高等代数专题研究模拟试题
一、
单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. 下列法则中，哪个不是Z 上的二元代数运算？（ ） （A ）a b a b =-o （B ）a b ab =o （C ）a b a =o （D ）b a b a =o
2. 设A 是线性空间V 的线性变换，,αβ是A 的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则（ ）.
（A ）若α与β线性相关，则λμ≠； （B ） 若α与β线性无关，则λμ≠； （C ）若α与β线性相关，则λμ=； （D ） 若α与β线性无关，则λμ=. 3. 全体正实数R +对于下面定义的加法和标量乘法：
a b ab ⊕=，k k a a =o
构成R 上的线性空间，则它的维数是（ ）.
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
4. 如果线性空间V 上的线性变换A 在V 的一组基12,αα下的作用为：
112212
A 23A 54αααααα=+=-
那么A 在基12,αα下的矩阵为（ ）.
（A ）2534?? ?-?? （B ）2354?? ?-?? （C ）4352-?? ??? （D ）4532-?? ???
5. 设V 为欧几里得空间，,,αβγ是V 中的任意向量，则下列式子不成立的是（ ）.
（A ）()(,),αββα= （B ）()(,)(,),αβγαγβγ+=+
（C ）()()(,),,αβγαβαγ+=+ （D ）(),0αα>
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
1. 正交矩阵的行列式等于 .
2. 设b a ,为两个不相等的常数，则多项式()f x 被()()x a x b --除所得余式 为 .
3. 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是 的.
4. 若矩阵A 与245-?? ?
? ???
相似，则A 的行列式A = . 5. 设42()23f x x x =+-，32()22g x x x x =+--，则()(),()f x g x = . 三、
计算题（本题共45分，每小题15分）
1. 求多项式432()642f x x x x x =+++-的所有有理根.
2. 已知123(1,2,1,2),(2,3,1,0),(1,2,2,3)ααα=-==-；
123(1,1,1,1),(1,0,1,1),(1,3,0,4)βββ==-=-. 求
（1）1123(,,)W L ααα=的一组基与维数； （2）2123(,,)W L βββ=的一组基与维数； （3）12W W +与12W W I 的一组基与维数.
3.设
123
246
369
A
??
?
= ?
?
??
，求一个正交矩阵T，使得T T AT是一个对角矩阵.
四、证明题（本题15分）
设A是n阶正定实对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵（T B B
=-），证明：2
A B
-是正定实对称矩阵.
高等代数专题研究模拟试题答案
一、
单项选择题（本题共20分，每小题4分） 1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 二、
填空题（本题共20分，每小题4分）
1. 1±
2. ()()()()
f a f b af b bf a x a b a b
--+
-- 3. 相合 4. 40- 5. 1x + 三、
计算题（本题共45分，每小题15分）
1. 解：46a =，02a =-. 根据定理
2.9.4，()f x 的有理根只可能是：1±，
2±，12±，13±，23±，1
6
±. 依此代入检验可得，
102f ??
= ???
，203f ??
-= ???
. 因此()f x 的有理根是
12，23
-. 2. 解：（1）123,,ααα线性无关，因此1dim 3W =，123,,ααα即为1W 的一组基.
（2）123,,βββ线性无关，因此2dim 3W =，123,,βββ即为2W 的一组基. （3）()12dim 4W W +=，一组基为1232,,,αααβ，()12dim 2W W =I ，一组基为13,ββ.
3. 解：21
23
24
6(14)3
6
9
E A λλλλλλ----=---=----
因此A 的特征值为0，0，14.
当0λ=时，解方程组0AX -=，得一组基础解系为
1210α-?? ?= ? ???，2301α-??
?
= ? ???
单位正交化可得
1550η?- ? ?= ? ? ? ? ???
，27070η??- ?
=-
? ? ? ???
当14λ=时，解方程组(14)0E A X -=，得一组基础解系为
3123α??
?
= ? ???
单位正交化可得
314714η?? ? ? ?= ? ??
以123,,ηηη为列，可得正交矩
阵570
145707014T ??-
- ? ? ?
=-
? ? ?
? ???
，且0014T T AT ?? ?
= ? ???
为对角阵.
四、 证明题（本题15分）
证明：因为A 是正定实对称矩阵，所以T A A =. B 为n 阶实反对称矩阵，
T B B =-，从而
22222()()()()T T T T T A B A B A B A B A B -=-=-=--=-
因此2A B -是实对称矩阵.
对于任意n 维列向量0X ≠，有
2()()()0T T T T T T T T X A B X X A B B X X AX X B BX X AX BX BX -=+=+=+>
故2A B -是正定实对称矩阵.
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 应达到的具体能力目标： 具有独立思维能力和解决实际问题能力； 具有较强的抽象思维和逻辑推理能力； 熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力 三、教学学时分配 《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表
四、教学内容和教学要求 第五章二次型（14学时） （一）教学要求 1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念； 2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念； 3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握 正定二次型的判定方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法 教学难点：正定二次型的判定与证明 （三）教学内容 第一节二次型及其矩阵表示 1．二次型的定义 2．二次型的矩阵表示 3. 矩阵的合同关系 第二节标准形 1．二次型的标准形； 2．化二次型为标准形的方法； 3. 例题讲解 第三节唯一性 1．复数域上二次型的规范型 2. 实数域上二次型的规范型 第四节正定二次型 1．正定二次型的定义 2. 正定二次型的判定 3. 半正定二次型的定义及判定 本章习题要点：
1．化二次型为标准形的方法； 2. 正定二次型的判定方法与证明。 第六章线性空间（22学时） （一）教学要求 1.了解集合与映射的概念及性质； 2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义； 3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的 概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。 （二）教学重点与难点 教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和 教学难点：子空间的直和 （三）教学内容 第一节集合.映射 1．集合与映射的概念 2. 集合与映射的性质； 第二节线性空间的定义与性质 1．线性空间的定义； 2．线性空间的简单性质。 第三节维数、基、与坐标 1. 维数、基、坐标的概念 2. 维数、基、坐标的性质 第四节基变换与坐标变换 1．基变换 2．坐标变换。 第五节线性子空间 1．线性子空间的定义及性质 2．生成子空间的定义及性质 第六节子空间的交与和 1．线性子空间的交 2．线性子空间的和 3. 维数公式 第七节子空间的直和
一、 单 项选择题 1. 序列x(n)=Re(e jn π/12 )+I m (e jn π/18 ),周期为( )。 A. 18π B. 72 C. 18π D. 36 2. 设C 为Z 变换X(z)收敛域内的一条包围原点的闭曲线，F(z)=X(z)z n-1 ,用留数法求X(z)的反变换时( )。 A. 只能用F(z)在C 内的全部极点 B. 只能用F(z)在C 外的全部极点 C. 必须用收敛域内的全部极点 D. 用F(z)在C 内的全部极点或C 外的全部极点 3. 有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ= 2 1 -N 偶对称的条件是( )。 A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1) 4. 对于x(n)= n )21(u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=21 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 5、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处
理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频 率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 采样（T） () n h () n x () t x () n y D/A 理想低通T c πω=() t y 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
一、实验目的 1. 通过本次实验回忆并熟悉MATLAB这个软件。 2. 通过本次实验学会如何利用MATLAB进行序列的简单运算。 3. 通过本次实验深刻理解理论课上的数字信号处理的一个常见方法——对时刻n的样本附近的一些样本求平均，产生所需的输出信号。 3. 通过振幅调制信号的产生来理解载波信号与调制信号之间的关系。 二、实验内容 1. 编写程序在MATLAB中实现从被加性噪声污染的信号中移除噪声的算法，本次试验采用三点滑动平均算法，可直接输入程序P1.5。 2. 通过运行程序得出的结果回答习题Q1.31-Q1.33的问题，加深对算法思想的理解。 3. 编写程序在MATLAB中实现振幅调制信号产生的算法，可直接输入程序P1.6。 4. 通过运行程序得出的结果回答习题Q1.34-Q1.35的问题，加深对算法思想的理解。 三、主要算法与程序 1. 三点滑动平均算法的核心程序： %程序P1.5 %通过平均的信号平滑 clf; R=51; d=0.8*(rand(R,1)-0.5);%产生随噪声 m=0:R-1; s=2*m.*(0.9.^m);%产生为污染的信号 x=s+d';%产生被噪音污染的信号 subplot(2,1,1); plot(m,d','r-',m,s,'g--',m,x,'b-.');
xlabel('时间序号n');ylabel('振幅'); legend('d[n]','s[n]','x[n]'); x1=[0 0 x];x2=[0 x 0];x3=[x 0 0]; y=(x1+x2+x3)/3; subplot(2,1,2); plot(m,y(2:R+1),'r-',m,s,'g--'); legend('y[n]','s[n]'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅'); 2. 振幅调制信号的产生核心程序：（由于要几个结果，因此利用subplot函数画图） %程序P1.6 %振幅调制信号的产生 n=0:100; m=0.1;fH=0.1;fL=0.01; m1=0.3;fH1=0.3;fL1=0.03; xH=sin(2*pi*fH*n); xL=sin(2*pi*fL*n); y=(1+m*xL).*xH; xH1=sin(2*pi*fH1*n); xL1=sin(2*pi*fL1*n); y1=(1+m1*xL).*xH; y2=(1+m*xL).*xH1; y3=(1+m*xL1).*xH; subplot(2,2,1); stem(n,y); grid; xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');title('m=0.1;fH=0.1;fL=0.01;'); subplot(2,2,2); stem(n,y1); grid; xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');title('m=0.3;fH=0.1;fL=0.01;'); subplot(2,2,3); stem(n,y2); grid; xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');title('m=0.3;fH=0.3;fL=0.01;'); subplot(2,2,4); stem(n,y3); grid;
数字信号处理模拟试题一 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信号最高截止频率Ωc应满足关系（A ） A.Ωs>2Ωc B.Ωs>Ωc C.Ωs<Ωc D.Ωs<2Ωc 2.下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（D） A.y(n)=y(n-1)x(n) B.y(n)=x(n)/x(n+1) C.y(n)=x(n)+1 D.y(n)=x(n)-x(n-1) 3.已知某序列Z变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为（D ） A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 4.实偶序列傅里叶变换是（A ） A.实偶序列 B.实奇序列 C.虚偶序列 D.虚奇序列 5.已知x(n)=δ(n)，其N点的DFT［x(n)］=X(k)，则X(N-1)=（B） A.N-1 B.1 C.0 D.-N+1 6.设两有限长序列的长度分别是M与N，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取（B ） A.M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N) 7.下面说法中正确的是（C） A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B.连续周期信号的频谱为周期连续函数 C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数 D.离散周期信号的频谱为周期连续函数 8.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR滤波器的基本结构？（C ） A.直接型 B.级联型 C.频率抽样型 D.并联型 9.下列关于FIR滤波器的说法中正确的是（C） A.FIR滤波器容易设计成线性相位特性
数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )， y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ， 所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ， 所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频
率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=? ?? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211 ======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号
实验一 离散时间信号分析 班级 信息131班 学号 201312030103 姓名 陈娇 日期 一、实验目的 掌握两个序列的相加、相乘、移位、反褶、卷积等基本运算。 二、实验原理 1．序列的基本概念 离散时间信号在数学上可用时间序列)}({n x 来表示，其中)(n x 代表序列的第n 个数字，n 代表时间的序列，n 的取值范围为+∞<<∞-n 的整数，n 取其它值)(n x 没有意义。离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号)(t x a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到)}({nT x a 一个有序的数字序列就是离散时间信号，简称序列。 2．常用序列 常用序列有：单位脉冲序列（单位抽样）） （n δ、单位阶跃序列)(n u 、矩形序列)(n R N 、实指数序列、复指数序列、正弦型序列等。 3．序列的基本运算 序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算等。 4．序列的卷积运算 ∑∞ -∞==-= m n h n x m n h m x n y )(*)()()()( 上式的运算关系称为卷积运算，式中代表两个序列卷积运算。两个序列的卷积是一个序列与另一个序列反褶后逐次移位乘积之和，故称为离散卷积，也称两序列的线性卷积。其计算的过程包括以下4个步骤。 （1）反褶：先将)(n x 和)(n h 的变量n 换成m ，变成)(m x 和)(m h ，再将)(m h 以纵轴为对称轴反褶成)(m h -。
（2）移位：将)(m h -移位n ，得)(m n h -。当n 为正数时，右移n 位；当n 为负数时，左移n 位。 （3）相乘：将)(m n h -和)(m x 的对应点值相乘。 （4）求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得)(n y 。 三、主要实验仪器及材料 微型计算机、Matlab6.5 教学版、TC 编程环境。 四、实验内容 （1）用Matlab 或C 语言编制两个序列的相加、相乘、移位、反褶、卷积等的程序； （2）画出两个序列运算以后的图形； （3）对结果进行分析； （4）完成实验报告。 五、实验结果 六、实验总结
《高等代数专题研究》作业参考答案 高等代数专题研究作业1 一、 单项选择题: 1-5: BCBDB 二、 填空题1、 交换。2、 不等价、 等价。3、 1212()()a a a a σσσ()=⊕, 且 σ是A 到B 的双射。 4、 具有下面性质的自然数的任何集合M 满足: :1;:i M ii ∈如果a M ∈, 则 'a M ∈。则M 含有一切自然数, 即M N =。 5、 对于一个与自然数有关的命题T, 若i: 若n=1时命题T 正确; ii: 假设命题T 对n 数字信号处理试题及答案 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的 DFT 表达式为∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值 4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。 5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的 映射变换关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω 与数字频率ω之间的映射变换关系为)2 tan(2ω T =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位 FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为 )1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ω?ω ωj j e H e H =，则其对应的相位函数 为ωω?2 1 )(-- =N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可 以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为)35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳) Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、3 5000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.6 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz 实验一 MATLAB 仿真软件的基本操作命令和使用方法 实验容 1、帮助命令 使用 help 命令，查找 sqrt （开方）函数的使用方法； 2、MATLAB 命令窗口 （1）在MATLAB 命令窗口直接输入命令行计算3 1)5.0sin(21+=πy 的值； （2）求多项式 p(x) = x3 + 2x+ 4的根； 3、矩阵运算 （1）矩阵的乘法 已知 A=[1 2;3 4]， B=[5 5;7 8]，求 A^2*B （2）矩阵的行列式 已知A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，求A （3）矩阵的转置及共轭转置 已知A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，求A' 已知B=[5+i,2-i,1;6*i,4,9-i], 求B.' , B' （4）特征值、特征向量、特征多项式 已知A=[1.2 3 5 0.9;5 1.7 5 6;3 9 0 1;1 2 3 4] ，求矩阵A的特征值、特征向量、特征多项式； （5）使用冒号选出指定元素 已知：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]；求A 中第3 列前2 个元素；A 中所有列第2，3 行的元素； 4、Matlab 基本编程方法 （1）编写命令文件：计算1+2+…+n<2000 时的最大n 值； （2）编写函数文件：分别用for 和while 循环结构编写程序，求 2 的0 到15 次幂的和。 5、MATLAB基本绘图命令 （1）绘制余弦曲线 y=cos(t)，t∈[0，2π] （2）在同一坐标系中绘制余弦曲线 y=cos(t-0.25)和正弦曲线 y=sin(t-0.5)， t∈[0，2π] （3）绘制[0，4π]区间上的 x1=10sint 曲线，并要求： （a）线形为点划线、颜色为红色、数据点标记为加号； （b）坐标轴控制：显示围、刻度线、比例、网络线 （c）标注控制：坐标轴名称、标题、相应文本； >> clear; 高等代数专题研究学习辅导（三） 多 项 式 与 环 一、 环 1．环的定义 环具有加法、乘法两个代数运算的代数体系。集合R 对于加法、乘法两个代数运算构成一个环，要求满足： （1）加法性质 有交换律、结合律，每个元素有负元素。（R 对 加法作成一个加群） （2）乘法性质 有结合律：c ab bc a )()(= （3）乘法对加法有左、右分配律： ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(),,(R c b a ∈? 则称对这两个代数运算作成一个环。 2．环的简单性质 （1） 在环R 中，零元素惟一； （2） 在环R 中，每个元素的负元素惟一； （3） 在环R 中，加法有消去律：c b c a b a =?+=+； （4） 在环R 中，符号法则成立： a a =--)(，a b b a b a -=-=-)()(，ab b a =--))((； （5） 在环R 中，移项法则成立：b c a c b a -=?=+； （6） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n a a a na +???++=， 个 n a a a a n )()()()(-+???+-+-=-，00=a 。 于是，环中的元素整数倍有意义，对任意Z n m ∈,；R b a ∈,有 a n m na ma )(+=+，)( b a m mb ma +=+； ab mn nb ma ?=?)()()( （7） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n n a aa a ???=， 于是，环中元素的整数次幂有意义，对任意正整数n m ,有 n m n m a a a +=?，mn n m a a =)(； （8） 在环R 中广义分配律成立： n n ab ab ab b b b a +???++=+???++2121)( n a b a b a b a a a n n +???++=+???++2121)( 3．子环与理想 定义 设S 是环R 的一个子集，若S 对R 的两种运算也作成环， 则称S 是R 的一个子环，R 是S 的一个扩环。 子环的判别定理: 环R 的子集S 作成R 的子环的充分必要条件是 （1） S b a ∈, ? S b a ∈+ （2） R r ∈，S a ∈ ? S ar ra ∈, 4．整环与域 定义1. 乘法满足交换律的环称为交换环； 定义2. 设1是环R 的一个元素，对任意R a ∈有a a a ==11，则 称1 是R 的单位元素； 定义 3. 设R 是有单位元素1的环，若对R 中的元素a 有一元素 b ，使1==ba ab ，则称a 是可逆元素，b 称为a 的一个 逆元素； 定义4. 设a ,b 是环R 的两个元素，若0≠a ，0≠b ，而0=ab ， 则称a 与b 是真零因子。 性质 在无真零因子的环R 中，乘法适合 左消去律 ac ab =，0≠a c b =? 数字信号处理期末试题及答案汇总 数字信号处理卷一 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4 ()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入 为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号（）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统（）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括（）A. 实轴 B.原点C.单位圆 D.虚轴 8．已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>2，则该序列为（）A.有限长序列 B.无限长序列C.反因果序列 D.因果序列 9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是( ) A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M 10．设因果稳定的LTI系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( ) 数字信号处理基础书后题答案中文版 Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。 2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。 (b)、35000π =ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。 (c)、7 3000π =ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。 2.3 (a) 1258000 1f 1T S S === μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。 2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。 2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。因此，5个周期为5/1250 sec 。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。 2.7 信号搬移发生在kf S ± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数 倍 -200 200 400 600 800 1000 1200 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91 幅度 频 数字信号处理实验答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 实验一熟悉Matlab环境 一、实验目的 1.熟悉MATLAB的主要操作命令。 2.学会简单的矩阵输入和数据读写。 3.掌握简单的绘图命令。 4.用MATLAB编程并学会创建函数。 5.观察离散系统的频率响应。 二、实验内容 认真阅读本章附录，在MATLAB环境下重新做一遍附录中的例子，体会各条命令的含义。在熟悉了MATLAB基本命令的基础上，完成以下实验。 上机实验内容： （1）数组的加、减、乘、除和乘方运算。输入A=[1 2 3 4]，B=[3 4 5 6]，求C=A+B，D=A-B，E=A.*B，F=A./B，G=A.^B并用stem语句画出A、B、C、D、E、F、G。 clear all; a=[1 2 3 4]; b=[3 4 5 6]; c=a+b; d=a-b; e=a.*b; f=a./b; g=a.^b; n=1:4; subplot(4,2,1);stem(n,a); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('A'); subplot(4,2,2);stem(n,b); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('B'); subplot(4,2,3);stem(n,c); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('C'); subplot(4,2,4);stem(n,d); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('D'); subplot(4,2,5);stem(n,e); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('E'); subplot(4,2,6);stem(n,f); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('F'); subplot(4,2,7);stem(n,g); xlabel('n');xlim([0 5]);ylabel('G'); （2）用MATLAB实现下列序列： a) x(n)= 0≤n≤15 b) x(n)=e+3j)n 0≤n≤15 c) x(n)=3cosπn+π)+2sinπn+π) 0≤n≤15 d) 将c)中的x(n)扩展为以16为周期的函数x(n)=x(n+16),绘出四个周期。 1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n ≤33和x2(n)，0≤n ≤36，做线性卷积后结果的长度是 70 ， 若对这两个序列做64点循环卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 64 为线性卷积结果。 2. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 ； 输入为x （n-3）时，输出为 3. 若正弦序列x(n)=sin(30n π/120)是周期的，则周期是N= 8 4. 如果一台计算机的速度为平均每次复乘5μS ，每次复加0.5μS ，用它来计算512 点的DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间。 1、 直接计算 复乘所需时间 62621510510512 1.31072T N s --=??=??= 复加所需时间()6610.51010.5105125110.130816T N N s --=???-=???= 所以12 1.441536T T T s =+= 2、用FFT 计算 复乘所需时间 66122512510log 510log 5120.0115222 N T N s --=?? =??= 复加所需时间662220.510log 0.510512log 5120.002304T N N s --=??=??= 所以120.013824T T T s =+= 6.设系统差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其中x(n)为输入，y(n)为输出。当边界条件选为y(-1)=0时，是判断系统是否线性的、移不变的 7.用级联型结构实现以下系统函数，试问一共能构成几种级联型网络，并画出其中一种的信号流图。 ()() ()() 22 41 1.41()0.50.90.8Z Z Z H z Z Z Z +-+= -++ ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2() 8sin( )1(n n n n n π π π π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= }2 3 ,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+= }{1,4,6,5,2答案：x(n)= 4. 如果输入信号为 ，求下述系统的输出信号。 clc; clear; M=26;N=32;n=0:M; xa=0:M/2; xb=ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,512); Xk1=abs(Xk); X32k=fft(xn,32); X32k1=abs(X32k); x32n=ifft(X32k); X16k=X32k(1:2:N); X16k1=abs(X16k); x16n=ifft(X16k,N/2); figure(1); subplot(3,2,1); stem(Xk1); subplot(3,2,2); stem(X32k1); subplot(3,2,3); stem(x32n); subplot(3,2,4); stem(X16k1); subplot(3,2,5); stem(x16n); Lx=41;N=5;M=10; hn=ones(1,N);hn1=[hn zeros(1,Lx-N)]; n=0:Lx-1; xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5); yn=fftfilt(hn,xn,M); figure(1); subplot(3,1,1); stem(hn1); subplot(3,1,2); stem(xn); subplot(3,1,3); stem(yn); clc; clear; n=0:31; A=3; y=A*exp((0.8+j*314)*n); subplot(2,1,1); stem(y); Az=[0.7 0.3]; Bz=[1 -0.8 -0.5]; subplot(2,1,2); zplane(Bz,Az); 试卷代号：1079 座位号 国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试 高等代数专题研究试题 2020年7月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．下列法则是整数集Z上的代数运算的是( )． A．α。b=α+b B．α。b=αb 2 C．α。b=√2αD．α。b=1 3 2．若向量组α1，α2…，αt与β，…，β1以均线性无关，则向量组α1+β1，…，αt+βt。( )．A．一定线性无关B．一定线性相关 C．可能线性相关，也可能线性无关D．以上说法都不对 3．设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是( )． A．A有n个不同的特征值B．A是可逆矩阵 C．A有n个线性无关的特征向量D．A是实对称矩阵 4．设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，σ在基α1，α2，…，αn。下的矩阵为对称矩阵A，则( )． A．σ为可逆变换 B．当α1，α2，…，αn为标准正交基时，σ为对称变换 C．σ为正交变换 D．σ为对称变换 5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵( )． A．相似B．相等 C．正交相似D．相合 二、填空题（每小题4分，共20分） 6．有理数域上的不可约多项式的次数是____________次的． 7．在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是____________的． 8．设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T?1AT=B，则称A与B__________．9．若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是___________变换．10．设A是n阶实矩阵，当A是__________矩阵时，A T A是正定矩阵. 三、计算题（每小题15分，共45分） 11．已知α1，α2，α3是3维线性空间V的一组基，向量组β1，β2，β3满足β1+β3=α1+α2+α3，β1+β2=α2+α3，β2+β3=α1+α3求由基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵． 12．设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=（2x1?x2，x2?x3，x2+x3），求σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=（0，0，1）下的矩阵． 13．用正交线性替换化实二次型x12+2x22+3x32?4x1x2?4x2x3为标准形. 四、证明题（共15分） 14．设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1．数字信号处理试题及答案
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