第一篇线性系统理论
尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础．
众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。
本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。
第一章状态空间分析法
经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。
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由于60年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，需处理多输入-多输出、时变、非线性等方面的问题，加之数字计算机技术的卓越成果，有可能对这些复杂系统进行分析设计和实时控制，于是推动了状态空间分析设计方法的形成和发展．运用状态空间描述系统，是现代控制理论的重要标志，它弥补了用传递函数描述系统的许多不足之处，诸如传递函数对于处在系统内部的中间变量不便描述，甚至对某些中间变量还不能够描述，忽略了初始条件的影响。对于利用系统内部的状态信息来改善系统性能的研究所受到的限制等．系统的状态空间数学模型已成为所有现代控制系统的最基本的数学模型。至于传递函数在现代控制理论及系统中的应用仍是相当广泛的，它与状态空间方法互补，推动着现代控制理论的发展及现代控制系统的设计。 §1.1 状态空间描述的基本概念
状态和状态变量 系统运动信息的集合称为状态。但信息（状态）要用变量
来表征．通常所说的状态变量是指：能够唯一确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量。
众所周知，一个用n 阶微分方程
)()()()()(01)1(1)(t u t x a t x
a t x a t x a n n n n =++++-- (1-1) 描述的系统，当n 个初始条件)(,),(),(0)1(00t x t x
t x n - 及0t t ≥的输入u （t ）给定时，可唯一确定系统将来的状态，故)(,),(),()1(t x t x
t x n - 这n 个独立变量是一组状态变量．对于确定系统动态行为来说，一组独立的状态变量既是必要的，也是充分的。当变量个数少于n ，便不足以确定系统状态；当变是个数多于n ，必有不独立变量，对于确定系统状态是冗余的。至于0t 时刻的状态，则表示0t 以前的系统运动的历史总结，故常称状态是对系统过去、现在和将来行为的描述，通常假定00=t 。
把初始条件作为状态变量是一种常用的状态变量选择方法，但也可用另外一组数目最少的变量作为状态变量， 选择状态变量时，应特别优先考虑在物理
- 3 -
上可量测的量作为状态变量，如机械系统中的转角、位移和它们的速度，电路系统中的电感电流及电容器端电压等，这对构造实际系统会带来方便。状态变量的选取不是唯一的。通常给状态变量赋以一般记号)(,),(),(21t x t x t x n 。
除状态变量外，描述控制系统的变量还有输入变量和输出变量。输入变量是所研究的系统之外的某一系统给出的，它作用于被研究的系统，对系统的运动施加影响。输出变量是所研究的系统可以感知、测量和与控制目的有关的量。 状态向量 把描述系统状态的n 个状态变量)(,),(),(21t x t x t x n 看作向量x(t)的分量，则x （t ）称为n 维状态向量，记以T n t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =，上标T 为转置记号。给定0t 时的初始状态向量)(0t x 及0t t ≥的输入向量u （t ），则的状态由状态向量x （t ）唯一确定。
状态空间 以n 个状态变量作为坐标轴所构成的空间称为n 维状态空间。系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点表示；二阶系统的状态可由1x 轴、2x 轴组成的状态平面
（即相平面）中的一点表示；三阶系统的状态可由1x 轴、2x 轴、3x 轴组成的三维状态空间中的一点表示；n 阶系统的状态可由1x 轴、…、n x 轴组成的n 维状态空间中的一点表示；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量的关系称为状态方程。n 阶系统的状态方程是n 个联立的一阶微分方程或差分方程。由于所选状态变量不同，于是状态方程也不同，故系统的状态方程也是不唯一的。 要求状态方程中不含有输入变量的导数项。这是由于输入变量按阶跃或分段连续变化时，其导数必存在脉冲函数，使状态轨迹出现跃变，从而破坏确定系统状态的唯一性．一般许多实际系统的微分方程中是含有输入导数项的，这时需通过状态变量的适当选取，使导出的状态方程中不含有输入导数项。 单输入线性定常连续系统的状态方程一般表达式为
- 4 -
???
?
?+++=+++=)
()()()()()()()(11111111t u b t x a t x a t x
t u b t x a t x a t x n n nn n n n n (1-2) 式中常系数n nn b b a a ,,;,,111 与系统特性有关。记成向量-矩阵形式为
)()()(t bu t Ax t x
+= (1-3) 式中
????????????=???
??
?
??????=????????????=?
????
?
??????=????????????=n n n n nn n n n n x
x x
x
u u u u x x x x b b b b a a a a a a a a a A 212121212
1
22221
11211
A 称为n 阶系统矩阵（状态阵，系数矩阵），b 称为输入矩阵（对于单输入情况，b 为列向量）。
多输入（含p 个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为（省略符号t ）。
???
?
?+++++=+++++=)
()()()()()()()()()(1111111111111t u b t u b t x a t x a t x
t u b t u b t x a t x a t x
p np n n nn n n p p n n (1-4) 其向量-矩阵形式为
)()()(t Bu t Ax t x
+= (1-5) 式中B 为（n ?p ）输入矩阵，有
?????????????
?=?
?
??
??
??????=?
?
??
???????
??
?=?
??
??
???????=p n np n n p p nn n n n n u u u u x x x x b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A
2
1212
122221
112112
1
22221
11211
输出方程 系统输出变量与状态变量、输入变量的关系称为输出方程，它是一组代数方程，其输出变量通常是由系统任务确定的。单输入单输出线性定常连续系统的输出方程一般表达式为
- 5 -
)()()()(11t du t x c t x c t y n n +++= (1－6)
式中d c c n ,,,1 与系统特性有关。其向量——矩阵形式为
)()()(t du t cx t y += (1-7)
式中[]n c c c 1=称为输出矩阵（对于单输出情况，c 为行向量），d 为直接联系输入变量与输出变量的前向传递系数，又称前馈系数．
多输入-多输出（含q 个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达式为（省略符号t ）
???
?
?+++++=+++++=)
()()()()()
()()()()(1111111111111t u d t u d t x c t x c t y t u d t u d t x c t x c t y p qp q n qn q q
p p n n (1-8) 其向量-矩阵形式为
)()()(t Du t Cx t y += (1-9)
式中
??
????
?
???????=???????????
???=??
??
??
?
????
???=??????????????=p qp q q p p qn q q n n q u u u u d d d d d d d d d D c c c c c c c c c C y y y y 212
1
22221
11211
2
1
22221
11211
21 C 为（q ?n ）输出矩阵，D 为（q ?p)前馈矩阵。
状态空间表达式 状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入-输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。单输入-单输出系统动态方程一般形式为
)()()(t bu t Ax t x
+= , )()()(t du t cx t y += (1-10) 式中x 为n 维状态向量，u 与y 为标量，A 为n 阶方阵，b 为(n ?l ）向量，c 为（1*n ）向量，d 为标量．
多输入-多输出系统动态方程一般形式为
)()()(t Bu t Ax t x
+= , )()()(t Du t Cx t y += (1-11)
式中x为（n?1）向量，u为（p?1）向量，y为（q?1）向量，A为n阶方阵，B 为（n?p）矩阵，C为(q?n）矩阵，D为（q?p）矩阵．由于A、B、C、D完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统（A、B、C、D）。
当采用向量-矩阵形式表示系统时，应注意根据矩阵相乘、相加的运算法则，熟练进行向量、矩阵的维数分析。至于单输入-多输出以及多输入-单输出系统的动态方程及向量、矩阵的维数分析，大家自己导出来，动态方程的结构图表示见图1-1，各方块的输入、输出关系规定为
输出向量=（方块所示矩阵）X（输入向量）
注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
图1-1 动态方程的结构图表示
状态空间分析法以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；在分析控制系统时可以考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；将一阶微分方程组写成向量矩阵方程，数学描述简化，便于计算。适于描述多输入-多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、系统辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。
§1.2 线性定常连续系统动态方程的建立
实际物理系统动态方程的建立，通常是根据所含元件遵循的物理、化学定律例写其微分方程，选择可以量测的物理量作为状态变量来导出的，它能反映系
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- 7 -
统的真实结构持性，故动态方程可由诸元件的微分方程组或传递函数结构图演化而来，不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。由于系统微分方程或传递函数也是一种线性定常连续系统的通用数学模型，当其已知时，可按规定方法导出典型形式的动态方程，便于建立统一的研究理论，并揭示系统内部固有的重要结构特性。下面来分别加以研究。 一、物理系统动态方程的建立 结合举例来说明。
例1－1 设机械位移系统如图l －2所示。力F 及阻尼器汽缸速度v 为两种
外作用，给定输出量为质量块的位移x 及其速度x
、加速度x 。图中m 、k 、f 分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。
图1-2双输入一三输出机械位移系统
解：据牛顿力学，外力由惯性力x m
、阻尼力)(v x f - 、弹簧恢复力kx 平衡，故有
F kx v x f x
m =+-+)( 显见为二阶系统。若已知质量块伪初始位移及初始速度，该微分方程在输入作
用下的解便唯一确定，故选x 和x
作为状态变量。设x x x x ==21,，三个输出量为x
y x y x y ===321,,，可由微分方程导出下列动态方程：
])([1
])([1
123221112221F kx v x f m
y x y x y F kx v x f m
x x x x +---=
==+---===
其向量-矩阵形式为
)()()(t Bu t Ax t x
+= , )()()(t Du t Cx t y += 式中
?
??
??
?
??????=????????????--=????
??????=???
?
????=????
????--=?
?????=??
????=m f m D m f m k C y y y y m f m B m f m k
A v F u x x x 1000010011
0010
32121
状态变量图 将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个
一阶微分方程的左端诸项之和，构成了状态变量的导数。经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图，它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构．状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线，积分器的输出均为状态变量．输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。例1-1的状态变量图见图1-3，图中s 为拉普拉斯算子。
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图1-3 例1-1的状态变量图
例1-2 试列出图1-4所示LRC 串联回路的状态方程和输出方程。
图1-4 LRC 串联电路
解 在回路的电流和电压间有下面关系式
)()(1
)()(1
)()(t e dt t i C t e dt t i C
t Ri dt t di L
C i ?
?==++
现在把这个电路当作一个系统来研究。令)(t e i 为输入变量，)(t e C 为输出变量，并选择)()()(t i dt t i t q 和?=为状态变量。则
)()()()()()()()()()(21t i t q
t x dt t i t q t x t e t y t e t u C i ======?
根据上面的回路方程可得
- 10 -
)(1
)()(1
)()(1)()()(121221t x C
t y t u L
t x L R t x LC t x t x t x =
+--== 用向量-矩阵形式表示这些关系时，有
?
?
??????????=????????+??????????????--=??????)()(01)()(10)()(110)()(2121
21t x t x C t y t u L t x t x L R LC t x t x 系统的状态方程和输出方程分别为
)
()()()()(t x c t y t bu t Ax t x
T
=+=
式中
???
?????=????
????=????????--=?
?
?
???=01101
10)()()(21C c L b L R LC
A t x t x t x 如果把R 两端的电压)(t e R 也作为输出量，令
)
()()()(21t e t y t e t y C R ==
则输出方程为
???
??????
?????=??????)()(010
)()(2121t x t x C R t y t y 二、由系统微分方程或传递函数建立动态方程
例1-3 试求出用三阶微分方程
)()()()()(t u t dx t x c t x
b t x a =+++ 表示的系统的状态方程。
解 选择系统的状态变量为
- 11 -
)()()()()()()
()(23121t x
t x t x t x t x
t x t x t x ===== 采用这组状态变量后，原来的方程可改写成
)()()()()(1233t u t dx t cx t bx t x
a =+++ 经过整理，可得状态方程为
)(1
)()()()()()()()(12133221t u a
t x a b t x a c t x a d t x
t x t x t x t x
+---===
其向量-矩阵形式为
)()()(t bu t Ax t x
+= 式中
???
??
???????=??
??????????---=a b a b a
c a
d A 100100
010
例1-4设系统数学模型由图1－4所示传递函数结构图给定，试确定系统的状态空间表达式．
图l-4 例1-4数学模型
解：由经典控制理论已知，系统通常由典型环节组成，它们均是一阶、二阶
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或常系数。为了由传递函数结构图导出的状态方程右边不含导数项，需对一阶、二阶微分环节及振荡环节进行一定的处理，使传递函数结构图简化为只含比例、积分、惯性环节的图形。对于本例有
c
s k c s c d c s d s ++=+-+=++?
111 c d k -=1 对振荡环节可首先化为标准形式，即
000
0120012
)(K s G a k a s a s a a s a s k ?
=?++=++ 式中
00
120
0)(a k K a s a s a s G =
++=
而)(0s G 可看作是一个单位反馈、开环传递函数为G （S ）的闭环传递函数，有
1
010001
)()(1)()(a s s a a s s a s G s G s G +?
=+=-=
故传递函数结构图可变换为图1-5。
图1-5 例l －2传递函数结构图的变换
令所有积分环节、惯性环节的输出为状态变量，且任意假定状态变量的序号（本例所取序号见图1－5），由信号传递关系可得
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)
()()]
()()([1
)()]()([)()(1
)(1144131300
221
1s x c
s k
s x s x s x s u b s s x s x s x K s a s x s x a s s x ?+=--+=-=
?+= 可化为
)
()()()()()()()()
()()()()()(4114431331022111s cx s x k s sx s u s x s bx s x s sx s kx s x a s sx s x s x a s sx -=+---=+-=+-=
取拉氏反变换可得状态方程
)()()()()()()()()()()()()()(4114431331022111t cx t x k t x
t u t x t bx t x t x
t kx t x a t x
t x t x a t x
-=+---=+-=+-=
由图1－4可见其输出方程为
)()(1t x t y =
其向量-矩阵形式为
[]x
y u x x x x c k b k a a x x x x 00010100001010000143211014321=????????????+????????????????????????------=???????????? 三、由微分方程或系统传递函数建立标准形动态方程
这里先研究单输入-单输出系统，其它留在传递函数矩阵的实现一节中研
究．对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性。称此动态方程是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其动态方程也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义。从传递函数组成上可看到存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求
- 14 -
得的动态方程中，状态变量数目最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需积分器个数最少，故有最小实现之称。
设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：
u u
u
u
y a y a y a y a y n n n n n n n n n 01)
2(2)
1(101)2(2)1(1)(ββββ++++=+++++-------- (1-12)
式中y 为系统输出量，u 为系统输入量，对任何物理系统其u 的导数幂次小于y 的导数幂次。其系统传递函数G(s)为
12211012211)()
()()()(a s a s a s a s s s s s u s y s D s N s G n n n n n n n n n +++++++++=
==--------?
ββββ (1-13) 下面来分别研究几种常见的典型实现方式。
1 可观测标准形实现
式(1-12)所示微分方程含有输入导数项，为使状态方程中不含输入导数项，可如下选择一组状态变量，设
1
,,2,11-=-+==+n i u y a x
x y
x i i i i n β (1-14)
其展开式为
u
y a u y a u y a y u y a x
x u y a u y a u y a y u y a x
x u y a u y a y u y a x x u y a y u y a x
x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 11)3(2)3(2)2(1)2(1)1(112122)4(2)4(2)3(1)3(1)2(22322211221211111βββββββββββββ-++-+-+=-+=-++-+-+=-+=-+-+=-+=-+=-+=-------------------------------
有
u y a u y a u y a y x
n n n n n n n n n 11)2(2)2(2)1(1)1(1)(1βββ-++-+-+=-------- 考虑式（1-12）可得
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u x a u y a x
n 00001ββ+-=+-= 故有状态方程
u x a x x
u x a x x
u x a x x
u x a x
n n n n n n n n n n n n 11122211112001-------+-=+-=+-=+-=ββββ
(1-15)
输出方程为
n x y =
其向量-矩阵形式为
cx y bu Ax x
=+=, (1-16) 式中
[]100100
010
0010
00
32112101210 =?????
??
?
????????=??
?
?
?
???
????????=????????????????----=--c x x x x x b a a a a A n n n ββββ
请大家注意矩阵A 、c 的形状特征。若动态方程中的A 、c 具有该形式，便有可观测标准形之称，由式（1-12）导出式（1－16）所示动态方程，称可观测标准形实现。
2 可控标准形实现
将式（1－12）所示传递函数G （s ）分解为两部分相串联，并引入中间交量z （s ），见图1-6，
- 16 -
由第一个方块可导出以u 作为输入、z 作为输出的不含输入导数项的微分方程，由第二个方块可导出系统输出量可表为z 及其导数的线性组合，即
z z
z
z
y u z a z a z a z a z n n n n n n n n n 01)
2(2)
1(101)2(2)1(1)(ββββ++++==+++++-------- (1-17)
定义如下一组状态变量
)1(321,,,,-====n n z x z
x z x z x (1-18)
可得状态方程
u
x a x a x a u z a z a z a x
x x x x
n n n n n +----=+----===---12110)1(1103221
(1-19)
输出方程为
n n x x x y 12110-+++=βββ (1-20)
其向量矩阵形式为
cx y bu Ax x
=+=, (1-21)
式中
[]110
121121
100010
00010
00010
---=?????
??
?
????????=??
???
???
????????=????????????????----=n n n n c x x x x x b a a a a A βββ
请大家注意矩阵A 、b 的形状特征，这种A 阵称友矩阵.若状态方程中的A 、b 具有该形式，便有可控标准形之称，由式（1-12）导出式（1-21）所示动态方程，称可控标准形实现。
注意到可控、可观测两种标准形实现动态方程中两矩阵存在下列关系。
- 17 -
T
o
c T o c T o c b c c b A A ===,, (1-22) 式中下标c 表示可控标准形，o 表示可观测标准形，T 为转置记号。式（1-22）所示关系称为对偶关系。两种实现中的A 、b 、c 矩阵，其元素均与微分方程或传递函数中的常系数有关，故由微分方程或传递函数可直接列写出可控、可观测标准形实现的动态方程。
3 G （s ）的对角形实现
当G （s ）只含相异实极点时，除了可化为可控、可观测标准形实现以外，还可以化为对角形实现，其A 阵是一个对角阵。设D （s ）的因式分解为
)())(()(21n s s s s D λλλ---= (1-23)
式中n λλ,,1 为系统的相异实极点，则G （s ）可展开成部分分式之和，即
∑=-===n
i i
i s c s D s N s u s y s G 1)()
()()()(λ (1-24)
式中
i
s i i s s D s N c λλ=??????-?=)()()( (1-25)
i c 为极点i λ的留数。故有
)()(1s u s c s y n
i i
i
∑
=-=λ (1-26) 若令状态变量i x 为
)(1
)(s u s s x i
i λ-=
，i=1,2,…,n. (1-27) 其拉氏反变换结果有
∑==+=n
i i i i i i t x c t y t u t x t x
1
)()(),()()(λ (1-28) 展开可得
- 18 -
)()()()()()()()()(222111t u t x t x
t u t x t x
t u t x t x
n n n +=+=+=λλλ
(1-29)
)()()()(2211t x c t x c t x c t y n n +++= (1-30)
其向量-矩阵形式为
cx y bu Ax x
=+=, (1-31)
式中
[]n n c c c c b A
212
11110
0=?????
???????=?????????
???=λλλ
4 G （s ）的约当形实现
当G （s ）不仅含有相异实极点，还含有相同实极点时，除了可化为可控、可观测标准形实现以外，还可化为约当形实现，其A 阵是一个含约当块的矩阵．设D （s ）的因式分解为
)()()()(11n k k s s s s D λλλ---=+ (1-32)
式中1λ为k 重实极点，n k λλ,,1 +为相异实极点，则G （s ）可展成下列部分分式之和，即
∑+=--+-++-+-===n
k i i
i k k k s c s c s c s c s D s N s u s y s G 1111112111)()()()
()()()(λλλλ (1-33) 式中
k
i s s D s N ds d i c n k i s s D s N c s k i i i i s i i i
,,2,1))()()(()!1(1.
,,1)()()(1
11
1 =?
?????-??-=+=?
??
???-?==--=λλλλ (1-34)
- 19 -
并且
)()()()()()()(1111
112
111s u s c s u s c s u s c s u s c s y n
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i k k k ∑+=--+-++-+-=λλλλ (1-35) 取状态变量i x 1及i x 为
.
,,1)
(1
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(1)(111n k i s u s s x k j s u s s x i
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-+λλ (1-36)
则
∑∑+==+
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1
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t u t x t x
t u t x t x
t x t x t x
t x t x t x
t x t x t x
n n n k k k k k k k k +=+=+=+=+=+=+++--λλλλλλ
(1-38)
)()()()(11111111t x c t x c x c t x c t y n n k k k k +++++=++ (1-39)
其向量-矩阵形式为
cx y bu Ax x
=+=, (1-40)
式中
- 20 -
??????????
?
???????????=??
????????????????????=????????????????
?????
?=++n k k T n k c c c c c c b A
1112111
1
1
11110001
101
λλλλλ
以上四种实现方式是式（1-12）或式（1－13）的常见的典型实现方式．当系统传递函数G （s ）为
12
2110
12211)()()(a s a s a s a s b s b s b s b s b s u s y s G n n n n n
n n n n n n ++++++++++==-------- (1-41) 应用综合除法有
)()
()()()(0
12211012211s D s N b a s a s a s a s s s s b s u s y s G n
n n n n n n n n n n +=++++++++++==?-------- ββββ (1-42) 式中n b 是直接联系输入、输出量的前馈系数，)
()
(s D s N 是严格有理真分式，其系数由综合除法得
??????
?-=-=-=---n
n n n n
n
b a b b a b b a b 111111000βββ (1-43) 其动态方程为
u b cx y bu Ax x
n +=+=, (1-44) 式中A 、b 、c 由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项u b n 。 以上各种实现的状态变量图，大家可以自己画出。当G （s ）含有复数极点时，其对角形、约当形实现中，各矩阵将含有复数元素，但可经过线性变换，使各矩阵元素均为实数。
审定成绩： 重庆邮电大学 硕士研究生课程设计报告 （《线性系统理论》） 设计题目：汽车机器人建模 学院名称：自动化学院 学生姓名： 专业：控制科学与工程 仪器科学与技术 班级：自动化1班、2班 指导教师：蔡林沁 填表时间：2017年12月
重庆邮电大学
摘要 汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。 关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器
目录 第一章绪论 (1) 第一节概述 (1) 第二节任务分工 (2) 第二章系统建模 (2) 2 系统建模 (2) 2.1运动学模型 (2) 2.2自然坐标系下模型 (4) 2.3具体数学模型 (6) 第三章系统分析 (7) 3.1 能控性 (7) 3.1.1 能控性判据 (7) 3.1.2 能控性的判定 (8) 3.2 能观性 (10) 3.2.1 能观性判据 (10) 3.2.2 能观测性的判定 (12) 3.3 稳定性 (13) 3.3.1 稳定性判据 (13) 3.3.2 稳定性的判定 (14) 第四章极点配置 (15) 4.1 极点配置概念 (15) 4.2 极点配置算法 (15) 4.3 极点的配置 (16) 4.4 极点配置后的阶跃响应 (17) 第五章状态观测器 (18) 5.1概念 (19) 5.2带有观测器的状态反馈 (20) 5.3代码实现 (21) 5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)
北京化工大学 攻读博士学位研究生入学考试 《线性系统理论》考试大纲 一、适用的招生专业 控制理论与控制工程； 二、考试的基本要求 要求考试比较系统地理解线性系统状态空间设计方法的基本概念和基本理论，掌握线 性系统的状态空间分析和设计方法，要求考试具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力 和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、考试的主要内容与要求 （▲表示应掌握；■表示应理解；?表示应了解） 1．▲线性系统的状态空间描述 传递函数表达与状态空间描述之间的相互转换；代数等价；组合系统的状态空间描述。2．线性系统的运动分析 ▲状态转移矩阵的定义、性质；▲定常和时变系统的状态转移矩阵求解；▲定常和时变系统的状态运动分析；■连续系统的离散化；■离散系统的运动分析。 3．线性系统能控性和能观性分析 ▲能控性及能观性定义；▲时变和定常系统的能控性及能观测性判别；■对偶原理；▲能控、能观规范型；?结构分解。 4．线性系统稳定性分析 ▲Lyapunov意义下的运动稳定性定义；■Lyapunov稳定性理论；■线性系统的Lyapunov稳定性分析；?离散系统的状态运动稳定性及判据。 5．线性系统的综合设计理论 ▲状态反馈和输出反馈的比较；极点配置问题的定义，▲极点配置条件；单变量系统的极点配置算法；■状态反馈的镇定问题；?输入——输出静态、动态解耦的定义、条件和算法；?跟踪控制；?线性二次型最优问题；▲观测器的提法、分类、与存在条件；▲全维状态观测器的设计；?降维状态观测器的设计；■观测器状态反馈控制系统及分离原理。 四、考试参考书 郑大钟，线性系统理论。北京：化学工业出版社。
系统控制的理论和实践被认为是对20世纪人类生产和社会活动产生重大影响的科学领域之一。其中，线性系统理论是系统控制理论中最基础，最成熟的分支。系统存在于自然界和人类社会的各个领域。从系统控制理论的角度来看，它通常被定义为具有某些相关功能和受限制部分的特定功能的整体。系统状态由描述系统行为的变量表示。它具有完整性，抽象性和相对性的特征。 摘要 线性系统科学与技术是一门应用广泛的学科。面对各种各样的复杂系统，控制对象可以是确定性的或随机的，并且控制方法可以是常规控制或最优控制。控制理论与社会生产和科学技术的发展密切相关，并且在近代发展迅速。线性系统理论是现代控制理论中最基础，最成熟的分支，是控制科学的重要课程之一。 线性系统理论内容丰富，思想深刻，方法多样，富有美感。它不仅为线性控制系统的建模，分析和综合提供了完整的理论，而且还包含许多解决复杂问题的方法。这些方法简化了系统的建模，分析和综合，为系统控制理论的其他分支和其他学科提供了参考。它们是解决复杂问题的有效方法。 线性系统理论的发展经历了两个阶段：经典线性系统理论和现代线性系统理论。 古典理论形成于1930年代和1940年代。奈奎斯特在1932年提出了反馈放大器的稳定性理论。波特在1940年代初提出了波特图。埃文斯在1948年提出了根轨迹理论。这表明了经典线性控制理论的
形成。古典理论在第二次世界大战中的应用取得了巨大的成功。本文主要研究单输入单输出线性时不变系统。 1950年代后，随着航空技术的发展和控制理论的应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日益明显。这种情况促进了线性系统的研究，从1960年以后的古典阶段到现代阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先将状态空间方法应用于多元线性系统的研究，提出了可控性和可观测性两个基本概念，并提出了相应的标准。1963年，例如吉尔伯特，他得到了揭示线性系统结构分解的重要结果，为现代线性系统理论的形成和发展做出了开创性的工作。1965年后，现代线性系统理论又得到发展。有许多研究多元系统的理论和方法，例如线性系统的几何理论，线性系统的代数理论和多变量频域方法。随着计算机技术的发展，线性系统的计算方法和计算机辅助设计受到越来越多的关注。
Linear Systems Theory: A Structural Decomposition Approach 线性系统理论: 结构分解法 Ben M. Chen （陈本美） 新加坡国立大学 Zongli Lin（林宗利） 美国弗吉尼亚大学 Yacov Shamash (雅科夫 司马诩) 美国纽约州立大学石溪分校
此书献给我们的家人 前两位作者谨以这中译版献给他们的母校 厦门大学
目录 绪论 1 导论和预览 1.1 背景 1.2 各章预览 1.3 符号和术语 2 数学基础 2.1 导论 2.2 矢量空间和子空间 2.3 矩阵代数和特性 2.3.1 行列式、逆和求导 2.3.2 秩、特征值和约当型 2.3.3 特殊矩阵 2.3.4 奇异值分解 2.4 范数 2.4.1 矢量范数 2.4.2矩阵范数 2.4.3 连续时间信号范数 2.4.4 离散时间信号范数 2.4.5 连续时间系统范数 2.4.6 离散时间系统范数 3 线性系统理论复习 3.1 导论 3.2 动态响应 3.3 系统稳定性 3.4 可控性和可观性 3.5 系统可逆性 3.6 常态秩、有限零点和无限零点3.7 几何子空间 3.8 状态反馈和输出馈入的特性3.9 练习
4 无驱动和/或无检测系统的分解 4.1 导论 4.2 自治系统 4.3 无驱动系统 4.4 无检测系统 4.5 练习 5. 正则系统的分解 5.1 导论 5.2 SISO系统 5.3 严格正则系统 5.4 非严格正则系统 5.5 结构化分解特性的证明 5.6 系统矩阵的Kronecker型和Smith型5.7 离散时间系统 5.8 练习 6 奇异系统的分解 6.1 导论 6.2 SISO奇异系统 6.3 MIMO描述系统 6.4 定理6.3.1的证明和性质 6.5 离散时间奇异系统 6.6 练习 7 双线性变换的结构化映射 7.1 导论 7.2 连续到离散时间系统的映射 7.3 离散时间到连续时间系统的映射7.4 定理7.2.1的证明 7.5 练习 8 系统因子分解 8.1 导论 8.2 严格正则系统 8.3 非严格正则系统 8.4 离散时间系统 8.5 练习 9 通过选择传感器/执行器实现的结构配置9.1 导论 9.2 同时有限和无限零点结构配置 9.2.1 SISO系统 9.2.2 MIMO系统
说明： 姚老师是从07还是08年教这门课的，之前的考题有多少参考价值不敢保证，也只能供大家参考了，重点的复习还是以课件为主，把平时讲的课件内容复习好了，考试不会有问题（来自上届的经验）。 祝大家考试顺利！ （这个文档内部交流用，并感谢董俊青和兰天同学，若有不足请大家见谅。） 2008级综合大题 []4001021100101 1 2x x u y x ???? ????=-+????????-????= 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定； 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵2 14161 24,() 2.0 0M B AB A B rank M ?? ?? ??==-=???????? 系统不完全可控，不能任意配置极点。
2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1 1 401200 1P -?? ??=-?????? ，求得120331 1066 00 1P ?? ????? ?=-????????? ? 进行变换[] 1 1 20831112,0,2 2 26000 1 A PAP B PB c cP --? ? ?? ???? ????=-====???? ??????????? ? 所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+???????????=? 3. 1 2(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1) (4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= = -++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++， 系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 1 2(1)()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11 228,12T k k k k A Bk k +???? =+=??? ??? ?? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程* 2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++
非线性控制理论和方法 姓名：引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940
2008级综合大题 []400102110010112x x u y x ????????=-+????????-????=& 1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？ 2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？ 3 求方程的传递函数； 4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！） 5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由； 6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。 参考解答： 1. 判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B AB A B rank M ?? ????==-=???? ???? 系统不完全 可控，不能任意配置极点。 2 按可控规范型分解 取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -????=-??????，求得1203311066 001P ?? ?? ?? ??=-?????? ???? 进行变换[]11 20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --? ??????? ????=-====???? ???????? ????
所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ?????=+?????????? ?=? & 3. 12(1)(1)2(1) ()()(4)(2)(1)(4)(2) s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-= =-++-+ 4. det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。 12(1) ()()(4)(2) s G s c sI A B s s --=-= -+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不 是BIBO 稳定。 系统发散，不是李氏稳定。 5. 可以。令11228,12T k k k k A Bk k +???? =+=???????? 则特征方程[]2 112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++-- 期望特征方程*2 ()(2)(3)56f s s s s s =++=++ 比较上两式求得：728T k -?? =??-?? 6. 可以。设12l L l ??=????，则11222821222l l A LC l l --?? -=? ?--?? 特征方程2 2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++-- 期望特征方程*2 ()(4)(5)920f s s s s s =++=++ 比较得：103136L ???? =????????
非线性系统理论分析及其应用 XXX （1．电子科技大学，XXXXX学院，XXXXXXX） Theoretical Analysis Of nonlinear Systems And Its Applications XXXXXXXXXX (University of Electronic Science and Technology of China，School of Energy Science and Engineering,XXXXXXXXXXXXXXXX) 摘要：本文通过通过对非线性系统的原理，分类，性质等做了细致的分析，并重点介绍了非线性系统在电力系统，自行车自动控制等方面的应用，得出非线性系统在控制领域的重要地位。 关键词：非线性；原理；应用 ABSTRACT: In this paper, through the principle of non-linear systems, classification, properties, and so do a detailed analysis and focuses on the application of nonlinear systems in the power system, automatic control and other aspects of the bike, draw an important role in the control field of nonlinear systems . KEY WORDS：Nonlinear; principle; application 1 非线性系统的原理 非线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。 1.1 非线性与线性概述 线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1+1不等于2。激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。 1.2 非线性与线性的比较 定性地说，线性关系只有一种，而非线性关系则千变万化，不胜枚举。线性是非线性的特例，它是简单的比例关系，各部分的贡献是相互独立的；而非线性是对这种简单关系的偏离，各部分之间彼此影响，发生耦合作用，这是产生非线性问题的复杂性和多样性的根本原因。正因为如此，非线性系统中各种因素的独立性就丧失了：整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和不再是原方程的解。因此，对于非线性问题只能具体问题具体分析。 线性与非线性现象的区别一般还有以下特征：（1）在运动形式上，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数关系表示，而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变； （2）线性系统对外界影响的响应平缓、光滑，而非线性系统中参数的极微小变动，在一些关节点上，可以引起系统运动形式的定性改变。在自然界和人类社会中大量存在的相互作用都是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似。 1.3 非线性系统分类
线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用
这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。 一．线性系统理论研究内容综述 系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。 动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。 线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。 线性系统理论的研究对象为线性系统，线性系统为最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个开支。线性系统的的一个基本特征是其模型满足线性叠加原理。对于线性系统的研究也可以进一步分为线性是不变系统和线性时不变系统两类。对系统进行建模也是控制理论中具有重要的作用。对系统建模的作用多样性和基本型、途径以及系统的建模的准则=====系统建模的简单性和分析的结果的准确性之间做出适当的折中。 线性控制理论在1960年前后开始了从经典控制理论到现代理论的过渡。反应这种过渡的重要标志成果是，卡尔曼把在分析力学中广为采用的状态空间描
[Linear system theory and design] Absolutely integrable 绝对可积 Adder 加法器 Additivity 可加性 Adjoint 伴随 Aeronautical航空的 Arbitrary 任意的 Asymptotic stability渐近稳定 Asymptotic tracking 渐近跟踪 Balanced realization 平衡实现 Basis 基 BIBO stability 有界输入有界输出稳定 Black box 黑箱 Blocking zero 阻塞零点 Canonical decomposition 规范分解 Canonical规范 Capacitor 电容 Causality 因果性 Cayley-Hamilton theorem 凯莱-哈密顿定理Characteristic polynominal 特征多项式 Circumflex 卷积
Coefficient 系数 Cofactor 余因子 Column degree 列次数 Column-degree-coefficient matrix 列次数系数矩阵Column echelon form 列梯形 Column indices 列指数集 Column reduced 列既约 Common Divisor公共因式 Companion-form matrix 规范型矩阵Compensator 调节器，补偿器 Compensator equation补偿器方程 Control configuration 控制构型Controllability 能控性 Convolution 卷积 Conventional常规的 Coprimeness互质 Corollary推论 Cyclic matrix 循环矩阵 Dead beat design 有限拍设计 Decoupling 解耦 Degree of rational function有理矩阵的次数Description of system系统描述
第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程
组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统
Introduction of Lyapunov-Based Control 1An Example of Nonlinear Systems Linear System ˙x=Ax+Bu y=Cx (1) it has the superposition property.Besides,the stability of the linear system completely depends on its parameters. Nonlinear System ˙x=f(x,u) y=g(x) (2) superposition does not hold for nonlinear systems,and the stability of a nonlinear system depends on both system parameters and initial conditions. Example:The dynamic model for a2-DOF overhead crane system(see Figure??)can be presented as follows M(q)¨q+V m(q,˙q)˙q+G(q)=u(3) q=[x(t)θ(t)]T(4) where x(t)∈R1denotes the gantry position,θ(t)∈R1denotes the payload angle with respect to the vertical,and M(q)∈R2×2,V m(q,˙q)∈R2×2,G(q)∈R2,and u(t)∈R2are de?ned as follows M(q)= m c+m p?m p L cosθ ?m p L cosθm p L2 , V m(q,˙q)= 0m p L sinθ˙θ 00 , G(q)= 0m p gL sinθ T,u(t)= F0 T,(5) where m c,m p∈R1represent the gantry mass and the payload mass,respectively,L∈R1represents the length of the rod to the payload,g∈R1represents the gravity coe?cient,and F(t)∈R1 represents the control force input acting on the gantry(see Figure??). 2Common Nonlinear Systems Behaviors 2.1Multiple Equilibrium Points For the system ˙x=f(x)(6) 1
线性系统理论之观察 摘要 系统控制的理论和实践被认为是20世纪对人类生产活动和社会发生重大影响的科学领域之一。在系统和控制科学领域内，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了众多结果和重要进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，诸如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。 关键词最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等 线性系统理论的主要内容 线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数和性能间的确立和定量的关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法的问题则为综合问题。从哲学的角度而言，前者属于认识系统的范畴，后者属于改造系统的范围。 线性系统的理论和方法是建立在其模型基础之上的。不管是对系统进行分析还是综合，一个首要的前提是建立器系统数学模型。建立模型时，最重要的是确定什么是需要反映和研究的主要系统属性，并在此基础上来定出他们的定量关系。随着所观察问题的性质的不同，
一个系统可以有不同的模型，它们代表了系统不同侧面的属性。系统数学模型的基本要素是变量、参量、常量和它们之间的关系。变量包括状态变量、输入变量和输出变量，有些情况下还需考虑扰动变量。参量可以是系统的参数或表征系统性能的参数，前者受系统环境的影响课产生变动，后者可随设计要求而人为地改变其取值。常量是指系统中不随时间改变的参数。线性系统的数学模型有两种主要形式，即时间域模型和频率域模型。时间域模型变现为微分方程组或差分方程组，可同时适用于线性时不变和线性时变系统。频率域模型表现为传递函数和频率响应，只适用于线性时不变系统。对应于系统的这两项模型，已经发展和形成线性系统理论中的两类不同方法。 （1）线性系统分析理论 （2）线性系统综合理论 线性系统理论的主要内容包括：①与系统结构有关的各种问题，例如系统的结构分解问题和解耦问题等。系统结构的规范分解（见能观测性）是其中的著名结果。②关于控制系统中反馈作用的各种问题，包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。③状态观测器问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。④实现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要研究课题是最小实现问题。⑤几何理论，即用几何观点研究线性系统的全局性问题(见线性系统几何理论)。⑥代数理论，用抽象代数方法研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模
《线性系统理论基础》实验指导书 嵇启春 西安建筑科技大学信息与控制工程学院
第一章课程简介，实验内容及学时安排 一、课程简介 线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。 《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。 二、实验内容及学时安排 本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。必作实验为三个，每个实验2学时。要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。通过该课程的实验训练，应达到下列要求： 1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法； 2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用； 3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。
第二章 《线性系统理论基础》课程实验 实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析 一、实验目的 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法； 2、掌握线性系统的运动分析方法。 二、实验原理、内容及步骤 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作 设系统的模型如式(1-1)所示： p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x ∈∈∈?? ?+=+= (1-1) 其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示： D B A sI C s den s num s G +-== -1)() () (()( (1-2) 式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。 [例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。 (1-3) 程序: %首先给A 、B 、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0; %状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) ,631234100010321321u x x x x x x ???? ??????-+????????????????????---=?????????? []?? ??? ?????=321001x x x y
非线性系统的概念及稳定性问题的判定方法和发展趋势 姓名：查晓锐 学号：121306060006 线性系统理论自20世纪50年代以来不仅已在理论上逐步完善，也已成功的应用于各种国防和工业控制问题。随着现代工业对控制系统性能的要求不断提高，传统的线性反馈控制已很难满足各种实际需要。这是因为大多数实际控制系统往往是非线性的，采用近似的线性模型虽然可以使我们更全面和容易的分析系统的各种特性，但是却很难刻画出系统的非线性本质，线性系统的动态特性已不足以解释许多常见的实际非线性现象。另一方面，计算机及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线性控制算法奠定了硬件基础。因此自20世纪80年代以来，非线性系统的控制问题受到了国内外控制界的普遍关注。 非线性科学是当今世界科学的前沿与热点，涉及自然科学和人文社会科学的众多领域，具有重大的科学价值和深刻的哲学方法论意义。但迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。 一、 非线性的概念 非线性是相对于线性而言的，对线性的否定，线性是非线性的特例。所以要弄清非线性的概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性；其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。 对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的。其一：叠加原理成立“ 如果1Φ，2Φ 是两个那么21Φ+Φβα也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个态。”原理成立意味着所考查系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。 在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定。其一 ：“定义非线性算符()ΦN 为对一些 a ，b 或Φ，ψ不满足)()()(ψ+Φ=ψ+ΦbL aL b a L 的算符 即叠加原理不成立。”这意味着Φ与ψ之间存在藕合，对ψ+Φb a 的操作，等于分别对Φ，ψ操作外，再加上对Φ与ψ的交叉项（耦合项）操作，或者Φ、ψ是不连续有突变或断裂、不可微有折点的。其二：作为等价的另一种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性在用于描述一个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的。换言之：变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方。概括地说：物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不
2014级研究生《线性系统理论》作业 2015.03 一、 已知系统的状态方程为 01000 00010003123122 10 002x x u ???? ????????=+???????????? （1） 求2个不同的反馈阵K ，使得系统的特征值为：43,54j j -±-±； （2） 通过仿真结果说明，取不同反馈阵K 值时，系统的阶跃响应情况。 解： 由于rank[B AB A 2B]=4可知系统完全能控。 方法一：使用直接算法求解反馈阵k ： 首先求取系统的特征多项式α(s)=det(sI-A)=s^4-2*s^3-s^2-6*s-6. α*(s)=s^4-18*s^3-146^2-578*s-1025. p=[2;1] 令b=Bp=[0;0;4;2] P=[A 3b A 2b A 1b b]*[1 0 0 0;α3 1 0 0;α2 α3 1 0;α1 α2 α3 1]=????? ???? ???2 4- 2 24 6 0 00 4 6 00 0 4 6 P -1=????? ???????0.2015 0.1493 0.0224- 0.0672- 0.1343- 0.0672 0.0149 0.0448 0.0896 0.0448- 0.1567 0.0299- 0.0597- 0.0299 0.1045- 0.1866 K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3 ]P -1=[-178.4552 15.0149 -16.9328 25.8657] K 1=pk=??? ? ??25.8657 16.9328- 15.0149 178.4552 - 51.7313 33.8657- 30.0299 356.9104- 方法二：龙伯格能控规范型法： [B AB A 2B A 3B]=[b 1 b 2 Ab 1 Ab 2 A 2b 1 A 2b 2 A 3b 1 A 3b 2]= [0 0 0 0 1 2 2 10 0 0 1 2 2 10 5 22 1 2 2 10 5 22 18 66 0 2 0 0 1 2 4 14] 基于此，组成预变换阵P -1并且求出P ，有 P -1=[b 1 Ab 1 A 2b 1 A 3b 1]=[0 0 1 2
目录 一、报告目的 (2) 二、报告内容 (2) 1.系统稳定性的地位和作用概述 (2) 2.内部稳定与外部稳定 (3) 2.1知识结构 (3) 2.2内部稳定与外部稳定的关系： (3) 3.李亚普诺夫稳定性定义 (4) 3.1几种稳定性的区别 (4) 3.2几种稳定性的关系 (5) 4. 李亚普诺夫稳定性理论 (6) 4.1 李亚普诺夫稳定性第一方法 (6) 4.2李亚普诺夫稳定性第二方法 (6) 4.3 Lyapunov第二方法在线性时不变系统中的应用 (7) 三、总结 (11) 参考文献： (11)
一、报告目的 1、对已学过的知识有个更好的复习巩固的过程； 2、加深对线性系统这门课的了解； 3、对第五章的知识进行归纳整理； 4、提高自己课程设计的写作水平。 二、报告内容 系统运动的稳定性 通过这段时间对《线性系统理论》这本书的学习，和有关资料的查阅，让我了解到，在系统与控制科学领域内，线性系统是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了很多结果和进展，已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的基础知识。有鉴于此，国内外许多大学都毫无例外地把线性系统理论列为系统与控制科学方向的一门最为基础的课程。 1.系统稳定性的地位和作用概述 在控制系统的分析和设计中，系统的稳定性是首先要考虑的问题之一，因为它关系到系统是否能正常工作，它同系统的能空性和能观测性一样，也是系统的一种结构性质。所谓稳定性指在各种不利因素的影响下，系统能够保持预定工作状态能力的一种度量，稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在大多数情况下，稳定是系统能够正常运行的前提，如何根据动力学系统的构成分析系统的稳定性已经引起研究人员的普遍重视。在控制系统的稳定性研究中，李亚普诺夫方法得到广泛应用，该方法还在最优估计、最优控制、自适应滤波等领域占有重要地位。 系统的运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间
3358博士生入学线性系统理论考试大纲 第一部分考试说明 一、考试性质 线性系统理论是控制科学与控制工程学科的基础课。本门考试的应考范围以基于状态空间描述和方法的近代控制理论为主，注重考察考生是否已经掌握控制学科最基本的理论知识。它的评价标准是本学科或者相近学科的优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的控制学科基础知识，并有利于在专业上择优选拔。 二、考试形式与试卷结构 （一）答卷方式：闭卷，笔试。 （二）答卷时间：180分钟 （三）题型比例：全部题型为计算、分析题，满分100分。 第二部分考查要点 一、线性系统的数学描述 系统的传递函数描述，状态空间描述，两种描述形式的比较和相互转换。线性系统在坐标变换下的特性。组合系统的状态空间描述。 二、线性系统的运动分析 状态转移矩阵及其性质。脉冲响应矩阵。线性时变系统运动分析。线性定常系统的运动分析。线性连续系统的时间离散化。线性离散系统的运动分析。 三、线性系统的能控性和能观测性 线性系统的能控性和能观测性的定义。线性连续系统（含时变系统）的能控性、能观测性判据。线性离散系统的能控性、能观性判据。对偶原理。能控、能观测与传递函数。线性系统的能控性、能观性指数。能控和能观测规范形。线性系统的结构分解。 四、系统运动的稳定性 Lyapunov意义下运动稳定性的定义。Lyaounov第二方法的主要定理。线性系统稳定性判据。离散系统的稳定性及其判据。系统的外部稳定性和内部稳定性。 五、线性反馈系统的综合 状态反馈和输出反馈。极点配置问题及其解的存在条件。状态反馈极点配置问题的求解方法。状态反馈可镇定条件和算法。线性二次型最优控制问题。全维和降维状态观测器。引入观测器的状态反馈控制系统的特性。 第三部分考试样题 略