第七章 实数的完备性
本章教学目的与基本要求：
(1)、理解闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；
(2)、掌握实数连续性定理的内容并正确应用它们证明题目；
(3)、了解实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明方法。
本章重点：
（1）、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；
（2）、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数的性质证明题目；
本章难点：
（1）、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；
（2）、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数性质证明题目；
（3）、实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明。
本章课时安排：总课时8课时，其中第一节：关于实数集完备性的基本定理 4课时；第二节：闭区间上连续函数性质的证明 2课时；习作课2课时。
本章参考书籍：见导论。
§7.1 关于实数集完备性的基本定理
本节主要教学内容：闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则。
教学方法与设计：重点讲授闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；定理的证明以讲授方法为主；多讲授例题使学生掌握基本概念及定理。
极限的基本问题有二：一是极限的存在性；二是极限的计算。而其存在性不仅与函数（或数列）的结构有关，还与所讨论的数域有关。例如在有理数域中讨论极限，单调有界定理就可能不成立，如})1{(1n n +的极限为e 就是一个无理数，即有理数域对极限运算是不封
闭的。但实数域对极限运算是封闭的，这就是实数的完备性或称实数的连续性。
在第一、二章我们已学习了描述实数完备性的定理：确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则，此外还有闭区间套定理、有限覆盖定理和聚点定理，它们彼此是等价的。本章将讨论它们的等价性，同时利用它们证明闭区间上连续函数的性质，从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上。
一、闭区间套定理与柯西收敛准则
1、 闭区间套定理
（1）、闭区间套的定义
设闭区间列]},{[n n b a 具有下列性质：N n i ∈?)(有],[],[11++?n n n n b a b a ； 0)(lim )(=-∞
→n n n a b ii 。则称闭区间列]},{[n n b a 为闭区间套。即： 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ ，且区间长度趋于零。
例：]}1,1{[]},1,0{[n
a n a n +-
（2）闭区间套定理 设]},{[n n b a 是一个闭区间套，则R ∈?ξ1，使],[n n b a N n ∈?∈?ξ。
证明：由闭区间套的性质知}{n a 单调增加有上界1b ，故由单调有界定理知R ∈?ξ使ξ=∞
→n n a lim ，且?∈?N n ξ≤n a 。同理}{n b 单调增加有上界1a ，故}{n b 也收敛，再由)(ii 知ξ=∞
→n n b lim ，且?∈?N n n n b a ≤≤ξ。 下证唯一性。设1ξ满足上述条件，则)(01∞→→-≤-n a b n n ξξ，1ξξ=∴。 推论：若,,3,2,1],,[ =∈n b a n n ξ是由闭区间套]},{[n n b a 所确定的数，则0>?ε，N N ∈?，N n >?有),(],[εξU b a n n ?。
证明：由ξ=∞→n n a lim 及ξ=∞
→n n b lim 立即可证。 说明：（1）几何意义
（2）开区间列结论不一定成立，例如)}1
,0{(n ，)}1,1{(n
n -。 （3）闭区间套定理的用法：要证明具有某性质P 的数ξ存在，常常应用该定理。首先根据性质P 构造一个区间，将该区间二等份，使其中至少有一个子区间具有性质P ，继续使用二分法得一个闭区间套，然后证明该闭区间套“套”出来的数具有性质P 。
1、 柯西收敛准则
}{n a 收敛εε<-?>?∈?>??m n a a N m n N N ,,,0。
证明：设a a n n =∞
→lim ，则2/,2/,,,0εεε<-<-?>?∈?>?a a a a N m n N N m n ，所以有εεεε=+<-+-≤-?>?∈?>?2/2/,,,0a a a a a a N m n N N m n m n 。 于是充分性获证。下证必要性：
由条件知εε<-?>?∈?>?N n a a N n N N ,,0。即在],[εε+-N N a a 中含有
}{n a 的几乎所有项（在此区间之外至多只有}{n a 的有限项）
。 令]2
1,21[,,0211111+-∈?>??>=
N N n a a a N n N ε。 记]21,21[],[1111+-=N N a a βα，则],[11βα中含有}{n a 的几乎所有项（在此区间之外至多只有}{n a 的有限项）。
依次令 ,21,,21,2132n =ε，分别得]21,21[],[11k
N k N k k a a +-=βα，则],[k k βα中含有}{n a 的几乎所有项（在此区间之外至多只有}{n a 的有限项）， ,,,3,2,1n k =。
于是得一个闭区间套]}21,21[],{[11n
N n N n n a a +-=βα，由闭区间套定理知N n n n ∈∈?],,[1βαξ。下证:lim ξ=∞
→n n a 事实上，由闭区间套定理的推论可知),(],[,,0εξβαεU N n N N n n ??>?∈?>?，因此),(εξU 内含有}{n a 的几乎所有项（在此邻域之外至多只有}{n a 的有限项）。即有ξ=∞
→n n a lim 。 例：证明：若)(x f 在],[b a 上连续，且0)()(≤b f a f ，则0)(],[=?∈?ξξf b a 。 证明：若0)(=a f 或0)(=b f ，则a =ξ或b =ξ，定理获证；设0)()(
(≠+b a f ，则两个子区间中必有一个子区间],[11b a 使0)()(11
将],[11b a 二等份，若0)2(11=+b a f ，则211b a +=ξ，定理获证；设0)2
(11≠+b a f ，则两个子区间中必有一个子区间],[22b a 使0)()(22
将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套]},{[n n b a ，且0)()( 由闭区间套定理知∈?ξ1N n b a n n ∈?],,[，若0)(=ξf ,则定理获证； 若0)(≠ξf ，不妨设0)(>ξf ，由)(x f 在],[b a 上连续可知)(x f 在ξ连续，所以,0)(),(,0>?∈?>?x f U x δξδ又由]},{[n n b a 的性质可知N n N >??,，有 ),(],[δξU b a n n ?，故0)(>n a f ，0)(>n b f ，与0)()( 二、聚点定理与有限覆盖定理 1、 聚点的定义 )(I 、设S 为数轴上的点集，ξ为定点（ξ可以属于S ，也可以不属于S ）若ξ的任何邻域内都含有S 的无限多个点，则称ξ为S 的一个聚点。 说明：（1）有限点集无聚点； （2）若数列}{n a 的项各不相同，且a a n n =∞ →lim ，则点a 为点集}{n a 的聚点； （3）注意点集与点列的区别。 例：(1)}1{1n S =有一个聚点0=ξ)01lim (=∞→n n ； （2）}1)1{(2n S n +-=有二个聚点1,121=-=ξξ； （3）Q b a S ),(3=的聚点集为],[b a ； （4）N S =4没有聚点。 证明：（1）εε<-?>?∈?>?∴=∞→01,,0,01lim n N n N N n n ，即),0(εU 含有1S 的无限多个点，故由聚点的定义可知0=ξ是1S 的一个聚点。 （3）],[b a x ∈?，,0>?ε由有理数的稠密性可知，),(),(b a x U ε内有无限多个有理数，即),(εx U 内含有3S 的无限多个点，故由聚点的定义可知x =ξ是3S 的一个聚点，于是Q b a S ),(3=的聚点集为],[b a 。 （4）N n ∈?，取:0ε2 100<<ε，则),(0εn U 内至多含有N 的一个点，故由聚点的定义可知n =ξ不是N 的聚点，因此N S =4没有聚点。 2、 聚点的另两个定义 )(II ξ为S 的一个聚点),(,000εξε U x S x ∈?∈?>??； )(III ξ为S 的一个聚点?存在数列S x n ?}{，且}{n x 的项各不相同，有ξ=∞ →n n x lim 。 证明：)()(II I ?显然成立； )()(III II ?已知条件为),(,000εξε U x S x ∈?∈?>?， 取11110,2 1εξε<- x S x ； 取},,2 1min{122x -=ξε ,0222εξ<- →n n x lim 。 )()(I III ?由数列极限的定义立即可证。 3、 聚点定理)(s Weierstras 数轴上任何有界点集S 至少有一个聚点。 证明：用闭区间套定理证明。 S 有界，],[0M M S M -??>?∴，记为],[11b a ； 将],[11b a 二等份，则两个子区间中必有一个子区间],[22b a 含有S 的无限多个点； 将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套]},{[n n b a ： )(02/1∞→→=--n M a b n n n ，每个闭区间],[n n b a 含有S 的无限多个点。 由闭区间套定理知∈?ξ1N n b a n n ∈?],,[。 又由闭区间套定理的推论知0>?ε，N N ∈?，N n >?有),(],[εξU b a n n ?，即),(εξU 内含有S 的无限多个点。所以ξ为S 的一个聚点。 4、 致密性定理 有界数列}{n x 必有收敛子列。 证明：由聚点定理证明。 若}{n x 有无限多项相等，则由该无限多项所组成的子列为常数列，因而收敛； 若}{n x 中没有无限多项相等，则必有无限多项不相等，于是}{n x 对应于数轴上的一个有界无限点集，由聚点定理知}{n x 有一个聚点ξ。由聚点的等价性定义知}{n x 有一个收敛的子列。 5、柯西收敛准则的另一个证明 数列}{n a 收敛εε<-?>?∈?>??m n a a N m n N N ,,,0。 证明：?先证}{n a 有界：取11,,,11<-?>+=>?∈?=+N n a a N N m N n N N ε，所以有11++ 由致密性定理，有界数列}{n a 有收敛子列}{k n a ，设a a k n k =∞→lim ，下证a a n n =∞ →lim ： εε<-?>?∈?>?a a K k N K k n ,,0；εε<-?>?∈?>?m n a a N m n N N 11,,,0。 取N m n N k N K N >?>?=,,},,max(1有上述二式同时成立，因此取N n m k >=有ε<-k n n a a ε2<-+-≤-?a a a a a a k k n n n n ，即a a n n =∞ →lim 。 6、覆盖的定义 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合，即},|),{(R H ∈=βαβα。若 ),(),(,βαβα∈??∈?x S x ，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖了S 。 若H 的元素个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限（有限）开覆盖。 例：（1）若}|)1,1 {(),1,0(N n n H S ∈==，则H 覆盖了S ； （2）若}|)1,11{( ),1,0(N n n n H S ∈+==，则H 没有覆盖S ； （3）若}|)1,1{(),1,0[N n n H S ∈==，则H 没有覆盖S ； （4）若}0,|),({],,[>∈==δδS x x U H b a S ，则H 覆盖了S 。 7、有限覆盖定理（海涅-波雷尔 B o r e l H e i n e - ） 若开区间集H 覆盖了闭区间],[b a S =，则H 中必存在有限个开区间也覆盖了S 。即H H n n n ?=?)},(),,(),,{(2211βαβαβα ，则n H 覆盖了S ),(1:,k k x n k k S x βα∈?≤≤?∈?? 证明：反证法，由闭区间套定理证明。 假设H 中任意有限个开区间都不能覆盖S （简称S 没有有限覆盖） 将],[b a 二等份，则两个子区间中至少有一个子区间],[11b a 没有有限覆盖； 将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套]},{[n n b a ，且其每个闭区间],[n n b a 都没有有限覆盖。 由闭区间套定理知∈?ξ1N n b a n n ∈?],,[。 显然),(),(],,[βαξβαξ∈?∈?∴∈H b a 。故由闭区间套定理的推论知当n 充分大时有),(],[βα?n n b a ，与闭区间],[n n b a 没有有限覆盖相矛盾。 说明：（1）有限覆盖定理有又称紧致性定理； （2）若H 覆盖了开区间),(b a ，则开区间),(b a 不一定有有限覆盖； 例：}|)1,1{(),1,0(N n n H S ∈==，则H 覆盖了S ，但S 没有有限覆盖。 （3）有限覆盖定理的作用是将无限转化为有限，从而将局部性质推广到整体性质。 例：证明：若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界。 证明：因为)(x f 在],[b a 上连续，所以],[0b a x ∈?，)(x f 在0x 处连续，由连续函数的局部有界性知0000)(),(,0,00x x x x M x f x U x M ≤?∈?>?>?δδ。 显然开区间集}0],,[|),({0000>∈=x x b a x x U H δδ覆盖了],[b a ，由有限覆盖定理， ],[,,21b a x x x n ∈? ，使}),,(),,(),,({21211n x n x x x U x U x U H δδδ =也覆盖了],[b a 。 取},,max{21n x x x M M M M =，则 k k k x x k x k M x f x U x x U b a x ≤?∈??∈?)(),(),(],,[δδ，从而有M x f ≤)(。证毕。 说明：无限多个正数中不一定有最大数，但有限多个正数中一定有最大数，用有限覆盖定理将无限转化为有限，从而将局部性质推广到整体性质，则此问题获证。 三、实数完备性定理的等价性 实数完备性的六个基本定理： 1、 确界原理； 2、 单调有界定理； 3、 闭区间套定理； 4、 有限覆盖定理； 5、 聚点定理； 6、 柯西收敛准则。 它们彼此是等价的（证明略） 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1.1确界存在定理的证明 (1) 1.2 确界存在定理证明单调有界定理 (3) 1.3单调有界定理证明区间套定理 (3) 1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 (4) 1.5有限覆盖定理证明聚点定理 (4) 1.6聚点定理证明致密性定理 (5) 1.7致密性定理证明柯西收敛准则 (5) 1.8柯西收敛准则证明确界存在定理 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7) 关于实数完备性相关定理等价性的研究 数学与应用数学专业学生xxx 指导教师 xxx 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。 关键词：实数集完备性基本定理等价性证明 Research about the equivalence theorems of completeness of real numbers Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics .Bing Liu Tutor Shixia Luan Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about completeness of the set of real numbers，which are existence theorem of supremum, monotone defined management,interval sequence theorem,Bolzano-Weierstrass theorem, convergence point theorem,Heine-Borel theorem and Cauchy convergence rule are Equivalent. This paper is to discuss the proof of the equivalence of the seven theorems. Here we first Prove the existence theorem of supremum, then prove the other correlative theorems based of existence theorem of supremum and form a ideal proof “loop”. Key words: set of real numbers，completeness，fundamental theorem，equivalence，proof. 引言： 我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。 1实数完备性相关定理的论证 1.1确界存在定理的证明 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 教学目的与要求： 1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备； 2）掌握区间套、聚点等重要概念； 3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意 4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力。 教学重点，难点： 熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法, 提高学生的分析论证能力 教学内容： 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ）;,2,1],,[],[11 =?++n b a b a n n n n (ii)0)(lim =-∞ →n n n a b , 则称[]{},,n n b a 为闭区间套，或简称区间套． 这里的性质（i ）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式： 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ (1) 定理7.1（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得.,2,1],,[ =∈n b a n n ξ即 .,2,1, =≤≤n b a n n ξ （２） 分析 即要证明闭区间列 ,2,1],,[=n b a n n 有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，由（1）式和单调有界定理可以知道数列{}n a 和{}n b 都存在极限，我们只要 一.七大定理循环证明: 1.单调有界定理→区间套定理 证明：已知n a ≤1+n a （?n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞ →n lim n a = r ， 同理可知{n b }存在极限，设∞ →n lim n b =r ' ，由∞ →n lim （n n a b -）=0得r r '-=0 即r r '= ?n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴?n ，有n a ≤r ≤n b 。 下面证明唯一性。 用反证法。如果不然。则? 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤ 对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <， 令 2 2 1'r r r += 显然 2 '1r r r << ? A r ∈'， B r ∈'， 这与B A |是R 的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。 2.区间套定理→确界定理 证明：由数集A 非空，知?A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知 ?b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ， b ]，用1a ，1b 的中点2 1 1b a +二等分[1 a ，1 b ]，如果2 11 b a +是A 的上界， 则取[2a ，2 b ]=[1 a ，2 11 b a +]；如果2 11 b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[2 1 1b a +，1 b ]；用2 a ，2 b 的中点2 22 b a +二等分[2a ，2 b ]……如此继 续下去，便得区间套[n a ，n b ]。其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。由区间套定理可得，?唯一的 ∞ =∈1],[n n n b a r ， 使∞ →n l i m n a =∞ →n lim n b = r 。A x ∈?， 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . . .. . 实数完备性定理的证明及应用 学生：xxx 学号： 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实 第七章实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或 (,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. ο 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； ο 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； ο 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. ο 4 由ο 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . E x ∈?,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =. 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 实数完备性定理的证明及应用 学生姓名：xxx 学号：072 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质．关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质. 1. 基本定义[1] 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38 No.24 D ecem.,2008 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州 310027) 摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34). 3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列. 5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中 必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n . 在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难. 定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理 第七章实数的完备性 §7.1 实数完备性的基本定理 一、问题提出 定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）． 定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ： (4)～(7) 阅读参考类 ： (8)～(10) 习题作业类 二、回顾确界原理的证明 我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理 设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能. 1 非空有上界的数集E 必存在上确界. 证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界； （2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类 B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划. 1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即 A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ； 2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出； 3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,而E 内每一元素属于 A ,所以b x a <<. 4 由 3的证明可见A 无最大数. 所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c . 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 (6学时) §1 关于实数完备性的基本定理 教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法. 教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下: 一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++?=L （2）lim()0n n n b a →∞ -= 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套. 定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得 [,],1,2,n n a b n ξ∈=L ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 证: 先证存在性 Q {[,]}n n a b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤L L L ∴可设 lim n n a ξ→∞ = 且由条件2有 lim lim()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞ →∞ →∞ =-+== 由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤=L 再证唯一性 设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤=L 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-=L 由区间套的条件2得 lim()0n n n b a ξξ→∞ '-≤-=故有ξξ'= 推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈=L 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当 n N >时有 [,](,)n n a b U ξε? 柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 本科毕业论文 题目浅谈实数的完备性 专业信息与计算科学 作者姓名唐星星 学号2013201334 单位数学科学学院 指导教师张冬梅 2017 年 5 月 教务处编 原创性声明 本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名：日期： 指导教师签名:日期： 目录 摘要 (3) Abstract (4) 前言 (1) 1．实数完备性定理在《数学分析》中所占的地位 (2) 2. 实数集的完备性 (2) 3．实数六个基本定理的描述和证明 (2) 3．1闭区间套定 (2) 3．2．确界的叙述 (3) 3．3有限开覆盖 (5) 定理3（有限覆盖定理） (6) 聚点的定义 (7) 定理4（聚点定理） (7) 3．5致密性定理 (8) 3．6柯西收敛准则 (8) 3．7单调有界定理 (9) 4．实数循环定理的证明 (10) 4．1确界定理?闭区间套定理 (10) 4．2区间套定理?有限覆盖定理 (10) 4．3有限覆盖定理?聚点定理 (11) 4．4聚点定理?致密性定理 (11) 4．5致密性定理?柯西收敛准则 (11) 4．7单调有界?确界定理 (12) 5.实数的完备性的发展状况 (12) 6．实数完备性定理过程中的一些注示 (13) 6．1关于实数完备性定理的循环证明过程 (13) 6．2关于实数完备性定理的起点 (13) 参考文献 (16) 致谢 (17) 第五讲实数的完备性 I 基本概念与主要结果 实数空间 1 无理数的定义 人类最先只知道自然数，由于减法使人类认识了负整数，又由除法认识了有理数，最后 由于开方与不可公度问题①发现了无理数，可惜的是无理数不能用有理数的开方形式主义来定 义.事实上，有理数开方所得到的无理数只占无理数中很小的一部分.为了让实数与数轴上 的点 对应起来，充满全数轴，必须用别的方法. 方法之一是用无限小数，我们知道任何有理数都可表为无限循环小数，这样可以把无限 不循环小数定义为无理数. 一个无限不循环小数 x ，取其n 位小数的不足近似值 a n 与过剩近似值 久，a n 与P n 均 为有理数，且P n -叫0 （ n T 处），x j 比，（\】.可见以无限不循环小数定义 10n 无理数等价于承认：以有理数为端点的闭区间套，必有且仅有唯一的公共点，此乃区间套定 理，即承认它是正确的. 历史上引进无理数的传统方法有两种： 理数列的基本序列法. 戴德金分割法具有很强的直观性， 假如在数轴上任意一点处将数轴截成两段， 果折断处是有理点，那么它不在左子集， 最大数或B 的最小数.如果 A 中没有最大数， 的一个“空隙”，称之为无理数，显然它是有序的， 系沈燮昌编写的《数学分析》，高等教育出版社， 康托用有理数基本序列的等价类来定义实数，其方法虽没有分割法直观，但其思想在近 毕达哥拉斯（公元前约 580~约500）:古希腊数学家、唯心主义哲学家，其招收 300门徒组织了一个 “联盟”，后称之为“毕达哥拉斯学派”，宣扬神秘宗教和唯心主义.在西方首次提出勾股定理，并把数的概 念神秘化，认为“万物皆数”，即数是万物的原型，也构成宇宙的“秩序” ，这里的数指的是自然然及自然数 戴德金（ Dedekind ）分割法和康托（Cantor ）的有 其思想是：每个有理数在数轴上已有一个确定的位置, 那么全体有理数被分为左、右两个子集 就在右子集，这样分割就确定了一个有理数， A,B .如 即A 的 B 中也没有最小数，这个分割就确定了直线上 可定义其四则运算（可参见北京大学数学 1986 年）. 1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。 3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点 ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。 4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。 5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛?对任给的正数ε ，总存在某一个自然数N ，使得 N n m >?,时，都有ε<-||n m a a 。 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记 a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N 时有a - ε < a N ≤ a n . 另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有 a - ε < a n < a + ε, 这就证得 a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）?ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］?［ａｎ，ｂｎ］； ２） ｂｎ－ａｎ ＝ 我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，?） 存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ 毕业论文文献综述 数学与应用数学 实数完备性定理相互论证及应用 牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理。 一、国内外研究的历史发展 自从毕达哥拉斯学派在公元前5世纪发现无理数以来，人们对无理数的认识经历了难以想象的历史长河，直到19世纪中叶，人类的全部智慧仅停留在有理数与个别无理数的认识阶段.19世纪后半叶，柯西与魏尔斯特拉斯建立极限理论为微积分奠定了基础，而极限理论却又是建立在实数连续性的假设之上的.为使微积分的基础更牢固，建立系统的实数理论成为数学科学发展的关键.建立实数理论的难点是给无理数下定义. 历史有时真巧合，实数的三大派理论：戴德金的“分割”、康托尔的“基本序列”、魏尔斯特拉斯的“单调有界序列”是同一年（1872年）在德国出现的.以下分别给予简单的介绍. 戴德金借助几何直观，通过以他名字命名的分割技术对有理数进行分割，巧妙而又严密的给出无理数的定义.大意如下：把有理数集Q分成与两个子集，使其满足下列三个条件： （1）； （2）中的任何一数小于中的任一数； （3）中无最大数. 称上述分解为有理数的一个戴德金分割，并记做.凡是中有最小数的分割称为第一类分割，这类分割的界数（即从有理数范围内来考虑，与之间所缺乏的数）称为无理数；有理数和无理数统称为实数.戴德金同时证明对实数作同样的分割不产生新的数.这就是实数的完备性或连续性（可用利刀切洒上金粉的细线来解释有理数的非完备性及实数的完备性）.现在人们把实数轴作为实数的几何模型，即实数与实数轴上的点一一对应，这是基于实数的连续性与直线连续性的统一。 一、问题提出 确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的 还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6． 定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛． 定理1.3 (区间套定理）设为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆 盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖． 定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ：(1)～(3) 基本要求类 ：(4)～(7) 阅读参考类 ：(8)～(10) 习题作业类 下面来完成(1)～(7)的证明． 二、等价命题证明 (1)（用确界定理证明单调有界定理） (2)（用单调有界定理证明区间套定理） (3)（用区间套定理证明确界原理） *(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理） *(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理） *(6)（用聚点定理证明柯西准则） *(7)（用柯西准则证明单调有界定理） (1)（用确界定理证明单调有界定理） 〔证毕〕 (返回) (2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套． §2 实数完备性的基本定理 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是 建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。 2.1 实数基本定理的陈述 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。 区间套还可表达为 , 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。 例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 2 1 , ) 1 (1 [ {n n n +-+ 、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 1 1 , 1 [ {+-都不是。 推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>?ε, ,N ? 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e ì。 推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有 n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。 根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。 据此，令12ε= ，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ? ?-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。 再令212ε= ，则存在()21N N >，在222211,22N N a a ??-+??? ?上含有{}n a 中除有限项外几乎所有项。记[]22,αβ=222211,22N N a a ? ?-+?????[]11,αβφ≠，它也含有{}n a 中 有限项外几乎所有的项，且[]22,αβ?[]11,αβ和11 221 22 βαβα--≤=。照以上的方法，依次令34111,,,,222 n ε= ，得一闭区间列[]{},n n αβ，它的每个区间都含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件 [][]()11,,,2,3,,n n n n n αβαβ--?= ()1 1 02 n n n n βα--≤ →→∞ 从而由区间套定理知，存在唯一一个数[](),1,2,n n a b n ?∈= ，现在证明这个?就是数列{}n a 的极限。因为对任给0ε>，由定理2.1推论知存在自然数N ，当n N >时，便有 [](),,n n a b U ?ε?。 因此在(),U ?ε内就含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，这就证得lim n n a ?→∞ =。 5. Weierstrass 聚点原理关于实数完备性相关定理等价性的研究
第七章 实数的完备性
实数完备性证明
实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
第七章 实数完备性
第七章 实数的完备性
实数完备性定理的证明及应用
实数完备性基本定理相互证明
实数系基本定理等价性的完全互证
第七章实数的完备性
数学分析之实数的完备性
第七章 实数的完备性
浅谈实数的完备性
第5讲实数的完备性
实数完备性的六大基本定理的相互证明 共 个
实数完备性定理相互论证及应用【文献综述】
实数完备性的等价命题及证明
§2 实数完备性的基本定理
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