《分式》知识点归纳与总结
一、分式的定义：
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子
B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠）
②分式无意义：分母为0（0B =）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0
0B A ）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩
⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0
0B A ）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ∙∙=A B A ，C
B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B
B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母
相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
六、分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
d
b c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：c c ∙∙=∙=÷b d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛ ③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：c
b a
c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bd
bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 ④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错
误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一
样适用。即：
n m n m a a +=⋅a ()mn n m
a a = ()n n n
b b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ） n n b a b a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n a 1=-n a 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m ，n 均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤：
① 审：仔细审题，找出等量关系。
② 设：合理设未知数。
③ 列：根据等量关系列出方程（组）。
④ 解：解出方程（组）。
⑤ 验：检验
⑥ 答：答题。
初中数学分式知识点总结（通用19篇） 初中数学分式知识点总结篇1 1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 2.分式有意义的条件：分母不等于0。 3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去，这种变形称为约分。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C (A,B,C为整式，且C≠0) 5.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 6.分式的四则运算： 1）同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c 2）异分母分式加减法则:异分母的.分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd 3）分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 4）分式的除法法则: (1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc (2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c 7.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 8.分式方程的解法:
①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值; ③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。 初中数学分式知识点总结篇2 1.分式及其基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变。 2.分式的运算： (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 初中数学分式知识点总结篇3 我是一名普普通通的中学数学教师，我觉得作为一个好老师，首先要爱他们，包容他们，我相信好学生是夸出来的，我不是神，只是一个普通的人，或许在工作中也有这样那样的失误，但我会努力去关爱他们。对如何有效教学形成了独特的见解。 1、培养积极探究习惯，发展求异思维能力。 在教学中，构建数感的理解、体会，要引导学生仁者见仁，智者见智，大胆，各抒己见。在思考辩论中，教师穿针引线，巧妙点拨，以促进学生在激烈的争辩中，在思维的碰撞中，得到语言的升华和灵性的开发。教师应因势利导，让学生对问题充分思考后，学生根据已有的经验，知识的积累等发表不同的见解，对有分歧的问题进行辩论。 通过辩论，让学生进一步认识了自然，懂得了知识无穷的，再博学的人也会有所不知，体会学习是无止境的道理。这样的课，课堂气氛很活跃，其间，开放的课堂教学给了学生更多的自主学习空间，教师也毫不吝惜地让学生去思考，争辩，真正让学生在学习中体验到了自我价值。这一环节的设计，充分让学生表述自己对数学的理解和感
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程
的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】（2015·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有x 2-5x+6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义，则x 的取值应满足（ ） A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- 2.（2015·湖南常德）若分式211 x x -+的值为0，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） A 、0 B 、1 C 、x D 、 1 x x - 【点睛】观察所给式子，能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】 1.化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】
分式与分式方程知识点总结 分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。 分式的乘法和除法的法则： 1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。 2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分 式乘法法则进行运算。即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。 分式的加法和减法的法则： 1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。即 a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。 2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。即a/b- c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。 分式的化简： 将分式化简为最简形式的步骤如下： 1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。即a/b = (a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。
2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简 为整数。即a/b=a/b，其中a能整除b。 3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以 使用因式分解后的形式来化简分式。 分式方程是包含一个或多个分式的方程。求解分式方程的一般步骤如下： 1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。 2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。 3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不 满足，则该方程无解。 在求解分式方程时，需要注意以下几个问题： 1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。 2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立， 避免出现无意义的解。 3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。 1.分式可以用来表示比例关系，如速度、密度和浓度等。 2.在物理学中，分式可以用来表示物理量之间的关系，如加速度等。 3.在经济学中，分式可以用来表示价格、成本等经济指标之间的关系。 4.在工程学中，分式可以用来表示电路中的电流、电压和电阻之间的 关系。
《分式》知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B 叫做分式，A为分子，B为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0 ④分式值为正或大于0：分子分母同号 ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号 ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 （3）注意：在应用分式的基本性质时，要注意同乘或同除的整式不
为O这个限制条件和隐含条件分母不为0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3．两种情形： ①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）
分式知识点总结 1、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。 2、分式有意义、无意义的条件: 分式有意义的条件:分式的分母不等于0; 分式无意义的条件:分式的分母等于0。 3、分式值为零的条件: 当分式的分子等于0且分母不等于0时,分式的值为0。 (分式的值就是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式为0的条件就是A＝0,且B≠0、) (分式的值为0的条件就是:分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值,再检 验这个字母的值就是否使分母的值为0、当分母的值不为0时,就就是所要求的字母的值。) 4、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不 变。 用式子表示为(),其中A、B、C就是整式 注意:(1)“C就是一个不等于0的整式”就是分式基本性质的一个制约条件; (2)应用分式的基本性质时,要深刻理解“同”的含义,避免犯只乘分子(或分母)的错误; (3)若分式的分子或分母就是多项式,运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一 整式C; (4)分式的基本性质就是分式进行约分、通分与符号变化的依据。 5、分式的通分: 与分数类似,利用分式的基本性质,使分子与分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成 相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键就是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母,这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点: (1)“各分母所有因式的最高次幂”就是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的; (2)如果各分母的系数都就是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; (3)如果分母就是多项式,一般应先分解因式。 6、分式的约分: 与分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子与分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。 约分的关键就是找出分式中分子与分母的公因式。 (1)约分时注意分式的分子、分母都就是乘积形式才能进行约分;分子、分母就是多项式时,通常将分子、分母 分解因式,然后再约分; (2)找公因式的方法: ①当分子、分母都就是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就 就是公因式; ②当分子、分母都就是多项式时,先把多项式因式分解。 易错点:(1)当分子或分母就是一个式子时,要瞧做一个整体,易出现漏乘(或漏除以); (2)在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前; (3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母; 7、分式的运算: 分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 用式子表示就是: 提示:(1)分式与分式相乘,若分子、分母就是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约 去公因式,化为最简 分式;若分子、分母就是多项式,先把分子、分母分解公因式,瞧能否约分,然后 再相乘; (2)当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变
分式知识点总结 分式（Fraction），也称为有理数，是数学中的一个重要概念。它由两个数，即分子和分母，构成一个比值关系。本文将对分式的基本概念、运算规则以及相关应用进行总结和讲解。 一、基本概念 1. 分式的定义 分式是由一个整数分子和一个非零整数分母构成的有理数表达式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，b ≠ 0。 2. 真分数、假分数和整数 当分子小于分母时，分式被称为真分数；当分子大于等于分母时，分式被称为假分数；当分子能整除分母时，分式可以化简为整数。 3. 近似数与分数的关系
分数可以表示一个近似数，例如2/3 ≈ 0.6667（保留四位小数）。 二、分式的运算规则 1. 分式的加减法 相同分母的分式可以直接加减分子，分母保持不变，如1/3 + 2/3 = 3/3 = 1。 不同分母的分式需要找到其最小公倍数作为通分的分母，再进 行加减运算，如1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6。 2. 分式的乘法 分式的乘法只需要将分子相乘，分母相乘，如1/2 × 3/4 = 3/8。 3. 分式的除法
分式的除法可以转化为乘法，即将除法转化为多个分数的乘法，如1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3。 4. 分式的约分 可以将分子和分母同时除以一个数，使分子和分母的最大公约 数为1，从而得到分式的最简形式。 5. 分式的化简 可以将一个分式化简为它的最简分式，即分子和分母没有公因 数的约分形式。 三、分式的应用 1. 比例 比例是分式在实际应用中的一种常见形式，常用于表示两个量 之间的关系。例如，某商品打折，原价100元，现价为80元，则 折扣为80/100 = 4/5。
八年级上册《分式》知识点归纳与总结 主讲 王老师 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩ ⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0 0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨ ⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠） 三、分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ∙∙=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。 3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母 相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
分式数学知识点归纳总结 一、分式的定义和基本性质 1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。 2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。 3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。 4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。 5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。 6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。 二、分式的化简和合并 1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。 2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。 三、分式的加减乘除性质 1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持 不变。 2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持 不变。 3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。 4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进 行运算。 四、分式的大小比较 1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。对于两个分式 a/b和c/d来说，若a/b
2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。 六、分式在实际应用中的问题求解 1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。 2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。 以上是对分式的一些基本概念和知识点进行的归纳总结，分式是数学中重要的概念之一，它涉及到整数、分数、有理数等多个数学概念的运用。掌握好分式的化简和合并、加减乘除性质、大小比较、方程解法以及在实际应用问题的运用，可以帮助我们更好地理解和运用分式，为后续数学学习和应用问题的求解奠定基础。
分式和分式方程知识点总结 1、分式 一般地，我们把形如B A 的代数式叫做分式，其中 A ， B 都是整式，且B 含有字母。A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。分式的分母必须含有字母。分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。 在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分式没有意义。 分数的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的数，其值不变。 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。其中，M 是不等于0的整式。 利用分式的基本性质可以对分式进行化简 把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。 2、分式的乘除 分式的乘法法则 分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 D B C A D C B A ••=• 分式的除法法则 分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。 C B D A C D B A D C B A ••=•=÷
3、分式的加减 同分母的分式加减法法则 同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。 B C A B C B A ±=± 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母 异分母的分式加减法法则 异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）。 BD BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算，与数的混合运算类似。先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。 4、分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。 在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。当分母的值不等于0时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当分母的值为0时，分式方程无解，我们把这样的根叫做分式方程的增根。
分式知识点总结 1.分式的定义:如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 2.分式有意义、无意义的条件: 分式有意义的条件：分式的分母不等于0; 分式无意义的条件：分式的分母等于0。 3。分式值为零的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0。） （分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0,二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值,再检 验这个字母的值是否使分母的值为0。当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。) 4.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不 变。 用式子表示为（），其中A、B、C是整式 注意：(1)“C是一个不等于0的整式"是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母)的错误； （3)若分式的分子或分母是多项式,运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上,再乘或除以同一 整式C； （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成 相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母，这样的分母就叫做最简公分母.求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的； (2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； （3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分.约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式. 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式. （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分; （2）找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就 是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解. 易错点：(1）当分子或分母是一个式子时,要看做一个整体,易出现漏乘（或漏除以）； (2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—" 放在分数线前; (3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母; 7.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘,若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然 后约去公因式，化为最简 分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘； (2）当分式与整式相乘时,要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变
分式知识点总结 分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。分 式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。本文将从 分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。 一、分式的定义 分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。分子表示被除数，分母表示除数。通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。 二、分式的基本性质 1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化 简为最简形式。 2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母 不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。 3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。 三、分式的运算法则 1. 分式的加法和减法： 分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或 相减即可。例如： a/b + c/d = (ad+bc)/bd
a/b - c/d = (ad-bc)/bd 2. 分式的乘法和除法： 分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。例如： (a/b) × (c/d) = ac/bd (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc 3. 分式的混合运算： 分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 四、分式的应用 分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。 1. 比例问题： 比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。 2. 百分比问题：
分式的概念与运算知识点总结分式是数学中常见的一种表示方法，用于表示两个数之间的比例关 系或部分关系。本文将对分式的概念和运算相关的知识点进行总结， 以帮助读者更好地理解和运用分式。 一、分式的基本概念 1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，其中分母不能 为零。 2. 分式的读法：分子通常读作“分子”，分母读作“分母”。例如，" 3/4 "读作“三分之四”。 3. 分式的意义：分式表示部分与整体的比例关系，可用于表示分数、比率、百分比等概念。 二、分式的基本形式 1. 真分式：分子小于分母的分式，如：3/4。 2. 假分式：分子大于等于分母的分式，如：5/4。 3. 整式：分子恒为零的分式，如：0/6。 4. 真分数：分子绝对值小于分母的分式，如：|-2/5|。 5. 假分数：分子绝对值大于等于分母的分式，如：|7/2|。 三、分式的基本运算
1. 分式的相等：若两个分式的分子、分母完全相同，则它们相等。 例如，1/2 = 2/4。 2. 分式的加减运算：将两个分式的分母取相同的公倍数，然后将分 子相加或相减。例如，1/3 + 1/4 = 7/12。 3. 分式的乘除运算：将两个分式的分子相乘，分母相除。例如，2/3 × 4/5 = 8/15。 4. 分式的倒数：将分式的分子与分母互换位置得到的新分式称为原 分式的倒数。例如，倒数为3/4的分式为4/3。 5. 分式的化简：将分式的分子和分母约分，使它们没有公因数。例如，8/12可以化简为2/3。 四、分式的应用 1. 分式在比例问题中的应用：通过设置分式的比例关系来求解问题。例如，已知一辆车以每小时60公里的速度行驶，求2小时行驶的距离。 2. 分式在百分数问题中的应用：将百分数转化为分式，进行运算。 例如，计算75%的数值为多少。 3. 分式在平均数问题中的应用：通过设置分式的平均数关系来求解 问题。例如，已知某次数学考试的平均分为80分，其中A同学的得分 为90分，求B同学的得分。 五、分式运算中的注意事项 1. 分母不能为零：分式的分母不能为零，否则分式无意义。
分式知识点总结归纳 一、分式的定义和表示 1. 分式的定义 分式是指两个整数的比值，通常表示为a/b，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。 例如：2/3、7/5等都是分式。 2. 分式的表示 分式在数学中通常以a/b的形式表示，其中a和b都是整数。分式也可以表示为小数形式或百分数形式。例如2/3可以表示为0.666...或者66.6%。 二、分式的性质 1. 分式的大小比较 分式a/b和c/d的大小比较可以通过交叉相乘的方法来确定。如果ad=bc，则a/b=c/d； 如果ad
分式在数学中有着广泛的应用，涉及到比例关系、面积和体积的计算等等。在现实生活中，分式也经常出现在日常计算中，例如物品打折、时间的分配等都涉及到分式的运算。 2. 分式的比较 分式的大小比较常常用于比例关系的计算中。例如，当我们需要比较两个物品的价格或者 比较两种方案的优劣时，可以利用分式的大小关系进行判断。 3. 分式的加减乘除 分式的加减乘除在实际问题中也有着广泛的应用。例如，在实际生活中，我们需要将一个 总数按照某个比例进行分配，就需要用到分式的加减乘除。 4. 分式的解方程 在代数方程中，分式经常出现在方程的解法中。有些方程的解就是分式形式，需要对分式 进行化简和计算。 四、分式的常见错误和解决方法 1. 理解不清分式的定义 有些学生在学习分式的时候，对分式的定义理解不清晰，不能正确区分分子和分母的概念，这样就会导致在实际运算中出现错误。因此，学生在学习分式的时候，应该首先理解分式 的定义，掌握分子和分母的含义。 2. 分式的运算错误 分式的运算中，有些学生容易出现加减乘除的错误，例如忘记通分、错位相加等。解决这 个问题的方法是要熟练掌握分式的加减乘除运算规则，并进行大量的练习。 3. 分式的约分错误 有些学生在约分分式的时候，容易出现错误，不能正确找到分子和分母的最大公约数。解 决这个问题的方法是要熟练掌握最大公约数的求法，并进行大量的约分练习。 4. 分式的大小比较错误 在分式的大小比较中，有些学生容易出现错误，不能准确判断两个分式大小的关系。解决 这个问题的方法是要熟练掌握交叉相乘的方法，并进行大量的大小比较练习。 五、分式的数学建模 1. 分式在数学建模中的应用
分式的知识点总结 分式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。掌握分式的 知识对于数学学习以及实际生活中的应用都具有重要意义。本文将总 结分式的相关概念、性质以及常见的运算方法，以帮助读者更好地理 解和应用分式。 一、分式的基本概念 分式由分子和分母两部分组成，用分数线隔开，分母不能为零。分 式可以表示一个有理数或未知数的比例关系。通常表示为：a/b，其中 a称为分子，b称为分母。 二、分式的类型 1. 真分式：分式的分子小于分母的分式，例如：2/3。 2. 假分式：分式的分子大于等于分母的分式，例如：5/4。 3. 带分数：由整数和真分式组成的分数，例如：1 3/5。 三、分式的化简与约分 化简分式是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母没有其 他公因式的过程。 约分是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母互质的过程。 四、分式的运算 1. 分式的加法和减法：
分式的加法和减法的运算方法相同： ①将分式化为通分分式； ②对分子进行加、减运算，分母保持不变； ③化简结果（如果需要）。 2. 分式的乘法： 两个分式相乘时，将分子乘以分子，分母乘以分母，然后化简结果（如果需要）。 3. 分式的除法： 两个分式相除时，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第 一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后化简结果（如果需要）。 五、分式方程的解法 1. 清除分母法： 将方程两边的分式的分母去掉，得到一个整式方程； 解这个整式方程，找到方程的解； 检验这些解是否满足原方程。 2. 相乘法： 将方程中的分式两边同时乘以一个适当的整式，消去分式得到一个 整式方程；
分式的知识点总结 分式的知识点总结 初中学好数学才能上高中轻松，越来越难的题目，要先打好基础。下面是小编为大家整理的分式知识点总结，希望对你有所帮助！ 基础数学知识大放送：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式(fraction)。那么接下来的分式知识请同学认真记忆了。 分式 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a^-n=1/a^n (a≠0) 这就是说，a^-n (a≠0)是a^n的倒数。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。 分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法： ① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 上面为大家带来的初中数学知识点大全之分式，相信同学们肯定轻松记忆了吧，接下来还有更多的数学知识点营养大餐等着同学们来汲取吸收呢。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的`内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
《分式》知识点归纳与总结 《分式》知识点归纳与总结一、分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（）③分式值为0：分子为0且分母不为0（）④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数 （A+B=0,）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约 去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的 最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时， 叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式, 然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与 原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所 有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分 母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断 最简公分母.
分式知识点总结 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2.分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。 3.分式值为零的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。 〔分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.〕 〔分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检 验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。〕 4.分式的根本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式，分式的值不 变。 用式子表示为〔〕，其中A、B、C是整式 注意：〔1〕“C是一个不等于0的整式〞是分式根本性质的一个制约条件； 〔2〕应用分式的根本性质时，要深刻理解“同〞的含义，防止犯只乘分子〔或分母〕的错误； 〔3〕假设分式的分子或分母是多项式，运用分式的根本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C； 〔4〕分式的根本性质是分式进展约分、通分和符号变化的依据。 5.分式的通分： 和分数类似，利用分式的根本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成 一样分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： 〔1〕“各分母所有因式的最高次幂〞是指凡出现的字母〔或含字母的式子〕为底数的幂选取指数最大的； 〔2〕如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； 〔3〕如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分： 和分数一样，根据分式的根本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 〔1〕约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进展约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母 分解因式，然后再约分； 〔2〕找公因式的方法： ①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找一样字母的最低次幂，它们的积就 是公因式； ②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 易错点：〔1〕当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘〔或漏除以〕； 〔2〕在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—〞放在分数线前； 〔3〕确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 7.分式的运算： 分式乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：〔1〕分式与分式相乘，假设分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简 分式；假设分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘； 〔2〕当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变
分式知识点总结 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式;并且B中含有字母;那么式 子叫做分式.. 2. 分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0.. 3. 分式值为零的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时;分式的值为0.. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的;所以使分式为0的条件是A＝0;且B≠0. 分式的值为0的条件是：分子等于0;分母不等于0;二者缺一不可..首先求出使分子为0的字母的值;再检 验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时;就是所要求的字母的值.. 4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的 整式;分式的值不变.. 用式子表示为;其中A、B、C 是整式 注意：1“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； 2应用分式的基本性质时;要深刻理解“同”的含义;避免犯只乘分子或分母的错误； 3若分式的分子或分母是多项式;运用分式的基本性质时;要先用括号把分子或分母括上;再乘或除以同一 整式C； 4分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据.. 5.分式的通分： 和分数类似;利用分式的基本性质;使分子和分母同乘适当的整式;不改变分式的值;把几个异分母分式化成 相同分母的分式;这样的分式变形叫做分式的通分.. 通分的关键是确定几个式子的最简公分母..几个分式通分时;通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分 母;这样的分母就叫做最简公分母..求最简公分母时应注意以下几点：1“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂选取指数最大的；