量子力学例题
第二章
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解] 薛定谔方程:
当, 故有
利用波函数在处的连续条件由处连续条件:
由处连续条件:
给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为
当时
对束缚态
解为
在处连续性要求
将代入得
又
相应归一化波函数为:
归一化波函数为:
3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
求束缚态的能级所满足的方程
[解]束缚态下粒子能量的取值范围为
当时
当时
薛定谔方程为
令
解为
当时
令
解为
当时
薛定谔方程为
令
薛定谔方程为
解为
由
波函数满足的连续性要求,有
要使有非零解不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式,得方程
例题
主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.
一. 有关算符的运算
1.证明如下对易关系
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
[证]
(1)
(2)
(3)
一般地,若算符是任一标量算符,有(4)
一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有
(5)
=0
同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,为实数
为厄密算符为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,
取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值
分别为: 。
[证]
。
是的对应本征值为的本征函数
是的对应本征值为的本征函数又:
可求出:
二.有关力学量平均值与几率分布方面
1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值
[解]
即
是的本征函数。本征值
2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数
描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
【解】
宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数
注意:是否归一化波函数
能量本征值
出现的几率 , 出现的几率能量平均值
另一做法
3 .一维谐振子在时的归一化波函数为
所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值
[解](1) , 归一化，，
，
（2），
，；，；
，；
（3）时，
所以：
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
4．设氢原子处于状态
求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
[解] 能量本征值
能量本征
态
当n=2
时
本征值为的
，出现的几率为100％
可能值为出现的几率分别为：。
5 .在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值
(1).; (2).
[解]：
三测不准关系
1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系
[解]先归一化
(1)动量平均值
(2)
(3)
附:
常用积分式：
（1）
（2）
（3）
第四章例题1．力学量的矩阵表示
由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和
试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义【解】（1）. 设态矢已归一化
（粒子位置几率密度）
（2）
（利用化到坐标表象）
又：,
上式
2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符
（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1
【证】（1）. 厄密算符的定义
为厄密算符
(2) 已归一化
（3）. 由的本征值方程
,
又：
即：
（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）
3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）
【解】所描述的状态，基态波函数
（1）. 在x表象：
（2）. 动量表象：