用割平面法求解整数规划的基本思路：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止．如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解．这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)．而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面．
分支定界法
分支定界法基本思路：设最大化的整数规划问题为A, 相应的不含整数约束的线性规划为B, 若B 的最优解不符合A 的整数条件, 那么B 的最优目标函数值必为A 的最优目标函数值Z* 的一个上界, 记作Z; 而A 的任意可行解的目标函数值将是Z* 的一个下界, 记作Z。对B 的非整数解的相邻整数作附加条件, 从而形成两个分枝, 即两个子问题, 两个子问题的可行域中包含原整数规划问题的所有可行解。不断分枝, 逐步减小Z, 增大Z, 最终求得Z* 。
隐枚举法：一种特殊的分支定界法。利用变量取值的部分组合求取目标函数最优值的一种方法。通过探求整数规划的一个可行解，将其作为过滤条件，检验约束条件、计算目标函数值来简化计算。对0-1规划问题.利用变量只能取0或1的两个值的特性，进行分支定界，以达到隐枚举的目的
单纯形法
单纯形法的基本思想：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进后更优的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
基：在一个m*n维线性方程组中，假设其系数矩阵为A，若m*m唯矩阵B为A的一个最大线性无关组，且其秩为m，则称B为该问题的一个基。
基本解：在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。
基可行解：在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解，称基本可行解，简称基可行解.线性规划问题如果有可行解，则必有基可行解.
最优解不一定是基本最优解。因为在多重最优解里，最优解也可以是基本最优解的凸组合。
普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
运输问题的位势就是其对偶变量。运输问题的检验数就是对偶问题的松驰变量。若运输问题的供给量与需求量为整数，则一定可以得到整数最优解，按最小元素法求得运输问题的初始方案, 从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。运输问题中运价表的每一个元素都分别乘以（加上）一个常数,则最优解不变。
单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的
单纯形法计算中，选取最大正检验数k 对应的变量作为换入变量，不一定使目标函数值得到最快的增长。
线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解不一定是基可行解。
四 川 大 学 网 络 教 育 学 院 模 拟 试 题( A ) 《管理运筹学》 一、 单选题（每题２分，共20分。） 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标 函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2. 下列说法中正确的是（ ）。 Ａ．基本解一定是可行解 Ｂ．基本可行解的每个分量一定非负 Ｃ．若B 是基，则B 一定是可逆 Ｄ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） 多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 Ａ．多重解 Ｂ．无解 Ｃ．正则解 Ｄ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验 但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 Ａ．多余变量 Ｂ．自由变量 Ｃ．松弛变量 Ｄ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 8. 树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（ ）。 Ａ．边 Ｂ．初等链 Ｃ．欧拉圈 Ｄ．回路 9．若G 中不存在流f 增流链，则f 为G 的 （ ）。 A ．最小流 B ．最大流 C ．最小费用流 D ．无法确定 10.对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（ ） Ａ．等式约束 Ｂ．“≤”型约束 Ｃ．“≥”型约束 Ｄ．非负约束 二、多项选择题（每小题4分，共20分） 1．化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有 （ ） A ．松弛变量 B ．剩余变量 C ．非负变量 D ．非正变量 E ．自由变量 2．图解法求解线性规划问题的主要过程有 （ ） A ．画出可行域 B ．求出顶点坐标 C ．求最优目标值 D ．选基本解 E ．选最优解 3．表上作业法中确定换出变量的过程有 （ ） A ．判断检验数是否都非负 B ．选最大检验数 C ．确定换出变量 D ．选最小检验数 E ．确定换入变量 4．求解约束条件为“≥”型的线性规划、构造基本矩阵时，可用的变量有 （ ） A ．人工变量 B ．松弛变量 C. 负变量 D ．剩余变量 E ．稳态 变量 5．线性规划问题的主要特征有 （ ）
《运筹学》考试大纲 一、考试目的 本考试是全日制运筹学专业的学术硕士学位研究生的入学资格考试之专业基础课，各语种考生统一用汉语答题。各招生院校根据考生参加本考试的成绩和其他三门考试的成绩总分来选择参加第二轮，即复试的考生。 二、考试的性质与范围 本考试是测试考生运筹学基础的尺度参照性水平考试。考试范围为本大纲规定的运筹学基础知识。 三、考试基本要求 1. 掌握运筹学的概念、基本原理和方法。 2. 能够运用运筹学的基本原理和方法分析和解决有关理论问题和实际问题。 四、考试形式 本考试采取单项技能测试与综合技能测试相结合的方法，通过主、客观试题考查考生对于运筹学的掌握程度。试题分类参见“考试内容一览表”。 五、考试内容 本考试总分150分。 1. 考试要求 考试内容主要涉及线性规划及单纯形法，线性规划的对偶理论，运输问题，整数规划与分配问题，目标规划，图与网络分析，计划评审方法和关键路线法，动态规划，存贮论，排队论，决策分析，对策论。具体如下： 1)线性规划及单纯形法：包括一般线性规划问题的数学模型、图解法、单纯 形法原理、单纯形法的计算步骤、单纯形法的进一步讨论、改进单纯形法； 2)线性规划的对偶理论：包括对偶问题的提出、原问题与对偶问题、对偶问 题的基本性质、影子价格、对偶单纯形法、灵敏度分析、参数线性规划； 3)运输问题：包括运输问题的数学模型、表上作业法、产销不平衡的运输问 题及其应用； 4)整数规划与分配问题：包括整数规划的特点及应用、分配问题与匈牙利法、 分枝定界法、割平面法、解0-1规划问题的隐枚举法； 5)目标规划：包括目标规划的数学模型、目标规划的图解分析法、用单纯形 法求解目标规划、灵敏度分析； 6)图与网络分析：包括图的基本概念与模型、树图和图的最小部分树、最短 路问题、中国邮路问题、网络的最大流； 7)计划评审方法和关键路线法：包括PERT网络图及计算、关键路线和网络 计划的优化、完成作业的期望时间和在规定时间内实现事件的概率； 8)动态规划：包括多阶段的决策问题、最优化原理与动态规划的数学模型、 离散确定性动态规划模型的求解、离散随机性动态规划模型的求解、一般数学规划模型的动态规划解法；
运筹学概念整理 名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6 第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法) 线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化 线性规划问题的数学模型包含的三要素： 一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。 一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。 一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。 线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。 1.解决的问题是规划问题； 2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； 3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。 图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。 求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。 LP问题的解：（原因） 唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解） 无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集） 标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负 ●线性规划模型标准化（模型转化） (1) “决策变量非负”。若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。 (2) “目标函数求最大值”。如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。注意：求解后还原。 (3) “约束条件为等式”。对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。(4) “资源限量非负”。若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。基假设线性规划问题模型系数矩阵为m行、n列，则系数矩阵中秩为m的m行m列子矩阵，称为基矩阵，简称为基 可行解：满足约束条件AX=b和X≥0的解。 基(本)解：在某一确定的基中，令所有非基变量等于零，解得的唯一解。 基(本)可行解：满足X≥0的基解。 可行基：基可行解对应的基矩阵。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于零，且B-1b均为非负，则线性规划问题具有唯一最优解。 无穷多最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于等于零，且B-1b均为非负，其中某个检验数等于零，则线性规划问题具有无穷多最优解(多重最优解)。 无界解判定定理：在单纯形表中，若某个检验数σk 大于零，且xk对应列向量的元素均为非正，导致出基变量无法确定，则线性规划问题具有无界解
《运筹学》期末复习题 第一讲运筹学概念 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ） A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5.模型中要求变量取值（D ） A可正B可负C非正D非负 6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ） A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。可以说这个过程是一个（C） A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程8.从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段，其中最主要的是（ C ） A数理统计B概率论C计算机D管理科学
^ 高等教育《运筹学》模拟试题及答案 一、名词解释 运筹学：运筹学主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案。为决策者提供科学的决策依据 线性规划：一般地，如果我们要求出一组变量的值，使之满足一组约束条件，这组约束条件只含有线性不等式或线性方程，同时这组变量的值使某个线性的目标函数取得最优值（最大值或最小值）。这样的数学问题就是线性规划问题 可行解：在线性规划问题的一般模型中，满足约束条件的一组 12,,.........n x x x 值称为此线性规 划问题的可行解， 最优解：在线性规划问题的一般模型中，使目标函数f 达到最优值的可行解称为线性规划问题的最优解。 运输问题：将一批物资从若干仓库（简称为发点）运往若干目的地（简称为收点），通过组织运输，使花费的费用最少，这类问题就是运输问题 闭回路：如果在某一平衡表上已求得一个调运方案，从一个空格出发，沿水平方向或垂直方向前进，遇到某个适当的填有调运量的格子就转向前进。如此继续下去，经过若干次，就一定能回到原来出发的空格。这样就形成了一个由水平线段和垂直线段所组成的封闭折线，我们称之为闭回路 二、单项选择 1、最早运用运筹学理论的是（ A ） A 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 2、下列哪些不是运筹学的研究范围（ D ） A 质量控制 B 动态规划 C 排队论 D 系统设计 3、对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ） A 线性规划问题可能没有可行解 B 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C 线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D 上述说法都正确 4、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（ C ） A 所有的变量必须是非负的 B 所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C 添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D 求目标函数的最小值 5、在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（ D ） A 西北角法 B 位势法 C 闭回路法 D 以上都是
中南大学2012年全国硕士研究生入学考试 《运筹学（B）》考试大纲 本考试大纲由商学院教授委员会于2011年7月7日通过。 I.考试性质 运筹学考试是为高等院校和科研院所招收硕士研究生而设置的具有选拔性质的入学考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试学生掌握大学本科阶段运筹学的基本知识、基本理论，以及运用运筹学的原理、模型和方法分析和解决实际问题的能力，评价的标准是高等学校本科毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的运筹学专业素质，并有利于高等院校和科研院所在专业上择优选拔。 II.考查目标 运筹学科考试涵盖线性规划基础、线性规划专题、整数规划、动态规划、图与网络分析、存贮论、决策论、排队论。要求考生： （1）准确地再认或再现学科的有关知识。 （2）准确、恰当地使用本学科的基本原理，正确理解和掌握学科的有关理论、模型、方法和应用。 （3）运用运筹学模型和方法，分析和解决实际问题。 （4）运用运筹学的原理、模型和方法，分析和解决经济管理领域常见决策问题，并给出经济学解析或管理策略。 Ⅲ.考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150 分，考试时间为180 分钟 2、答题方式 答题方式为闭卷，笔试。 3、试卷内容结构 线性规划基础约25 % 线性规划专题约10 %
整数规划约10 % 动态规划约15 % 图与网络分析约15 % 存贮论约15 % 决策论约5 % 排队论约5 % Ⅳ.考查内容 一、线性规划基础 （一）线性规划及其数学模型 线性规划问题、线性规划数学模型、数学模型的事理含义、数学模型的解、线性规划数学模型的一般形式、线性规划问题求解过程。 （二）线性规划问题建模 资源合理利用问题、合理下料问题、运输问题、分派问题、投资方案选择问题等经济管理领域常见问题建模。 （三）线性规划图解法及其几何意义 图解法求解步骤、图解法几何意义、几种特殊的数学模型。 （四）线性规划单纯形法 单纯形法基本原理、线性规划数学模型的标准型、线性规划数学模型的规范型、最优解寻求过程、单纯形表迭代。 （五）单纯形的经济信息 最优决策变量的解、松弛变量的解、相关价值系数、影子（潜在）价格及其应用。 （六）单纯形理论分析 线性规划一般形式、数模的标准型形式、数模的规范型形式、入基的非基变量确定方法、出基的基变量确定方法、主元素确定、旋转运算过程、最优解确定方法等。 （七）单纯形法进一步讨论 线性规划数模的基本类型、两阶段法、大M法。
运筹学复习重点 第1章线性规划与单纯形法 （1）化线形规划标准形的手法 （2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定 （3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。 （4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。 （5）两阶段法、大M法 第2章对偶理论和灵敏度分析 （1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。 （2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。（3）对偶单纯形法 （4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法 第3章目标规划 （1）根据问题的特征和对多个目标的追求，通过引入偏离量，正确构建所需的目标规划数学模型 （2）会用图解法求目标规划的最优解或满意解 第4章整数规划 （1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。 （2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。 第5章无约束优化 （1）凸函数与凸规划的定义与判别 （2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程 （3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程 第6章约束极值优化 （1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义 （2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系 （3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。
（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法 第7章动态规划 （1）动态规划的基本原理和基本方程 （2）动态规划的逆推解法 （3）动态规划求静态规划问题的套路 第8章图与网络优化 （1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法 （2）求最短路的Dijkstra算法 （3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法 第9章网络计划 （1）遵循网络计划图的绘制规则，正确画出网络计划图。 （2）会计算网络计划的各种时间参数，确定关键线路 （3）不同目标下网络计划优化的方法 第10章排队论 （1）排队系统基本性能指标的含义、关系 （2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。 （4）标准M/M/1模型的系统状态概率、基本性能指标的表达式。 第11章对策论 （1）矩阵对策中鞍点、最优纯策略、对策的值 （2）矩阵对策的混合策略和图解法 （3）矩阵对策局中人各自对应的线性规划问题之间的关系（理解互补松弛定理在对策论中的应用） 第12章决策论 （1）风险决策的EMV准则，EOL准则，二者之间的关系 （2）多级风险决策的图形工具：决策树，以及基于决策树的EMV决策套路（3）会利用决策树计算抽样信息的期望价值、完全信息的期望价值 题型：计算题和证明题。计算量不大，不必带计算器，可带尺子画图。
《运筹学》-期末考试-试卷A-答案
《运筹学》试题样卷（一） 题号一二三四五六七八九十总 分 得 分 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1.无孤立点的图一定是连通图。 2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若 其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>jσ对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最 少的无孤立点的图。 10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了
时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷） 20 50 3000 35 75 4100 10 40 4600 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束为 形式（共8分）
中国传媒大学硕士研究生入学考试 《运筹学》考试大纲 一、考试的总体要求 《运筹学》是为管理科学与工程类考生而设置的专业基础课程考试科目，其评价标准是高等院校优秀本科毕业生能达到的及格以上水平，以保证被录取者具有坚实的运筹学与管理科学基本理论和较强的分析实际问题的能力，有利于招生学校在专业上择优录取。要求考生熟练掌握运筹学的基本概念、基本理论及方法，并具有对实际问题建立必要的数学模型和求解问题的能力。 二、考试的内容 （一）线性规划及对偶理论 1．单纯形法 2．改进单纯形法 3．线性规划的对偶理论 4．对偶单纯形法 5．灵敏度分析 （二）运输问题 1．运输问题的数学模型 2．用表上作业法求解运输问题 3．产销不平衡的运输问题及其求解方法 （三）目标规划 1．目标规划的数学模型 2．目标规划的图解法与单纯形法 （四）整数规划 1．0－1型整数规划 2．分支定界解法 【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：https://www.doczj.com/doc/ec5145373.html,1
3．割平面解法 4．指派问题 （五）动态规划 1．动态规划的基本概念和基本方法 2．动态规划的最优性原理与最优性定理 3．动态规划与静态规划的关系 4．动态规划的应用 （六）图与网络分析： 1．图与树的基本概念 2．最短路问题 3．网络最大流问题 4．最小费用最大流问题 5．中国邮递员问题 6．网络计划 （七）决策论 1．基本概念 2．风险型决策问题：期望值准则、效用期望值准则、完全信息期望值、决策树 三、考试的基本题型 可能的题型有：是非题、选择题、填空题、简答题、计算题、综合题等。 四、考试的形式及时间 笔试，不需要任何辅助工具。考试时间为三小时。 2014年有多名学员以优异成绩考上中国传媒大学播音，主持，摄影，摄像，表演，【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：https://www.doczj.com/doc/ec5145373.html,2
《运筹学基础》复习要点 一、基本概念与理论 1．任意多个凸集的交集还是凸集。 2．任意多个凸集的并集不一定是凸集 3．给定1R b ∈及非零向量n R a ∈，称集合}|{b x a R x H T n =∈=是n R 的一个超平面。 4．由超平面}|{b x a R x H T n =∈=的两个半平面 }|{b x a R x H T n ≥∈=+和}|{1b x a R x H T n ≤∈= 都是凸集。 5．设S 是凸集，S x ∈。若对任何z y S z S y ≠∈∈,,，以及任何10<<λ，都有 z y x )1(λλ-+≠，则称x 为S 的顶点。 6．如果一个LP 问题无界，则它的对偶问题必无可行解。 7．设w x ,分别为原始LP 问题、对偶问题的可行解，若b w x c T T =，则原始LP 问题、对偶问题的最优解分别为w x ,。 8.可行解x 是基本可行解的充分必要条件是x 的正分量，所对应的A 中列向量线性无关。 9.写出LP 问题的对偶问题 0..min ≥≥?????x b Ax x c t s T 的对偶问题是： 0..min ≥≤?????w c w A w b t s T T 10．设一个标准形式的LP 问题的基为B ，右端向量为b ，则对应的基本解是??? ? ??=-01b B x 。 11．线性规划问题的可行域是凸集。 12．设线性规划问题LP 为 0..min ≥=?? ? ??x b Ax t s x c T B 为一个基，对应的典式为 0..min 111≥=+?? ? ? ?-=---x b B Nx B x t s x b B c z N B T T B ζ 其中),0(1T N T B T c N B c -=-ζ 。
《运筹学》试题样卷（一） 一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ） 1. 无孤立点的图一定是连通图。 2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量 都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为 (1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1 , x 2 , x 3 ≥0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小? 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
《运筹学》模拟试题及参考答案 一、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。) 1. 图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j ≥0，则问题达到最优。( ) 3. 在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。( ) 7. 原问题与对偶问题是一一对应的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是一致的。( ) 15. 动态规划中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 三、填空题 1. 图的组成要素；。 2. 求最小树的方法有、。 3. 线性规划解的情形有、、、。 4. 求解指派问题的方法是。 5. 按决策环境分类，将决策问题分为、、。 6. 树连通，但不存在。 1
运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subjectto 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性C 阶段性D再生性
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X） 1.无孤立点的图一定是连通图。 2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。 3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与 > j σ 对应的变量都可以被选作换入变量。 6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。 7. 度为0的点称为悬挂点。 8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 二、建立下面问题的线性规划模型（8分） 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/ 人日，秋冬季收入为20元/ 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。 养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中5 4 ,x x 为松弛变量，问题的约束为?形式（共8分）
(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分） (3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分） 3212max x x x Z +-= s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0 五、求解下面运输问题。 （18分） 某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 六、灵敏度分析（共8分） 线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3 s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 的最优单纯形表如下：
运筹学期末复习范围 第1章 线性规划 1. 线性规划解的分类及判别方法 2. 大M 法求解线性规划目标函数的设法及求解的思想 3. 用单纯形表格求解线性规划 第2章 对偶理论及灵敏度分析 1. 对偶问题的基本性质 2. 已知原问题写出对偶问题 3. 对偶理论：已知对偶问题（原问题）最优解判断原问题（对偶问题）的最优解 4. 灵敏度分析：常数项或者价值系数发生改变时对最优解的影响判别 第3章 运输问题 1. 产销平衡运输问题模型的特点 2. 表上作业法初始基变量的个数的判别 3. 确定初始基可行解的方法：最小元素法（基本思想）和伏格尔法的优缺点比较 最优解的判别方法（检验数的判别） 闭回路法 位势法检验数的求法。 第4章 整数规划 1. 分支定界法如何定界如何分支 2. 0-1整数规划相互排斥的约束条件 3. 最小指派问题 第5章 动态规划 1.动态规划的基本思想（解决哪一类问题） 2.利用动态规划方法求最优解和最优值（顺推法或逆推法） 第6章 图与网络规划 1.图的概念；边和点的关系 2.求最小生成树的方法：破圈法和避圈法的步骤 3.求网络最大流，并找出最小割集。 第7章 无约束极值问题 1.斐波那契法和0.618法两种方法比较的优缺点，以及斐波那契法的区间缩短率。 2.斐波那契法给定两点函数值如何判定保留区间和去掉的区间 3.已知函数，最速下降法求某一点处的搜索方向；共轭梯度法如何确定搜索方向以及迭代终止条件。 第8章 约束极值问题 1.利用K-T 条件求解非线性规划 2.常用的制约函数分类，如何设惩罚函数和障碍函数。 运筹学期末复习试题 1 、内点法求解，构造的障碍函数 ()()3 1212 1,131r r P X r x x x x = +++ +-
1.运筹学定义：用数学的方法研究各问题的变化。 2.线性规划：数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不 等式，故此模型称之为线性规划 3.可行解：把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 4.最优解：把目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解。 5.最优值：在最优解条件下的目标函数值为最优目标函数值，简称最优值。 6.松弛量：在线性规划中，一个“≤”约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量 7.松弛变量：为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，诚挚 为松弛变量。 8.标准化: 把所有约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化。所得结果称为线性 规划的标准形式。 9.剩余变量：对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余 变量。 10.灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Ci,Gij,bj的 变化对最优解产生的影响。 11.对偶价格：在约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之 为这个约束条件的对偶价格 12.单纯形法的基本思路：一，找出一个初始基本可行解二，最优性检验三，基变换 13.线性规划的基本解：由线性规划的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一 个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。 14.基本可行解：一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，他们之间的主要区别在于 其所有变量的解是否满足非负的条件，我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。 15.初始可行基：在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或由单位矩阵的各列向量 所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。 16.最优性检验：判断已求得的基本可行解是否是最优解。 17.最优性检验的依据-----检验数σj:目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数， 把变量xi的检验数记为σi,显然所有基变量的检验数必为零。 18.最优解判别定理：在求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数 σj≤0,则这个基本可行解是最优解，这就是最优解判别定理。 19.确定基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程 中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵中可以确保新得到的bj值都大于等于零。 20.大M法:像这样，为了构造初始可行基得到初始可行解，把人工变量“强行”地加到原 来的约束方程中去，又为了尽力地把人工变量从基变量中替换出来，就令人工变量在求最大值的目标函数里的系数为-M的方法叫做大M法，M叫做罚因子。 21.几种特殊情况：一，无可行解，二，无界解，三，无穷多最优解，四，退化问题。 22.一般的运输问题：就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地 的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总得运输费用最小的方案的问题。 23.纯整数规划问题：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称之为纯整数规划 问题。 24.混合整数规划问题：如果只有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题
19、简述线性规划模型主要参数（p11） （1）、价值系数：目标函数中决策变量前的系数为价值系数 （2）、技术系数：约束条件中决策变量前的系数 （3）、约束条件右边常数项 15、简述线性规划解几种可能的结果（情形）（ppt第二章39或89页） （1）.有唯一最优解 (单纯形法中在求最大目标函数的问题时，对于某个基本可行解，所有δj≤0) （2）.无可行解，即可行域为空域，不存在满足约束条件的解，也就不存在最优解了。 （3）.无界解，即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小，一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件（4）.无穷多个最优解，则线段上的所有点都代表了最优解 （5）退化问题，基变量有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，用图解法无退化解 1、简述单纯形法的基本思路（p70） 从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 17、简述线性规划中添加人工变量的前提（p85） 在系数矩阵中直接找不到初始可行解，进而通过添加人工变量的方法来构造初始可行基，得出初始基本可行解 10、简述线性规划对偶问题的基本性质（p122） （1）对称性（2）弱对偶性（3）强对偶性（4）最优性（5）互补松弛型原函数与对偶问题的关系 1）求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件，其约束条件都为大于等于不等式。 2）原问题的目标函数中的价值系数为对偶问题中的约束条件的右边常数项，并
运筹学2015年学年第二学期 期末考试题（a 卷） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上。 2、答案用钢笔或圆珠笔写在答题卡上，答在试卷上不给分。 3、考试结束，将试卷和答题卡一并交回。 一、 单项选择题(每小题1分，共10分) 1：在下面的数学模型中，属于线性规划模型的为（ ） ?????≥≤+=0Y ,X 3XY .t .s Y X 4S max .A ?? ???≥-≥-+=0Y ,X 1Y X 2.t .s Y X 3S min .B ?? ???≥≤-+=0Y ,X 2Y X .t .s Y X S max .C 22 ??? ??≥≥+=0 Y ,X 3Y X . t .s XY 2S min .D 2．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的 （ ）上达到。 A ．内点 B ．顶点 C ．外点 D ．几何点 3：在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） A ．多余变量 B ．松弛变量 C.自由变量 D ．人工变量 4：若线性规划问题的最优解同时在可行解域的两个顶点处达到，那么该线性规划问题最优解为（ ） A.两个 B.零个 C.无穷多个 D.有限多个 5：原问题与对偶问题的最优（ ）相同。 A ．解 B ．目标值 C ． 解结构 D ．解的分量个数 6：若原问题中i x 为自由变量，那么对偶问题中的第i 个约束一定为 （ ） A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．无法确定 7：若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部（ ） A ．小于或等于零 B ．大于零 C ．小于零 D ．大于或等于零 8：对于m 个发点、n 个收点的运输问题，叙述错误的是( ) A ．该问题的系数矩阵有m ×n 列 B ．该问题的系数矩阵有m+n 行
运筹学期末考试模拟试题及答案 一、单项选择题(每题3分,共27分) 1、 使用人工变量法求解极大化的线性规划问题时,当所有的检验数0j δ≤,但 在基变量中仍含有非零的人工变量,表明该线性规划问题( D ) A.有唯一的最优解 B.有无穷多最优解 C.为无界解 D.无可行解 2、对于线性规划 12 1231241234max 24..34 51 ,,,0 z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=??++=??≥? 如果取基1110B ?? = ??? ,则对于基B 的基解为( B ) A 、(0,0,4,1)T X = B 、(1,0,3,0)T X = C 、(4,0,0,3)T X =- D 、(23/8,3/8,0,0)T X =- 3、对偶单纯形法解最小化线性规划问题时,每次迭代要求单纯形表中( C ) A.b 列元素不小于零 B.检验数都大于零 C.检验数都不小于零 D.检验数都不大于零 4、 在n 个产地、m 个销地的产销平衡运输问题中,( D )就是错误的。 A.运输问题就是线性规划问题 B.基变量的个数就是数字格的个数 C.非基变量的个数有1mn n m --+个 D.每一格在运输图中均有一闭合回路 5、 关于线性规划的原问题与对偶问题,下列说法正确的就是( B ) A.若原问题为无界解,则对偶问题也为无界解 B.若原问题无可行解,其对偶问题具有无界解或无可行解 C.若原问题存在可行解,其对偶问题必存在可行解
D.若原问题存在可行解,其对偶问题无可行解 6.已知规范形式原问题(max 问题)的最优表中的检验数为12(,,...,)n λλλ,松弛变 量的检验数为12(,,...,)n n n m λλλ+++,则对偶问题的最优解为( C ) A 、 12(,,...,)n λλλ B 、 12(,,...,)n λλλ--- C.12(,,...,)n n n m λλλ+++--- D 、 12(,,...,)n n n m λλλ+++ 7、当线性规划的可行解集合非空时一定( D ) A 、包含原点 B 、有界 C.无界 D 、就是凸集 8、线性规划具有多重最优解就是指( B ) A 、目标函数系数与某约束系数对应成比例。 B.最优表中存在非基变量的检验数为零。 C.可行解集合无界。 D.存在基变量等于零。 9.线性规划的约束条件为1231241234 2224,,,0x x x x x x x x x x ++=??++=??≥?,则基可行解就是( D ) A 、(2,0,0,1) B 、(-1,1,2,4) C 、(2,2,-2,-4) D 、(0,0,2,4) 二、填空题(每题3分,共15分) 1.线性规划问题中,如果在约束条件中没有单位矩阵作为初始可行基,我们通常 用增加 人工变量 的方法来产生初始可行基。 2、当原问题可行,对偶问题不可行时,常用的求解线性规划问题的方法就是 单纯形 法。 3、原问题的第1个约束方程就是“=”型,则对偶问题相应的变量就是 无约束 变量。 4、运输问题中,当总供应量大于总需求量时,求解时需虚设一个_销__地,此地的需求量为总供应量减去总需求量。 5、 约束121212264612420x x x x x x +≤+≥+≤, 及中至少有一个起作用,引入0-1变量,把它表示成一般线性约束条件为( )。