1）静态速度误差系数K v ≥5s -1 ； （2）相位裕量γ≥40° （3）幅值裕量K g ≥10dB 。 4、给出校正装置的传递函数。 5、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量K g 。 6、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 7、应用所学的知识分析校正器对系统性能的影响（自由发挥）。 三、设单位负反馈系统的开环传递函数为 ) 2(4 )(+= s s s G k 1、画出未校正系统的根轨迹图，分析系统是否稳定。 2、设计系统的串联校正装置，要求校正后的系统满足指标： 闭环系统主导极点满足ωn ＝4rad/s 和ξ＝。 3、给出校正装置的传递函数。 4、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。计算校正后系统的穿越频率ωc 、相位裕量γ、相角穿越频率ωg 和幅值裕量Kg 。 5、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。
1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。 2． 函数f(t)=t e 63-的拉氏变换式是________________________________。 3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。 4． 在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。 四、控制系统结构图如图2所示。 （1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。 （2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。 （20分） 五、已知系统的结构图如图3所示。若()21()r t t =?时，试求 （1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。 （2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。 （3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分） 图3 六、系统结构图如图4所示。当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总 的稳态误差e ss 。 （15分） 图4 1、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面
3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。 9、已知单位反馈系统的开环传递函数 50 ( ) (0.11)(5) G s s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。 3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分) (1)该系统的开环传递函数) (s G k 、闭环传递函数 ) ( ) ( s R s C 和误差传递函数 ) ( ) ( s R s E 。 (2)若保证阻尼比0.7 ξ=和单位斜坡函数的稳态误差为0.25 ss e=，求系统参数K和τ。(3) 计算超调量和调节时间。 1、已知单位反馈系统的开环传递函数为 * ()() (2)(3) K G s H s s s s ，试绘制闭环系统的根轨迹，并判断使系统稳定的* K范围。 R(s)C(s) - 2 K s N(s) 1 K 5．图4 6．在二阶系统中引入测速反馈控制会使系统的开环增益________________。 7．已知单位反馈系统的开环传递函数 100 () (0.11)(5) G s s s = ++ ，则在斜坡信号作用下的稳态误差为________________。 8．闭环系统的稳定性只决定于闭环系统的________________。
课程设计任务书 院部名称机电工程学院 专业自动化 班级 M11自动化 指导教师陈丽换 金陵科技学院教务处制
摘要 MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。 此次课程设计就是利用MATLAB对一单位反馈系统进行滞后-超前校正。通过运用MATLAB的相关功能，绘制系统校正前后的伯德图、根轨迹和阶跃响应曲线，，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。学会使用MATLAB语言及Simulink动态仿真工具进行系统仿真与调试。 关键字：超前-滞后校正 MATLAB 仿真
1．课程设计应达到的目的 1. 掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。 2. 学会使用MATLAB 语言及Simulink 动态仿真工具进行系统仿真与调试。 2．课程设计题目及要求 题目： 已知单位负反馈系统的开环传递函数， 试用频率法设计串 联滞后——超前校正装置，使之满足在单位斜坡作用下，系统的速度误差系数1v K 10s -=，系统的相角裕量045γ≥，校正后的剪切频率 1.5C rad s ω≥。 设计要求： 1. 首先， 根据给定的性能指标选择合适的校正方式对原系统进行校正，使其满足工作要求。要求程序执行的结果中有校正装置传递函数和校正后系统开环传递函数，校正装置的参数T ，α等的值。 2.. 利用MATLAB 函数求出校正前与校正后系统的特征根，并判断其系统是否 稳 定 ， 为 什 么 ? 3. 利用MATLAB 作出系统校正前与校正后的单位脉冲响应曲线，单位阶跃响应曲线，单位斜坡响应曲线，分析这三种曲线的关系。求出系统校正前与校正后的动态性能指标σ%、tr 、tp 、ts 以及稳态误差的值，并分析其有何变化。 4. 绘制系统校正前与校正后的根轨迹图，并求其分离点、汇合点及与虚轴 交点的坐标和相应点的增益K *值，得出系统稳定时增益K * 的变化范围。绘制系 统校正前与校正后的Nyquist 图，判断系统的稳定性，并说明理由。 5. 绘制系统校正前与校正后的Bode 图，计算系统的幅值裕量，相位裕量，幅值穿越频率和相位穿越频率。判断系统的稳定性，并说明理由。 ()(1)(2) K G S S S S = ++
第一章绪论 1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答：1开环系统 (1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。用于系统输入信号及扰动作 用能预先知道时，可得到满意的效果。 (2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化， 外来未知扰动存在时，控制精度差。 2 闭环系统 ⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。 它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 ⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。 解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由1-1中的描述的闭环系统的优点所证 明。例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉 子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？ （1） （2） （3） （4） （5）
（6） （7） 解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变 （4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常 （7）线性定常 1-4如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。 试说明该系统的工作原理并画出其方框图。 题1-4图水位自动控制系统 解答： (1) 方框图如下： ⑵工作原理：系统的控制是保持水箱水位高度不变。水箱是被控对象，水箱的水位是被控量，出水流量Q2的大小对应的水位高度是给定量。当水箱水位高于给定水位，通过浮子连杆机构使阀门关小，进入流量减小，水位降低，当水箱水位低于给定水位时，通过浮子连杆机构使流入管道中的阀门开大，进入流量增加，水位升高到给定水位。 1-5图1-5是液位系统的控制任务是保持液位高度不变。水箱是被控对象，水箱液位是被控量，电位器设定电压时（表征液位的希望值Cr）是给定量。
第四章 根轨迹分析法习题 4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1 )(+= s K s G r ，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解：1-s 01s 0r =?=+=时，K 2-s 02s 1r =?=+=时，K 3-s 03s 2r =?=+=时，K …… -2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。 4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1() 5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2 ) 1()(+=s s K s G r ， 解：（2） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线： ? ±=±=-+±= -=----= 902 )12(, 75.12 )5.1(410)2( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 6 .05.1141111-=+= ++++d d d d d 试探法求得 （3） 1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：
±=-+±= -=--= 3 )12(,3 2 3110)3( π π?σm n k a a 夹角交点条渐近线 4）分离点和会合点 3 1 01 21- =?=++d d d 5）与虚轴交点：22 3++s s 4-5 系统的开环传递函数为) 1() 2()(++= s s s K s G r ， (1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点； (2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。 解： （1） 1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点 .3,586.02 11112 1 -=-=?+= ++d d d d d （2）系统特征方程为02)1(r r 2 =+++K s K s 2j 2322 122 ,1r r ±-==-=+-=- s K K a b ，，得：由0 1 23 s s s s r 2K -r 21 1K r K j ,20 2r r ±==?=-s K K
课程设计报告 (2014--2015年度第一学期) 名称：《自动控制理论》课程设计 题目：基于自动控制理论的性能分析与校正院系：自动化 班级：自动化 学号： 学生姓名： 指导教师： 设计周数：1周 成绩： 日期：2015年1月9日
目录 第一部分、总体步骤 (3) 一、课程设计的目的与要求 (3) 二、主要内容 (3) 三、进度计划 (4) 四、设计成果要求 (4) 五、考核方式 (4) 第二部分、设计正文 (5) 一控制系统的数学模型 (5) 二控制系统的时域分析 (9) 三控制系统的根轨迹分析 (15) 四控制系统的频域分析 (19) 五控制系统的校正 (22) 六非线性系统分析 (38) 第三部分、课程设计总结 (40)
第一部分、总体步骤 一、课程设计的目的与要求 本课程为《自动控制理论A》的课程设计，是课堂的深化。设置《自动控制理论A》课程设计的目的是使MATLAB成为学生的基本技能，熟悉MATLAB这一解决具体工程问题的标准软件，能熟练地应用MATLAB软件解决控制理论中的复杂和工程实际问题，并给以后的模糊控制理论、最优控制理论和多变量控制理论等奠定基础。作为自动化专业的学生很有必要学会应用这一强大的工具，并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能，以达到加深对课堂上所讲内容理解的目的。通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担中解脱出来，而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去。 通过此次计算机辅助设计，学生应达到以下的基本要求： 1.能用MATLAB软件分析复杂和实际的控制系统。 2.能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求。 3.能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM工具箱和SIMULINK仿真软件，分析系统的性能。 二、主要内容 1．前期基础知识，主要包括MATLAB系统要素，MATLAB语言的变量与语句，MATLAB的矩阵和矩阵元素，数值输入与输出格式，MATLAB系统工作空间信息，以及MATLAB的在线帮助功能等。 2．控制系统模型，主要包括模型建立、模型变换、模型简化，Laplace变换等等。 3．控制系统的时域分析，主要包括系统的各种响应、性能指标的获取、零极点对系统性能的影响、高阶系统的近似研究，控制系统的稳定性分析，控制系统的稳态误差的求取。 4．控制系统的根轨迹分析，主要包括多回路系统的根轨迹、零度根轨迹、纯迟延系统根轨迹和控制系统的根轨迹分析。 5．控制系统的频域分析，主要包括系统Bode图、Nyquist图、稳定性判据和系统的频域响应。 6．控制系统的校正，主要包括根轨迹法超前校正、频域法超前校正、频域法滞后校正以及校正前后的性能分析。 三、进度计划
4.1某系统的结构如题4-1图所示，试求单位阶跃响应的调节时间t s ，若要求t s =0.1秒，系统的反馈系数应调整为多少？ 解:(1)由系统结构图可知系统闭环传递函数为: 100 ()100()1001()()1001*G s s s G s H s s a a s Φ=== +++ 在单位阶跃函数作用下系统输出为： 12100 ()()()(100)100k k C s R s s s s a s s a =Φ= =+++ 为求系统单位阶跃响应，对C(s)进行拉斯反变换： 10 21001001001001 lim ()lim 1001001 lim (100)()lim 11 ()(100)1 ()(1) s s s a s a at k sC s s a a k s a C s s a C s as a s a c t e a →→→-→--=== +=+==- =- +=- 根据定义调节时间等于响应曲线进入5%误差带，并保持在此误差带内所需要的最短时间，且根据响应系统单位阶跃响应的函数表达式可以看出系统单位阶跃响应的稳态值为 1 a ,因此: 10010011()(1)0.950.051 ln 20 1001 =0.1ln 20=0.3s 10 s s at s at s s c t e a a e t a a t --= -=?=?== 因为题中，所以 (2)若要求t s =0.1秒,则有: 1 ln 20=0.1 100=0.3s t a a = ? 即:若要求调节时间缩小为0.1秒,则需将反馈环节的反馈系数调整为0.3。
4.2已知二阶系统的阶跃响应曲线如题4.2图所示，该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。 解：根据系统阶跃响应曲线可以看出： 峰值时间=0.1s p t ，超调量 1.3-1 %= 100%30%1 σ?=； 根据课本中对典型二阶系统222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++暂态性能指标的推导计算可知： %p t e σ-= =结合本题已知阶跃响应曲线可知： 0.1(1)%30% (2) p t e σ-= === 由式(2)可知： 0.3ln 0.30.3832 cot =0.3832 =arccot 0.3832=69.0332=cos =0.3578 e ζ?ζ?ζ?-=?-=?= =即： 将ζ带入式(1)中可得： 0.1 p n t ω= = 回顾题意对于典型二阶系统其闭环传递函数为222 ()2n n n s s s ωζωωΦ=++，且系统为单位负反馈系统，所以系统开环传递函数和闭环传递函数之间满足如下关系： 2222 2 22 2 2211 ()()121211211131.8851 ===224.0753n n n n n n n n n G s s s s G s s G s s G G s s s s ωζωζωωωζωωωζωΦ==Φ==+++++++++，因为：所以：，
西安石油大学 课程设计 电子工程学院自动化专业 1203班题目根轨迹法校正的设计 学生郭新兴 指导老师陈延军 二○一四年十二月
目录 1. 任务书．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 2．设计思想及内容．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3．编制的程序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 3.1运用MATLAB编程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 3.2由期望极点位置确定校正器传递函数．．．．．．．．．．．4 3.3 校正后的系统传递函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 4．结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 5．设计总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 6．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
《自动控制理论》课程设计任务书
2.设计内容及思想 ： 1) 内容：已知单位负反馈系统被控对象传递函数为： ) 25(2500 )(0 0+=s s K s G ，试用根轨迹几何设计法对系统进行滞后串联校正 设计，使之满足： （1）阶跃响应的超调量：σ%≤15%； （2）阶跃响应的调节时间：t s ≤0.3s ； （3）单位斜坡响应稳态误差：e ss ≤0.01。 2）思想： 首先绘出未校正系统得bode 图与频域性能，然后利用MATLAB 的SISOTOOL 软件包得到系统的根轨迹图，对系统进行校正，分析系统未校正前的参数，再按题目要求对系统进行校正，计算出相关参数。最后观察曲线跟题目相关要求对比看是否满足要求，并判断系统校正前后的差异。 3 编制的程序： 3.1运用MATLAB 编程： 根据自动控制理论，对 I 型系统的公式可以求出静态误差系数 K 0=1。再根据要求编写未校正以前的程序 %MATLAB PROGRAM L1.m K=1; %由稳态误差求得； n1=2500;d1=conv([1 0],[1 25]); %分母用conv 表示卷积；
第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 自动控制原理综合实验 一．实验目的 1．掌握连续系统的根轨迹法校正设计过程 2．掌握用根轨迹法设计校正装置的方法，并用实验验证校正装置的正确性 3．了解MATLAB 中根轨迹设计器的应用 4．了解零点和极点对一个系统的影响 二．实验内容 设控制系统为单位负反馈系统，开环传递函数为： ()(20)(5) K G s s s s =++ 试用根轨迹法设计串联超前校正装置，使校正后系统满足：期望开环放大系数K ≥18，0.4s t s ≤ ,%25%σ≤。 三．实验步骤 （1）用鼠标双击MATLAB 图标，进入MATLAB 命令窗口：“Command Window ”. (2)在“Command Window ”中键入以下程序： clear; num1=[1 ]; den1=conv([1 0],conv([1 20],[1 5])); Gk=tf(num1,den1); rltool(Gk) 得到如图1所示的开环的根轨迹图形，图1中红色正方形是k ＝1时闭环系统的极点。 图1 （3）选择Analysis—other loop repsonses点击后如图2所示 图2 图2的设置，表示要观察闭环系统的单位阶跃输入的时域响应曲线。 选择STEP后在右边的Closed-loop下面的r to y打钩，按OK.观察系统的阶跃响应，如图3所示 图3 （4）引入设计规则：添加设计条件，在根轨迹上建立期望极点区域。在图4的菜单项中，点击Edit>>Root Locus>>Design Constrains>>New，得图5。 图4 在图4所示的界面上设置调节时间。设置完毕，点击OK，得图5。 东北大学秦皇岛分校自动化工程系自动控制系统课程设计 根轨迹串联超前校正 专业名称自动化 01 班级学号50801 5080101 学生姓名 指导教师 设计时间2020111111..6.2.277~20 ~20111111..7.8 目录 摘要 (1) 1.绪论 (3) 1.1课题概述 (3) 1.2根轨迹法超前校正简介 (3) 1.3课题研究的目的和意义 (4) 1.4本课题研究的主要内容 (4) 2.系统校正 (5) 2.1已知条件及要求 (5) 2.2对系统进行分析 (5) 2.2.1当串联一个零点时 (7) 2.2.2串联一个具有零点性质的零极点对 (8) 2.2.3串联一个具有两个零点，一个极点的控制器时 (9) 2.2.4当串联具有零点性质的两个极点，一个零点的控制器时 (10) 2.2.5串联更复杂的具有零点性质的控制器 (11) 3.总结 (13) 4.致谢 (13) 5.参考文献 (14) 摘要 根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。 利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。 是否采用超前校正可以按如下方法进行简单判断：若希望的闭环主导极点位于校正前系统根轨迹的左方时，宜用超前校正，即利用超前校正网络产生的相位超前角，使校正前系统的根轨迹向左倾斜，并通过希望的闭环主导极点。 用根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为： 1)根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环 增益和闭环主导极点的位置。 2)画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左 侧，以确定是否应加超前校正装置。 3)根据题目要求解出超前校正网络在闭环主导极点处应提供的相位超前 角。 4)根据图解法求得G c(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。 5)画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。 本文在进行根轨迹超前校正时应用了MATLAB，MATLAB的根轨迹方法允许进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点。早期超前校正器的设计往往依赖于试凑的方法，重复劳动多，运算量大，又难以得到满意的结果。MATLAB作为一种高性能软件和编程语言，以矩阵运算为基础， 课程设计报告 ( 2013-- 2014 年度第 1 学期) 名称：《自动控制理论》课程设计 题目：基于自动控制理论的性能分析与校正院系：自动化系 班级： 学号： 学生姓名： 指导教师：孙建平 设计周数：1周 成绩： 日期：2014 年 1 月3 日 一、课程设计的目的与要求 本课程为《自动控制理论A》的课程设计，是课堂的深化。设置《自动控制理论A》课程设计的目的是使MATLAB成为学生的基本技能，熟悉MATLAB这一解决具体工程问题的标准软件，能熟练地应用MATLAB软件解决控制理论中的复杂和工程实际问题，并给以后的模糊控制理论、最优控制理论和多变量控制理论等奠定基础。作为自动化专业的学生很有必要学会应用这一强大的工具，并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能，以达到加深对课堂上所讲内容理解的目的。通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担中解脱出来，而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去。 通过此次计算机辅助设计，学生应达到以下的基本要求： 1.能用MATLAB软件分析复杂和实际的控制系统。 2.能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求。 3.能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM 工具箱和SIMULINK仿真软件，分析系统的性能。 二、主要内容 1．前期基础知识，主要包括MA TLAB系统要素，MA TLAB语言的变量与语句，MATLAB 的矩阵和矩阵元素，数值输入与输出格式，MATLAB系统工作空间信息，以及MA TLAB的在线帮助功能等。 2．控制系统模型，主要包括模型建立、模型变换、模型简化，Laplace变换等等。 3．控制系统的时域分析，主要包括系统的各种响应、性能指标的获取、零极点对系统性能的影响、高阶系统的近似研究，控制系统的稳定性分析，控制系统的稳态误差的求取。 4．控制系统的根轨迹分析，主要包括多回路系统的根轨迹、零度根轨迹、纯迟延系统根轨迹和控制系统的根轨迹分析。 5．控制系统的频域分析，主要包括系统Bode图、Nyquist图、稳定性判据和系统的频域响应。 6．控制系统的校正，主要包括根轨迹法超前校正、频域法超前校正、频域法滞后校正以及校正前后的性能分析。 三、设计正文 1，控制系统模型： 习题 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A) A *(2)(1)K s s s -+ B *(1)(5)K s s s -+ C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2) K s s s -- 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A) A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 * ()()(6)(3)K G s H s s s s = ++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)； (2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。 解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。 系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为 ()()36 33a σ-+-==-，() (0) 321 (1)3 (2)3 a k k k k π ?ππ ?=?+?===???-=? 求分离点方程为 111036 d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。显然分离点位于实轴上 []3,0-间，故取2 1.268d =-。 求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为 32*()9180D s s s s K =+++= 令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有 [][]2* 3 Re (j )(j )190 Im (j )(j )1180 G H K G H ωωωωωωω?+=-+=??+=-+=?? 解之得 *00K ω=??=? 、*162 K ω?=±??=?? 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第 三个闭环极点可由根之和法则求得 1233036λλλλ--=++=+ 解之得39λ=-。即当*162K =时，闭环系统的3 个特征根分别为1λ= 、 2λ=-39λ=-。系统根轨迹如图所示。自动控制原理课程设计--根轨迹法
根轨迹串联超前校正
自动控制原理课程设计
根轨迹分析法 参考答案
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