九年级数学下册解法技巧思维培优
专题12 二次函数与相似
【典例1】（2019?醴陵市一模）在平面直角坐标系中，抛物线y =?1
2x 2+3
2x +m ﹣1交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，若A 点坐标为（x 1，0），B 点坐标为（x 2，0）（x 1≠x 2）． （1）求m 的取值范围；
（2）如图1，若x 12+x 22＝17，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题： ①如图1，请连接AC ，求证：△ACB 为直角三角形．
②如图2，若D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线y ＝﹣x ﹣1交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．
【点拨】（1）△＝（3
2）2﹣4×（?1
2）（m ﹣1）=9
4+2m ﹣2＝2m +1
4，即可求解；
（2）∵x 1+x 2＝3，x 1?x 2＝﹣2（m ﹣1），又x 12+x 22＝17，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2＝17，即可求解； （3）①AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25，即可求解；
②分△PBD ∽△BAE 、△PBD ∽△EAB 两种情况，分别求解即可． 【解析】解：（1）△＝（3
2）2﹣4×（?1
2）（m ﹣1）=9
4+2m ﹣2＝2m +1
4，
由题可得2m +14
＞0，
∴m ＞?18
；
（2）∵x 1+x 2＝3，x 1?x 2＝﹣2（m ﹣1）， 又x 12+x 22＝17，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2＝17∴32+4（m ﹣1）＝17， ∴m ＝3，
∴抛物线的解析式为y =?1
2
x 2+32
x +2；
（3）①证明：令y ＝0，?1
2x 2+32x +2＝0， ∴x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴A （﹣1，0），B （4，0） 令x ＝0，y ＝2， ∴C （0，2），
∴AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25
∴AC 2+BC 2＝AB 2∴△ACB 为直角三角形； ②根据抛物线的解析式易知：D （1，3），
联立直线AE 、抛物线解析式：{y =?x ?1y =?12x 2+32x +2解得{x =?1y =0或{x =6y =?7， ∴E （6，﹣7），
∴tan ∠DBO ＝1，即∠DBO ＝45°，tan ∠EAB ＝1，即∠EAB ＝45°， ∴∠DBA ＝∠EAB ，
若以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则有两种情况： ①△PBD ∽△BAE ； ②△PBD ∽△EAB ． 易知BD ＝3√2，EA ＝7√2，AB ＝5，
由①得：PB AB =BD AE ，即PB 5=
√27√2
，即PB =157，OP ＝OB ﹣PB =13
7．
由②得：
PB AE
=BD AB
，即
7√2
=
3√25
，即PB =425，OP ＝OB ﹣BP =?22
5， ∴P （137
，0）或（?
22
5
，0）． 【典例2】（2019?东河区二模）如图1，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2+bx 与x 轴交于另一点A （32
，0），在第一象限内与直线y ＝x 交于点B （2，t ） （1）求抛物线的解析式；
（2）在直线OB 下方的抛物线上有一点C ，点C 到直线OB 的距离为2，求点C 的坐标；
（3）如图2，若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，则∠MHC ＝∠MCH ＝45°，CM =√2，HC =√2CM ＝2，
设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ），即可求解；
（3）分点P 在第一象限、第三象限两种情况，分别求解即可． 【解析】解：（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），
将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{0=a(32
)2
+3
2b 2=4a +2b
，解得：{a =2b =?3， 故抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣3x …①； （2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，
∵∠BAO ＝45°， ∴∠OHC ＝45°， 又∵CM ⊥OB ，
∴∠MHC ＝∠MCH ＝45°， CM =√2， ∴HC =√2CM ＝2，
设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ）， ∵点C 在直线BO 的下方， HC ＝t ﹣2t 2+3t ＝2，解得：t ＝1，
∴C （1，﹣1）；
（3）如图（2）BM 交y 轴于点N ，
∵∠MBO ＝∠ABO ，OB ＝OB ，∠NOB ＝∠AOB ＝45°， ∴△BON ≌△AOB （AAS ），
∴ON ＝OA =3
2，
将点B 、N （0，3
2
）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM 的表达式为：y =1
4
x +32
?②，
联立①②并解得：x =?3
8，故点M （?3
8，
4532
），
∵△POC ∽△MOB ，OB ＝2√2，OC =√2，
∴OB OC
=OM OP
=2，
即：OM ＝2OP ，∠MOB ＝∠POC ， ①当点P 在第一象限时，
过点P 作PQ ⊥OA 于点Q ，过点M 作MG ⊥ON 于点G ， ∵∠BON ＝∠AOC ＝45°
∴∠MON ＝∠POA ， ∴△MOG ∽△POQ ， ∵OM ＝2OP ，
∴OM OP
=
MG PQ
=
OG OQ
=2，
又OG =
4532，MG =38， ∴OQ =
4564，PQ =316， 即点P （4564
，
3
16
）
②同理当点P 在第三象限时，
点P （?
316，?4564
）； 综上，点P （4564
，
3
16
）或（?
316，?45
64
）． 【典例3】（2019?鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，2），B （5，0），抛物线y ＝ax 2
﹣2ax （a ＞0）交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AB 的表达式；
（3）设抛物线y ＝ax 2﹣2ax （a ＞0）分别交边BA ，BA 延长线于点D 、E ． ①若AE ＝2AO ，求抛物线表达式；
②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 1013
（直接写出答案）．
【点拨】（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；
（2）利用待定系数法求解可得；
（3）①由AE＝3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；
②若△CDB与△BOA相似，则∠A＝∠CDB＝90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y＝ax2﹣2ax 可得a值．
【解析】解：（1）∵x=?b
2a
=1，O，C两点关于直线x＝1对称
∴C（2，0）；
（2）设直线AB：y＝kx+b，
把A（1，2），B（5，0）代入得
{k+b=2
5k+b=0，
解得：{
k=?12
b=52
，
∴y=?1
2x+
5
2．
（3）①∵A（1，2），B（5，0），O（0，0）∴OA=√5，OB＝5，AB＝2√5
∴OA2+AB2＝OB2
∴∠OAB＝90°
∴∠OAE ＝90°
作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，
∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90° ∴△EAF ∽△AOG （AA ）
∴EF AG
=AF OG
=AE AO
=2，
∴EF ＝4，AF ＝2， ∴点E 坐标为（﹣3，4）
代入解析式y ＝ax 2﹣2ax 可得，9a +6a ＝4，
解得a =4
15， ∴y =
415x 2?8
15
x ； ②若△CDB 与△BOA 相似，
CD AO
=BD AB
=BC BO
，
∴
√5
=
2√5=35
，
D （
135
，65
），
代入解析式y ＝ax 2﹣2ax 可得，a =10
13．
故答案为：
1013
．
【典例4】（2020?郑州一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =?12
x +n 与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +3
2（a ≠0）过B ，C 两点，且交x 轴于另一点A （﹣2，0），连接AC ． （1）求抛物线的表达式；
（2）已知点P 为第一象限内抛物线上一点，且点P 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示点P 到直线BC 的距离；
（3）抛物线上是否存在一点Q （点C 除外），使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）点C （0，3
2），则直线y =?1
2x +n =?1
2x +3
2，则点B （3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a
（x ﹣3）（x +2）＝a （x 2﹣x ﹣6），即可求解；
（2）则PH ＝PG cosα=
5
（?14m 2+14m +32+12m ?32）=?√510m 2+3√5
10m ； （3）分当点Q 在x 轴上方、点Q 在x 轴下方两种情况，分别求解即可．
【解析】解：（1）点C （0，32
），则直线y =?1
2x +n =?1
2x +3
2，则点B （3，0）， 则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣3）（x +2）＝a （x 2﹣x ﹣6），
故﹣6a =3
2，解得：a =?1
4，
故抛物线的表达式为：y =?1
4x 2+1
4x +3
2；
（2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，作PH ⊥BC 于点H ，
则∠HPG ＝∠CBA ＝α，tan ∠CBA =
OC OB =12=tanα，则cosα=2
5
， 设点P （m ，?14
m 2+14
m +32
），则点G （m ，?1
2
m +32
），
则PH ＝PG cosα=
5
（?14m 2+14m +32+12m ?32）=?√510m 2+3√5
10m ； （3）①当点Q 在x 轴上方时，
则点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 全等，此时点Q 与点C 关于函数对称轴对称，
则点Q （1，32
）； ②当点Q 在x 轴下方时，
（Ⅰ）当∠BAQ ＝∠CAB 时，△QAB ∽△BAC ，
则AB AC
=AQ AB
，
由勾股定理得：AC ＝5，AQ =AB 2AC
=2552
=10，
过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，由△HAQ ∽△OAC 得：
AQ AC
=
QH OC
=
AH OA
，
∵OC=3
2，AQ＝10，
∴QH＝6，则AH＝8，OH＝8﹣2＝6，
∴Q（6，﹣6）；该点在抛物线上；
根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（﹣5，﹣6）；故点Q的坐标为：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；
（Ⅱ）当∠BAQ＝∠CBA时，
则直线AQ∥BC，直线BC表达式中的k为：?1 2，
则直线AQ的表达式为：y=?1
2x﹣2…②，
联立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故点Q（5，?7 2），
BC AB =
√45
4
5
，而
AB
AQ
=
√245
4
，故
BC
AB
≠
AB
AQ
，即Q，A，B为顶点的三角形与△ABC不相似，
故舍去，Q的对称点（﹣4，?7
2）同样也舍去，
即点Q的为：（﹣4，?7
2）、（5，?
7
2）均不符合题意，都舍去；
综上，点Q的坐标为：（1，3
2
）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）．
【典例5】（2019?贵港三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．
【点拨】（1）将A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）代入线y ＝ax 2+bx +c ，求出a 、b 、c 即可； （2）四边形P AOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ＝1+3+5＝9； （3）分两种情况讨论：①当△BPQ ∽△BCA ，②当△BQP ∽△BCA ． 【解析】解：（1）由已知得{a +b +c =016a +4b +c =0c =3
，
解得
{ a =34
b =?154
c =3
所以，抛物线的解析式为y =y =34x 2?15
4x +3；
（2）∵A 、B 关于对称轴对称，如图，连接BC ，与对称轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PC ＝BC ， ∴四边形P AOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ， ∵A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝5， ∴OC +OA +BC ＝1+3+5＝9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P ，使得四边形P AOC 的周长最小，四边形P AOC 周长的最小值为9； （3）如图，设对称轴与x 轴交于点D ．
∵A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）， ∴OB ＝4，AB ＝3，BC ＝5，
直线BC ：y =?3
4x +3，
由二次函数可得，对称轴直线x =5
2， ∴P （52，9
8），BP =15
8，
①当△BPQ ∽△BCA ，
BQ BA =BP BC
，
BQ 3
=
158
5=38
，
∴BQ =9
8，
∴OQ =OB ?BQ =4?
98=238
， Q 1（
238
，0）
②当△BQP ∽△BCA ，
BQ BC
=BP BA
，
∴
BQ 5
=
15
8
3
=58
，
∴BQ =25
8，
∴OQ ＝OB ﹣BQ ＝4?25
8=7
8， ∴Q 2（7
8，0），
综上，求得点Q 的坐标（
238
，0）或（7
8
，0）
巩固练习
1．（2019?相城区校级二模）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣6ax +6（a ≠0）与x 轴交于点A （8，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜8），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ． （1）求出抛物线的函数表达式；
（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2＝36：25，求m 的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为30°，连接E 'A 、E 'B ，在坐标平面内找一点Q ，使△AOE ′～△BOQ ，并求出Q 的坐标．
【点拨】（1）运用待定系数法，把A （8，0）代入y ＝ax 2﹣6ax +6，解方程即可；
（2）先运用待定系数法求直线AB 解析式，再利用△ANE ∽△PNM 和S 1：S 2＝36：25，可求得
AN PN
，建立
关于m 的方程求解即可；
（3）由△AOE ′～△BOQ ，可分两种情况：点Q 在y 轴右侧或点Q 在y 轴左侧；运用相似三角形性质分别求解即可．
【解析】解：（1）把A （8，0）代入y ＝ax 2﹣6ax +6，得64a ﹣48a +6＝0，解得a =?3
8
，
∴抛物线的函数表达式为：y =?3
8x 2+9
4x +6；
（2）如图1，在y =?38
x 2+94
x +6中，令x ＝0，得y ＝6， ∴B （0，6），
令y ＝0，得?3
8
x 2+94
x +6＝0，解得：x 1＝8，x 2＝﹣2， ∴A （8，0），
设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则{8k +b =0b =6，解得{k =?3
4b =6
∴直线AB 解析式为y =?34
x +6 ∵PE ⊥x 轴，PM ⊥AB ∴∠AEN ＝∠PMN ＝90°， ∵∠ANE ＝∠PNM ∴△ANE ∽△PNM
∴AE PM
=
EN MN
=
AN PN
，
S 1S 2
=
S △PMN S △AEN
=（
PM AE
）2，
∵S 1：S 2＝36：25，
∴PM AE =6
5
∴AN PN
=56
，即6AN ＝5PN
∵E （m ，0）（0＜m ＜8），
∴P （m ，?3
8m 2+9
4m +6），N （m ，?3
4m +6）
∴EN =?3
4m +6，PN ＝PE ﹣EN =?3
8m 2+9
4m +6﹣（?3
4m +6）=?3
8m 2+3m OE ＝m ，AE ＝8﹣m ，
∵AB =√OA 2+OB 2=√82+62=10
∴cos ∠OAB =
AE AN =OA
AB ，即8?m AN =810 ∴AN =5
4（8﹣m ），
∴6×5
4
（8﹣m ）＝5×（?38
m 2+3m ），解得：m 1＝4，m 2＝8（不符合题意，舍去）， ∴m ＝4；
（3）如图2，∵线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为30°， ∴OE ′＝OE ＝4，∠AOE ′＝30° ∵△AOE ′～△BOQ ，
∴OE′OA =OQ OB ，∠BOQ ＝∠AOE ′＝30°，
∴48
=
OQ 6，即OQ ＝3，过点Q 作QH ⊥y 轴于H ，
∴QH =12
OQ =32
，OH =√OQ 2?QH 2=√32?(32
)2=
3√3
2
， ∴当点Q 在y 轴右侧时，Q 1（32
，
3√3
2
）， 当点Q 在y 轴左侧时，Q 2（?3
2，3√3
2
）． 综上所述，Q 的坐标为：Q 1（3
2，
3√32），Q 2（?32，3√3
2
）．
2．（2019?武侯区校级模拟）如图1，以点A（﹣1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB＝90°，tan A ＝3，点B位于第三象限
（1）求点B的坐标；
（2）以A为顶点，且过点C的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由；
（3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线FF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标．
【点拨】
（1）由∠ACB＝90°可联想到构造K字形相似．即可得△CNB～△AMC，由相似比＝tan∠BAC=BC AC
=
3，即可求出BN、NC，从而得到B的坐标．
（2）以A 为顶点可设为y ＝a （x +1）2+2，将C 点代入即可求出a =?1
2
，然后将B 代入解析式也成立即可判定抛物线经过点B ，
（3）由直线AC 解析式可知∠ACD ＝45°，由EF ⊥BC 可知AC 平行HG ，以点B 、G 、H 为顶点的三角形与△ADC 相似，有两种情况：Ⅰ．∠HGB ＝45°，即BG ⊥y 轴，G 点坐标（0，﹣6），即可求出直线EG 解析式，进而求出E 点．Ⅱ．）．∠HBG ＝∠ACD ＝45°时，∴G 坐标为（0，?13
3），同理可求此时E 点坐标．
【解析】解：（1）过C 点作MN 垂直x 轴．过A 、B 两点分别作AM ⊥MN ，垂足为M ，BN ⊥MN ，垂足为N ，
∵∠ACB ＝90°， ∴∠CBN ＝∠ACM ， ∴△CNB ～△AMC ，
∴BC AC
=BN CM
=CN AM
，
∵A （﹣1，2）、C （1，0）， ∴AM ＝2，CM ＝2，
又∵tan A =
BC
AC
=3， ∴BN ＝6，CN ＝6， ∴B 点坐标为（﹣5，﹣6）．
（2）设以A （﹣1，2）为顶点的抛物线为y ＝a （x +1）2+2， ∵抛物线经过C （1，0） ∴a （1+1）2+2＝0，
∴a =?1
2，
∴函数解析式为y =?12
(x +1)2+2，
当x ＝﹣5时，y =?12
(?5+1)2+2=?6，
∴以A 为顶点，且过点C 的抛物线为y =?1
2(x +1)2+2经过点BB （﹣5，﹣6）． （3）∵点A （﹣1，2）、C （1，0）， ∴直线y AC ＝﹣x +1，∠ACD ＝45°， ∵EF ⊥BC ， ∴∠BHC ＝DAC ，
∴以点B 、G 、H 为顶点的三角形与△ADC 相似，有两种情况：
Ⅰ．如图2（1）．∠HGB ＝45°，∵EG ∥AC ，∴BG ∥CD ，即BG ⊥y 轴， ∴G 坐标为（0，﹣6） ∴直线y EG ＝﹣x ﹣6，
依题意得：{
y =?x ?6
y =?1
2(x +1)2+2
， 解得{x 1=√15y 1=?√15?6（不合题意舍去），得{x 2=?√15y 2=√15?6
，
∴当∠HGB ＝∠ACD ＝45°时△HBG ∽ADC ，即：E 点坐标为（?√15，√15?6）． Ⅱ．如图2（2）．∠HBG ＝∠ACD ＝45°时，△HBG ∽△ACD ， ∵过B 点作BP ⊥y 轴，∴P 点（0，﹣6） ∵∠CBP ＝45°， ∴∠GBP ＝∠ABC ，
又∵tan ∠GBP =GP
BP ，tan ∠ABC =1
3，BP ＝5，
∴GP =53，即G 点坐标为（0，?
133
）， ∴直线y EG =?x ?
133
， 依题意得：{y =?x ?
13
3y =?12
(x +1)2
+2
， 解得{x 1=√1053y 1=?√1053
?6，（不合题意舍去），得{x 2=?
√105
3y 2=√105
3
?6
， 即E 点为（?
√105
3
，
√105
3
?6）， 综上所述：E 点坐标为（?√15，√15?6）或（?√105
3，
√105
3
?6），
3．（2020?崇明区一模）如图，抛物线与x 轴相交于点A （﹣3，0）、点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ． （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求∠ACB 的正切值；
（3）当△AOE 与△ABC 相似时，求点D 的坐标．
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
二次函数 的解析式 【重点难点提示】 重点：二次函数的解析式 难点：从实际问题中抽象出二次函数 考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。 【经典范例引路】 例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4 （1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。 解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0) 则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16 ∴k=±2 (2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4) ∴S △ABC =21 ×4×4=8 设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0 得：x=－1±22或x=1±22 ∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4） 例2 阅读下面的文字后，解答问题 有这样一道题目： 已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由 （2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 解 （1）能：根据题意有：?? ?++=-=c b a c a 2 又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b 2=2
二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1
222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
待定系数法求解析式
代入方程求得解析式 例题一 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1 时，y＝0.求这个二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是() A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2 C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－3x＋2 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点， 求出抛物线的解析式． 5.已知抛物线C 1 ：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线C 1 的解析式； (2)将抛物线C 1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C 2 经过坐标原点，并写出 C 2 的解析式． 2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式 顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法： 若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式 例题二 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为() A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是() A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4 C．b＝－2，c＝4D．b＝－2，c＝－4 3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二 次函数的解析式． 4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式． 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过 A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为 3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式 交点式y＝a(x－x 1)(x－x 2 )的求解方法： 若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式 例题三 1．如图，抛物线的函数表达式是() A．y＝x2－x＋4 B．y＝－x2－x＋4 C．y＝x2＋x＋4 D．y＝－x2＋x＋4
二次函数的定义专项练习 30 题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（ ） ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x （1﹣x ）④ y= （ 1﹣ 2x ）（ 1+2x ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5．若 y=（m 2+m ） 是二次函数，则 m 的值是（ ） A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 ． ． ． m=3 ． 6．下列函数 ，y=3x 2， ，y=x （x ﹣2），y=（x ﹣ 1）2﹣ x 2 中，二次函数的个数 为 （ 7．下列结论正确的是（ ） 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ，b ，c 的值均不能为零 8．下列说法中一定正确的是（ ） A ． y=ax 2 是二次函数 B ． 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ． 二次方程是二次函数的特例 D ． 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（ ） A ． 正方形的周长 y 与边长 x B ． 速度一定时，路程 s 与时间 t C ． 三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D ． 正方形的面积 y 与边长 x 4．若 y= （ 2﹣ m ) 是二次函数，则 m 等于（ ） 2．下列结论正确的是 （ ） D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A ． B ． C ． D ．
2 A ． 函数 y=ax 2+bx+c （其中 a ，b ， c 为常数）一定是二次函数 B ． 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C ． 路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D ． 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9．函数 y=（ m ﹣ n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（ ） A ． m 、n 是常数，且 m ≠0 B ． m 、 n 是常数，且 m ≠n C ． m 、n 是常数，且 n ≠0 D ． m 、 n 可以为任何常数 10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（ ） A ． 速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 B ． 质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C ． 质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D ． 从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 11．下列函数中， y 是 x 二次函数的是（ ） A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 ． ． ． ． 12．下面给出了 6 个函数： 其中是二次函数的有（ ） A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13．自由落体公式 h= gt 2（g 为常量），h 与 t 之间的关系是（ ） A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14．如果函数 y= （ k ﹣ 3） +kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是 ___________ ． 15．二次函数 y= （ x ﹣2） 2﹣ 3 中，二次项系数为 __________ ，一次项系数为 ___________ 为 _________ ． 16．已知函数 y=（k+2） 是关于 x 的二次函数，则 k= __________ ． 17．已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线， m= ___________ ． 22 18．当 m __________ 时，关于 x 的函数 y= （m 2﹣1）x 2+（m ﹣1） x+3 是二次函数． 2 2 2 19． y=（m 2﹣ 2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ ． ① y=3x 2﹣1；② y=﹣ x 2 ﹣3x ； ③ y= ； 2 ④ y=x （x +x+1 ）；⑤ y= ⑥ y= ，常数项
二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
沁乐教育 沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名：
二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点二：抛物线的图像与a 、b 、c 关系】 （1） a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c 决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y 轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2 －4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2 －4ac ?? ???<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】
设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2 ，把三点代入表 达式列三元一次方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式： k h x a y +-=2)(；其中抛物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式： ) )((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线 )(2 1 21x x x += （二）、感悟与实践 例1： （1）求二次函数y ＝x 2 －4x ＋1的顶点坐标和对称轴. （2）已知二次函数y ＝－2x 2 －8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________． 变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2 ＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．
二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。