一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；
（2）试判断：旋转过程中
BD
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；
（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．
【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】
试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE
CB CA
=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．
（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．
（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1
2
n ．故答案为90°，
1
2
n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =
32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m
．故答案为n
m
． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵
CD BC n
CE AC m
==，
∴△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC n
AE AC m
==．
（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，
∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC
AE AC
=，∴
35=810，∴BD =125．故答案为125
． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°
时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）
=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于
M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =
22AM ME +=57，由（2）可知
DB AE =223
，∴BD =2114
3． 故答案为210或
2114
3
．
点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
2．如图1，在锐角△ABC 中，∠ABC=45°，高线AD 、BE 相交于点F ． （1）判断BF 与AC 的数量关系并说明理由；
（2）如图2，将△ACD 沿线段AD 对折，点C 落在BD 上的点M ，AM 与BE 相交于点N ，
当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．
【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=1
2
AC，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；
（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则
∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=1
2 AC．
试题解析：
（1）BF=AC，理由是：
如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BDF中，
∵
DAC DBF
ADC BDF AD BD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；
（2）NE=1
2
AC，理由是：
如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，
∴AE=EC，
∵BE⊥AC，
∴AB=BC，
∴∠ABE=∠CBE，
由（1）得：△ADC≌△BDF，
∵△ADC≌△ADM，
∴△BDF≌△ADM，
∴∠DBF=∠MAD，
∵∠DBA=∠BAD=45°，
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，
∴∠ANE=∠NAE=45°，
∴AE=EN，
∴EN=1
2 AC．
3．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出
△PMN周长的最小值与最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15．
【解析】
分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得
PM=1
2
CE，PM∥CE，PN=
1
2
BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所
以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以
∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得
∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，
PM=PN=1
2
BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM
最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.
详解：
（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，
所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ADE；
（2）△PMN是等边三角形．
理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM=1
2
CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN=1
2
BD，PN∥BD，
同（1）的方法可得BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=1
2 BD，
∴PM最大时，△PMN周长最大，
∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，
∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；
点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，
∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．
故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.
4．如图1，在Rt△ADE中，∠DAE=90°，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在Rt△ADE的外部作Rt△ABC，∠BAC=90°，连接BE、CD．
（1）在图1中，若AC=AB，AE=AD，现将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，
得到图2，那么线段BE．CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；
（2）在图1中，若CA=3，AB=5，AE=10，AD=6，将图1中的Rt△ADE绕着点A顺时针旋转锐角α，得到图3，连接BD、CE．
①求证：△ABE∽△ACD；
②计算：BD2+CE2的值．
【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．【解析】
【分析】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD；只要证明△BAE≌△CAD，即可解决问题；
（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ABE∽△ACD．
②由①得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90°，即DG⊥BE，根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2，即可根据勾股定理计算．
【详解】
（1）结论：BE=CD，BE⊥CD．
理由：设BE与AC的交点为点F，BE与CD的交点为点G，如图2．
∵∠CAB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
在△CAD和△BAE中，∵
AB AC
BAE CAD
AE AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△CAD≌△BAE，∴CD=BE，
∠ACD=∠ABE．
∵∠BFA=∠CFG，∠BFA+∠ABF=90°，∴∠CFG+∠ACD=90°，∴∠CGF=90°，∴BE⊥CD．（2）①设AE与CD于点F，BE与DC的延长线交于点G，如图3．
∵∠CABB=∠EAD=90°，∴∠CAD=∠BAE．
∵CA=3，AB=5，AD=6，AE=10，∴AE
AB =
AD
AC
=2，∴△ABE∽△ACD；
②∵△ABE∽△ACD，∴∠AEB=∠CDA．
∵∠AFD=∠EFG，∠AFD+∠CDA=90°，∴∠EFG+∠AEB=90°，∴∠DGE=90°，∴DG⊥BE，
∴∠AGD=∠BGD=90°，∴CE2=CG2+EG2，BD2=BG2+DG2，∴BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2．
∵CG2+BG2=CB2，EG2+DG2=ED2，∴BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD2=170．
【点睛】
本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．
5．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. 【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长． 试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC==6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 6．（10分）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF. （1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和 位置关系（不用证明）； （2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断； （3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）. 【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）． 【解析】 试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据 ∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF； （2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF； （3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值． 试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF． ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°. ∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF. ∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF. 同理得：∠CFE=2∠CBF， ∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°. ∴DF=CF，且DF⊥CF． （2）（1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G． ∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF． ∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF． ∵AD=DE，∴AD=GB. ∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC． ∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形. ∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF． （3）如图，延长DF交BA于点H， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE． ∴∠AED=∠ABC=45°. ∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°， ∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF． ∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB. ∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4. ∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3. 在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=， ∴DF=，∴CF=. ∴线段CF的长为. 考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理． 7．小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D2，0），E（22 0）， F（32 2 ， 2 （1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A1B1C．请你写出点A1，B1的坐 标，并判断A 1C 和DF 的位置关系； （2）他们将△ABC 绕原点按顺时针方向旋转450，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2y 22x bx c =++上．请你求出符合条件的抛物线解析式； （3）他们继续探究，发现将△ABC 绕某个点旋转45，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线2 y x =上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P 的坐标．请你直接写出点P 的所有坐标． 【答案】解：（1）2 22222b c 0 { 32322 22b c 222 +=?++= ?? ． A 1C 和DF 的位置关系是平行． （2）∵△ABC 绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF ， ∴①当抛物线经过点D 、E 时，根据题意可得：(2 2 2222b c 0 {2222b c 0 ++=++=，解得b 12{c 82 =-= ∴2y 2x 12x 82=-+ ②当抛物线经过点D 、F 时，根据题意可得：2 22222b c 0 { 32322 22b c 222 ++=?++= ?? ，解得b 11 {c 72 =-= ∴2y 2x 11x 2=-+ ③当抛物线经过点E 、F 时，根据题意可得：(2 22222 22b c 0 { 32322 22c ++=+=?? ，解得 b 13{ c =-= ∴2y 13x =-+ （3）在旋转过程中，可能有以下情形： ①顺时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上，如答图1所示， 易求得点P 坐标为（0 ）． ②顺时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图2所示， 设点B′，C′的横坐标分别为x 1，x 2， 易知此时B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线B′C′的解析式为y=x+b ． 联立y=x 2与y=x+b 得：x 2=x+b ，即2x x b 0--=，∴1212x x 1x x b +==-，． ∵B′C′=1，∴ 根据题意易得：12x x 2 -= ，∴()2121x x 2-=，即 () 2 12121 x x 4x x 2 +-= ． ∴1 14b 2+= ，解得1b 8 =-． ∴2 1x x 08-+ = ，解得x = 或x =． ∵点C′的横坐标较小， ∴2x 4 =． 当2x 4= 时，23y x 8-==． ∴P （ 24 38 -）． ③顺时针旋转45°，点C 、A 落在抛物线上，如答图3所示， 设点C′，A′的横坐标分别为x 1，x 2． 易知此时C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线C′A′的解析式为y x b =-+． 联立y=x 2与y x b =-+得：2x x b =-+，即2x x b 0+-=，∴1212x x 1x x b +=-=-，． ∵C′A′=1，∴ 根据题意易得：12x x 2 -= ，∴()2121x x 2-=，即 () 2 12121 x x 4x x 2 +-= ． ∴1 14b 2+= ，解得1b 8 =-． ∴21x x 08++ =，解得22x 4-+=x 或22 x 4 --=． ∵点C′的横坐标较大，∴22 x -+=． 当22x -+=时，2322 y x -==． ∴P （ 224-+，322 8 -）． ④逆时针旋转45°，点A 、B 落在抛物线上． 因为逆时针旋转45°后，直线A′B′与y 轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在． ⑤逆时针旋转45°，点B 、C 落在抛物线上，如答图4所示， 与③同理，可求得：P （ 224-+，322 8 -）． ⑥逆时针旋转45°，点C 、A 落在抛物线上，如答图5所示， 与②同理，可求得：P （ 224+，3228 +）． 综上所述，点P 的坐标为：（0， 12-），（22-，322 -），P （22-+， 322-，（22+，322 +）． 【解析】 （1）由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解． （2）首先明确△ABC 绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为△DEF ，然后分三种情况进行讨论，分别计算求解． （3）旋转方向有顺时针、逆时针两种可能，落在抛物线上的点有点A 和点B 、点B 和点C 、点C 和点D 三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论，避免漏解． 考点：旋转变换的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用． 8．在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，且点 M 不与 B 、C 重合，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ ，连接BP ，DQ ． （1）依题意补全图 1； （2）①连接 DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2； ②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为：． 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②BP=AB． 【解析】 【分析】 （1）根据要求画出图形即可； （2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题； ②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB； 【详解】 （1）解：补全图形如图 1： （2）①证明：连接 BD，如图 2， ∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ， ∴AQ=AP，∠QAP=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∴∠1=∠2． ∴△ADQ≌△ABP， ∴DQ=BP，∠Q=∠3， ∵在 Rt△QAP 中，∠Q+∠QPA=90°， ∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°， ∵在 Rt△BPD 中，DP2+BP2=BD2，又∵DQ=BP，BD2=2AB2， ∴DP2+DQ2=2AB2． ②解：结论：BP=AB． 理由：如图 3 中，连接 AC，延长 CD 到 N，使得 DN=CD，连接 AN，QN． ∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP， ∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°， ∵∠AQP=45°， ∴∠NQC=90°， ∵CD=DN， ∴DQ=CD=DN=AB， ∴PB=AB． 【点睛】 本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴
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