《导数及其应用》单元测试题(理科)
1.函数()2
2)(x x f π=的导数是( )
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 2
4)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x
e x x
f -?=)(的一个单调递增区间是( )
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>,
D .()0()0f x g x ''<<,
4.
=-+?
dx x
x x )1
11(322
1
( ) (A)8
7
2ln +
(B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +
5.曲线1
2
e x y =在点2
(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.
2
9e 2
B.24e
C.2
2e
D.2
e
6.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
7.已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)
'(0)
f f 的最小值为( )
A .3
B .
52 C .2 D .32
8.设2:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞,
内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
二.填空题(本大题共6小题,共30分)
9.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,则该长方体的长、宽、高各为 时,其体积最大.
10.将抛物线2
2
x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11.已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__. 12.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和的公式是 13.点P 在曲线3
2
3+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是 14.已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 .
(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .
三.解答题(本大题共6小题,共12+12+14+14+14+14=80分) 15.设函数()e e x
x
f x -=-. (1)证明:()f x 的导数()2f x '≥;
(2)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围.
16.设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x (,)
、22()x f x (,),该平面上动点P 满足?4PA PB =u u u r u u u r ,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点,.求
(1)求点A B 、的坐标; (2)求动点Q 的轨迹方程.
17.已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ,其中a,b,c 为常数。 (1)试确定a,b 的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式2
2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。
18.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
(1)当1-=a 时,求函数的单调区间。
(2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-3?
19.已知函数3
()3.f x x x =- (1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;
(2)若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
20.已知函数()2
a f x x x
=+,()ln g x x x =+,其中0a >.
(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;
(2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围.
【理科测试解答】
一、选择题
1.()∴==,42)(222
x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
或()()=?='??='ππππ24222)(x x x x f x 28π(理科要求:复合函数求导) 2.∴=?=-.)(x x
e x e
x x f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f , ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x
选(A) 或().1,0.0)1(11)(<∴>>?-=-??+?='----x e e x e x e x f x x x x Θ 3.(B)数形结合
4.(D ) 5.(D ) 6.(D ) 7.(C ) 8.(B ) 二、填空题
9.2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为
??? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218<<x x x
h .
故长方体的体积为
).2
30()
(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <
3
2
时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。
从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 10.π.==?dy x S 1
02π ().012210πππ==?y dy y (图略) 11.32 12.()()/
112
22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为,令x=0,求出切线与y 轴交点的纵坐标为
()012n y n =+,所以21n n a n =+,则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()12122212n
n n S +-=
=-- 13.??
???????????πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题
15.解:(1)()f x 的导数()e e x
x
f x -'=+.
由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (2)令()()g x f x ax =-,则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,
(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x
x
g x a a -'=+->-≥,
故()g x 在(0)+,∞上为增函数,
所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.
(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=
的正根为1ln x =
此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.
所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,.
16.解:(1)由题意知(1)3f c =--,因此3b c c -=--,从而3b =-. 又对()f x 求导得
3431
()4ln 4f x ax x ax bx x '=++g
3(4ln 4)x a x a b =++.
由题意(1)0f '=,因此40a b +=,解得12a =.
(2)由(I )知3
()48ln f x x x '=(0x >),令()0f x '=,解得1x =. 当01x <<时,()0f x '<,此时()f x 为减函数; 当1x >时,()0f x '>,此时()f x 为增函数.
因此()f x 的单调递减区间为(01),,而()f x 的单调递增区间为(1)+,∞.
(3)由(II )知,()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--,此极小值也是最小值,要使2
()2f x c -≥(0x >)恒成立,只需2
32c c ---≥.
即2
230c c --≥,从而(23)(1)0c c -+≥, 解得3
2
c ≥
或1c -≤. 所以c 的取值范围为3(1]2
??-∞-+∞????
U ,
, 17.解: (1)令033)23()(2
3=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或
当1-
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.
(2) 设),(n m p ,),(y x Q ,()()4414,1,122=-+-=--?---=?n n m n m n m
21-=PQ k ,所以21-=--m x n y ,又PQ 的中点在)4(2-=x y 上,所以??
?
??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282
2
=++-y x .
另法:点P 的轨迹方程为(),922
2
=-+n m 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;设点(0,2)关于y=2(x-4)
的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由2102-=--a b ,??
?
??-+=+420222a b 得a=8,b=-2
18(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a
(),
2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当 ,1=a (), ,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )(x f 递增;(3)因,0 小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”: 1、当,2,12-≥?-≤a a [],2,20,1??? ???-∈a x )(x f 递增,3)1()(min -=-=f x f ,解得,243->-=a 2、当,2,12-≤?->a a 由单调性知:3)2 ()(min -==a f x f ,化简得:01332=-+a a ,解得 ,2621 3->±-= a 不合要求;综上,4 3-=a 为所求。 19.解(1)23 ()33,(2)9,(2)2322f x x f f ''=-==-?= ………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-,即9160x y --=;………4分 (2)过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线,设切点为00(,)x y 则32 000003,()3 3.y x x k f x x '=-==- 则切线方程为32 0000(3)(33)()y x x x x x --=--………………………………………6分 整理得32 002330(*)x x m -++= ∵ 过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线 ∴方程(*)有三个不同实数根. 记322 ()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………10分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表 ………………………12分 由()g x 的简图知,当且仅当(0)0 ,(1)0g g >?? 即30,3220 m m m +>?-<<-?+ 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………14分 20.(1)解法1:∵()2 2ln a h x x x x =++,其定义域为()0 +∞,, ∴()221 2a h x x x '=-+. ∵1x =是函数()h x 的极值点,∴()10h '=,即2 30a -=. ∵0a >,∴a = 经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点, ∴a = 解法2:∵()2 2ln a h x x x x =++,其定义域为()0+∞,, ∴()221 2a h x x x '=-+. 令()0h x '=,即22120a x x -+=,整理,得22 20x x a +-=. ∵2 180a ?=+>, ∴()0h x '=的两个实根114x -=(舍去),214 x -+=, 当x 变化时,()h x ,()h x '的变化情况如下表: 1=,即23a =, ∵0a >,∴a = (2)解:对任意的[]12,1x x e ∈,都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈,都有()min f x ????≥ ()max g x ????. 当x ∈[1,e ]时,()1 10g x x '=+>. ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ,上是增函数. ∴()()max 1g x g e e ==+???? . ∵()()()222 1x a x a a f x x x +-'=-=,且[]1,x e ∈,0a >. ①当01a <<且x ∈[1,e ]时,()()()2 x a x a f x x +-'=>, ∴函数()2 a f x x x =+在[1,e ]上是增函数, ∴()()2 min 11f x f a ==+????. 由2 1a +≥1e +,得a 又01a <<,∴a 不合题意. ②当1≤a ≤e 时, 若1≤x <a ,则()()()2 x a x a f x x +-'= <, 若a <x ≤e ,则()()()2 x a x a f x x +-'=>. ∴函数()2 a f x x x =+在[)1,a 上是减函数,在(]a e ,上是增函数. ∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +,得a ≥1 2 e +, 又1≤a ≤e ,∴ 1 2 e +≤a ≤e . ③当a e >且x ∈[1,e ]时,()()()2 0x a x a f x x +-'= <, ∴函数()2 a f x x x =+在[]1e ,上是减函数. ∴()()2 min a f x f e e e ==+????. 由2 a e e +≥1e +,得a 又a e >,∴a e >. 综上所述,a 的取值范围为1,2e +?? +∞???? . 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ,若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点(1,3),则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y (x + 2a )(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ,若 k = g ( x ) ,则函数 k = g ( x ) 的图 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值导数练习题 含答案
导数练习题(含答案).
(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
(完整word版)导数单元测试(含答案)