万有引力与航天
开普勒定律
一、两种对立学说（了解）
1.地心说：
（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。 2.日心说：
（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。
二、开普勒定律
1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。
3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R 的三次方与公转周期T 的二次方的比
值都相同，即k k T
a ,23
值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似
为圆，则半长轴a 即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。
[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是( AB )。 A ．地心说的参考系是地球 B ．日心说的参考系是太阳
C ．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值
D ．日心说是由开普勒提出来的
2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( B )
A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
B ．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大
C ．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律
D ．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作
万有引力定律
1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。
2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m 1和m 2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。
3.表达式：221r
m
m G F =，).(/1067.62211引力常量kg m N G ??=-
4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
5.四大性质：
①普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。
②相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。
③宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。
④特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。
6.对G 的理解：①G 是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装臵测出，单位是22/kg m N ?。 ②G 在数值上等于两个质量为1kg 的质点相距1m 时的相互吸引力大小。 ③G 的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。
7.万有引力与重力的关系： (1)“黄金代换”公式推导：
当F G =时，就会有22
gR GM R
GMm
mg =?=。 (2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。 8.万有引力定律与天体运动：
(1) 运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。 (2) 从力和运动的关系角度分析天体运动：
天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F 需=F 万。如图所示，由牛顿第二定律得：
2m
,L
GM F ma F ==万需，从运动的角度分析向心加速度：
.)2(222
22L f L T L L v a n ππω=??
?
??===
（3）重要关系式：.)2(22
2
222
L f m L T m L m L v m L GMm ππω=??
? ??===
[牛刀小试]1、两颗球形行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比= q ，则两颗卫星的周期之比等于p
q
q
。 2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R 2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？
解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为3
212
21 ???
? ???
??
?
??R R ωω。 3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M 1与地球质量M 2之比
2
1
M M = p ；火星的半径R 1与地球的半径R 2之比21R R = q ，那么火星表面的引力加速度g 1与地球表面处的重力加速度g 2之比2
1g g
等于( A ) A ．
2q
p
B ．p q 2
C ．
q
p
D ．p q
9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：
谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。 模型：如右图所示，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？
思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
根据“思路分析”所述，引力F 可视作F=F 1+F 2：
M R M R R M R d GMm F 81
3
4234234'2/33
3
2
=???? ??=???? ??==ππρπ的小球质量为，因半径为已知, 222
222
212222828728,282'??? ?
?
-+-=??? ??--=-=?
?? ??-=??? ??-=R d d R dR d GMm R d Mm G d GMm F F F R d Mm
G R d m
M G F 所以, 则挖去小球后的剩余部分对球外质点m 的引力为2
22228287?
?? ?
?
-+-R d d R dR d GMm
。
[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg ，周期为1h 的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G 的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的14，月球表面重力加速度约为地球的1
6，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他
的论证方案。(地球半径约为6.4×103km)
证明：因为G Mm R 2＝m 4π2
T 2R ，所以T ＝2π
R 3
GM
， 又G Mm R 2＝mg 得g ＝GM
R
2，故T min ＝2π
R 3
GM
＝2πR 月
g 月
＝2π14R 地16
g 地 ＝2π
3R 地
2g 地
＝2π3×6.4×10
6
2×9.8
s ＝6.2×103s ≈1.72h 。
环月卫星最小周期约为1.72h ，故该报道是则假新闻。
由“万有引力定律”引出的四大考点
一、解题思路——“金三角”关系：
（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即
r n m r T m r m r v m ma r GMm 2
2
222
)2(2ππω=??
? ??====是本章解题的主线索。 （2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即g mg r
GMm
,2
=为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。
（3）重力与向心力的联系：g r T m r m r v m mg ,22
2
2??
? ??===πω为对应轨道处的重力加速度，适
用于已知g 的特殊情况。
二、天体质量的估算
模型一：环绕型：
谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G 和环形卫星的v 、ω、T 、r 中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。
①已知r 和T:.422
322
2GT r M r T m r Mm G ππ=???
?
??= ②已知r 和v:.2
22G
rv M r v m r Mm G =
?= ③已知T 和v:.2232
22G T v M r T m r v m r Mm G ππ=???
?
??==
模型二：表面型：
谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。
.2
2G
gR M mg R Mm G =
?=
变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g ，也可以利用上面的方
法求出天体的质量：
处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，
即：.)('')(2
2
G
h R g M mg h R Mm G +=?=+ [触类旁通]1、(2013〃福建理综，13)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆。已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )
A ．GM ＝
4π2r 3
T 2
B ．GM ＝
4π2r 2
T 2
C ．GM ＝
4π2r 2
T 3
D ．GM ＝
4πr 3
T 2
解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由GMm r 2＝mr 4π2
T 2可得 GM ＝4π2r 3
T 2，A 正确。
2、(2013〃全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G ＝6.67×10－11N 〃m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km 。利用以上数据估算月球的质量约为( D ) A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg
解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由G Mm r 2＝mr 4π2r 2得M ＝4π2r 3
GT 2，又r ＝R 月＋h ，代入数值得月球质量M ＝7.4×1022kg ，选项D 正确。
3、土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105 km ，公转周期为18 h 46 min ，则土星的质量为 5.21×1026 kg 。
4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。
解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量
2
2332Gt
LR 。
5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T ，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G ，用M 表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是( A )
A ．M =G
gR 2
B ．M =g GR 2
C ．M =23
2π4GT R
D ．M =G
R T 23
2π4
解析：月球绕地球运转的周期T 与月球的质量无关。
三、天体密度的计算
模型一：利用天体表面的g 求天体密度：
.4334,32GR g R M mg R Mm G πρπρ=??== 变形
物体不在天体表面：
.4)('334,')(3
2
32GR h R g R M mg h R Mm G πρπρ+=??==+ 模型二：利用天体的卫星求天体的密度：
.
33443434,4323323
233222R GT r R GT r R M R M T r m r Mm G ππππρπρπ===??==
四、求星球表面的重力加速度：
在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：
.2
2星
星
星星星星R GM g R m M G
mg =?=
[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )
A ．1－d R
B ．1＋d R C.2??? ??-R d R D. 2
??
?
??-d R R 解析：设地球的质量为M ，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知， 地球表面的重力加速度g ＝
GM R 2，地球的质量可表示为M ＝43
πR 3
ρ 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为 M ′＝4
3π(R －d )3ρ，解得M ′＝(R －d R )3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2，所以矿井
底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比g ′g ＝1－d
R ，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误。
五、双星问题：
特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。 符号表示：L m m m r L m m m r m v m r v m r m F 2
11
221212,,1,1+=+=∝∝
?==ωω.
处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：
G m 1m 2
L
2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，由此得出： (1)m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3
GT 2
。
[牛刀小试]1、(2010 年全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L.已知 A 、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧．引力常量为 G. (1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这
样算得的运行周期为 T 2. 已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024kg 和7.35×1022
kg.求 T 2与T 1两者的平方之比．(结果保留两位小数)
解析：(1)A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等，且 A 和 B 与 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期．因此有 m ω2
r ＝M ω2
R ，r ＋R ＝L 联立解得R ＝
m m ＋M
L ，r ＝
M m ＋M
L
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得：
L m M M T m L GMm +????
??=2
22π，化简得)(23m M G L T +=π
. (2)将地月看成双星，由(1)得)
(23
m M G L T +=π
将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 2
22??
?
??=π
化简得GM
L T 3
2π=
所以两种周期的平方比值为
2
12???
? ??T T ＝M ＋m M ＝5.98×1024＋7.35×1022
5.98×1024＝1.01.
2、(2013〃山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( B )
A.
n 3
k 2T B.n 3
k T C.n 2
k T
D.
n k T
解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由GMm r 2＝mr 1ω2；GMm
r 2＝Mr 2ω2； r ＝r 1＋r 2得：G (M ＋m )r 2＝rω2
＝r 4π2T 2同理有Gk (M ＋m )(nr )2＝nr 4π2T 21，解得T 1＝
n 3
k T ，B 正确。
宇宙速度 & 卫星
一、涉及航空航天的“三大速度”：
（一）宇宙速度：
1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v 1=7.9km/s 。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）
2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v 2=11.2km/s 。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）
3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v 2=16.7km/s 。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度） （二）发射速度：
1.定义：卫星在地面附近离开发射装臵的初速度。
2.取值范围及运行状态：
①s km v v /9.71==发,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。 ②s km v v /9.71=>发，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。
③s m v s km v v v /2.11/9.7,21<<<<发发即,一般情况下人造地球卫星发射速度。 （三）运行速度：
1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。
2.大小：对于人造地球卫星，,22r GM
v r v m r Mm G =?=该速度指的是人造地球卫星在轨道上的
运行的环绕速度，其大小随轨道的半径r ↓而v ↑。
3.注意：①当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；②当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。
[牛刀小试]1、地球的第一宇宙速度约为8 km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍。该行星上的第一宇宙速度约为( A )
A ．16 km/s
B ．32 km/s
C ．46 km/s
D ．2 km/s
解析：由公式m r 2v = G 2r
Mm
，若M 增大为原来的6倍，r 增大为原来的1.5倍，可得v 增大为原
来的2倍。
2、某行星的质量为地球质量的16倍，半径为地球半径的4倍，已知地球的第一宇宙速度为7.9 km/s ,该行星的第一宇宙速度是多少？
解析：思路与第一题相同，答案可易算得为15.8 km/s 。
3、某星球半径为R ，一物体在该星球表面附近自由下落，若在连续两个T 时间内下落的高度依次为h 1、h 2，则该星球附近的第一宇宙速度为T
h h R )(12-。
二、两种卫星：
（一）人造地球卫星：
1.定义：在地球上以一定初速度将物体发射出去，物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的人造卫星。
2.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。
3.三个”近似”：
①近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。 ②在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力。
③天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。 4.四个等式：
①运行速度：↓↑→+∝→+=?+=+v h h R v h R GM v h R v m h R Mm G ,1
)(22
。 ②角速度：↓↑→+∝→+=?+=+ωωωω,)(1)()()(3
32
2h h R h R GM h R m h R Mm G
。
③周期：。↑↑→+∝→+=?+???
??=+T h h R T GM h R T h R T m h R Mm G ,)()(2)(2)(332
2
ππ。 ④向心加速度：↓↑→+∝→+=?=+a h h R a h R GM a ma h R Mm G
,)
(1
)()(2
22。 （二）地球同步卫星：
1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。
2.五个“一定”：
①周期T 一定：与地球自转周期相等（24h ），角速度ω也等于地球自转角速度。
②轨道一定：所有同步卫星的运行方向与地球自转方向一致，轨道平面与赤道平面重合。 ③运行速度v 大小一定：所有同步卫星绕地球运行的线速度大小一定，均为3.08km/s 。 ④离地高度h 一定：所有同步卫星的轨道半径均相同，其离地高度约为3.6×104km 。
⑤向心加速度a n 大小一定：所有同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等，约为0.22m/s 2。 注：所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。
三、卫星变轨问题：
1.原因：线速度v 发生变化，使万有引力不等于向心力，从而实现变轨。
2.条件：增大卫星的线速度v ，使万有引力小于所需的向心力，从而实现变轨。
3.注意：卫星到达高轨道后，在新的轨道上其运行速度反而减小；当卫星的线速度v 减小时，万有引力大于所需的向心力，卫星则做向心运动，但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速度反而增大。
4.卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位臵在同一直线上，实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
四、与卫星有关的几组概念的比较总结：
1.天体半径R 和卫星轨道半径r 的比较：卫星的轨道半径r 是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半径，与天体半径R 的关系是r=R+h （h 为卫星距离天体表面的高度），当卫星贴近天体表面运动时，可视作h=0，即r=R 。
2.卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较： （1）卫星运行的加速度：
卫星绕地球运行，由万有引力提供向心力，产生的向心加速度满足22,r
GM
a ma r Mm G ==即,
其方向始终指向地心，大小随卫星到地心距离r 的增大而减小。 （2）物体随地球自转的向心加速度：
当地球上的物体随地球的自转而运动时，万有引力的一个分力使物体产生随地球自转的向心加速度，其方向垂直指向地轴，大小从赤道到两极逐渐减小。 3.自转周期和公转周期的比较：
自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是某星球绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般两者不等（月球除外），如地球的自转周期是24h ，公转周期是365天。 4.近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较： （1）近地卫星和赤道上的物体：
内容 近地卫星 赤道上的物体 相同点 质量相同时，受到地球的引力大小相等
不同点
受力情况 只受地球引力作用且地球引力等于
卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力和地面支持力作用，其
合力提供物体随地球自转做圆周运
动的向心力
运动情况 角速度、线速度、向心加速度、周期均不等
（2）近地卫星和同步卫星：
相同点：都是地球卫星，地球的引力提供向心力。
不同点：近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星的大，而周期比同步卫星的小。 （3）赤道上的物体和同步卫星：
内容 近地卫星 赤道上的物体 相同点 角速度都等于地球自转的角速度，周期都等于地球自转的周期
不同点
受力情况
只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力和地面支持力作用，其
合力提供物体做圆周运动的向心力
轨道半径 同步卫星的轨道半径比赤道上的物体的轨道半径大很多 运动情况 同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体
[牛刀小试]1、(多选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星的路线示意图如图 6－2 所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为 a ∶1，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为 b ∶1，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星（ AD ）
A ．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为a ∶b
B ．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为b ∶a
C ．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D ．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速
解析：由G Mm
r 2＝m v 2r 得v ＝G M
r ，所以v 1v 2
＝
M 1r 2M 2r 1＝
a b ，选项A 正确．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得T 1T 2
＝
r 31r 32·M 2M 1
＝b 3
a ，选项B 错误．由v ＝
G M
r 可知，轨道半径越大，运行速度
越小，所以选项C 错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D 正确．
2、(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道 1，然后经点火使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于P 点，如图 6－3 所示，则当卫星分别在 1、2、
3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是(BD ）
A ．卫星在轨道 3 上的运行速率大于在轨道 1 上的速率
B ．卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度
C ．卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2上经过 Q 点时的加速度
D ．卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3上经过 P 点时的加速度
解析：由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则有G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ，所以v ＝
GM
r 、
ω＝
GM
r 3.由题图可得轨道半径r 1
ω1>ω3，A 错B 对．Q 点是圆周轨道1与椭圆轨道2
的相切点，由于万有引力提供向心力，则有G Mm
r 2＝ma
向，所以a 向
＝GM
r 2，显然，卫星在经过圆周轨道1上的
Q 点和在经过椭圆轨道2上的Q 点时具有的向心加速
度均为a 向＝GM
r 2，C 错；同理可得D 对．
3、(多选)地球同步卫星到地心的距离r 可由r 3
＝x 2y 2z 4π
2求出．已知式中 x 的单位是 m, y 的单
位是 s ，z 的单位是 m/s 2 ，则
A ．x 是地球半径，y 是地球自转的周期，z 是地球表面处的重力加速度
B ．x 是地球半径，y 是同步卫星绕地心运动的周期，z 是同步卫星的加速度
C ．x 是赤道周长，y 是地球自转周期，z 是同步卫星的加速度
D ．x 是地球半径，y 是同步卫星绕地心运动的周期，z 是地球表面处的重力加速度
解析：由r T
m r Mm G 22)2(π=，可得r 3＝GMT 24π2①，与题目中给出的r 3＝x 2y 2
z 4π2相比需再作进一步处理．考虑到z 的单位是m/s 2，是加速度的单位，于是引入加速度a ＝G M
r 2②，上式中a 为同步卫星的加速度，r 为同步卫星到地心的距离，由①②两式可得r 3
＝r 2T 2a
4π2，显然与所有选项不对应；
引入地球表面处的重力加速度：g ＝G M R 2③，由①③两式可得r 3＝R 2T 2g 4π2，与r 3＝x 2y 2
z 4π2相比，形式
相同，并且与A 、D 对应．对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期T 相同． 【题外延伸】此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解．要结合同
步卫星的知识进行推导，推导的方向是既要符合题目中给出的r 3
＝z 2y 2z 4π2形式，又要符合选项的要求．在推导的过程中思路要清晰，量纲要相符，形式要相同，表面上看是一件很难的事情，其实只要尝试多几次即可．
4、(多选)下列关于同步卫星的说法，正确的是(AC ）。 A ．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率是确定的
B ．同步卫星的角速度是确定的，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大，且仍保持同步
C ．一颗人造地球卫星的周期是 114 min ，比同步卫星的周期短，所以这颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D ．同步卫星的速率比地球大气层附近的人造卫星的速率大 解析：同步卫星和地球自转同步，即它们的周期 T 相同，同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动，所需向心力由卫星 m 和地球 M 之间的万有引力提供．设地球半径为 R ，同步卫星高度为h ，因
为F 引＝F 向，所以G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，得h ＝3GMT 24π－R ，可见h 是一定的；由G Mm
(R ＋h )2＝
m v 2
R ＋h
得：v ＝GM
R ＋h
，可见 v 也是一定的，A 正确．由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则 h 和 v 均随之确定，不能改变，否则不能同步，B 错误．由h ＝
3GMT 2
4π2－R 可知，当
T 变小时，h 变小，可见，人造卫星离地面的高度比同步卫星低，速率比同步卫星大，C 正确，D 错误。
5、2007年10月24日18时，“嫦娥一号”卫星星箭成功分离，卫星进入绕地轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月转移轨道④。11月5日11时，当卫星经过距月球表面高度为h 的A 点时，再一次实施变轨，进入12小时椭圆轨道⑤，后又经过两次变轨，最后进入周期为T 的月球极月圆轨道⑦。如图所示。已知月球半径为R 。
(1)请回答：“嫦娥一号”在完成三次近地变轨时需要加速还是减速？ (2)写出月球表面重力加速度的表达式。 解析：(1)加速
(2)设月球表面的重力加速度为g 月，在月球表面有G Mm
R 2＝mg 月，卫星在极月圆轨道有，G Mm (R ＋h )2
＝m (2πT )2
(R ＋h )，解得g 月＝4π2(R ＋h )3T 2R 2。 6、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ABC ) A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度
B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度
解析：逐项判断A ．根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A 正确；B ．由I 轨道变到II 轨道要减速，所以B 正确；C ．根据
开普勒定律，23
T
R = c ，R 2＜R 1，所以T 2＜T 1。C 正确；D ．根据a =2R GM ，应等于，D 错误。
7、我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后，最终成功进入环月工作轨道。如图所
示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a 上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b 上运动。下列说法正确的是( D )
A ．卫星在a 上运行的线速度小于在b 上运行的线速度
B ．卫星在a 上运行的周期大于在b 上运行的周期
C ．卫星在a 上运行的角速度小于在b 上运行的角速度
D ．卫星在a 上运行时受到的万有引力大于在b 上运行时的万有引力 解析：根据万有引力提供向心力，推导出线速度、角速度和周期与轨道半
径的关系式。
第六章 万有引力与航天（复习设计） ★新课标要求 1、理解万有引力定律的内容和公式。 2、掌握万有引力定律的适用条件。 3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性 4、掌握对天体运动的分析。 ★复习重点 万有引力定律在天体运动问题中的应用 ★教学难点 宇宙速度、人造卫星的运动 ★教学方法：复习提问、讲练结合。 ★教学过程 （一）投影全章知识脉络，构建知识体系 （二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即： 3 2a k T = 比值k 是一个与行星无关的常量。 2、万有引力定律 （1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： 122m m F G r =，1122 6.6710/G N m kg -=?? （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 周期定律 开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律
（1）基本方法： ①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：2 22Mm v G m m r r r ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2M g G R =，R 为天体半径。 （2）天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2 224Mm G m r r T π=得被环绕天体的质量 为2324r M GT π=，密度为3 22 3M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。 当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则2 3GT π ρ=。 （3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 ①由2 2Mm v G m r r =得v =∴r 越大，v 越小 ②由2 2 Mm G m r r ω=得ω=∴r 越大，ω越小 ③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大 （4）三种宇宙速度 ①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。 （三）本章专题剖析 1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3 233R GT r πρ= 【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太 空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。 解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆
万有引力与航天 考点一万有引力定律及其应用 1.万有引力定律的理解 2.中心天体的质量和密度的估算 3.卫星运行参数的比较与计算 1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h,地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A．0 B. GM （R＋h）2 C. GMm （R＋h）2 D.GM h2 2．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为( ) A.1 2 R B. 7 2 R C．2R D. 7 2 R 3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20 ，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.1 10 B．1 C．5 D．10 4．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( ) A.pq倍 B.q p 倍 C. p q 倍 D.pq3倍 5．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39 天.2006年3月,天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( ) 6．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( ) A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s 7．(多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( ) A．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大 C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 8．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
双星问题 一．解答题（共7小题） 1．（2015秋?南京校级月考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着 一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上， 绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： （1）A星体所受合力大小F A； （2）B星体所受合力大小F B； （3）C星体的轨道半径R C； （4）三星体做圆周运动的周期T． 2．（2015?大庆校级模拟）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的 三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本 的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形 轨道运行．设每个星体的质量均为m，万有引力常量为G． （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期． （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
3．（2015?万州区模拟）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可 忽略其他星体对它们的引力作用．已知双星系统中星体1的质量为m，星体2的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G．求该双星系统运 动的周期． 4．（2015秋?重庆校级月考）如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m A、m B． （1）求B的周期和速率． （2）A受B的引力F A可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试求m′．（用m A、m B表示）（）
《万有引力与航天》高三复习教学设计 （ 一） 设计思想 本讲主要内容就是《万有引力》部分一轮复习。通过教学，给学生一个清晰的知识脉络和模型，使学生在面对高考试题时能高效入题，高效做题，高效得分。促进学生熟练掌握， 并能减轻学生学习的负担，提高学习的效率。其次就是通过这部分内容的学习，激发学 生对航空、航天产生更加浓厚的兴趣和爱好。 （ 二 ） 教材分析 《万有引力与航天》在高考试题中是一个必出的内容。几乎每年都以选择题的形式出 现。 本专题的知识是以所学物理规律解决“天地”问题的典范。所以深刻理解万有引力定 律及应用的条件、范围和思路，是这个单元教学的中心。 在万有引力的应用上，主要有三方面，一是在地表面附近的应用， G Mm =mg, R 2 和 G Mm =Fn+mg （矢量相加），前者是在不考虑自转影响时用（因为在地面上的物 R 2 体随，后者是在考虑地球自转影响时用。二是在天上的应用（以圆周运动为主），依据 是 G Mm ＝F ｎ。三是卫星的发射与变轨的问题。 r 2 （ 三） 学情分析 经过高二的学习之后，学生对万有引力定律及其应用有了一定的认识，但由于时间较 长，学生不仅在知识上有所遗忘，更重要的是规律的生疏和方法经验的缺失、遗忘，致使学生对这部分知识又成陌路。所以在一轮复习时，回顾知识，用一些做过的问题作为引子，唤醒学生记忆，并在此基础上有针对性地加强经验、方法、模型的小结（针对考试），可更有效地提升做题的效率。 （ 四） 教学目标 1、知识与技能 （1） ）复习回顾《万有引力》。
（2））小结回顾归纳万有引力定律在实际中的应用及典型模型，指出各类问题解决的 方法思路。提高学生做题的技巧和能力。 （3））通过适量练习，小结方法经验，指出需要注意的事项。提高解题技巧和估算能力。 2、过程与方法 （1））能够应用万有引力定律解决简单的引力计算问题。 （2））掌握计算天体质量与密度方法。 （3））掌握天体运动规律与宇宙速度的概念。 3、情感、态度与价值观 （1））航空与航天，是多少优秀中华儿女的梦想，通过学习掌握万有引力定律及其应用，促使学生热爱航空航天事业，激发学生的深厚兴趣，为我国航空航天事业贡献力量。（2））通过本单元教学，可以培养学生热爱生活的态度和实事求是的精神，培养学生唯 物史观和探索宇宙兴趣和爱好。 （五）教学重难点 教学重点：万有引力在天体运动中的应用教 学难点：万有引力与重力的关系应用 （六）教学方法 1、小结归纳、难点透析； 2、例题归类、方法点拨； 3、联系实际、激发兴趣。 （七）教学手段 1、多媒体呈现主要内容和主要过程； 2、板书内容要点和演练过程。 （八）教学过程 一复习回顾基本知识 【知识储备】 1、开普勒行星运动第一定律：. 第二定律：. 第三定律：. 2 、有两个质量均匀分布的小球，质量分别为M 和m，半径为r，两球间距离也为 r，则两球之间的万有引力为。 3、向心力计算公式F = F = F= 。
高中物理学习材料 （马鸣风萧萧**整理制作） 河北省衡水市景县梁集中学2014-2015学年度高一万有引力与航天 专项训练 万有引力与航天 (90分钟 100分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题至少一个答案正确，选不全得2分) 1.(2011·信阳高一检测)要使两物体间万有引力减小到原来的1/8，可采取的方法是( ) A.使两物体的质量各减少一半，距离保持不变 B.使两物体间距离变为原来的2倍，其中一个物体质量减为原来的1/2 C.使其中一个物体质量减为原来的1/4，距离不变 D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/4 2.(2011·平川高一检测)关于人造地球卫星的运行速度和发射速度，以下说法中正确的是( ) A.低轨道卫星的运行速度大，发射速度也大 B.低轨道卫星的运行速度大，但发射速度小 C.高轨道卫星的运行速度小，发射速度也小 D.高轨道卫星的运行速度小，但发射速度大 3.(2011·广州高一检测)美国宇航员评出了太阳系外10颗最神奇的行星，在这10颗最神奇的行星中排名第三的是一颗不断缩小的行星，命名为HD209458b，它的一年只有3.5个地球日.这颗行星以极近的距离绕恒
星运转，因此它的大气层不断被恒星风吹走.据科学家估计，这颗行星每秒就丢失至少10 000吨物质，最终这颗缩小的行星将只剩下一个死核.假设该行星是以其球心为中心均匀减小的，且其绕恒星做匀速圆周运动.下列说法正确的是( ) A.该行星绕恒星运行周期会不断增大 B.该行星绕恒星运行的速度大小会不断减小 C.该行星绕恒星运行周期不变 D.该行星绕恒星运行的线速度大小不变 4.(2011·山东高考)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是 ( ) A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方 5.一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的( ) A.6倍 B.4倍 C.25/9倍 D.12倍 6.(2010·上海高考)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则( ) A.g1=a B.g2=a
《万有引力与航天》典型题练习一、选择题 1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是() A．第一宇宙速度又叫脱离速度 B．第一宇宙速度又叫环绕速度 C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关 2．火星的质量和半径分别约为地球的1 10和 1 2，地球表面的重力加速度为g， 则火星表面的重力加速度约为() A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g 3.嫦娥二号卫星已成功发射，这次发射后卫星直接进入近地点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接奔月．当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100公里、 周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100 公里的近月圆轨道b.轨道a和b相切于P点，如右图所示．下 列说法正确的是() A．嫦娥二号卫星的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s B．嫦娥二号卫星的发射速度大于11.2 km/s C．嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的速度v a＝v b D．嫦娥二号卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为a a、a b则a a>a b 4．我们在推导第一宇宙速度的公式v＝gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有() A．卫星做半径等于2倍地球半径的匀速圆周运动 B．卫星所受的重力全部作为其所需的向心力 C．卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力 D．卫星的运转周期必须等于地球的自转周期
5．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km ，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为( ) A ．3.1 km/s B ．3.9 km/s C ．7.9 km/s D ．11.2 km/s 6．有两颗质量均匀分布的行星A 和B ，它们各有一颗靠近表面的卫星a 和b ，若这两颗卫星a 和b 的周期相等，由此可知( ) A ．卫星a 和b 的线速度一定相等 B ．行星A 和B 的质量一定相等 C ．行星A 和B 的密度一定相等 D ．行星A 和B 表面的重力加速度一定相等 7．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 km 和2 384 km ，则 ( ) A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能 B ．卫星在M 点的角速度小于N 点的角速度 C ．卫星在M 点的加速度大于N 点的加速度 D ．卫星在N 点的速度大于7.9 km/s 8．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( ) A ．M ＝4π2(R ＋h )3Gt 2 ，ρ＝3π·(R ＋h )3 Gt 2R 3 B ．M ＝4π2(R ＋h )2Gt 2 ，ρ＝3π·(R ＋h )2 Gt 2R 3
第六章 万有引力与航天知识点总结 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力： 在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。 地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重 力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小， 就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰 好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 122 m m F G r =2 R Mm G mg =
万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：v v >远近 开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体 才可以列比例，太阳系： 333222 ===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：221r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭 秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质 心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 3224R GM T π =
新人教版高中物理必修二 同步教案 第六章 万有引力与航天 单元复习教案 新课标要求 1、理解万有引力定律的内容和公式。 2、掌握万有引力定律的适用条件。 3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性 4、掌握对天体运动的分析。 复习重点 万有引力定律在天体运动问题中的应用 教学难点 宇宙速度、人造卫星的运动 教学方法：复习提问、讲练结合。 教学过程 （一）投影全章知识脉络，构建知识体系 （二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即： 3 2a k T = 比值k 是一个与行星无关的常量。 2、万有引力定律 （1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： 122m m F G r =，1122 6.6710/G N m kg -=?? 周期定律 开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 的测定 天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律
（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法： ①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供： 2 22Mm v G m m r r r ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2 M g G R =，R 为天体半径。 （2）天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2 224Mm G m r r T π=得被环绕天体 的质量为2324r M GT π=，密度为3 22 3M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。 当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则2 3GT π ρ= 。 （3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 ①由22Mm v G m r r =得v =∴r 越大，v 越小 ②由2 2Mm G m r r ω=得ω=∴r 越大，ω越小 ③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大 （4）三种宇宙速度 ①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。 （三）本章专题剖析 1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22??? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=334R M 得3 23 3R GT r πρ=
第六章 万有引力与航天 复习教案 ★新课标要求 1、理解万有引力定律的内容和公式。 2、掌握万有引力定律的适用条件。 3、了解万有引力的“三性”，即：①普遍性②相互性 ③宏观性 4、掌握对天体运动的分析。 ★复习重点 万有引力定律在天体运动问题中的应用 ★教学难点 宇宙速度、人造卫星的运动 ★教学方法：复习提问、讲练结合。 ★教学过程 （一）投影全章知识脉络，构建知识体系 （二）本章要点综述 1、开普勒行星运动定律 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即： 3 2a k T = 比值k 是一个与行星无关的常量。 2、万有引力定律 （1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。 （2）万有引力定律公式： 122 m m F G r =，1122 6.6710/G N m kg -=?? （3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件。 3、万有引力定律在天文学上的应用。 周期定律 开普勒行星运动定律 轨道定律 面积定律 发现 万有引力定律 表述 G 的测定 天体质量的计算 发现未知天体 人造卫星、宇宙速度 应用 万有引力定律
（1）基本方法： ①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：2 22Mm v G m m r r r ω== ②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：2M g G R =，R 为天体半径。 （2）天体质量，密度的估算。 测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由2 224Mm G m r r T π=得被环绕天体的质量 为2324r M GT π=，密度为3 22 3M r V GT R πρ==，R 为被环绕天体的半径。 当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则2 3GT π ρ=。 （3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。 ①由2 2Mm v G m r r =得v =∴r 越大，v 越小 ②由2 2 Mm G m r r ω=得ω=∴r 越大，ω越小 ③由2224Mm G m r r T π=得T =∴r 越大，T 越大 （4）三种宇宙速度 ①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v 2=11.2km/s ，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度：v 3=16.7km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。 （三）本章专题剖析 1、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3 233R GT r πρ= 【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太 空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。试计算土星的质量和平均密度。 解析：设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M . “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆
第六章 万有引力与航天知识点总结（MYX ） 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 推论：开普勒第二定律：v v >远近 开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的环绕 星体才可以列比例，太阳系： 333222===......a a a T T T 水火地地水火a---半长轴或半径，T---公转周期 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =2 3（开三） r T m F 224π=（牛二） 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '=（牛三） 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：221r m m G F =,r 是球心距。 3.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭 秤实验测出。 4、适用条件：①万有引力定律公式适用于两个质点间的万有引力大小的计算。万有引力是普遍存在的。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中 r 为两物体 质心间的距离。 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。 五、双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和 ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： M 1： 22121111121 M M v G M M r L r ω== M 2 22122222222M M v G M M r L r ω== 相同的有：周期，角速度，向心力 因为12F F =，所以221122m r m r ωω= 轨道半径之比与双星质量之比相反： 1221r m r m = 线速度之比与质量比相反：1221 v m v m = 六、宇宙航行： 一、 1、卫星分类：侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星…… 2、卫星轨道：可以是圆轨道，也可以是椭圆轨道。地球对卫星的万有引力提供向心力，所以圆轨道圆心 或椭圆轨道焦点是地心。分为赤道轨道、极地轨道、一般轨道。 3、卫星围绕地球飞行时，向心加速度即该点的重力加速度。 二、 1、三个宇宙速度： 第一宇宙速度（发射速度）：7.9km/s 。最小的发射速度，最大的环绕速度。 2 v mg m R = ,9.8/63707.9/gR m s km km s =?=（所有卫星中的最大速度） 第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s 。物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星或飞到其他行星 上去的最小发射速度。 第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s 。物体挣脱太阳引力束缚、飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射 速度。 7.9km/s ＜v ＜11.2km/s 时，卫星绕地球旋转，其轨道是椭圆，地球位于一个焦点上。
高一必修 1 第六章知识提纲 第六章《万有引力与航天》知识提纲 一、知识网络 托勒密：地心说 人类对行哥白尼：日心说 星运动规开普勒第一定律（轨道定律） 行星第二定律（面积定律） 律的认识第三定律（周期定律） 运动定律 万有引力定律的发现 万有引力定律的内容 万有引力定律F＝G m 1 m 2 r 2 引力常数的测定 万有引力定律称量地球质量M＝gR 2 G 万有引力的理论成就M 4 2r 3＝ 2 GT 与航天计算天体质量r＝R,M= 4 2 R 3 GT 2 M= gR2 G 人造地球卫星 4 2 r 3 M= 2 GT 宇宙航行G Mm =m v2 r 2r mr2 ma 第一宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度第二宇宙速度11.2km/s 地三宇宙速度16.7km/s
高一必修 1 第六章 知识提纲 二、重点内容讲解 1、计算重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度， 在忽略地球自转的情况下， 可用万有引力定律来计算。 F M =6.67* 10 11 5.98 * 1024 =9.8(m/ 2 引 =G * s )=9.8N/kg R 2 (6730* 103 ) 2 即在地球表面附近，物体的重力加速度 g ＝ 9.8m/ s 2 。这一结果表明，在重力作用下，物体 加速度大小与物体质量无关。 （2）即算地球上空距地面 h 处的重力加速度 g ’。有万有引力定律可得： GM GM g' R 2 ，∴ g ’＝ ( R 2 g g ’＝ 又 g ＝ ，∴ ＝ (R h)2 ) ( R h)2 R 2 g R h （3）计算任意天体表面的重力加速度 g ’。有万有引力定律得： g ’＝ GM ' （ M ’为星球质量， R ’卫星球的半径） ，又 g ＝ GM ，∴ g ' ＝ M ' ? ( R ) 2 。 R'2 R 2 g M R' 注意：在地球表面物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系， 万有引力的 另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。 由于这个向心力很少， 我们可以 忽略，所以在地球表面的物体 F 引 =G 2、天体运行的基本公式 在宇宙空间， 行星和卫星运行所需的向心力， 均来自于中心天体的万有引力。 因此万有 引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个基本公式。 （1）向心力的六个基本公式，设中心天体的质量为 M ，行星（或卫星）的圆轨道半径为 r ， 则向心力可以表示为： F 引 =F 向， F n ＝ G Mm v 2 =mr 2 2 2 =mr (2 f ) 2 v 。 r 2 ＝ ma ＝ m =mr ( ) =m r T （2）五个比例关系： （ r 为行星的轨道半径） 向心力： F n ＝ G Mm ， F ∝ 1 ； r 2 r 2 向心加速度： a=G M , a ∝ 1 ； r 2 r 2 ① G Mm ＝ m v 2 ； 得 v ＝ GM ， v ∝ 1 ； r 2 r r r ② G Mm ＝ m r 2 ；得 ＝ GM ， ∝ 1 ； r 2 r 3 r 3 ③ G Mm ＝ mr ( 2 ) 2 ； 得 T ＝ 2 r 3 ，T ∝ r 3 ； r 2 T GM （3） v 与 的关系。在 r 一定时， v=r ,v ∝ ; 在 r 变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或 靠近中心天体时， r 不断变化， v 、 也随之变化。 根据， v ∝ 1 和 ∝ 1 ，这时 v 与 3
2020春人教版物理必修二第6章万有引力与航天习题含答案必修二第6章万有引力与航天 一、选择题 1、2017年10月19日，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空成功实现交会对接．若对接前的某段时间内“神舟十一号”和“天宫二号”处在同一圆形轨道上顺时针运行，如图所示，“神舟十一号”要想追上“天宫二号”，并能一起沿原来的圆形轨道继续顺时针运动，下列方法中可行的是() A ．沿运动方向喷气 B ．沿运动方向相反的方向喷气 C ．先沿运动方向喷气，再沿与运动方向相反的方向喷气 D ．先沿与运动方向相反的方向喷气，再沿运动方向喷气 2、太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下面的图中4幅图是用 来描述这些行星运动所遵循的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T T 0 )，纵轴是lg(R R 0 )．这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是()
3、地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力．关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是() A．离地面高度R处为mg 2B．离地面高度R处为mg 3 C．离地面高度R处为mg 4 D．以上说法都不对 4、随着太空技术的飞速发展,地球上的人们登陆其他星球成为可能。假设未来的某一天,宇航员登上某一星球后,测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍,而该星球的平均密度与地球的差不多,则该星球质量大约是地球质量的() A.0.5倍 B.2倍 C.4倍 D.8倍 5、2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图象是() 6、（多选）如图所示A.B.C是在地球大气层外,圆形轨道上运行的三颗人造卫星,B.C离地面的高度小于A离地面的高度,A.B的质量相等且大于C的质量.下列说法中正确的是（） A.B.C的线速度大小相等,且大于A的线速度 B.B.C的向心加速度大小相等,且小于A的向心加速度 C.B.C运行周期相同,且小于A的运行周期 D.B的向心力大于A和C的向心力 7、20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在 短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽
7.1行星的运动 知识与技能 1．知道地心说和日心说的基本内容。 2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 3．知道所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。 4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。 过程与方法 1．通过托勒密、哥白尼、第谷、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。 情感态度与价值观 1．澄清对天体运动神秘、模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法。 2．感悟科学是人类进步不竭的动力。 教学重点 1．理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动。学好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习。 教学难点 1．对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识。 教学过程：略 新课教学 引入：
7．2太阳与行星间的引力 7．3万有引力定律 知识与技能 １．理解太阳与行星间存在引力 ２．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式2r Mm G F ３．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律 ４．理解地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，即服从平方反比定律的万有引力 过程与方法 １．通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性 ２．体会推导过程中的数量关系 情感态度与价值观 １．感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘 ２．通过学习认识和借鉴科学的实验方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，建立科学的价值观 教学重点 １．根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式 ２．在研究具体问题时，如何选取参考系 ３．质点概念的理解 教学难点 １．太阳与行星间的引力公式推导过程 ２．什么情况下可以把物体看作质点 教具 多媒体视频 课时安排 １课时 教学过程 开普勒定律发现之后，人们便开始更深入的思考：行星为什么这样运动？ 这节课我们“追寻着牛顿的足迹”，用自己的手和脑，重新“发现”万有引力定律。 一． 太阳对行星的引力 为了简化问题，行星的轨道按圆来处理，请猜想太阳与行星的引力与什么因数有关 研究的问题中，只有太阳、行星，那么他们之间的引力可能与太阳的质量、行星的质量、他们之间的距离以及行星与太阳之间的媒介物有关，还可能与太阳与行星的形状、大小有关。太阳与行星的是否可以看作质点？太阳与行星之间是真空，对太阳与行星的引力有无影响？ 讨论小结：太阳与行星之间的引力应该与行星到太阳的距离、太阳的质量、行星的质量有关。我们先研究太阳对行星的引力，这样只研究引力与行星的质量以及太阳与行星之间的距离的关系。那么，F 与r 的定量关系是什么？
高中物理必修二万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物：托勒密（欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：V近>V远 开普勒第三定律： K：与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系： 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 ①②③ 2、表达式： 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。 4、引力常量：，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。 5、适用条件： （1）适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 （2）对于质量分布均匀的球体，公式中的r就是它们球心之间的距离。（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。 （4）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r为两物体质心间的距离。
6、推导： 四、万有引力定律的两个重要推论 1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。 2、在匀质球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。 五、黄金代换 若已知星球表面的重力加速度g和星球半径R，忽略自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有所以。 其中是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为黄金替换。 导出：对于同一中心天体附近空间内有，即： 环绕星体做圆周运动的向心加速度就是该点的重力加速度。 六、双星系统 两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。 设双星的两子星的质量分别为和，相距L，和的线速度分别为和，角速度分别为和，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 相同的有：周期，角速度，向心力，因为，所以 轨道半径之比与双星质量之比相反： 线速度之比与质量比相反： 七、宇宙航行： 1、卫星分类：侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星…… 2、卫星轨道：可以是圆轨道，也可以是椭圆轨道。地球对卫星的万有引力提供向心力，所以圆轨道圆心或椭圆轨道焦点是地心。分为赤道轨道、极地轨道、一般轨道。 3、三个宇宙速度： （1）第一宇宙速度（发射速度）：7.9km/s。最小的发射速度，最大的环绕速度。
第四章曲线运动万有引力与航天 第1节曲线运动运动的合成与分解 1．(2014·四川高考)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为() A.k v k2－1 B. v 1－k2 C.k v 1－k2 D. v k2－1 解析：选B根据运动的合成与分解解决问题。 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝d v ，回程渡河所 用时间t2＝d v20－v2。由题知t1 t2 ＝k，联立以上各式得v0＝v 1－k2 。选项B正确，选项A、C、 D错误。 2.(2014·四川高考)小文同学在探究物体做曲线运动的条件 时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面 上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、 c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。 解析：因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做匀加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c。当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 答案：(1)b c不在 3．(2011·江苏)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别 沿直线游到A 点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分 别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB.若水流速度不变，两人在静 水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为() A. t甲